Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований
Решение задач по электротехнике (ТОЭ)
Лекции по ТОЭ
Информационный проект для работников энергетических служб и студентов электротехнических вузов. Формулы, примеры решения задач: ТОЭ Электрические машины Высшая математика Теоретическая механика. Для схемы составить уравнение по первому закону Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю. Токи, направленные к узлу, берем со знаком плюс, а токи, направленные от узла, берем со знаком минус. В итоге запишем уравнение первого закона Кирхгофа, применительно к данной схеме: Для изображенного на рисунке контура составить уравнение по второму закону Кирхгофа. Или Алгебраическая сумма напряжений вдоль любого замкнутого контура равна нулю: При расчете электрической цепи число неизвестных токов равно числу ветвей в цепи p. По второму закону Кирхгофа составляется уравнений. В каждом контуре произвольно выбирают направление обхода контура. Напряжения и ЭДС в уравнении берут с положительным знаком, если направление напряжений, ЭДС и токов совпадает с направлением обхода контура. Выбираем направление обхода контура по часовой стрелке. Запишем для нашего контура уравнения по второму закону Кирхгофа: Токи в схеме методом контурных токов. Выберем направления всех контурных токов по часовой стрелке. Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток I 11 , в верхнем также по часовой стрелке — контурный ток I 22 , в правом также по часовой стрелке — контурный ток I Для каждого контура составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что по ветви cm с сопротивлением R 4 течет сверху вниз ток I cm равный , а по ветви am с сопротивлением R 5 течет сверху вниз ток I am равный. Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке. Определяем полное сопротивление первого контура: Определяем полное сопротивление второго контура: Определяем полное сопротивление третьего контура: Сопротивление смежной ветви между контурами входит в уравнение со знаком минус, если направления контурных токов вдоль этой ветви встречны, и со знаком плюс, если направления этих токов согласны. Сопротивление смежной ветви первого и второго контура: Сопротивление смежной ветви первого и третьего контура: Контурная ЭДС первого контура, равна алгебраической сумме ЭДС этого контура в нее со знаком плюс входят те ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода контура: Контурная ЭДС второго контура: Контурная ЭДС третьего контура: Применив второй закон Кирхгофа, составим систему уравнений для трех контуров в общем виде: Подставим в систему уравнений численные значения: Операции с матрицами, решение систем линейных уравнений, нахождение определителя с этими вычислениями качественно и быстро справляется он-лайн калькулятор, использованный при решении задачи 4. Главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, значит система совместна и определена. Используя формулы Крамера , находим единственное решение уравнений: Определяем токи в смежных ветвях: Токи в схеме методом узловых потенциалов. Число узлов схемы 3, нумеруем их, при этом один q 3 , произвольно выбранный, заземляем. Выбираем направления токов в ветвях: Обозначаем токи двумя индексами: Записываем выражения для токов в ветвях через потенциалы узлов: Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для тех узлов, потенциалы которых неизвестны q 1 , q 2: В уравнениях заменяем токи в ветвях выражениями для токов в ветвях через потенциалы узлов: Подставив в уравнения данные известных величин, получаем следующую систему уравнений: Умножив все члены уравнений на 10, после необходимых преобразований получаем удобную для расчетов систему уравнений: Применив метод Крамера , метод Гауcса , метод обратной матрицы или воспользовавшись матричным он-лайн калькулятором, решаем систему уравнений. Найденные значения потенциалов подставляем в формулы и находим, таким образом, искомые токи ветвей: Число узлов схемы равно трем, нумеруем их, при этом один, произвольно выбранный q 3 , заземляем. Его потенциал принимаем равным нулю. Определяем проводимость ветвей, сходящихся в узле q 1: Определяем проводимость ветвей, сходящихся в узле q 2: Проводимость ветви, содержащей источник тока равна 0, так как сопротивление источника тока равно бесконечности. Проводимость ветви, непосредственно соединяющей узлы q 1 и q 2 берем со знаком минус: Решаем полученную систему уравнений относительно потенциалов узлов. Определяем токи ветвей по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС: Для решения примера применяем метод эквивалентного генератора. Чтобы найти ЭДС эквивалентного генератора, предположим разрыв в ветви с сопротивлением R 5 так называемый режим холостого хода , значит ток в этой ветви равен 0. Получаем схему из двух замкнутых контуров с источникам ЭДС Е 1 , Е 2: По закону Ома находим токи в каждом контуре: Формула для определения напряжения холостого хода: Если принять потенциалы точек C и D равными 0: Подставив в формулу для определения напряжения холостого хода, значения потенциалов, получим: Если предположить, что ЭДС Е 1 и Е 2 равны нулю, то внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равно входному сопротивлению цепи со стороны точек А и В. Между точками А и С , В и