Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны. Кафедра высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики. Данная работа посвящена задаче о делении отрезка в заданном отношении и порождаемым ею теориям. Задача о делении отрезка сыграла важную роль в становлении геометрии, на ее основе было создано множество теорий. Многие ученые от древнего мира до наших дней рассматривали данную задачу и использовали ее в своих трудах, и в моей работе будут рассмотрены данные теории, таких великих умов как Джованни Чева, Менелая Александрийского и Евклида. А так же рассмотрим решение задачи о делении отрезка в заданном отношении способом построения, и разберемся с нахождением координат точки, которая делит некоторый отрезок в заданном отношении, получим формулы для нахождения координат такой точки по координатам концов отрезка. После этого рассмотрим решения нескольких характерных задач. Цель данной работы, рассмотреть различные способы деления отрезка в заданном отношении. Деление отрезка пополам выполняется следующим образом. На отрезке AB необходимо, из точки А, отложить дугу большую половине этого отрезка. Далее, не меняя значения циркуля, из точки В построим засечки, пересекающие нашу дугу. Пересечение дуги и засечек образуют точки E и D, затем проводим прямую через эти точки, которая и поделит наш отрезок АВ ровно на две части. Если продолжить деление полученных частей пополам можно таким же способом разделить отрезок на 4, 8, 16 и т. Соединим точки Е и D с концами отрезка AB. Поэтому равнобедренные треугольники DAE и DBE равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство углов ADO и BDO. В равнобедренном треугольнике ABD, DO- биссектриса, проведенная к основанию, следовательно, она медиана и высота. Деление отрезка прямой на пропорциональные части. Существует теорема Фалеса, которая звучит следующим образом: Используя данную теорему мы можем произвести деление отрезка прямой на пропорциональные части. Разберем как выполняется данное деление. Для того чтобы разделить отрезок АВ в соотношении например 3: Затем на этой прямой отложить 5 произвольных, но равных между собой отрезков. Далее соединить прямой точки В и 5 и из точки 3 параллельно прямой В5 провести прямую до пересечения ее с отрезком АВ, полученная точка пересечения D разделит отрезок АВ в соотношении 3: Мы получим отношение AD: Рассмотрим треугольники АСВ и AEB. Данные треугольники подобны по двум углам? Следовательно, отношения сторон треугольников равны. Значит, отрезок АВ поделен в заданном отношении. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении. На рисунке отрезок АО разделен так, что отношение отрезка АО к отрезку АК равно отношению отрезка АК к отрезку КО АО: Такое деление известно под названием золотое сечение или золотое отношение. Правило золотого сечения получило популярность благодаря своим применениям в живописи и, особенно, в архитектуре, а также обнаружению этой пропорции и тесно связанных с ней чисел Фибоначчи в живой природе. Графическое построение золотого сечения выполняется следующим образом: Точка К и будет являться результирующей точкой которая делит отрезок АО в крайнем и среднем отношении. Самым известным математическим сочинением античной науки являются "Начала Евклида". Это научное произведение написано Евклидом в 3 веке до новой эры и содержит основы античной математики: Евклид подвел в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейшего развития математики. Именно из "Начал Евклида" к нам пришла следующая геометрическая задача, называемая задачей "о делении отрезка в крайнем и среднем отношении". Суть задачи состоит в следующем. Разделим отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы большая часть отрезка СВ так относилась к меньшей части АС, как отрезок АВ к своей большей части СВ Рис. Обозначим отношение 1 через x. Из "физического смысла" отношения 1 вытекает, что искомое решение уравнения 2 должно быть положительным числом, откуда вытекает, что решением задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении является положительный корень уравнения 2 , который мы обозначим через t, то есть. Леонардо да Винчи назвал это число "золотым сечением" или "золотой пропорцией". Существует мнение, что Леонардо да Винчи не был первым, кто использовал такое название. Считается, что этот термин идет от Клавдия Птоломея, который дал ему такое название, убедившись, что рост человека правильного телосложения естественно делится именно в таком отношении. Закрепился же этот термин и стал популярным благодаря Леонардо да Винчи, который часто его использовал. Заметим, что на отрезке АВ существует еще одна точка D Рис. Золотое сечение широко встречается в геометрии. Из "Начал Евклида" известен следующий способ геометрического построения "золотого сечения" с использованием линейки и циркуля Рис. Тогда в соответствии с "Теоремой Пифагора" cторона. Проведя дугу AD с центром в точке C до пересечения с отрезком CB в точке D, мы получим отрезок. Проведя дугу DB с центром в точке B до ее пересечения с отрезком AB в точке E, мы получим деление отрезка AB в точке E "золотым сечением", поскольку. Таким образом, хорошо известный в древнем мире простой прямоугольный треугольник с отношением катетов 1: Многие математические закономерности, как говорится "лежали на поверхности", их нужно было только увидеть человеку с аналитическим умом, мыслящему логически, чем и отличались античные философы и математики. Не исключено, что древние математики могли прийти к "золотому сечению", исследуя так называемый простейший прямоугольник с отношением сторон 2: Если вычислить диагональ DB "двухсмежного квадрата", то в соответствии с теоремой Пифагора она равна. Свое восхищение "золотым сечением" знаменитый астроном Иоганн Кеплер выразил в следующих словах:. