Теория вероятностей и математическая статистика: Сборник задач
Задания для самостоятельной работы
Сколько различных вариантов автономеров возможно для одного региона России?
Опыт проведения уроков, посвященных этому классу задач, подтвердил роль комбинаторных задач в развития мышления учащихся, формировании умения ставить проблему, выдвигать гипотезу решения и проверять её. Циклы с заранее известным числом повторений. В результате укрепляются межпредметные связи и учащиеся понимают, что информатика — это не только умение нажимать нужные кнопки в определенной ситуации, но и наука, тесно связанная с математикой. Многие поколения людей интересовали задачи, в которых необходимо было найти количество способов расположения множества объектов. Сколько существует различных автомобильных номеров? Сколько способов выбора маршрута из пункта А в пункт Б? Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги? Обозначим их А, В, С. На первое место мы можем поставить любую из трех книг, следовательно это можно сделать тремя способами, поставив книгу А, или В, или С. На второе место можно поставить любую из двух оставшихся, то есть имеем две возможности заполнить второе место на полке. На третье место ставим оставшуюся одну книгу: Получили граф в математике графами называют геометрические фигуры, состоящие из точек-вершин, и линий, их соединяющих, - рёбер , называемый деревом. Точка О — вершина графа. Двигаясь от вершины к правым крайним точкам дерева, получаем все шесть возможных размещений. Основным различием этих размещений служит порядок объектов ; изменение порядка дает другое размещение. На первое место мы можем поместить А, либо В, либо С. Следовательно, первое место на полке может быть заполнено тремя способами: Для каждого из этих трех способов заполнения первого места есть 2 варианта заполнения второго места, так как можно поставить любую из оставшихся 2-х книг: После заполнения первого и второго места остается одна книга, следовательно, для каждого из шести вариантов заполнения 1-го и 2-го места остается один вариант заполнения 3-го места: Подобные размещения называются линейными, так как они подобны упорядочению точек на прямой. В отличие, например, от расположения цветов в вазе. Пусть имеется три экземпляра книги А, три экземпляра книги В и три экземпляра книги С. Сколькими различными способами можно расставить на полке три книги? Экземпляры считаем неразличимыми между собой. Вспомним второй способ решения предыдущей задачи. Как и раньше, общее количество перестановок найдем умножением: Приведенный выше способ рассуждения допускает обобщение, и мы получаем удобный универсальный метод решения задач на перестановки. Пусть необходимо выполнить одно за другим какие-то k действий. Номер автомобиля состоит из пяти мест, на первом — буква, затем — три цифры, за ними еще две буквы. Сколько существует автомобильных номеров? На первое место можно поставить любую из 30 букв. На второе — любую из ти цифр, на третье — также любую из 10 цифр. По правилу умножения имеем: Такое количество номеров автомобилей может быть выдано ГАИ в Саратовской области! Пусть имеются два действия, первое из которых может быть выполнено m способами, а второе — n способами. При решении этих задач следует использовать правило умножения. Имеются три различных флага. На флагштоке поднимается сигнал, состоящий не менее чем из двух флагов. Сколько различных сигналов можно поднять на флагштоке, если порядок флагов в сигнале учитывается? Условимся первым действием считать подъем на флагштоке двух флагов, а вторым действием — трех флагов. Поэтому общее количество способов равно. Решим еще одну задачу. Правило умножения дает общий метод нахождения числа перестановок множества объектов. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначается n! Сколькими способами из семи книг можно отобрать три и расставить их на три места на полке? Запишем это выражение, используя символ факториала: По правилу умножения все m мест можно заполнить. Из этой формулы следует, что. Задача состоит в том, чтобы найти число перестановок из 15 букв по 4. Согласно теореме 1, количество перестановок из 15 букв по 4 равно. Сколькими способами можно отобрать три книги из четырех, обозначенных A, B, C и D без учета их порядка. Из предыдущих уроков известно, что число перестановок из четырех различных книг по три равно. В этих перестановках размещениях учитывается порядок книг. Если порядок не учитывать, то существует только четыре возможных выбора: ABC, ABD, ACD, BCD. Таким образом, в перестановках порядок элементов учитывается, а в сочетаниях не учитывается. Понятно, что необходимость учитывать или нет порядок элементов диктуется условиями поставленной задачи. Если мы расставляем книги на