Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Решите систему нелинейных уравнений/
Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
Решение систем нелинейных уравнений
Решение нелинейных систем уравнений. Часть 2
Для решения электроэнергетических задач существует несколько моди-фикаций метода. Они позволяют увеличить скорость сходимости итераци-онного процесса и уменьшить время расчета. Идея метода состоит в последовательной замене на каждой итерации расчета исходной нелинейной системы уравнений некоторой вспомогатель-ной линейной системой уравнений, решение которой позволяет получить очередное приближение неизвестных, более близкое к искомому решению линеаризация. Задаем начальное приближение неиз-вестной х 0. Определяем значение функции в этой точке w х 0 и проводим касательную к кривой в точке В. Точка пересечения этой касательной с осью абсцисс определяет сле-дующее приближение неизвестной х 1 и т. Разложим уравнение 1 в ряд Тейлора в окрестностях точки х 0. Рас-смотрим члены разложения, содержащие только 1-ю производную:. Если определим её, то сможем определить и следующее приближение. Из 2 определяем поправку 3. Это рекуррентная формула метода Ньютона для решения нелинейных уравнений. Она позволяет определять очередные приближения неизвестных. Итерационный процесс сходится, если уменьшается и приближается к 0. Итерационный шаг метода сводится к замене кривой на прямую, ко-торая описывается левой частью уравнения 2. Она является касательной к кривой в точке. Этот процесс называется линеаризацией. Точка пере-сечения касательной к кривой с осью х дает очередное приближение неиз-вестной. Поэтому этот метод называется методом касательных. Для того, чтобы определить этим методом все корни нелинейного урав-нения, нужно любым способом определить приблизительное расположение этих корней и задать начальные приближения в близи них. Итерационный процесс Ньютона не сходится , если начальные приближения выбраны так, что:. Рафсон показал, что итерационный метод Ньютона, предложенный для решения одного нелинейного уравнения , можно использовать для решения систем нелинейных уравнений. При этом, для решения систем нелинейных уравнений нужно вместо од-ной неизвестной рассматривать совокупность вектор неизвестных:. Одна производная в 6 замещается матрицей производных. Операция деления в 6 замещается умножением на обратную матрицу производных. В этом случае метод Ньютона-Рафсона отличается от метода Ньютона пере-ходом от одномерной задачи к многомерной. Пусть - начальные приближения неизвестных. Разложим каждое уравнение системы 7 в ряд Тейлора в окрестности точки Х 0 , то есть выполним приближенную замену исходных нелинейных уравнений линей-ными, в которых сохраняется только 1-я производная линеаризация. В ре-зультате система уравнений 7 принимает вид:. В результате получили систему линейных уравнений линеаризованная система , в которой неизвестными являются поправки. Коэф-фициенты при неизвестных в этой системе — первые производные от урав-нений w j исходной нелинейной системы по всем неизвестным Х i. Они обра-зуют матрицу коэффициентов — матрицу Якоби:. Каждая строка матрицы состоит из первых производных от очередного урав-нения нелинейной системы по всем неизвестным. Здесь - вектор невязок уравнений исходной системы. Его эле-менты получаем при подстановке в уравнения нелинейной системы очеред-ных приближений неизвестных;. Ее элементами являются первые частные про-изводные от всех уравнений исходной системы по всем неизвестным;. На каждой итерации он может быть записан:. Система 13 - линеаризованная система уравнений, которой заменяется исходная СНАУ на каждом шаге итерационного процесса. Система 13 решается любым известным способом, в результате находим вектор поправок. Затем из 11 можем найти очередные приближения неизвестных:. Из 11 и 12 можно получить общую рекуррентную формулу в матричном виде , соответствующую методу Ньютона—Рафсона:. Формула 15 в практических расчетах используется редко , так как здесь нужно обращать матрицу Якоби большой размерности на каждой итерации расчетов. В реальных расчетах поправки определяются в результате решения линейной системы Задание вектора начальных приближений неизвестных. Определение невязок нелинейных уравнений в точке приближения ;. Определение элементов матрицы Якоби в точке очередного прибли-жения неизвестных ;. Решение линеаризованной системы 13 любым известным методом. Определение поправок к неизвестным. Определение очередного приближения неизвестных в соответ-ствии с Контроль завершения итерационного процесса в соответствии с Если условие не выполняется, то возврат к пункту 2. Нелинейное уравнение установившегося режима в форме баланса мощ-ности для -го узла имеет вид:. Это уравнение с комплексными неизвестными и коэффициентами. Для того, чтобы такие уравнения вида 17 можно было решать методом Ньюто-на-Рафсона, их преобразуют: В результате этого каждое комплексное уравнение вида 17 распадается на два действительных уравнения, которые соответствуют балансу активной и ре-активной мощности в узле:. Здесь -заданные мощности в узле;. В правой части уравнений 18 - расчетная суммарная мощность пере-токов в ветвях, подходящих к -му узлу. Невязки уравнений 19 соответствует расчетному небалансу активной и реактивной мощности в -ом узле. Будем решать методом