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем". Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы координаты двух несовпадающих точек A x A , y A и B x B , y B. Нам требуется найти координаты x C и y C точки С, которая делит отрезок АВ в отношении , где - некоторое положительное действительное число. Обратим внимание, что в этом случае точка А является как бы началом отрезка, а точка В - его концом. Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат некоторый отрезок АВ, точку С на нем и построим радиус-векторы точек А, В и С, а также векторы и. Будем считать, что точка С делит отрезок АВ в отношении. Мы знаем, что координаты радиус-вектора точки равны соответствующим координатам этой точки, поэтому,. Найдем координаты вектора , которые будут равны искомым координатам точки С, делящей отрезок АВ в заданном отношении. Таким образом, на плоскости координаты точки С , которая делит отрезок АВ в отношении , находятся по формулам. Теперь рассмотрим задачу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, не на плоскости, а в трехмерном пространстве. Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы координаты точек A x A ,y A ,z A и B x B ,y B ,z B , а требуется найти координаты x C , y C и z C точки С, которая делит отрезок АВ в отношении. Если провести рассуждения, аналогичные случаю на плоскости, то также придем к равенству. Следовательно, в трехмерном пространстве точка С, делящая отрезок АВ в заданном отношении , имеет координаты. Окончил университет в Пизе. Основные его труды - работы по геометрии и механике. Теорема, известная сегодня как теорема Чевы, была доказана им в году. Пусть точки A 1 ,B 1 ,C 1 лежат на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC соответственно. Пусть отрезки AA 1 ,BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке. Обозначим через O точку пересечения отрезков AA 1 , BB 1 и CC 1. Опустим из точек C и A перпендикуляры на прямую BB 1 до пересечения с ней в точках K и L соответственно см. Поскольку треугольники AOB и BOC имеют общую сторону OB, то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, то есть AL и CK:. Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники AB 1 L и CB 1 K подобны по острому углу. Отрезок или продолжение отрезка , соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой. Теорема обратная теорема Чевы. Пусть точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на сторонах BC, AC и AB треугольника ABC соответственно. Тогда отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке. Пусть O - точка пересечения отрезков AA 1 и BB 1 и прямая CO пересекает сторону AB в некоторой точке C 2. Значит, точки C1 и C2 делят отрезок AB в одном и том же отношении. Менелай Александрийский , I в. Автор работ по сферической тригонометрии: Для получения формул сферической тригонометрии использовал теорему, известную сегодня как теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник , причем - точка ее пересечения со стороной , - точка ее пересечения со стороной , и - точка ее пересечения с продолжением стороны. Проведем через точку прямую, параллельную. Обозначим через ее точку пересечения с прямой. Треугольники и также подобны? Теорема обратная теорема Менелая. Пусть точка лежит на стороне , точка - на стороне , а точка - на продолжении стороны , причем выполняется соотношение. Заметим для начала, что , поскольку, по условию, это выражение равно. Следовательно, прямые и не параллельны. Проведем прямую через точки и. Она пересечет прямую в некоторой точке. Для точек и справедлива теорема Менелая, так что. Из этого равенства следует, что обе точки и лежат на продолжении отрезка за одну и ту же точку, ибо правее данное отношение меньше , а левее оно строго больше. Тогда, учитывая, что и , перепишем полученное равенство в виде. Из равенства следует, что , и доказано, что точка , совпадающая с , лежит на прямой. Теоремы Менелая прямая и обратная верны также и в том случае, когда все три точки лежат на продолжениях сторон треугольника. То есть справедлива следующая. Точки лежат на продолжениях сторон и соответственно. Три точки и лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство. Доказательство этой теоремы, точно такое же, как и доказательство, приведенное выше. Применим полученные в теоретической части, в пунктах 1. Рассмотрим решения наиболее часто встречающихся задач по этой теме. Найдите координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении пять к трем, если A 11,1,0 , B -9,2, Точка С 2,-5 делит отрезок АВ в отношении. Определите координаты точки А, если В 1,0. Подставляем значения из условия и вычисляем искомые координаты точки А:. Одной из самых характерных задач, в которой приходится вычислять координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении, является задача на нахождение центра тяжести треугольника. Известно, что центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан обозначим ее как М , а каждая из медиан делится точкой М в отношении 2 к 1, считая от вершины треугольника. Поэтому, если нам известны координаты точек, которые являются концами медианы, то мы можем найти координаты точки, делящей медиану в отношении два к одному. Найдите координаты центра тяжести треугольника АВС, если известны координаты его вершин A 2,3,1 , B 4,1,-2 , C -5,-4,8. Пусть АD - медиана треугольника АВС, а точка M x M ,y M ,z M - центр тяжести этого треугольника. Однако мы не знаем координаты точки D. Так как AD - медиана треугольника АВС, то D - середина стороны ВС, следовательно, координаты точки D равны полусуммам соответствующих координат точек В и С по теореме о нахождении координат середины отрезка:. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. Пусть AM 1 , BM 2 , СM 3 - медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что. Тогда по теореме Чевы обратной отрезки AM 1 , BM 2 и СM 3 пересекаются в одной точке. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m: Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. Тогда по теореме Чевы обратной AL 1 , BL 2 , CL 3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника. Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. В треугольнике АВС AD - медиана, точка O - середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А? Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC. Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Пусть A 1 , B 1 и C 1 - точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:. Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: Равенство Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Рассмотрим два способа решения одной задачи. Первый способ довольно длинный, но данный прием, который в нем используется, применяется довольно часто при решении задач, в которых дано отношение отрезков. Второй способ позволяет решить задачу в одно действие, но в нем используется Теорема Менелая. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM: Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Проведем через точку В прямую параллельно отрезку AB, затем продолжим отрезок AN до пересечения с этой прямой и поставим там точку К:. Рассмотрим треугольники ANC и BNK. Эти треугольники подобны, так как AC BK. Стороны треугольника BNK относятся к сторонам треугольника ANC как 2: Мы получили подобные треугольники LMB и AMC, сходственные стороны которых относятся как 3: Теперь используем при решении данной задачи теорему Минелая. Рассмотрим треугольник MBC и прямую AN:. Рассмотрев применение теорем Чевы и Менелая при решении задач можно сделать следующий вывод: В данной курсовой работе были рассмотрены теоретические и практические аспекты задачи о деление отрезка в заданном отношении. Если говорить о значении данной задачи, то можно с уверенностью сказать что ее значимость в геометрии весьма велика. Задача о делении отрезка в заданном отношении нашла свое применение в теории геометрии, послужила основой для создания многих других теорем, а так же применяется при решении различных задач, в том числе и в задачах на построение. В данной работе рассмотрены не только способы деления отрезок прямой в заданном отношении по средствам построения, а так же изучены вопросы о том найти координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости и в пространстве. А так же рассмотрены задачи, в которых применяются теоретические знания, полученные в ходе изучения задачи о делении отрезка в заданном отношении и порождённых ей теорий. Деление отрезка в данном отношении; Популярные лекции по математике; Н. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Биссектриса углов между прямыми. Деление отрезка в заданном отношении. Расстояние от точки до прямой. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника и многоугольника. Сферические и цилиндрические поверхности. Замечательные и вычислительные пределы. Изучение принципа золотого сечения — высшего проявления структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Золотое сечение — гармоническая пропорция. Механизмы аппроксимации, условия и особенности их применения. Методы с использованием информации о производной функции: Доказательство теоремы о том, что любая точка перпендикуляра, проходящего через середину данного отрезка, равноудалена от его концов, и что если данная точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на прямой, перпендикулярной данному отрезку. Метод дихотомии или деление отрезка пополам , простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений. Изучение некоторых методов построения отрезков, равных произведению или отношению двух других отрезков, с помощью циркуля и линейки. Использование произвольно выбранного единичного отрезка, а также определение произведения и деления этих отрезков. Понятие "золотое сечение" как пропорции, деления в крайнем и среднем отношении. Математические свойства сечения, его использование в музыке, архитектуре, искусстве. Исследование распространения "золотого сечения" в природе. Вычисление корня функции нелинейного уравнения методом деления отрезка пополам. Способы ввода, вывода и организации данных. Разработка блок-схемы алгоритма задачи. Порядок создания программы на алгоритмическом языке. Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Главная Библиотека "Revolution" Математика Способы деления отрезка в заданном отношении. Деление отрезка прямой в заданном отношении по средствам построения. Геометрическое определение "золотого сечения". Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении. Применение теорем Менелая и Чевы для решения задач. Задача о деление отрезков в заданном отношении и порождаемые ею теории Выполнила: Колесник Анна Студентка 21 группы 2 курса Научный руководитель: Нахождение координат точки 2. Деление отрезка прямой на пропорциональные части Существует теорема Фалеса, которая звучит следующим образом: Деление отрезка в крайнем и среднем отношении На рисунке отрезок АО разделен так, что отношение отрезка АО к отрезку АК равно отношению отрезка АК к отрезку КО АО: Деление отрезка в крайнем и среднем отношении "золотое сечение" Обозначим отношение 1 через x. Уравнение 2 часто называют "уравнением золотой пропорции". Тогда в соответствии с "Теоремой Пифагора" cторона Проведя дугу AD с центром в точке C до пересечения с отрезком CB в точке D, мы получим отрезок Рисунок 2. Геометрическое построение золотого сечения. Проведя дугу DB с центром в точке B до ее пересечения с отрезком AB в точке E, мы получим деление отрезка AB в точке E "золотым сечением", поскольку или Таким образом, хорошо известный в древнем мире простой прямоугольный треугольник с отношением катетов 1: Прямоугольник с отношением сторон 2: Поставленная задача может быть решена с помощью векторов. Следовательно, в трехмерном пространстве точка С, делящая отрезок АВ в заданном отношении , имеет координаты , , 1. Тогда обходим треугольник по часовой стрелке Доказательство. Поскольку треугольники AOB и BOC имеют общую сторону OB, то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, то есть AL и CK: Аналогично получаем и Перемножим эти три равенства: Пусть выполняется соотношение Тогда отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке. По теореме Чевы для точек A 1 ,B 1 и C 2 имеем Но тогда Значит, точки C1 и C2 делят отрезок AB в одном и том же отношении. Тогда откуда то есть точки и совпадают. CKA 1 Значит, Из каждого равенства выразим: Пусть точка лежит на стороне , точка - на стороне , а точка - на продолжении стороны , причем выполняется соотношение Тогда точки и лежат на одной прямой. Для точек и справедлива теорема Менелая, так что Отсюда следует, что Из этого равенства следует, что обе точки и лежат на продолжении отрезка за одну и ту же точку, ибо правее данное отношение меньше , а левее оно строго больше. То есть справедлива следующая Теорема. Три точки и лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство Доказательство этой теоремы, точно такое же, как и доказательство, приведенное выше. Задача 1 Найдите координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении пять к трем, если A 11,1,0 , B -9,2, Подставляем значения из условия и вычисляем искомые координаты точки А: A ,- Одной из самых характерных задач, в которой приходится вычислять координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении, является задача на нахождение центра тяжести треугольника. Задача 3 Найдите координаты центра тяжести треугольника АВС, если известны координаты его вершин A 2,3,1 , B 4,1,-2 , C -5,-4,8. Так как AD - медиана треугольника АВС, то D - середина стороны ВС, следовательно, координаты точки D равны полусуммам соответствующих координат точек В и С по теореме о нахождении координат середины отрезка: Осталось вычислить искомые координаты центра тяжести треугольника: По теореме Менелая Ответ: Задача 2 Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что Тогда по теореме Чевы обратной отрезки AM 1 , BM 2 и СM 3 пересекаются в одной точке. Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Задача 4 Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Покажем, что Тогда по теореме Чевы обратной AL 1 , BL 2 , CL 3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника Перемножая почленно полученные равенства, получаем Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. Задача 5 В треугольнике АВС AD - медиана, точка O - середина медианы. Задача 6 Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Для того чтобы доказать, что отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы: Задача 7 Рассмотрим два способа решения одной задачи. Проведем через точку В прямую параллельно отрезку AB, затем продолжим отрезок AN до пересечения с этой прямой и поставим там точку К: Теперь продолжим отрезок MC до пересечения с прямой BK. Поставим там точку L. Теперь рассмотрим подобные треугольники LOK и AOC. Рассмотрим треугольник MBC и прямую AN: Запишем теорему Менелая для этого треугольника: Изд-во МЦНМО, 5. Деление отрезка в данном отношении, координаты, примеры, решения. Деление отрезка прямой 9. ЕГЭ, задачи из С части. Математические понятия и методы решения математических задач. Сравнение методов одномерной оптимизации: Угол между прямой и плоскостью. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений. Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению или отношению двух других отрезков. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам. Другие документы, подобные "Способы деления отрезка в заданном отношении".
