Тройные интегралы
Решение тройных интегралов
Тройной интеграл онлайн
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Вновь прибывшим посетителям рекомендую начать с 1-й части, где мы рассмотрели основные понятия и задачу нахождения объема тела с помощью тройного интеграла. Остальным же предлагаю немного повторить производные функции трёх переменных , поскольку в примерах данной статьи мы будем использовать обратную операцию — частное интегрирование функции. Кроме того, есть ещё один немаловажный момент: И дело не только в том, что сейчас возрастёт сложность вычислений — у большинства тройных интегралов нет надёжных способов ручной проверки, поэтому к их решению крайне нежелательно приступать в утомлённом состоянии. Сразу скажу, чего делать НЕ НАДО. Не нужно пользоваться свойствами линейности и представлять интеграл в виде. Хотя если очень хочется, то можно. В конце концов, есть и небольшой плюс — запись будет хоть и длинной, но зато менее загромождённой. Но такой подход всё-таки не стандартен. В алгоритме решения новизны будет немного. Сначала нужно разобраться с областью интегрирования. Сверху тело ограничено плоскостью , которая проходит через начало координат. Для этого находим её линию пересечения с координатной плоскостью , то есть решаем простейшую систему: Не сложен здесь и пространственный чертёж: В действительности можно было ограничиться только им, поскольку проекция очень простая. Выберем следующий порядок обхода тела: И перейдём к повторным интегралам: То есть принцип точно такой же, как и при нахождении частных производных от функции трёх переменных , что естественно. Советую всегда мысленно либо на черновике выполнять проверку. Сносим трофей в следующий интеграл. По существу, решение свелось к двум переменным и к двойному интегралу:. Следует отметить, что не возбраняется оставить интеграл единым, раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, но это менее рациональный способ можете попробовать. Но на самом деле комбинаций больше — тело можно спроецировать на любую из 3 координатных плоскостей и каждую проекцию обойти 2 путями. Таким образом, получается 6 способов решения. И логично предположить, что в общем случае некоторые из них проще, а некоторые — труднее. А в некоторых задачах выбор порядка интегрирования и вовсе становится ОЧЕНЬ важным:. У незамысловатых областей можно не обращать внимания на проекцию и придерживаться следующего правила: Пределы интегрирования здесь очевидны. Но вот с порядком обхода не всё так просто. Перед тем, как подставить пределы интегрирования, не помешает проверка: На чистовике, конечно же, не нужно всё расписывать так подробно, анализ порядка интегрирования и промежуточные проверки осуществляются мысленно либо на черновике. Наверное, это понятно, но на всякий случай закомментирую: Теперь походим по квартире, ну или по улице и наведём порядок. А именно, наполним тару мусором. В результате ваших трудов получено ограниченное тело неоднородной плотности. Как говорится, есть бумажка, а есть жестяная крышка. Воздух, кстати, тоже обладает вполне определённой плотностью. Напоминаю, что физическая плотность — есть отношение массы к объёму , например, грамм на кубический метр. Ставим мешок рядышком и читаем дальше. Рассмотрим неоднородное переменной плотности тело. Возможно, не всем понятен смысл функции плотности. Вычислить массу неоднородного тела, ограниченного поверхностями , если известна функция его плотности. Аналитическим методом уточним высоту, на которой параболоид пересекает цилиндр: Проекция сразу же наводит на мысль о переходе к цилиндрической системе координат: Порядок обхода тела очевиден: Подобно тому, как задача о вычислении центра тяжести плоской фигуры вычислялась с помощью двойного интеграла , задача об отыскании центра тяжести тела решается аналогичным способом с помощью тройного интеграла. Что такое центр тяжести тела, довольно удачно объяснил ещё Архимед. Если тело подвесить на нить за центр тяжести, то оно будет сохранять равновесие в любом положении как бы мы его предварительно ни повернули. В известной степени не реализуемо таки центр тяжести внутри тела , но зато очень понятно. И вполне в стиле древнегреческого учёного, который просил дать ему точку опоры, чтобы с помощью рычага перевернуть Землю. Если тело однородно золотое, серебряное, платиновое и т. Как видите, практически полная аналогия с центром тяжести плоской фигуры. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями ,. Выполнить чертежи данного тела и его проекции на плоскость. На чертеже уже поставлена готовая точка центра тяжести, однако, пока мы её не знаем. Его, кстати, можно узнать заранее, пользуясь известной задачей геометрии об объёме тетраэдра. Осталось аккуратно провести чистовые вычисления желающие могут потренироваться и выполнить их самостоятельно. В примерах с громоздкими преобразованиями рекомендую записывать решение столбиком — меньше шансов запутаться: Дело за тремя тройными интегралами. Ввиду симметрии тетраэдра две другие координаты должны получиться такими же. Теперь ошибочный ответ практически исключён! Отмечаем на чертеже найденную точку центра тяжести и её же записываем в ответ: Что осталось за кадром? В сетку урока не попала редко встречающая на практике сферическая система координат, в которой положение любой точки пространства однозначно определяется одним расстоянием и двумя углами. И до сферических координат у меня таки дошли пальцы в статье Дивергенция векторного поля. Вы постоянно сетовали на простоту примеров, и поэтому я просто не мог вам не рассказать о криволинейных и поверхностных интегралах, а также основах векторного анализа. Сверху тело ограничено эллиптическим параболоидом. Выберем следующий порядок обхода: Массу тела вычислим с помощью тройного интеграла, используя цилиндрическую систему координат: Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Какой цвет базы под макияж выбрать
Сброс воды на саратовской гэс 2017 график
Сигнализация инструкция leopard
Описание коляски рико нано 2 в 1
Вязание крючком круга по спирали
Характеристика реки амазонка по плану 7 класс
Как поменять пароль на wifi tp link
Сколько идут деньги с убрира на сбербанк
Челябинск сосиски в тесте
Гостиница история тула
Нейромидин 15 мг инструкция по применению
Калибр 22 лр
Российские боевики каталог
Цинкование в домашних условиях автомобиля
Глория джинс пермь каталог одежды пермь адреса