Ньютона-Рафсона систему 2n уравнений вида 19 , то есть для решения задачи расчета установившегося режима электри-ческой сети методом Ньютона - Рафсона нужно:. Получили систему 2 нелинейных уравнений невязок с 2 неизвест-ными, которыми. Неизвестными в ней являются составляющие напряжения - модули и углы. Для решения системы 20 методом Ньютона-Рафсона нужно составить вспомогательную линеаризованную систему уравнений вида 13 , решая ко-торую на каждой итерации, определяем поправки к неизвестным:. Их значения получаем при подстановке в уравнения очередных приближений неизвестных;. Для определения элементов матрицы Якоби применяем аналитическое дифференцирование , то есть дифференцируем каждое уравнение системы 20 по искомым величинам — углам и модулям напряжений. Чтобы сформировать матрицу Якоби, нужно получить аналитические выражения для производных следующих видов:. Аналогично определяются ещё четыре вида производных — производные от уравнений невязки реактивной мощности го узла по всем неизвестным:. Определим аналитические выражения для производных, дифференци-руя уравнения системы 20 по неизвестным величинам. Матрица Якоби в общем случае - квадратная матрица, симметричная, размерностью , её элементами являются частные производные от невязок уравнений небаланса мощностей по всем неизвестным. Если узлы не связаны между собой, то соответствующие произ-водные в матрицы матрице Якоби, расположенные вне диагонали, будут равны нулю аналогично матрице проводимостей — так как в соответствующих форму-лах 24 взаимная проводимость y ij является сомножителем и. Наличие в схеме моделируемой сети особых узлов опорные и балансирую-щие узлы, узлы ФМ сказывается на структуре системы уравнений устано-вившегося режима и на структуре матрицы Якоби:. Для узлов с фиксацией модуля напряжения ФМ , в которых заданы и неизвестными являются и , из матрицы Якоби исключается стро-ка производных так как Q i не задана, то и уравнение баланса реак-тив-ной мощности 18 , 19 составить нельзя и столбец производных так как модуль напряжения U i известен и он исключается из состава неизвест-ных. Это матрицы-клетки частных производных небалансов активной и реактив-ной мощностей по неизвестным углам и модулям напряжений. Очередное приближение неизвестных можно, также, получить с использо-ванием итерационной формулы метода Ньютона-Рафсона, аналогичной Задание начальных значений неизвестных напряжений. В ка-честве начальных приближений принимаем: Определение невязок уравнений в соответствии с уравнениями 20 при очередных приближениях неизвестных;. Определение элементов матрицы Якоби в соответствии с 24 при очередных приближениях неизвестных;. Решение линеаризованной системы уравнений 25 и определение поправок к неизвестным ;. Определение очередных приближений неизвестных в соответствии с 26 ;. Если условие не выполняется, то возврат к пункту 3 и повторение рас-чета при новых приближениях неизвестных. Матрицу Якоби рассчитывают один раз при начальных значениях неизвест-ных. На последующих итерациях она принимается постоянной. Это значи-тельно сокращает объем вычислений на каждой итерации, но увеличивает ко-личество итераций. Производные вида очень малы и их значениями можно прине-бречь. В результате, в матрице Якоби остаются два блока - 1-й и 4-й, и сис-тема 25 , состоящая из уравнений, распадается на две независимые сис-темы размерностью. Каждая из этих систем решается отдельно от другой. Это приводит к сокращению объема вычислений и необходимой памяти ЭВМ. Главная О нас Обратная связь. Автоматизация Автостроение Антропология Археология Архитектура Астрономия Предпринимательство Биология Биотехнология Ботаника Бухгалтерский учет Генетика География Геология Государство Демография Деревообработка Журналистика и СМИ Зоология Изобретательство Иностранные языки Информатика Информационные системы Искусство История Кинематография Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Литература Логика Маркетинг Математика Математический анализ Материаловедение Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика ОБЖ Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Программирование Производство Промышленность Психология Радио Разное Социология Спорт Статистика Строительство Теология Технологии Туризм Усадьба Физика Физиология Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электротехника. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона Для решения электроэнергетических задач существует несколько моди-фикаций метода. Основное достоинство метода — он обладает быстрой сходимостью. Рассмотрим нелинейное уравнение в общем виде: Рас-смотрим члены разложения, содержащие только 1-ю производную: Из 2 определяем поправку 3 4 Тогда следующее приближение: Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы.
Карта мурома с улицами и номерами домов
Чем помазать ячмень на глазу
Техническая характеристика электрической плиты мармит опм 5
Системы нелинейных уравнений
Дорама перевод русская озвучка
Резинка на джинсы своими руками
Комсомолец кинотеатр расписание
Методы решения систем нелинейных уравнений. Алгебра
Инструкции по охране труда маляра
Побитое лицо сонник
2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Новости уфа завод
История войны в городе
Где написан номер диплома
Математический форум Math Help Planet
Сонник маленькая лошадка