Метод трапеций.
Тема 4.1. Численное интегрирование.
Численное интегрирование
Разобьем отрезок [ a; b ] на n равных частей: Если условие выполняется, то переход к пункту 7, иначе переход к пункту 3. Проанализировав значения в этой таблице, увидим, что требуемая точность 0, достигнута на второй итерации. Итак, подынтегральная функция f x заменяется интерполяционным полиномом второй степени P x — параболой, проходящей через три узла. Возьмем три узла x 0 , x 1 , x 2 , через которые проведем параболу, воспользовавшись формулой Ньютона:. Для равномерной сетки и четного числа шагов n формула Симпсона принимает вид:. Проанализировав значения в этой таблице, увидим, что требуемая точность 0, достигнута сразу после первой итерации. Реализация символьного вычисления неопределенного интеграла в MatLab. Символьные вычисления неопределенных интегралов в MatLabосуществляется при помощи функции: Реализация вычисления определенного интеграла в MatLab. Вычислительный алгоритм метода Симпсона с автоматическим выбором шага реализован функцией quad name , a , b [, eps , trace ] , где. В m-файле с именем simp. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Метод трапеций Графическая интерпретация метода Разобьем отрезок [ a; b ] на n равных частей: Расчет приближенного значения интеграла: D11 Автозаполнение формулой из клетки D8 Формула E8: E10 Формула Вид листа MS Excel: Метод Симпсона метод парабол Графическая интерпретация метода Разобьем отрезок [ a; b ] на n равных частей: Возьмем три узла x 0 , x 1 , x 2 , через которые проведем параболу, воспользовавшись формулой Ньютона: Для равномерной сетки и четного числа шагов n формула Симпсона принимает вид: Реализация символьного вычисления неопределенного интеграла в MatLab Символьные вычисления неопределенных интегралов в MatLabосуществляется при помощи функции: Вычислить неопределенный интеграл Решение. В командном окне введем следующие команды: Реализация вычисления определенного интеграла в MatLab Вычислительный алгоритм метода Симпсона с автоматическим выбором шага реализован функцией quad name , a , b [, eps , trace ] , где name — имя М-функции, задающей подынтегральное выражение; a , b — пределы интегрирования; eps — точность вычисления необязательный параметр ; trace — параметр, позволяющий получить информацию о ходе вычислений в виде таблицы, в столбцах представлены значение количества вычислений, начальная точка текущего промежутка интегрирования, его длина и значение интеграла необязательный параметр. Пример 1 Постановка задачи. Вычислить определенный интеграл с точностью 1е
Часто на практике не удается вычислить интеграл аналитическим путем. В этих случаях применяют приближенные методы численного интегрирования. Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:. В этих случаях используются методы численного интегрирования. Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям. Общий подход к решению задачи будет следующим. Необходимо вычислить интеграл, разбивая интервал [ a,b ] на множество меньших интервалов, находя приблизительно площадь каждой полоски и суммируя их. В зависимости от способа вычисления подынтегральной суммы существуют различные методы численного интегрирования методы прямоугольников, трапеций, парабол, сплайнов и др. Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой:. Разобьём интервал интегрирования [ a , b ] на n равных частей. Формула прямоугольника применяется к каждому отрезку. Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков: Таким образом, площадь криволинейной трапеции заменяется суммой прямоугольников с основанием h и высотами, равными значениям функции f x в середине оснований. В этом случае площадь всей криволинейной трапеции складывается из площадей элементарных прямоугольных трапеций. Складывая площади элементарных трапеций, получим формулу трапеций для численного интегрирования:. Метод парабол — метод более точный по сравнению с методами прямоугольников и трапеций. В основе формулы Симпсона лежит квадратичная интерполяция подынтегральной функции на отрезке [ a,b ] по трем равноотстоящим узлам. Это делается для того, чтобы в качестве приближенного значения определенного интеграла взять , который можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. Перейдем к нахождению интеграла. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики. Численное интегрирование Часто на практике не удается вычислить интеграл аналитическим путем. Постановка задачи Часто на практике не удается вычислить интеграл аналитическим путем. Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: Однако этой формулой часто нельзя воспользоваться по следующим причинам: Метод прямоугольников Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой: В этом случае площадь всей криволинейной трапеции складывается из площадей элементарных прямоугольных трапеций Площадь каждой трапеции определяется по формуле: Складывая площади элементарных трапеций, получим формулу трапеций для численного интегрирования: Геометрически это выглядит так: Таким образом, можно получить формулу метода парабол: Формула метода Симпсона парабол имеет вид:
Татьянин день 215 серия
Образец купли продажи маломерного судна
Сколько стоит смартфон леново
Опера з впн
Сколько идет поезд ростов москва