Функция Эйлера это:
Лекция 3. Функция Эйлера
Функция Эйлера
Функция Эйлера находит применение в вопросах, касающихся теории делимости и вычетов см. Функция Эйлера играет ключевую роль в алгоритме RSA [3]. Функция Эйлера определена на множестве натуральных чисел , и значения её лежат в множестве натуральных чисел. В таблице справа представлены первые 99 значений функции Эйлера. Однако, оказывается, такой прямой не существует. Ещё одной интересной особенностью графика является наличие некоторых прямых, вдоль которых концентрируются значения функции Эйлера. Более подробно поведение функции Эйлера рассматривается в разделе Асимптотические соотношения. Одним из основных свойств функции Эйлера является её мультипликативность. Это свойство было установлено ещё Эйлером и формулируется оно следующим образом: Для доказательства мультипликативности функции Эйлера потребуется следующая вспомогательная теорема [5]. Теперь можно доказать основное утверждение [6]. Для вычисления функции Эйлера от степени простого числа используют следующую формулу [7]:. Это равенство обосновывается следующим образом. Функция Эйлера является мультипликативной арифметической функцией , то есть. Наиболее часто на практике используется свойство, установленное Эйлером:. В качестве следствия теоремы Эйлера можно получить малую теорему Ферма. Последняя формула находит применение в различных тестах простоты. Всякое натуральное число представимо в виде суммы значений функции Эйлера от его натуральных делителей [11]:. Исследование структуры множества значений функции Эйлера является отдельной сложной задачей. Здесь представлены лишь некоторые результаты, полученные в этой области [12]. В действительном анализе часто возникает задача нахождения значения аргумента по заданному значению функции, или, другими словами, задача нахождения обратной функции. Подобную задачу можно поставить и для функции Эйлера. Однако, надо иметь в виду следующее. В связи с этим нужны особые методы анализа. Также она даёт следующий практический способ нахождения прообраза. Поэтому нахождение прообраза в целом является вычислительно сложной задачей. Делителями 4 являются числа 1, 2 и 4. Добавляя по единице к каждому из них, получаем 2, 3, 5 - простые числа. В самом деле, делители 14 суть 1, 2, 7 и Добавив по единице, получим 2, 3, 8, Из них только первые два числа - простые. Криптостойкость этой системы определяется сложностью разложения на сомножители целого n -разрядного числа. Ключевую роль в алгоритме RSA играет функция Эйлера, свойства которой и позволяют построить криптографическую систему с открытым ключом [33]. Корректность последнего утверждения основывается на теореме Эйлера и китайской теореме об остатках. Эта формула следует из теоремы Эйлера:. В самом деле, допустим. Слева стоит целое отличное от нуля число, значит и справа должно быть целое отличное от нуля число, поэтому с необходимостью. Решение задаётся формулой [35]:. Как легко убедиться, сравнение. Функции Эйлера позволяет вычислять остатки от деления больших чисел [38]. Найдем последние три цифры в десятичной записи числа 2 Позже были доказаны и другие сильные утверждения. По сей день неизвестно, существуют ли составные решения задачи Лемера. Если предположить, что их не существует, то получается следующий критерий простоты: В году Кармайкл предложил как упражнение доказать следующее утверждение [43]:. Иначе это утверждение можно сформулировать так [44]: Однако в году Кармайкл обнаружил, что предложенное им доказательство содержит ошибку. Стоит отметить, что в Форд доказал следующую теорему [45]:. Однако, доказать, что нет такого значения, которое функция Эйлера принимала бы только один раз, до сих пор никому не удалось [44]. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Не следует путать с функцией распределения простых чисел. Пример 1 Вычисление прообраза. Пример 2 Не все чётные числа являются значениями функции Эйлера. Пример Вычисление обратного элемента. Замечание 1 Оценка сложности вычисления. Пример Решение линейного сравнения. Пример 1 Последние три цифры в десятичной записи числа. Пример 2 Остаток от деления на Для улучшения этой статьи желательно: Арифметические функции Модульная арифметика Леонард Эйлер. Статьи с невикифицированным списком литературы Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. Эта страница последний раз была отредактирована 22 апреля в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия.