Большинство задач по планиметрии не решается с помощью жестких алгоритмов, почти каждая геометрическая задача требует своего подхода. Здесь уже мало иметь те или иные знания, нужно уметь применять их в каждом конкретном случае. Сапоговская средняя общеобразовательная школа. Приемы решения вычислительных задач по планиметрии. Поиск решения "от искомого". Роль чертежа в решении геометрических задач. Угол между касательной и хордой. Две задачи и пять методов решения геометрических задач. Для успешного изучения стереометрии в старших классах необходимо не только знать формулы и теоремы, но и владеть различными методами решения задач. Научиться распознавать и использовать математические методы можно при рассмотрении различных решений одной и той же задачи. В этом заключается замысел работы. Обычно различные методы в школе демонстрируются на различных задачах, которые подбираются специально как имеющие наиболее эффективные решения данным методом. Однако тогда в осознании метод связывается с задачей, а его самостоятельная значимость несколько приглушается. Но когда разные методы испробованы на одной задаче, их отличительные черты, их сильные и слабые стороны выступают наиболее выпукло. Трудности при решении геометрических задач связаны со следующими их особенностями: Перечислим пять основных методов, применяемых к решению геометрических задач: Конечно, такое деление условно. Так как, каждый метод, нацеливает на применение различных фактов из планиметрии и стереометрии, что очень важно. Метод координат считается самым универсальным методом решения геометрических задач. В учебных пособиях мало задач, решаемых этим методом, а так же в школе не изучается в полном объеме необходимый теоретический материал. То же самое относится к векторному методу. Геометрическое решение может оказаться проще и изящнее, хотя к нему можно прийти, только догадавшись провести некоторые вспомогательные линии. Данное видение проблемы определило выбор темы исследования: Гипотеза состоит в том, что изучать различные методы решения геометрических задач лучше на примере одной задачи, если она будет иметь несколько способов решения. Проблема, предмет, гипотеза исследования обусловили следующие цели и задачи. Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать геометрические задачи при сдаче Единого Государственного экзамена. Особое значение имеет выработка разнообразных эвристических подходов, которые могут быть успешно применены при решении многих геометрических задач. Задача выступила не только в качестве иллюстрации теории, но и рассматривалась как самостоятельный объект, как средство развития исследовательской и эвристической деятельности. Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть, заключение, библиографический список. Первый из пунктов этой главы посвящен простейшей задаче вычислительной планиметрии - решению треугольников. Задача состоит в вычислении длин всех сторон треугольника и величин всех его углов по некоторым из них. В зависимости от данных она решается с помощью тех или иных стандартных приемов. К этой задаче часто сводятся другие, более сложные, и тогда она является элементом их решения. Приступая к решению более сложной геометрической задачи, прежде всего, нужно наметить план решения, то есть последовательность действий, которые, в конце концов, приведут к нахождению требуемого ответа. Сами вычисления при этом не производятся, а лишь устанавливается возможность вычислить ту или иную величину. Три наиболее употребительных способа нахождения такого плана излагаются ниже в пунктах 1. Известные признаки равенства треугольников "по двум сторонам и углу между ними", "по стороне и двум прилежащим к ней углам", "по трем сторонам" указывают величины, знание которых позволяет однозначно определить все элементы треугольника. Так, по известным сторонам: Аналогично можно вычислить величины углов А и В. По известным сторонам а, b и заключенному между ними углу С, с помощью теоремы косинусов легко найти величину с, а затем, как это описывалось выше, определить, величины остальных углов. Наконец, предположим, что известна сторона а треугольника и прилежащие к ней углы В и С. Конечно, возможны и другие способы определения сторон и углов. Заметим только, что знание синуса угла не всегда позволяет однозначно определить сам угол треугольника. Для определения величины угла в такой ситуации обычно применяются какие-либо дополнительные соображения. Например, полезной может быть информация: Если в задаче требуется найти длину какого-либо отрезка или вычислить величину какого-либо угла, имеет смысл сначала, не проводя вычислений, определить, какие, вообще, отрезки и углы могут быть найдены, исходя из данных задачи, с помощью приемов, изложенных в п. При этом можно помечать каким-либо образом вычисляемые отрезки и углы. Множество вычисляемых объектов будет при этом расширяться. И если случится так, что в их число попадет нужный отрезок или угол, то легко можно будет составить цепочку последовательных вычислений необходимых отрезков и углов, которая приведет; к нахождению нужной величины, Тем самым и составится план решения задачи. Выразить медиану АD треугольника АВС рис. Как указано выше, можно вычислить все углы треугольника АВС. Точка D есть середина известного отрезка ВС, так что могут быть вычислены и длины отрезков СD и BD. Тем самым в треугольнике АСD могут быть вычислены две стороны и заключенный между ними угол. Следовательно, можно определить все элементы треугольника АСD и, в частности, длину стороны АD. Применяя теорему косинусов к треугольнику АСD, получаем. Если прямой поиск, изложенный в предыдущем пункте, не помогает найти требуемую величину, можно попытаться расширить круг