D в этой схеме включены две пары ветвей, которые соединены между собой последовательно. Значит, можно записать, что Ом. Применив закон Ома для всей цепи определяем ток: Преобразование звезды в треугольник. Для определения входного относительно точек a и b сопротивления схемы необходимо выполнить ряд преобразований. Звезду, состоящую из сопротивлений R 4 , R 5 , R 6 , преобразуем в треугольник. В результате преобразований получаем схему: Параллельно включенные сопротивления заменяем эквивалентными: Определяем входное сопротивление схемы относительно точек a и b: На виде сбоку показаны силовые линии. В основной области поле однородно. На краях имеется некоторая неоднородность, которую учитывать не будем. Напряжение между электродами конденсатора: Охватим верхний электрод конденсатора замкнутой поверхностью на рисунке показан пунктиром и применим к ней теорему Гаусса: Значит, , а формула для определения емкости плоского конденсатора примет вид: Поток вектора имеет место через боковую поверхность, через торцы поток отсутствует, так как на торцах и взаимно перпендикулярны: Напряжение между электродами цилиндрического конденсатора: Получаем формулу для расчета емкости цилиндрического конденсатора: Вывести формулу для индуктивности цилиндрического провода длиной l радиусом R , обусловленной потокосцеплением в теле самого провода. На рисунке показан вид провода с торца. Пропустим вдоль провода постоянный ток I. По закону полного тока напряженность поля Н на расстоянии r от оси провода равна току , охваченному окружностью радиусом r и деленному на длину этой окружности: Магнитная энергия, запасенная в теле провода вычисляется по формуле: Получаем формулу индуктивности цилиндрического провода: Найти токи в схеме. Расчет цепи ведем по законам Кирхгофа. Определяем общее число ветвей: Определяем число ветвей с неизвестными токами: Находим число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа: Находим число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа: Произвольно наносим на схему номера и направления неизвестных токов Произвольно наносим на схему номера узлов: Составляем узловые уравнения для произвольно выбранных узлов — для узлов 3 и 1: Обозначаем на схеме контура и выбираем направления их обхода. Количество обозначаемых контуров равно количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа. При этом ни один из контуров не должен включать в себя ветвь с источником тока. Составляем контурные уравнения для выбранных контуров: Объединяем составленные уравнения в систему. Известные величины переносим в правую часть уравнений. Удобно, если токи в уравнении стоят по порядку возрастания индексов: Коэффициенты при искомых токах вносим в матрицу А левые части уравнений. Заполняем матрицу F , занося в нее правые части уравнений. Решаем полученную систему уравнений с помощью on-line калькулятора например Matrix calculator. О том, как решать системы линейных уравнений читайте здесь. Проверяем правильность решения составлением баланса мощностей. Подсчитываем мощность, потребляемую резистивными элементами схемы: Подсчитываем мощность источников ЭДС. При этом знак минус выбирают, если выбранное направление тока в ветви с источником и стрелка в источнике не совпадают: Подсчитываем мощность источников тока: Величина неизвестна, ее необходимо определить. Для этого выбирают любой контур, содержащий источник тока, и для этого контура составляется контурное уравнение. Направление стрелки напряжения всегда выбирают против тока источника. Далее из этого уравнения, в котором все величины уже известны, можно определить: Баланс мощностей соблюден, значит, решение верно. Примеры решения задач по физике здесь , решенные задачи из курса физики для школьников, абитуриентов и студентов. Теоретические основы электротехники — книги по ТОЭ. Проверить правильность решения практически любой задачи по электротехнике можно при помощи виртуальной лаборатории — Electronics Workbench. Еще одна программа, которая может быть полезна при решении задач — ТОЭ Super Solver-Circuit magic. ТОЭ Super Solver-Circuit magic — программа для студентов изучающих теоретические основы электротехники и основы теории цепей. Circuit magic предназначена для создания схем электрических цепей, расчета токов, напряжений, составления балансов мощности, построения и корректировки векторных диаграмм токов и напряжений. Circuit Magic производит расчет электрических цепей по законам Кирхгофа, методом контурных токов и методом узловых потенциалов. ТОЭ Super Solver-Circuit magic можно использовать в качестве редактора электрических схем и векторных диаграмм. Для вывода и оформления результатов расчета в состав Circuit Magic включен встроенный текстовый редактор. Посетить сайт программы Circuit Magic. Перейти к содержимому Сайт для электриков Информационный проект для работников энергетических служб и студентов электротехнических вузов Меню и виджеты. Содержание Дизельные электростанции Газопоршневые электростанции Трансформаторные подстанции Трансформаторы силовые Трансформаторы тока Трансформаторы напряжения Ремонт трансформаторов Конденсаторные установки Электродвигатели Ремонт электродвигателей Кабели силовые Кабели контрольные Провода Электрические аппараты Электротехнические материалы Электроизоляционные материалы Датчики Производители и поставщики Учебные заведения Вакансии в электроэнергетике Программы в электроэнергетике Журналы и статьи Правила в электроэнергетике Проверка знаний Учебные фильмы Справочники и пособия Нормы и стандарты Термины и определения Основы электротехники Выставки, форумы, мероприятия Карта сайта. ТОЭ Электрические машины Высшая математика Теоретическая механика Решение примеров по ТОЭ.