полке, то естественно порядок их учитывать. Если несколько человек становятся в очередь к кассе, то порядок важен, а если эти же люди собираются в приемную комиссию вуза, то порядок не важен, если все члены комиссии равноправны. Рассмотрим список 1 , в котором представлены все возможные наборы из четырех книг по три. Переставляя всеми способами книги в каждом наборе, мы получим, что любому набору из трех книг соответствует шесть перестановок этих книг, то есть 3! Выпишем их в таблицу: Колода игральных карт насчитывает 52 различные карты. Сколькими способами можно сдать 13 карт на руки одному игроку? По 13 карт двум игрокам? Сколькими способами можно отобрать несколько книг не менее одной из пяти одинаковых учебников алгебры и четырех одинаковых учебников геометрии? Так как учебники алгебры все одинаковые и учебники геометрии тоже одинаковые, то можно взять либо один, либо два, либо три, либо четыре, либо пять, либо ни одного учебника алгебры. Следовательно учебники алгебры можно отобрать 6 способами. Рассуждая так же, придем к выводу, что учебники геометрии можно отобрать пятью способами. Но среди них будет один, когда мы не отберем ни одного учебника, и его надо исключить, поэтому: Рассмотрим некоторый определенный объект этого множества. Общее число сочетаний получается сложением числа сочетаний, содержащих рассматриваемый объект, с числом сочетаний, в которых он не содержится, поскольку никакой другой случай невозможен. В этом доказательстве применяется правило сложения, а не умножения. Правило Паскаля дет простой способ построения таблицы значений , известной как треугольник Паскаля. В таблице 1 показана часть этого треугольника для значений n от 0 до Строки таблицы соответствуют значениям n, а столбцы — значениям r. Любой другой элемент таблицы, согласно правилу Паскаля, равен сумме элемента, который стоит непосредственно над ним , и элемента, стоящего над ним слева. Выше были рассмотрены размещения множеств таких объектов, которые отличались один от другого. Чему будет равно число возможных перестановок множества объектов, если в этом множестве некоторые объекты одинаковы? Ясно, что если какие-то объекты множества невозможно отличить друг от друга, то число всех возможных перестановок объектов этого множества уменьшается. Если бы буквы а различались между собой, то, как уже известно, существует 5! Сведем эту задачу к известной, а именно будем временно считать, что все буквы а разные. Обозначим неизвестное нам число перестановок х. Обозначим три буквы а так: Переставляя эти три буквы, получим 3! Так же мы рассуждали, когда находили. Обобщая вышесказанное, получим следующую теорему: Перестановки объектов с повторениями. Тогда общее число перестановок данного множества n элементов равно. Число перестановок в случае двух типов объектов. Если множество из n элементов состоит из r элементов одного типа и n-r элементов другого типа, то число перестановок данного множества из n объектов равно. Можно дать другое доказательство этой теоремы. Количество способов, которыми можно отобрать r мест для размещения объектов А из всех n мест, равно , после чего эти объекты можно расположить на выбранных местах одним способом. Следовательно, общее число размещений равно. По теореме 6 общее число перестановок из этих букв будет равно. Так как порядок гласных не может быть изменен, то гласные нельзя переставлять между собой; поэтому в этой задаче их можно считать неразличимыми. Таким образом задача сводится к нахождению числа всех возможных перестановок из девяти букв по девяти, причем пять из этих букв совпадают. В силу теоремы 6 это число равно. Надо разместить 9 букв на 9 подряд идущих мест. Места для гласных можно выбрать способами, и, после того как это сделано, их можно поставить на выбранные места одним способом — в заранее указанном порядке. Следовательно, общее число перестановок этих букв равно. Дано n букв А и r букв Б. Сколько различных слов можно образовать из этих букв так, чтобы каждое слово содержало все n букв А? Соответствующие количества слов будут: Так как эти случаи взаимно исключают друг друга, то по правилу сложения имеем общее число слов равным такой сумме: Эта сумма равна , что можно показать последовательным применением правила Паскаля: Оператор цикла является важнейшим оператором любого языка программирования. Тело цикла может содержать либо один оператор, либо последовательность операторов, заключенных в операторные скобки Begin.. Вычислим сумму натуральных чисел от 1 до n. Число n зададим в разделе описания констант. Проверьте результат работы программы. Измените программу так, чтобы число n вводилось с клавиатуры. Измените программу так, чтобы сумма вычислялась с помощью цикла For.. Вычислим количество