поисков. Нужно понять, через какие величины, известные из условия и неизвестные, можно выразить искомую величину. Затем надо понять, можно ли найти эти неизвестные величины. Если они могут быть найдены, то опять можно составить план решения - последовательность вычислений, дающую в конце ответ задачи. Величина угла А параллелограмма АВСD равна. Пусть F — основание перпендикуляра, проведенного из точки Е на прямую АD рис. Итак, для решения задачи достаточно определить стороны АВ и АD треугольника АВD и его медиану АЕ. Более того, достаточно определить только стороны, ведь задача - вычислить медиану треугольника по его сторонам - уже решена см. Этих данных недостаточно для определения сторон треугольника. Но знание отрезка ЕF позволит нам дополнительно найти высоту h треугольника АВD. Проведем высоту ВG треугольника АВD. О том, что хороший чертеж облегчает решение задачи, известно всем. Он может и подсказать какое-либо геометрическое соотношение между отрезками или углами. Особенно, если нарисовать несколько чертежей, изменяя, размеры присутствующих на нем фигур. Но иногда чертеж может стать причиной неполного решения задачи, так как соотношения, выполняющиеся на нем и кажущиеся совершенно очевидными, в действительности таковыми не являются и требуют специального обоснования. Так, выше мы намеренно провели неполное решение задачи 2. На рис 2 точка G расположена на отрезке АD. Но почему чертеж был нарисован именно так? В действительности в условиях задачи 2 единственно возможной является конфигурация, изображенная на рис. Так как в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, то в треугольнике АВD имеем неравенство: АВD больше угла АDВ. Поскольку сумма углов треугольника равна 0 , то угол АDВ не может быть ни прямым, ни тупым и, следовательно, возможна только ситуация, изображенная на рис. Иногда в рассматриваемой задаче можно нарисовать различные чертежи и рассуждения для каждого случая будут иметь некоторые отличия, хотя ответ будет одним и тем же. Итак, нужно всегда пытаться изобразить все возможные конфигурации, отвечающие на первый взгляд условиям задачи, а затем с помощью рассуждений отбросить лишние. Так, если, следуя рассуждениям из решения задачи 2, определить длины отрезков АВ и АD в случае, изображенном на рис. Это доказывает другим способом невозможность в условиях задачи рис. Отметим, что нарисованный первоначально чертеж в процессе решения задачи может дополняться новыми линиями. Такие дополнительные построения, вводящие новые углы и новые отрезки, иногда приводят к появлению геометрических фигур, облегчающих решение задачи. А иногда и указывают выход из, казалось бы, неразрешимой ситуации. Выше использовались дополнительные построения при решении задач 2 и 3. Будут они применяться и далее. Так, в решении задач строятся дополнительные прямые, дополнительные углы, дополнительная окружность. Отметим, что умение находить самостоятельно удачное дополнительное построение приходит с опытом решения задач. Задачи на вычисление площадей различных фигур встречаются на вступительных экзаменах достаточно часто. Площади многоугольников обычно вычисляют, разбивая их на треугольники, прямоугольники и другие фигуры, для площадей которых имеются известные формулы. Пусть АВСD - данный в условии задачи четырехугольник рис. Доказанное в последней задаче утверждение о том, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними, часто применяется в более сложных ситуациях как вспомогательный результат. Одним из важных средств нахождения в процессе решения задачи соотношений между отрезками или углами является свойство подобия фигур. Ведь в подобных фигурах соответственные углы равны, а стороны пропорциональны. Имеются признаки подобия треугольников: Заметим также, что в подобных треугольниках отношение соответственных высот, медиан и биссектрис равно отношению соответственных сторон треугольников, то есть коэффициенту подобия. Пусть Е - точка пересечения боковых сторон трапеции АВСD. Через точку Е и точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, пересекающая большее основание АD трапеции в точке F. Обозначим буквой G точку пересечения диагоналей трапеции и проведем через нее прямую КL параллельно основаниям трапеции рис 4. Треугольники КВG и АВG имеют, таким образом, по два соответственно равных угла. Обозначим буквой h расстояние между параллельными прямыми ВС и КL, а буквой H -расстояние между параллельными прямыми ВС и АD. Тогда h и H - высоты в подобных треугольниках КВG и АВD, проведенные из общей вершины В. Как указывалось выше, отношение соответственных высот в подобных треугольниках равно отношению соответственных сторон, поэтому Аналогично доказывается подобие треугольников. Как и выше, доказываются равенства углов: С учетом доказанных ранее равенств получаем, что подобны треугольники КЕG и АЕF, а также треугольники GЕL и FЕD. Так как правые части этих отношений равны, то равны и их левые части. В задачах с окружностями часто бывает необходимо вычислять не только длины отрезков и площади фигур, но и величины различных углов. Это вычисление, конечно же, требует знания стандартных теорем школьного курса геометрии, а приемы таких вычислений изложены в разделе 1. Полезным средством решения задач о вписанных фигурах является теорема, утверждающая, что вписанный угол измеряется половиной дуги окружности, на которую он опирается. Из этой