Элементы цепи синусоидального тока, векторные диаграммы и комплексные соотношения для них. Особенности составления матричных уравнений при наличии индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками. Применение векторных диаграмм для анализа несимметричных режимов. Мощность в трехфазных цепях. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчета переходных процессов. Последовательность расчета переходных процессов операторным методом. Переходные проводимость и функция по напряжению. Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора. Аналитические и итерационные методы расчета цепей постоянного тока. Особенности нелинейных цепей переменного тока. Графический метод расчета с использованием характеристик для мгновенных значений. Графические методы расчета с использованием характеристик по первым гармоникам и действующим значениям. Понятие об эквивалентном эллипсе, заменяющем петлю гистерезиса. Катушка и трансформатор с ферромагнитными сердечниками. Понятие о графических методах анализа переходных процессов в нелинейных цепях. Методы переменных состояния и дискретных моделей. Цепи с распределенными параметрами в стационарных режимах: Уравнения линии конечной длины. Определение параметров длинной линии. Входное сопротивление длинной линии. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами. Сведение расчета переходных процессов в цепях с распределенными параметрами к нулевым начальным условиям. Теоретические основы электротехники ТОЭ являются базовым общетехническим курсом для электротехнических и электроэнергетических специальностей вузов. Курс ТОЭ рассчитан на изучение в течение трех семестров и состоит из двух основных частей: Данный лекционный курс посвящен первой из указанных частей ТОЭ -теории линейных и нелинейных электрических и магнитных цепей. Содержание курса и последовательность изложения материала в нем в целом соответствуют программе дисциплины ТОЭ для электротехнических и электроэнергетических специальностей вузов. Цель данного курса состоит в том, чтобы дать студентам достаточно полное представление об электрических и магнитных цепях и их составных элементах, их математических описаниях, основных методах анализа и расчета этих цепей в статических и динамических режимах работы, то есть в создании научной базы для последующего изучения различных специальных электротехнических дисциплин. Задачи курса заключаются в освоении теории физических явлений, положенных в основу создания и функционирования различных электротехнических устройств, а также в привитии практических навыков использования методов анализа и расчета электрических и магнитных цепей для решения широкого круга задач. В результате изучения курса студент должен знать основные методы анализа и расчета установившихся процессов в линейных и нелинейных цепях с сосредоточенными параметрами, в линейных цепях несинусоидального тока, в линейных цепях с распределенными параметрами, основные методы анализа и расчета переходных процессов в указанных цепях и уметь применять их на практике. Знания и навыки, полученные при изучении данного курса, являются базой для освоения таких дисциплин, как: При изучении дисциплины предполагается, что студент имеет соответствующую математическую подготовку в области дифференциального и интегрального исчислений, линейной и нелинейной алгебры, комплексных чисел и тригонометрических функций, а также знаком с основными понятиями и законами электричества и магнетизма, рассматриваемыми в курсе физики. При подготовке лекционного курса были использованы известные учебники, сборники и пособия [1…12], а также методические разработки кафедры ТОЭЭ ИГЭУ. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. Линейные электрические цепи продолжение. Основы анализа электрических цепей. Основы теории линейных цепей. Нелинейные цепи и основы теории электромагнитного поля. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Основы анализа и расчета линейных электрических цепей: Методы расчета нелинейных цепей: Электромагнитные процессы, протекающие в электротехнических устройствах, как правило, достаточно сложны. Однако во многих случаях, их основные характеристики можно описать с помощью таких интегральных понятий, как: При таком подходе совокупность электротехнических устройств, состоящую из соответствующим образом соединенных источников и приемников электрической энергии, предназначенных для генерации, передачи, распределения и преобразования электрической энергии и или информации, рассматривают как электрическую цепь. Электрическая цепь состоит из отдельных частей объектов , выполняющих определенные функции и называемых элементами цепи. Основными элементами цепи являются источники и приемники электрической энергии сигналов. Электротехнические устройства, производящие электрическую