Линейные задачи оптимизации: Учебное пособие. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами
Решение задачи оптимального управления
Линейное программирование
Систему можно стабилизировать, поскольку полюса замкнутой системы могут быть произвольно расположены на комплексной плоскости; кроме того, путем соответствующего выбора полюсов в левой половине комплексной плоскости можно обеспечить как угодно быструю сходимость к нулевому состоянию. Однако, чтобы повысить быстродействие системы, необходимо иметь входную переменную большой амплитуды. В любой практической задаче амплитуда входной переменной должна быть ограничена, и это налагает ограничение на возможное перемещение полюсов замкнутой системы в левой полуплоскости. Эти соображения приводят к постановке задачи оптимизации, в которой одновременно учитываются скорость перехода системы в нулевое состояние и величина амплитуды входной переменной. Чтобы поставить эту задачу оптимизации, отложим рассмотрение вопроса о размещении полюсов и обратимся к нему в разд. Рассмотрим линейную систему с постоянными параметрами, описываемую дифференциальным уравнением состояния и исследуем задачу перевода этой системы из произвольного начального состояния в нулевое состояние с максимальной скоростью вразд. Существует много критериев скорости перехода системы из начального состояния в нулевое; весьма эффективным является квадратический интегральный критерий Здесь неотрицательно определенная симметрическая матрица. Величина является мерой отклонения состояния системы в момент t от нулевого состояния; весовая матрица определяет вес каждой из компонент состояния. В используемых линейных моделях обычно имеем Если в реальной задаче управляемая переменная обращается в нуль с максимально возможной скоростью, то критерий 3. Легко показать, что 3. Чтобы преодолеть эту трудность, учтем входную переменную в критерии и рассмотрим выражение где — положительно определенная симметрическая весовая матрица. Учет второго члена в критерии приводит к снижению амплитуды входной переменной, если попытаться, насколько это возможно, уменьшить общую величину выражения 3. Вклад каждого из двух членов в критерии определяется матрицами Если необходимо обеспечить максимальную близость терминального состояния к нулевому состоянию, то в отдельных случаях целесообразно дополнить критерий 3. Теперь можно сформулировать задачу детерминированного линейного оптимального регулятора. Рассмотрим линейную систему с постоянными-параметрами где с управляемой переменной Рассмотрим также критерий где — неотрицательно определенная симметрическая матрицау — положительно определенные симметрические матрицы при. Тогда задача определения входной переменной при которой критерий минимален, называется задачей детерминированного линейного оптимального регулятора. В этой главе, как и во всей книге, предполагается, что есть непрерывная функция — кусочно-непрерывные функции и все эти матричные функции ограничены. Задача синтеза регулятора с постоянной настройкой является специальным случаем. Если все матрицы в постановке задачи детерминированного линейного оптимального регулятора постоянны, то эту задачу будем называть детерминированной задачей линейного оптимального регулятора с постоянными параметрами. Продолжим в этом разделе дальнейшее обсуждение постановки задачи регулирования. Во-первых, учтем, что в этой задаче, как указывалось в определении 3. Постановка задачи не включает возмущений или эталонной переменной, которую необходимо отслеживать; эти более сложные случаи обсуждаются в разд. Значительные трудности создает выбор весовых матриц в критерии 3. Обычно можно определить интегральную квадратическую ошибку регулирования, интегральную квадратическую входную переменную и взвешенную квадратическую терминальную ошибку. Интегральная квадратическая ошибка регулирования описывается выражением где весовая матрица, обеспечивающая соответствующую размерность и физический смысл Выбор таких весовых матриц рассматривался в гл. Интегральная квадратическая входная переменная выражается в виде где вееовая матрица определяется аналогичным образом. И наконец, взвешенная квадратическая терминальная ошибка равна где — соответствующая весовая матрица. Теперь будут рассмотрены следующие задачи. Минимизация интегральной квадратической ошибки регулирования при ограничении максимальной величины интегральной квадратичеекой входной переменной и взвешенной квадратической терминальной ошибки. Минимизация взвешенной квадратической терминальной ошибки при ограничении максимальной величины интегральной квадратической входной