Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.
Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Первая часть.
Обратная матрица
У Вас есть замечания, вопросы по изложенному материалу, или же Вы просто хотите оставить свой отзыв? В конце каждой статьи доступны комментарии. Также Ваши пожелания и предложения можно отправлять на почту, ICQ или аккаунт VK. Для чтения этой темы желательно, хоть и не обязательно, ознакомиться с темой "Система линейных алгебраических уравнений. Матричная форма записи" , а также с темой "Базисные и свободные переменные. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений". Для начала стоит вспомнить, что такое однородные системы линейных алгебраических уравнений. В теме "Система линейных алгебраических уравнений. Матричная форма записи" вопрос классификации систем осуществлялся подробно, здесь же лишь вкратце напомню основные термины. Итак, система линейных алгебраических уравнений СЛАУ называется однородной , если все свободные члены этой системы равны нулю. Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение — нулевое его ещё называют тривиальное , в котором все переменные равны нулю. Получим два верных равенства:. Однако следствие из теоремы Кронекера-Капелли однозначно указывает на то, что если СЛАУ имеет решение, то есть только два варианта. Либо это решение единственно и тогда СЛАУ называют определённой , либо этих решений бесконечно много такую СЛАУ именуют неопределённой. Одно нулевое или бесконечность? Та однородная СЛАУ, которая рассмотрена выше, имеет не только нулевое решение. Отсюда, кстати, следует вывод: Эту матрицу тоже называют решением СЛАУ. Итак, для любой однородной СЛАУ имеем: Теперь можно вернуться к вопросу о количестве решений однородной СЛАУ. Для однородных СЛАУ он означает, что система имеет только нулевое решение. Этот случай уже был рассмотрен в теме "Базисные и свободные переменные. Общее и базисное решения СЛАУ". По сути, однородные СЛАУ — это всего лишь частный случай системы линейных уравнений, поэтому вся терминология базисные, свободные переменные и т. Что такое базисные и свободные переменные? Напомню, что такой минор называется базисным. Базисных миноров может быть несколько. Теперь можно дать следующее определение:. В примерах я покажу наиболее часто используемый способ выбора. С однородными СЛАУ связано дополнительное понятие — фундаментальная система решений. Часто вместо словосочетания "фундаментальная система решений" используют аббревиатуру "ФСР". Что значит "линейно независимые решения"? В данной ситуации под решением понимается матрица-столбец, в которой перечислены значения неизвестных. Проще всего пояснить это определение на конкретном примере. Давайте рассмотрим ту СЛАУ, о которой шла речь в начале темы. Если система является неопределённой, указать фундаментальную систему решений. Итак, мы имеем однородную СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая однородная система не может иметь единственное решение чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли. Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:. Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк. И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Для начала выберем базисные переменные. Какие именно переменные ведь у нас их 4 штуки принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, то есть на "ступеньках". Что это за "ступеньки" показано на рисунке:. В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные — прошу раскрыть примечание. Это говорит о том, что все миноры данной матрицы , порядок которых выше 2, либо равны нулю, либо не существуют. Ненулевые миноры есть только среди миноров второго порядка. Выберем какой-либо ненулевой минор второго порядка. Так как в преобразованной матрице системы побольше нулей, то будем работать именно с нею. Как видите, выбор базисных переменных не является однозначным. В чём это удобство состоит, будет видно чуток позже. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные. Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:. Что вообще значит это перенесение столбцов? Перейдём от матрицы к уравнениям. Если опять записать полученную систему в виде матрицы, то мы и получим матрицу с перенесёнными за черту столбцами. А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:. Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Нами найдено общее решение заданной однородной СЛАУ. Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения. Теперь найдем фундаментальную систему решений. Для нахождения ФСР составим таблицу. В первой строке таблицы будут перечислены переменные: Всего в таблице будут три строки. Таблица будет выглядеть так:. Теперь будем заполнять свободные ячейки. Начнём со второй строки. Таким образом таблица будет заполнена полностью:. Из второй и третьей строки таблицы мы и запишем ФСР. Матрица неизвестных для нашей системы такова: Общее решение можно записать теперь так: Или в развёрнутом виде:. Записать общее решение с помощью ФСР. Так же, как и в предыдущем примере, составим ФСР. Продолжение этой темы рассмотрим во второй части , где разберём ещё один пример с нахождением общего решения и ФСР. Главная Онлайн-обучение Высшая математика Цены Заказ Блог Форум. Теперь можно дать следующее определение: Комментарии можно оставлять посредством ВКонтакте или без аккаунта ВК.
На нашем сайте собрано более бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике. Не можете решить контрольную?! Более 20 авторов выполнят вашу работу от руб! Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных , называется основной матрицей системы или матрицей системы:. Матрица , полученная из основной матрицы, дописыванием справа столбца свободных членов, называется расширенной матрицей СЛАУ:. Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения администрации портала и при наличие активной ссылки на источник. Онлайн калькуляторы На нашем сайте собрано более бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике. Справочник Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание! Заказать решение Не можете решить контрольную?! Главная Онлайн калькуляторы Справочник Примеры решений Заказать решение О проекте. Примеры решения систем методом Крамера Теорема Кронекера-Капелли Метод обратной матрицы Решение матриц методом Гаусса Обратная матрица. Главная Справочник Матрицы Расширенная матрица. Сервисы Онлайн калькуляторы Справочник Примеры решений Заказать решение Учебные статьи. SolverBook О проекте Задать вопрос Контакты Карта сайта. Выписать основную и расширенную матрицы следующей системы линейных уравнений.
Можно ли сдать экзамен в другом городе
Как твои дела на французском языке
Отказ от детского сада образец
Результаты узи ктр
Инструкция по эксплуатации заз 968м