энергию, называются генераторами или источниками электрической энергии , а устройства, потребляющие ее — приемниками потребителями электрической энергии. У каждого элемента цепи можно выделить определенное число зажимов полюсов , с помощью которых он соединяется с другими элементами. Различают двух —и многополюсные элементы. Двухполюсники имеют два зажима. К ним относятся источники энергии за исключением управляемых и многофазных , резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы. Многополюсные элементы — это, например, триоды, трансформаторы, усилители и т. Все элементы электрической цепи условно можно разделить на активные и пассивные. Активным называется элемент, содержащий в своей структуре источник электрической энергии. К пассивным относятся элементы, в которых рассеивается резисторы или накапливается катушка индуктивности и конденсаторы энергия. К основным характеристикам элементов цепи относятся их вольт-амперные, вебер-амперные и кулон-вольтные характеристики, описываемые дифференциальными или и алгебраическими уравнениями. Если элементы описываются линейными дифференциальными или алгебраическими уравнениями, то они называются линейными , в противном случае они относятся к классу нелинейных. Строго говоря, все элементы являются нелинейными. Возможность рассмотрения их как линейных, что существенно упрощает математическое описание и анализ процессов, определяется границами изменения характеризующих их переменных и их частот. Коэффициенты, связывающие переменные, их производные и интегралы в этих уравнениях, называются параметрами элемента. Если параметры элемента не являются функциями пространственных координат, определяющих его геометрические размеры, то он называется элементом с сосредоточенными параметрами. Если элемент описывается уравнениями, в которые входят пространственные переменные, то он относится к классу элементов с распределенными параметрами. Классическим примером последних является линия передачи электроэнергии длинная линия. Цепи, содержащие только линейные элементы, называются линейными. Наличие в схеме хотя бы одного нелинейного элемента относит ее к классу нелинейных. Условное графическое изображение резистора приведено на рис. Резистор — это пассивный элемент, характеризующийся резистивным сопротивлением. Последнее определяется геометрическими размерами тела и свойствами материала: В простейшем случае проводника длиной и сечением S его сопротивление определяется выражением. В общем случае определение сопротивления связано с расчетом поля в проводящей среде, разделяющей два электрода. Основной характеристикой резистивного элемента является зависимость или , называемая вольт-амперной характеристикой ВАХ. Если зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат см. Нелинейный резистивный элемент, ВАХ которого нелинейна рис. В частности безынерционному резистору ставятся в соответствие статическое и дифференциальное сопротивления. Условное графическое изображение катушки индуктивности приведено на рис. Катушка — это пассивный элемент, характеризующийся индуктивностью. Для расчета индуктивности катушки необходимо рассчитать созданное ею магнитное поле. Индуктивность определяется отношением потокосцепления к току, протекающему по виткам катушки,. В свою очередь потокосцепление равно сумме произведений потока, пронизывающего витки, на число этих витков , где. Основной характеристикой катушки индуктивности является зависимость , называемая вебер-амперной характеристикой. Для линейных катушек индуктивности зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат см. Нелинейные свойства катушки индуктивности см. Без учета явления магнитного гистерезиса нелинейная катушка характеризуется статической и дифференциальной индуктивностями. Конденсатор — это пассивный элемент, характеризующийся емкостью. Для расчета последней необходимо рассчитать электрическое поле в конденсаторе. Емкость определяется отношением заряда q на обкладках конденсатора к напряжению u между ними. В этом случае зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, см. У нелинейных диэлектриков сегнетоэлектриков диэлектрическая проницаемость является функцией напряженности поля, что обусловливает нелинейность зависимости рис. В этом случае без учета явления электрического гистерезиса нелинейный конденсатор характеризуется статической и дифференциальной емкостями. Свойства источника электрической энергии описываются ВАХ , называемой внешней характеристикой источника. Далее в этом разделе для упрощения анализа и математического описания будут рассматриваться источники постоянного напряжения тока. Однако все полученные при этом закономерности, понятия и эквивалентные схемы в полной мере распространяются на источники переменного тока. ВАХ источника может быть определена экспериментально на основе схемы, представленной на рис. Здесь вольтметр V измеряет напряжение на зажимах источника И, а амперметр А — потребляемый от него ток I, величина которого может изменяться с помощью переменного нагрузочного резистора реостата R Н. В общем случае ВАХ источника является нелинейной кривая 1 на рис. Она имеет две характерные точки, которые соответствуют:. Для большинства источников режим короткого замыкания иногда холостого хода является