Математик может говорить все, что взбредет ему в голову, но физик обязан сохранять хотя бы крупицу здравого смысла. Американский физик, XIX в. Мощность и энергия сигналов. Понятия мощности и энергии в теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отражающими определенные свойства сигналов и динамику изменения их значений во времени, в пространстве или по любым другим аргументам. Для произвольного, в общем случае комплексного, сигнала мгновенная мощность по определению равна квадрату функции его модуля, для вещественных сигналов - квадрату функции амплитуд. Энергия сигнала, также по определению, равна интегралу от мощности по всему интервалу существования или задания сигнала. Энергия сигналов может быть конечной или бесконечной. Конечную энергию имеют финитные сигналы и сигналы, затухающие по своим значениям в пределах конечной длительности, которые не содержат дельта-функций и особых точек разрывов второго рода и ветвей, уходящих в бесконечность. В противном случае их энергия равна бесконечности. Бесконечна также энергия периодических сигналов. Частотное представление применяется не только для спектрального анализа сигналов, но и для упрощения вычислений энергии сигналов и их корреляционных характеристик. Энергия сигнала равна интегралу от мощности по всему интервалу существования сигнала. По существу, мгновенная мощность является плотностью мощности сигнала, так как измерения мощности возможны только через энергию, выделяемую на определенных интервалах ненулевой длины:. Сигнал s t изучается, как правило, на определенном интервале Т для периодических сигналов - в пределах одного периода Т , при этом средняя мощность сигнала:. Понятие средней мощности может быть распространено и на незатухающие сигналы, энергия которых бесконечно велика. В случае неограниченного интервала Т строго корректное определение средней мощности сигнала производится по формуле:. Энергия суммы двух произвольных сигналов u t и v t определяется выражением: Как следует из этого выражения, энергии сигналов, в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Его называют скалярным произведением сигналов: Скалярное произведение обладает следующими свойствами: Линейное пространство сигналов с таким скалярным произведением называется гильбертовым пространством Н. Для комплексного гильбертова пространства скалярное произведение также представляет собой вещественное число и вычисляется по формуле: Дискретные сигналы обычно рассматриваются в пространстве Евклида обозначение пространства - R 2. Скалярное произведение двух сигналов в пространстве Евклида:. Из очевидной однозначности энергии взаимодействия сигналов независимо от формы их математического представления в динамической и частотной модели следует выражение для скалярного произведения произвольных вещественных сигналов u t и v t через спектральные плотности сигналов U w и V w в комплексном гильбертовом пространстве:. В общем случае, за исключением спектров четных функций, взаимные энергетические спектры также являются комплексными функциями:. С учетом четности реальной части и нечетности мнимой части энергетических спектров, интеграл мнимой части выражения 7. Плотности энергии сигналов W f приведены в относительных единицах плотности энергии суммарного сигнала W z f на нулевой частоте. Как видно из графиков, плотности энергии сигналов являются вещественными неотрицательными функциями и содержат только реальные части. В отличие от них, плотность взаимной энергии сигналов является комплексной функцией, при этом модуль плотности по своим значениям на шкале частот соизмерим со средними значениями плотности энергии сигналов на этих частотах и не зависит от их взаимного расположения на временной оси. Для сигналов, одинаковых по форме, модуль взаимной плотности равен значениям плотности энергии сигналов. Однако при постоянном значении модуля взаимной энергии сигналов действительная и мнимая функции спектра мощности существенно изменяются при изменении сдвига между сигналами. При незначительной величине временного перекрытия сигналов частота осцилляций реальной и мнимой части плотности взаимной энергии достаточно велика, а относительный коэффициент затухания колебаний уменьшение амплитудных значений от периода к периоду достаточно мал. Соответственно, при вычислении скалярного произведения по формуле 7. Соответственно, возрастает и энергия взаимодействия сигналов. При полном перекрытии сигналов при нулевом фазовом угле между сигналами осцилляции исчезают, и энергия взаимодействия сигналов максимальна. Если функция s t имеет