перестановок из n элементов, которое, как известно, равно n!. Измените программу так, чтобы число n вводилось с клавиатуры и n! Выигрывал тот, кто составит больше слов. Количество таких перестановок по правилу умножения равно N 3. Точно также можно поступить при поиске слов из 4-х букв и т. Опыт показывает, что большинство учащихся хорошо усваивают понятия комбинаторики и успешно решают предложенные задачи. Сколькими способами могут стать 8 человек к театральной кассе? Поскольку количество человек ограничено, то по правилу умножения количество способов равно: Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 6, 7, 8, если никакую цифру не использовать более одного раза? Сколько среди этих чисел будет четных? Так как четными будут те числа, которые оканчиваются на 2,4,6 и 8, то будем рассуждать так: Рассуждая таким же образом, получаем количество нечетных чисел: В пассажирском поезде девять вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде четырех человек при условии, что все они поедут в разных вагонах? В классе тридцать одноместных парт. Сколькими способами можно рассадить на них шестерых школьников? Энциклопедия состоит из девяти томов — с первого по девятый. Сколькими способами её можно поставить на полке в беспорядке, то есть так, чтобы тома не следовали один за другим в порядке их номеров? Сколько существует пятизначных чисел? Сколько среди них таких, которые начинаются цифрой 2 и заканчиваются цифрой 4? Которые не содержат цифры 5? Которые делятся на 5? Таких, которые начинаются цифрой 2 и заканчиваются цифрой 4 согласно правилу умножения: Таких, которые не содержат цифры 5: Таких чисел, которые делятся на 5: Для последней цифры всего два варианта: Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С — три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С? Бросают игральную кость с шестью гранями и запускают волчок, имеющий 8 граней. Сколькими различными способами могут они упасть? На вершину горы ведут семь дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и потом спуститься с неё? Решить задачу при условии, что спуск и подъем выполняются по разным дорогам. Если же выполнить условие, то для спуска будет на одну дорогу меньше, поэтому: При решении этих задач следует использовать правила умножения и сложения. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из пяти цифр, если первая из них не равна нулю? По правилу умножения, учитывая, что первая цифра не равна 0, получаем: Сколько существует различных автомобильных номеров, если номер состоит из одной буквы, за которой следуют четыре цифры, отличные от нуля? Тогда по правилу умножения количество номеров: Сколько существует различных автомобильных номеров, если номер состоит из одной русской буквы, за которой следует три цифры, а за ними еще две буквы? Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если две определенные книги должны всегда стоять рядом? Две книги, которые должны стоять рядом, будем считать одной книгой. Так как всего возможностей 7! Три дороги соединяют города А и В, четыре дороги соединяют В и С. Сколькими способами можно совершить поездку из А в С через В и вернуться в А тоже через В? У нас есть три письма, каждое из которых можно послать по шести различным адресам. Второе — по любому из пяти оставшихся, а третье по одному из оставшихся четырех. Сколькими способами их восьми человек можно отобрать комиссию, состоящую из пяти членов? Так как в комиссии порядок её членов не играет роли, то способов -. Работодателю нужны пять сотрудников, а к нему с предложением своих услуг обратились десять человек. Сколькими способами он может выбрать среди них пятерых? При отборе сотрудников порядок не играет роли, поэтому количество способов отбора -. Сколькими способами можно отобрать несколько фруктов из семи яблок, четырех груш и девяти бананов? Яблоки мы можем отобрать так: Рассуждая так же, для груш возможностей выбора — 5, для бананов — Вычли 1, так как выбор, при котором не отобрано ни одного фрукта, надо исключить. Рассуждая так же, как в предыдущей задаче, имеем: На окружности выбраны десять точек. Сколько можно провести хорд с концами в этих точках? Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках? Так как порядок выбора двух точек в качестве концов хорд и трех точек — вершин треугольников, не важен, то хорд - , а треугольников -. Выпуклых десятиугольников — один. Рассуждая так же, получим: Десять кресел поставлены в ряд. Пар кресел, расположенных рядом, , , , , , , , , — 9. Следовательно, способов выбора тоже 9. Сколько чисел, заключающихся между и , содержат цифру 3? Слово содержит 8 букв. Сколько шестизначных цифр можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если каждое число должно состоять из трех чётных и трёх нечётных цифр, причём никакая цифра не входит в число более одного раза? Выбираем три четных составляющих: В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает из неё яблоко или апельсин, после чего Надя берет и яблоко, и апельсин. В каком случае Надя имеет большую свободу выбора, если Ваня взял яблоко или если он взял апельсин? Надя имеет большую свободу выбора, если у неё больше вариантов выбора. Остается сравнить эти числа: Найти число перестановок, образованных из всех букв слова комиссия. В слове 8 букв, причем повторяются две буквы: Сколько различных десятизначных чисел можно получить, используя в их написании цифры ? По теореме 6 имеем: Сколько различных перестановок можно образовать из всех букв слова перестановка? Поэтому общее количество перестановок, по теореме 6, равно. Поэтому по теореме 6 число перестановок равно. Сколькими способами можно разложить в один ряд 13 различных карт, если определенные 10 карт должны идти в заранее выбранном порядке? Поскольку 10 карт должны идти в определенном порядке, то в данной задаче их можно считать неразличимыми. Поэтому количество перестановок по теореме 6 равно. Найти число различных способов, которыми можно выписать в один ряд шесть плюсов и четыре минуса. Так как один из этих знаков повторяется 5 раз, а второй — 4 раза, то по теореме 6 имеем: Найти число всех возможных перестановок букв слова зоология. В слове 8 букв. Среди них три буквы повторяются. Поэтому, по теореме 6, имеем общее количество перестановок: Если три буквы стоят рядом, то их можно считать одной буквой. Поэтому повторений будет 2 и количество перестановок равно. Сколько чисел, больших , можно написать при помощи цифр 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3? Условие задачи означает, что числа должны начинаться с цифры 3. Поэтому, по теореме 6, количество перестановок будет: Сколькими способами можно расположить в один ряд пять красных мячей, четыре черных мяча и пять белых мячей так, чтобы мячи, лежащие по краям, были одного цвета? Рассмотрены основные методы решения комбинаторных задач: Презентация к первому уроку комбинаторики в 7 классе. Учебное пособие для 5 — 9 классов общеобразовательных учреждений Социальная сеть работников образования ns portal. Детский сад Начальная школа Школа НПО и СПО ВУЗ. Главная Группы Мой мини-сайт Ответы на часто задаваемые вопросы Поиск по сайту Сайты классов, групп, кружков Сайты образовательных учреждений Сайты пользователей Форумы. Поиск по библиотеке Алгебра Астрономия Биология География Геометрия Дополнительное образование Естествознание Изобразительное искусство Иностранные языки Информатика и ИКТ История Коррекционная педагогика Краеведение Литература Материалы для родителей МХК Музыка ОБЖ Обществознание Право Природоведение Психология Родной язык и литература Русский язык Технология Физика Физкультура и спорт Химия Экология Экономика Администрирование школы Внеклассная работа Классное руководство Материалы МО Материалы для родителей Материалы к аттестации Междисциплинарное обобщение Общепедагогические технологии Работа с родителями Социальная педагогика Сценарии праздников Аудиозаписи Видеозаписи Разное. Комбинаторные задачи в программировании. Правило умножения Многие поколения людей интересовали задачи, в которых необходимо было найти количество способов расположения множества объектов. Для описанного типа размещений введем специальное название. Понятие факториала Рассмотрим следующую задачу. Из предыдущих рассуждений следует: В которых эти буквы не стоят рядом? Эти рассуждения можно обобщить: Перестановки с повторениями Выше были рассмотрены размещения множеств таких объектов, которые отличались один от другого. Задачи При решении этих задач следует использовать правила умножения и сложения. Поэтому общее количество перестановок, по теореме 6, равно б Т. Поэтому по теореме 6 число перестановок равно 4. Поэтому повторений будет 2 и количество перестановок равно 7. Новосибирск, Наука, 3. Рабочая программа элективного курса "Элементы комбинаторики",7 класс Бунимович Е. ABC ABD ACD BCD. ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA ABD, ADB, BAD, BDA, DBA, DAB ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB.
Вязанные пальтодля женщин схемыи модели
Продукты для игры в магазин своими руками
Открытие файлов pdf на андроид
Pdf инструкция стиральная
Как написать просьбув администрацию города образец
Карты на игру frozen throne
Состояние и движение основных средств предприятия
Костюм своими руками
Диета стол номер 6
Пройти тест пдд украина
Как рассчитывается стаж работы для пенсии
Сорина критическое мышление история и современный статус
Тип способа производства
Как сделать маникюр под гель лак
Борис костяев характеристика