теоремы легко следует два часто используемых утверждения: Угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки, измеряется половиной дуги, стягиваемой этой хордой. Тогда из равнобедренного треугольника АОВ находим , и так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то [1, с. Отметим еще две полезные теоремы о касательных к окружности: Важно также, чтобы задача выступала не только в качестве иллюстрации теории, а рассматривалась бы и как самостоятельный объект, как средство развития исследовательской и эвристической деятельности. В данной работе предлагается несколько методов и способов решения двух задач по планиметрии, детальный анализ которых позволит убедиться в реальной и существенной пользе проделанной работы. Для рассмотрения различных методов решения геометрических задач необходимо подобрать такую задачу. Первая была дана на географическом факультете. Вторая предлагалась на химическом факультете. В треугольнике АВС биссектриса BЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны треугольника АВС [2, с. Приступая к решению задачи, сразу замечаем, что если точка О — точка пересечения биссектрисы ВЕ и медианы АD, то прямоугольные треугольники АВО и DBO равны рис 6. Далее решение можно продолжить по-разному. В данной системе точки А, D, В имеют координаты: Для того, чтобы определить длины сторон треугольника АВС, надо найти число b. Выразим через b координаты точек С и Е. Так как D — середина отрезка ВC, то C 4; b. Для точки Е 0; y. Вторую координату точки Е найдем, пользуясь тем, что точка Е принадлежит прямой АС. Уравнение прямой имеет вид: Зная координаты вершин треугольника АВС, найдем его стороны: Пользуясь формулой деления отрезка в данном отношении, получим: Согласно правилу вычитания векторов. Найдем теперь сторону АС, пользуясь векторной формулой теоремы косинусов: Медиану AD и биссектрису ВЕ треугольника АВС выразим через длины a,b,c сторон треугольника по формулам: Способ IV тригонометрический, с применением теоремы косинусов [8, с. По теореме косинусов из треугольников АВЕ и ВСЕ находим: Остается, пользуясь теоремой Пифагора, вычислить стороны треугольника АВС. Рассмотрим теперь несколько способов, которые относятся к одному методу — геометрическому. Способ V с помощью площадей [5, с. Площадь треугольника СDЕ также равна 4, так как медиана ЕD делит треугольник ВСЕ на два равновеликих треугольника. Значит, площадь треугольника АВС равна Поскольку АD — медиана треугольника АВС, то площадь треугольника АВD равна 6. Остается применить формулу площади треугольника. Стороны треугольника АВС найдем по теореме Пифагора. Итак, задача решается устно, если догадаться соединить точки D и Е и вычислять площади треугольников. Способ VI с помощью осевой симметрии. Точки А и D симметричны относительно биссектрисы ВЕ. Построим еще точку, симметричную точке С относительно прямой ВЕ. Продолжим еще биссектрису ВЕ до пересечения с СF в точке Н. Тогда ВН — биссектриса треугольника ВСF, а, следовательно, и его медиана. Как видим, вспомогательные построения привели к простому, чисто геометрическому способу решения задачи. Способ VII по теореме о средней линии треугольника. Проведем среднюю линию DК треугольника BСЕ рис. Способ VIII по теореме Менелая. По теореме Менелая из треугольника АСD имеем: Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ВСЕ и секущей АD, получим: Изучение теоремы Менелая не предусмотрено программой по геометрии. Формулировка и доказательство теоремы имеются во многих учебных пособиях по геометрии. Кроме приведенных решений можно отыскать и другие, но, наверное, более сложные, чем геометрические способы V—VII. Основным методом решения геометрических задач в условиях экзамена является аналитический метод, применение которого не требует особой изобретательности. Тем не менее, важно, владеть геометрическими приемами, уметь находить наиболее простое и красивое решение с помощью дополнительных построений. Даже решая планиметрическую задачу алгебраическим методом, следует пользоваться и геометрическими соображениями, благодаря которым часто удается упростить решение. Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 2 и 6 от вершины А. На уроках геометрии редко встречаются задачи на вычисление, имеющими более одного решения, а здесь как раз такая задача. Поэтому ее разбор целесообразно начать с решения соответствующей задачи на построение: Решение Достаточно рассмотреть случай, когда точки М и N лежат по одну сторону от прямой 1 и прямая МN пересекают 1 в некоторой точке А рис. Пусть окружность, проходящая через точки М и N, касается прямой 1 в некоторой точке L. Для решения задачи воспользуемся теоремой о секущей и касательной к окружности. Способом от противного легко доказать, что построенная окружность касается прямой 1 в точке L. Перейдем к решению задачи на вычисление радиусов построенных окружностей. Заменив числовые данные буквенными, сформулируем задачу следующим образом. Через точки М и N лежащие на стороне АС угла ВАС, проведена окружность, касающаяся прямой АВ. Рассмотрим несколько способов решения. Введем на плоскости прямоугольную систему координат с началом в точке А и осью абсцисс, имеющей направление луча АВ рис. Воспользуемся тем, что если L -. Значит, центр О окружности, лежащий внутри угла ВАС, будет иметь координаты: О ; г , где г — радиус окружности. Может показаться удивительным, но задача может