фурье-образ S w , то плотность мощности сигнала спектральная плотность энергии сигнала определяется выражением:. Спектр мощности W w - вещественная неотрицательная четная функция, которую обычно называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектральной плотности сигнала, не содержит фазовой информации о его частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности. Последнее позволяет получить выражение для энергетического спектра непосредственно из выражений 7. В пределе, для одинаковых сигналов u t и v t при сдвиге D t Ю 0, мнимая часть спектра W uv w стремится к нулевым значениям, а реальная часть — к значениям модуля спектра. При полном временном совмещении сигналов имеем:. Равенство очевидно, так как координатное и частотное представления по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия двух сигналов:. Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:. В целом ряде чисто практических задач регистрации и передачи сигналов энергетический спектр сигнала имеет весьма существенное значение. Периодические сигналы переводятся в спектральную область в виде рядов Фурье. Запишем периодический сигнал с периодом Т в виде ряда Фурье в комплексной форме:. Соответственно, средняя мощность периодического сигнала равна сумме квадратов модулей коэффициентов его ряда Фурье:. Как правило, спектры сигналов с крутыми фронтами например, кодовых сигналов при передаче цифровых данных являются многолепестковыми с постепенным затуханием энергии в последовательных лепестках. Пример нормированного энергетического спектра прямоугольного импульса длительностью t и приведен на рис. Спектры выполнены в линейном сплошная линия и логарифмическом пунктир масштабе по оси значений. Для четкого разделения лепестков функции спектров приведены по безразмерной частотной переменной f Ч t и. Интегрированием энергетического спектра по интервалам лепестков спектра нетрудно вычислить, что в пределах первого лепестка сосредоточено Если форма сигналов в пункте их приема детектирования существенного значения не имеет, а регистрация сигналов идет на уровне статистических шумов, равномерно распределенных по всему частотному диапазону, то такие сигналы целесообразно пропускать через фильтр нижних частот с выделением только первого энергетического лепестка сигнала. Естественно, что при этом фронты регистрируемого сигнала будут сглажены. Но при расширении полосы пропускания фильтра на два или три лепестка энергия принимаемого сигнала будет увеличена соответственно на 4. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие для вузов. Радио и связь, Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. Знаете ли Вы, почему "черные дыры" - фикция? Согласно релятивистской мифологии, "чёрная дыра - это область в пространстве-времени, гравитационное притяжение которой настолько велико, что покинуть её не могут даже объекты, движущиеся со скоростью света в том числе и кванты самого света. Граница этой области называется горизонтом событий, а её характерный размер - гравитационным радиусом. В простейшем случае сферически симметричной чёрной дыры он равен радиусу Шварцшильда". На самом деле миф о черных дырах есть порождение мифа о фотоне - пушечном ядре. Этот миф родился еще в античные времена. Математическое развитие он получил в трудах Исаака Ньютона в виде корпускулярной теории света. Корпускуле света приписывалась масса. Из этого следовало, что при высоких ускорениях свободного падения возможен поворот траектории луча света вспять, по параболе, как это происходит с пушечным ядром в гравитационном поле Земли. Отсюда родились сказки о "радиусе Шварцшильда", "черных дырах Хокинга" и прочих безудержных фантазиях пропагандистов релятивизма. Впрочем, эти сказки несколько древнее. В году математик Пьер Симон Лаплас писал: Фотон - это квантованная электромагнитная волна, то есть даже не объект, а процесс. А процессы не могут иметь веса, так как они не являются вещественными объектами. Это всего-лишь движение некоторой среды. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике. НОВОСТИ ФОРУМА Рыцари теории эфира.
При передаче радиосигналов главное внимание уделяется передаче информации, а не энергии. Энергия сигнала, рассматриваемого на интервале времени , является величина , 1. Такие характеристики дают определенное представление о детерминированном сигнале и достаточны для решения целого ряда задач теории связи.
https://gist.github.com/9bbd69912693107aa2317348b572ed1c
https://gist.github.com/298c592696150aea087b9a667c3483b2
https://gist.github.com/7bb52dfeaefe4bb488f5a2026a69a2f9