переменной и интегральной квадратической ошибки регулирования. Минимизация интегральной квадратической входной переменной при ограничении максимальной величины интегральной квадратической ошибки регулирования и взвешенной квадратической терминальной ошибки. Все эти задачи можно исследовать, минимизируя критерий где константы выбираются соответствующим образом Рис. Изменение интегральной квадратической; ошибки регулирования в зависимости от интегральной квадратической величины входного воздействия при Выражение 3. Рассмотрим, например, весьма важный случай, когда терминальная ошибка несущественна и необходимо минимизировать интегральную ошибку регулирования при интегральной квадратической входной переменной, которая непревышает определенной величины. Поскольку терминальная ошибка не учитывается, примем Так как минимизируется интегральная квадратическая ошибка регулирования, примем Рассмотрим, таким образом, минимизацию величины Скаляр теперь играет роль множителя Лагранжа. Чтобы определить соответствующую величину решим задачу при различных значениях. В результате получим график, приведенный на рис. При уменьшении результирующая интегральная квадратическая ошибка убывает, а интегральная квадратическая входная переменная возрастает. Из этого графика можно определить величину при которой ошибка регулирования достаточно мала, а значения входной переменной не очень велики. С помощью этого же графика можно решить задачу минимизации интегральной квадратической входной переменной при ограниченной величине интегральной квадратической ошибки регулирования. Другие варианты задачи можно решить аналогичным образом. Видно, что задача регулирования, сформулированная в определении 3. В следующих разделах будет показано, что решение задачи регулирования может быть дано в форме линейного закона управления, который имеет несколько полезных свойств. Это делает задачу исследования интересной и практически целесообразной. Задача стабилизации угловой скорости В качестве первого примера рассмотрим задачу стабилизации: Объект состоит из двигателя постоянного токаг управляемого входным напряжением с угловой скоростью вала. Система описывается скалярным дифференциальным уравнением состояния где а и х — известные константы. Рассмотрим задачу стабилизации угловой скорости вращения относительно заданной величины При постановке общей задачи управления начало координат пространства состояний выбиралось в равновесной точке. Так как в рассматриваемой задаче заданное равновесное положение равно сдвинем начало координат. Пусть является постоянным входным напряжением, которому соответствует величина угловой скорости в установившемся состоянии. Тогда связаны соотношением Введем теперь новую переменную состояния Тогда из 3. Управляемой переменной С в этой задаче, очевидно, является состояние Выберем в качестве критерия оптимальности выражение при. Этот критерий гарантирует, что отклонения относительно нуля ограничены [т. Используем следующие значения а и Пример 3. Управление положением В примере 2. Система описывается дифференциальным уравнением состояния где компонентами являются угловое положение и угловая скорость а входная переменная представляет собой напряжение на входе усилителя постоянного тока, который управляет двигателем. Предположим, что необходимо обеспечить постоянное положение Как и в предыдущем примере, сдвинем начало координат пространства состояний, чтобы получить обычную задачу регулирования. Введем новую переменную состояния с компонентами Простая подстановка показывает, что удовлетворяет дифференциальному уравнению состояния Отметим, что в отличие от предыдущего примера не требуется определять новую входную переменную. Это следует из того факта, что можно обеспечить любое постоянное угловое положение при нулевой входной переменной. Так как система 3. Для управляемой переменной выберем угловое положепие Соответствующий критерий оптимальности имеет вид Положительный скалярный коэффициент определяет относительный вес каждого члена в подынтегральном выражепии. При этом используются следующие значения х: ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 1. Описание состояния линейных систем 1. Решение дифференциальных уравнений состояния линейных систем 1. Анализ систем с постоянными параметрами на основе преобразования Лапласа 1. Дуальность линейных систем 1. Канонические формы фазовой переменной 1. Векторные стохастические процессы 1. Реакция линейных дифференциальных систем на белый шум 1. Формулирование задач управления 2. Устойчивость систем управления 2. Анализ точности слежения в установившемся режиме 2. Анализ переходных процессов в следящих системах 2. Влияние возмущений в скалярном случае 2. Влияние шума наблюдений в скалярном случае 2. Влияние неопределенности параметров объекта в скалярном случае 2. Разомкнутая установившаяся эквивалентная схема управления 2. Улучшение динамических свойств линейных систем с помощью обратной связи 3. Задача детерминированного линейного оптимального управления 3. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ РИККАТИ 3. Установившееся решение задачи построения детерминированного линейного оптимального регулятора 3. Численное решение уравнения Риккати 3. МЕТОД КАЛМАНА — ЭНГЛАРА 3. РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ НЬЮТОНА—РАФСОНА 3. Задачи стохастического линейного оптимального регулирования и слежения 3. Системы регулирования и следящие системы с ненулевыми заданными точками и постоянными возмущениями 3. Асимптотические свойства оптимальных законов управления с постоянными параметрами 3. Чувствительность линейных систем управления с обратной связью по состоянию 3. Дуальность оптимального наблюдателя и оптимального регулятора. Установившиеся свойства оптимального наблюдателя 4. Регулирование линейной системы при неполных измерениях 5. Оптимальные линейные регуляторы при неполных измерениях, содержащих шум 5. Линейные оптимальные следящие системы с неполными и неточными измерениями 5. Системы регулирования и следящие системы с ненулевыми заданными точками и постоянными возмущениями 5. Чувствительность оптимальных линейных систем управления с постоянными параметрами 5. Линейные оптимальные регуляторы пониженной размерности с обратной связью по выходной переменной 5. Теория линейных дискретных систем 6. Анализ линейных дискретный систем управления 6. Оптимальные линейные дискретные системы управления с обратной связью по состоянию 6. Оптимальное линейное восстановление состояния линейных дискретных систем 6. Оптимальные линейные дискретные системы с обратной связью по выходной переменной 6. Существует много критериев скорости перехода системы из начального состояния в нулевое; весьма эффективным является квадратический интегральный критерий. Здесь неотрицательно определенная симметрическая матрица. Вклад каждого из двух членов в критерии определяется матрицами Если необходимо обеспечить максимальную близость терминального состояния к нулевому состоянию, то в отдельных. Постановка задачи не включает возмущений или эталонной переменной, которую необходимо. Все эти задачи можно исследовать, минимизируя критерий где константы выбираются соответствующим образом. Управляемой переменной С в этой задаче, очевидно, является состояние. Выберем в качестве критерия оптимальности выражение при. Оглавление Предисловие к русскому, изданию Предисловие авторов 1.
Вы используете устаревшую версию браузера. Пожалуйста, обновите ваш браузер , чтобы улучшить впечатление от пользование нашим ресурсом. В учебном пособии рассматриваются задачи теории оптимального управления линейными динамическими объектами. В частности, подробно исследован случай управления с терминальным критерием качества и случай управления по критерию предельного быстродействия. Изучается возможность сведения задачи теории оптимального управления к функциональной проблеме моментов. Вывод необходимых условий оптимальности управляющих воздействий опирается на математический аппарат выпуклого анализа. Указываются эффективные достаточные условия оптимальности программных управлений. Само построение оптимальных управлений осуществляется либо аналитическим путем, либо с применением систем аналитических вычислений, реализуемых в интерактивном режиме на ЭВМ. Весь излагаемый материал поясняется на примерах, большинство из которых решено с применением пакета MATHEMATICA 4. В Вашем браузере отключён или не поддерживается JavaScript, функциональность ресурса ограничена! Избранное Каталог Библиотеки ВУЗов Порталы Новости Отзывы ДОБАВИТЬ РЕСУРС. Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра. Изображения картинки, формулы, графики отсутствуют. Федеральная университетская компьютерная сеть РФ. Федеральный портал "Российское образование". Отдых для детей и подростков в России. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Малое инновационное предприятие "Информика - сервис". Главная Каталог Избранное Порталы Библиотеки ВУЗов Отзывы Новости Разработчикам сайтов Рекламодателям Контакты Карта сайта.
Промышленные дренажные насосы
Буря в арктике 2010
Каталог магазина семишагофф санкт петербург
Где в новосибирске сделать мрт позвоночника
Карта sim usim не обнаружена или неисправна