Предыдущий пункт дал нам общие абстрактные знания о мультипликативных функциях вообще. Благодаря этому, в этом пункте мы сможем во всеоружии встретить целую серию примеров полезных мультипликативных функций. По лемме 2 пункта 13, количество делителей t a числа a есть мультипликативная функция. По лемме 2 пункта 13, сумма всех делителей есть мультипликативная функция. Функция Мебиуса m a - это мультипликативная функция, определяемая следующим образом: Пусть q a - произвольная мультипликативная функция,. Эта функция мультипликативна, как произведение мультипликативных функций. Для q 1 x имеем p - простое: Следовательно, для q 1 x тождество леммы 1 пункта 13 выглядит так:. Воздержусь от доказательства этого следствия в силу банальности сего доказательства, но вот на правую часть этого тождества попрошу обратить внимание, так как она еще неоднократно у нас встретится. Физический смысл этой правой части раскрывает пример следующей функции. Функция Эйлера, пожалуй, самая знаменитая и "дары приносящая" функция из всех функций, рассматриваемых в этом пункте. Функция Эйлера j a есть количество чисел из ряда 0, 1, 2, Полезность и практическое применение этой функции я продемонстрирую в следующих пунктах, а сейчас давайте поймем, как ее вычислять. Пусть x пробегает числа 0, 1, 2, Тогда j a есть число значений d x , равных 1. Придумаем такую функцию c d x , чтобы она была единицей, когда d x единица, и была нулем в остальных случаях. Далее, сделав над собой некоторое усилие, можно усмотреть, что:. Значит в первой сумме справа в суммировании участвуют только те x , которые кратны d. Таких x среди чисел 0, 1, 2, Пояснение для читателей, у которых предыдущие соображения не захотели укладываться в голову, например, из-за плохих погодных условий. Должен признать, что приведенное доказательство формулы Эйлера и, в особенности, его последний момент с изменением порядка суммирования, объективно тяжеловаты для понимания. Но мы не боимся трудностей! Второе утверждение леммы следует из первого внесением впереди стоящего множителя a внутрь скобок. Дело в том, что в ней отражено так называемое правило включений и исключений:. Правило включений и исключений. Пусть задано множество А и выделено k его подмножеств. Количество элементов множества А , которые не входят ни в одно из выделенный подмножеств, подсчитывается так: Проиллюстрирую это правило на примере подсчета функции Эйлера для чисел вида. Прямоугольник изображает множество всех целых чисел от 0 до a ; овал N 1 - множество чисел, кратных p 1 ; кружок N 2 - числа, кратные p 2 ; пересечение N 1,2 - множество чисел, делящихся одновременно на p 1 и p 2 , то есть на p 1 p 2 ; числа вне овала и кружочка взаимно просты с a. Мне кажется, что таким способом можно объяснить формулу Эйлера любому смышленому школьнику. Значит числа, взаимно простые с a разбиваются на пары k и a - k , следовательно, их четное число. Значит, j a - мультипликативна. На этом, пожалуй, пункт 14 закончим. Кроме того, предложение, которое вы сейчас начали внимательно читать, тоже закончилось. Потренируйтесь и найдите число делителей и сумму делителей чисел:. Найдите сумму собственных делителей то есть делителей, отличных от самого числа чисел:. Составьте таблицу значений функции Мебиуса m n для всех значений n от 1 до Составьте таблицу значений функции Эйлера j n для всех значений n от 1 до Используя формулу Эйлера для j n , еще раз докажите бесконечность множества простых чисел. Докажите, что для любого натурального n выполняются неравенства. Элитарный бизнес-клуб регулярно посещают новых русских. При бизнес-клубе имеется шесть спортивных секций, представляющие следующие виды спорта: В эти секции записались, соответственно, 30, 26, 32, 31, 28 и 36 человек. В несколько секций записались 53 новых русских, из них 24 братана посещают три или больше секций, 9 братанов не меньше четырех секций и 3 братана - даже пять секций. В последнюю тройку братанов входит один чудак, который записался во все шесть секций. Директор клуба хочет знать, сколько братанов не записались ни в одну секцию? В формулировке задачи указаны первые четыре известных еще Пифагору совершенных числа. Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют такой вид. Неизвестно, существуют ли вообще нечетные совершенные числа; во всяком случае, такие числа должны быть больше 10 - результат хорошо организованной машинной проверки. Простые числа вида 2 k -1 называются числами Мерсенна, по имени французского математика, который в году указал в большей части верный список всех таких простых, меньших 10 Изрядно потрудившись, читатель сам может выписать наибольшее известное на сегодняшний день совершенное число, отталкиваясь от наибольшего известного на сегодня простого числа Мерсенна, указанного в пункте 6 этой книжки. Предполагается, что совершенные числа были известны уже в древнем Вавилоне и Египте, где рука с загнутым безымянным пальцем обозначала число шесть - первое совершенное число. Тем самым этот палец сам стал причастен к совершенству и за ним закрепилась привилегия носить обручальное кольцо. Выпуск самых маленьких в мире шагающих экскаваторов наладила японская фирма "Сони". Экскаваторы бегают по полю в миниатюрных ботиночках и роют лунки для гольфа. Завершилась перепись населения в Китае. В лаборатории физики плазмы введен в действие уникальный реактор. В реактор загружены все необходимые реагенты и немного дрожжей. Через неделю физики будут отмечать окончание эксперимента. Новый компъютер разработан в институте физики металлов. Монолитный титановый монитор, стальной винчестер с затвором, хромель-алюмелевые кнопочки, отсутствие педалей и рулевой колонки делают новинку совершенно ненужной для грабителей. Важнейшие функции в теории чисел Пункт Число делителей данного числа. Тогда, если , то тождество леммы 1 пункта 13 принимает вид: Сумма делителей данного числа. Следовательно, для q 1 x тождество леммы 1 пункта 13 выглядит так: Далее, сделав над собой некоторое усилие, можно усмотреть, что: Ё Оказывается, только что доказанная формула для вычисления функции Эйлера имеет ясный "физический смысл". Дело в том, что в ней отражено так называемое правило включений и исключений: Проиллюстрирую это правило на примере подсчета функции Эйлера для чисел вида Посмотрите на рисунок 4. Из леммы 2 вытекают приятные следствия. Тогда, по лемме 1 пункта 13 имеем: Потренируйтесь и найдите число делителей и сумму делителей чисел: Найдите сумму собственных делителей то есть делителей, отличных от самого числа чисел: NS НОВОСТИ НАУКИ Выпуск самых маленьких в мире шагающих экскаваторов наладила японская фирма "Сони". Сайт управляется системой uCoz.
Застольная волховского фронта текст
Статья 315 ук рф приговор
Подать избыточное давление
Инструкция к зарядному устройству узт 1
Группа социально экономических прав гражданина рф