быть весьма просто решена и векторным способом. Согласно правилу сложения векторов, имеем:. Вычислим скалярный квадрат вектора. Вторая окружность, проходящая через точки М и N. Задачу можно решить и традиционными средствами с использованием теоремы косинусов и синусов. В четырехугольнике АМОL имеем: Применим теоремы косинусов и синусов к треугольнику АLМ. Снова применив теорему синусов, получаем еще одно уравнение: Далее поступаем так же, как при решении задачи векторным способом. Оказывается, это легко сделать. В силу свойства средней линии трапеции запишем: А также найдены и решены задачи, решаемые разными методами. Проделанная работа подтверждает, что выдвинутая гипотеза справедлива. Действительно, изучать различные методы решения геометрических задач можно на примере одной задачи. Подробный разбор способов решения задач является хорошим подспорьем для того, чтобы освежить в памяти пройденный материал. Накопившиеся знания не будут лежать мертвым грузом, их постоянно нужно использовать, вспоминая, то одну, то другую теорему или свойство фигуры. Механическое заучивание формул и теорем не способствует развитию мышления. Использование же этих знаний на практике является творческой работой, при которой действенно учишься применять теорию на практике. Чтобы найти рациональный метод решения задачи, нужно хорошо знать эти методы, тогда легче ориентироваться в их выборе. При решении задач разными способами формируется логическое мышление, развивается интуиция, систематизируются знания, расширяется общеобразовательный кругозор, накапливается полезный опыт. Можно овладеть основными методами решения задач, составляющих важную часть многих эвристических алгоритмов, учиться рационально, планировать поиск решения задачи, выполнять полезные преобразования условия задачи, а также использовать известные приемы познавательной деятельности — наблюдение, сравнение, обобщение и т. Рекомендации, предложения в дополнении к предложенному материалу: Этот этап работы не менее важен, чем поиск самого решения. В процессе подготовки полного текста решения иногда обнаруживаются некоторые пропуски в обоснованиях, логические, а иногда и вычислительные ошибки. Существенное требование к хорошему изложению: Это значит, что в решении должны быть указаны все выполненные дополнительные построения, определены все незаданные условием задачи и введенные вами на чертеже, буквы, должны быть рассмотрены всевозможные способы размещения точек, отрезков, окружностей и обосновано выбранное вами их расположение. Имеет смысл, в процессе написания решения задать себе вопросы: Благодаря такой работе снимается психологический барьер перед поиском решения задач. Зная, что задача может быть решена разными способами, можно смелее браться за ее решение. Постепенно, решая задачу за задачей, приобретем некоторый опыт, что позволит развить математическое чутье. Разбор задач, допускающих ряд решений, — увлекательное занятие, требующее знания всех разделов школьной математики. Длительная работа над одной и той же задачей часто полезнее, чем решение нескольких задач. Все перечисленное создает условия для формирования навыков исследовательской учебной деятельности, способствующей накоплению творческого потенциала. Литературное творчество Музыкальное творчество Научно-техническое творчество Художественно-прикладное творчество. Решение геометрических задач разными методами Опубликовано Найдёшкина Лидия Анатольевна вкл Предметом исследования являются методы решения. Приемы решения вычислительных задач по планиметрии Решение треугольников Первый из пунктов этой главы посвящен простейшей задаче вычислительной планиметрии - решению треугольников. Роль чертежа в решении геометрических задач 2. Неоднозначность чертежа О том, что хороший чертеж облегчает решение задачи, известно всем. Дополнительные построения Отметим, что нарисованный первоначально чертеж в процессе решения задачи может дополняться новыми линиями. Площади Задачи на вычисление площадей различных фигур встречаются на вступительных экзаменах достаточно часто. Подобие Одним из важных средств нахождения в процессе решения задачи соотношений между отрезками или углами является свойство подобия фигур. Окружность В задачах с окружностями часто бывает необходимо вычислять не только длины отрезков и площади фигур, но и величины различных углов. Вписанный угол Полезным средством решения задач о вписанных фигурах является теорема, утверждающая, что вписанный угол измеряется половиной дуги окружности, на которую он опирается. Угол между касательной и хордой Угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки, измеряется половиной дуги, стягиваемой этой хордой. Теоремы о касательных Отметим еще две полезные теоремы о касательных к окружности: Две задачи и пять методов решения геометрических задач Важно также, чтобы задача выступала не только в качестве иллюстрации теории, а рассматривалась бы и как самостоятельный объект, как средство развития исследовательской и эвристической деятельности. Решение конкурсных задач по математике. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии: Для поступающих в вузы. Нестандартные и исследовательские задачи. Учимся решать олимпиадные задачи.
17. Виды и методы решения текстовых задач
https://gist.github.com/8045a3c6837cff3ab572e26ea8e0229e
https://gist.github.com/8dcb174cef9112ab12325bb46e52b231
Каталог сборочных единиц уаз