недопустимым. Токи и напряжения источника обычно могут изменяться в определенных пределах, ограниченных сверху значениями, соответствующими номинальному режиму режиму, при котором изготовитель гарантирует наилучшие условия его эксплуатации в отношении экономичности и долговечности срока службы. Это позволяет в ряде случаев для упрощения расчетов аппроксимировать нелинейную ВАХ на рабочем участке m-n см. Следует отметить, что многие источники гальванические элементы, аккумуляторы имеют линейные ВАХ. Уравнение 1 позволяет составить последовательную схему замещения источника см. На этой схеме символом Е обозначен элемент, называемый идеальным источником ЭДС. Напряжение на зажимах этого элемента не зависит от тока источника, следовательно, ему соответствует ВАХ на рис. На основании 1 у такого источника. Отметим, что направления ЭДС и напряжения на зажимах источника противоположны. Если ВАХ источника линейна, то для определения параметров его схемы замещения необходимо провести замеры напряжения и тока для двух любых режимов его работы. Существует также параллельная схема замещения источника. Для ее описания разделим левую и правую части соотношения 1 на. На этой схеме символом J обозначен элемент, называемый идеальным источником тока. Ток в ветви с этим элементом равен и не зависит от напряжения на зажимах источника, следовательно, ему соответствует ВАХ на рис. На этом основании с учетом 2 у такого источника , то есть его внутреннее сопротивление. Отметим, что в расчетном плане при выполнении условия последовательная и параллельная схемы замещения источника являются эквивалентными. Однако в энергетическом отношении они различны, поскольку в режиме холостого хода для последовательной схемы замещения мощность равна нулю, а для параллельной — нет. Кроме отмеченных режимов функционирования источника, на практике важное значение имеет согласованный режим работы, при котором нагрузкой RН от источника потребляется максимальная мощность. В заключение отметим, что в соответствии с ВАХ на рис. Может ли внешняя характеристик источника проходить через начало координат? Какой режим холостой ход или короткое замыкание является аварийным для источника тока? В чем заключаются эквивалентность и различие последовательной и параллельной схем замещения источника? Определить параметры последовательной схемы замещения источника и ток короткого замыкания. Вывести соотношения 3 и 4 и определить максимальную мощность, отдаваемую нагрузке, по условиям предыдущей задачи. Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы рис. Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле геометрии топологии соединений ветвей данные схемы идентичны. Т опологические геометрические свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь схем на рис. Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, называется графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви могут состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом. Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным. Подграфом графа называется часть графа, то есть это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе. Путь — это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути только один раз. Например, в схеме на рис. Таким образом, путь — это совокупность ветвей, проходимых непрерывно. Контур — замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Например, для графа по рис. Если между любой парой узлов графа существует связь, то граф называют связным. Дерево — это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа на рис. Ветви связи дополнения дерева — это ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа. Если граф содержит m узлов и n ветвей, то число ветвей любого дерева , а числа ветвей связи графа. Сечение графа — множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом. Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для нашего графа на рис. При этом получаем соответственно сечения, образованные ветвями и Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как не существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами. Выделяют три таких матрицы: Узловая матрица матрица соединений — это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы — ветвям схемы. Для графа на рис. Тогда запишем матрицу А Н , принимая, что элемент матрицы i —номер строки; j —номер столбца равен 1 , если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1 , если ориентирована к нему, и 0 , если ветвь j не соединена с узлом i. Сориентировав ветви графа на рис. Данная матрица А Н записана для всех четырех узлов и называется неопределенной. Обычно при расчетах один любой заземляют. Тогда приходим к узловой матрице А редуцированной матрице , которая может быть получена из матрицы А Н путем вычеркивания любой ее строки. Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для узлов , то есть числу уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа. Итак, введя понятие узловой матрицы А , перейдем к первому закону Кирхгофа. Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, то есть справедливо соотношение. Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S 2 графа на рис. Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что математически можно записать, как:. При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для m-1 узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно любое из них будет линейно зависимым от других, то есть не дает дополнительной информации. Как видим, в качестве узловой взята матрица А , а не А Н , так как с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для m-1 узлов. Контурная матрица матрица контуров — это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы В соответствуют контурам, а столбцы — ветвям схемы. Элемент b ij матрицы В равен 1 , если ветвь j входит в контур i и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1 , если не совпадает с направлением обхода контура, и 0 , если ветвь j не входит в контур i. Матрицу В , записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере см. Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность потенциалов между крайними точками этого участка, то есть. При этом при расчете цепей с использованием законов Кирхгофа записывается независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, то есть уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Таким образом, с учетом m-1 уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получаем систему из уравнений, что равно числу ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно. Матрица сечений — это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы — ветвям графа. Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений. Элемент q ij матрицы Q равен 1 , если ветвьвходит в i -е сечение и ориентирована согласно направлению сечения за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него , -1 , если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0 , если ветвь j не входит в i -е сечение. В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа на рис. При указанной на рис. В заключение отметим, что для топологических матриц А , В и Q , составленных для одного и того же графа, выполняются соотношения. Здесь 0 — нулевая матрица порядка. Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: Токи ветвей некоторой планарной цепи удовлетворяют следующей полной системе независимых уравнений:. Восстановив граф цепи, составить матрицы главных контуров и сечений, приняв, что ветвям дерева присвоены первые номера. Составить матрицу главных контуров для графа на рис. Представление синусоидальных величин с помощью векторов и комплексных чисел. Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения. В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися — переменными — токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ. Переменным током напряжением, ЭДС и т. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т. Для периодического тока имеем. Диапазон частот, применяемых в технике: Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:. Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m. Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:. Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей. Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов на плоскости декартовых координат. Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами. Величину , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз. Для синусоидальных ЭДС е 1 и е 2 угол сдвига фаз:. На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки в ТОЭ данное направление принято за положительное с угловой частотой, равной w. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е 1 и е 2 рис. Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны рис. Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Пусть, например, в точке разветвления цепи рис. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным. Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:. Представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов комплексными числами. Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов. К аждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в:. Например, ЭДС , изображенной на рис. В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:. Параметр является оператором поворота вектора на угол w t относительно начального положения вектора. Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:. Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:. При записи выражения для определенности было принято, что , то есть что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если задано мгновенное значение тока в виде , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем при необходимости по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:. Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма. Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. В соответствии с выражением 3 для действующего значения синусоидального тока запишем:. Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с предыдущим введем понятие комплекса действующего значения. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью векторов? Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с использованием комплексных чисел? В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью комплексов по сравнению с их векторным представлением? Элементы цепи синусоидального тока. Векторные диаграммы и комплексные соотношения для них. Идеальный резистивный элемент не обладает ни индуктивностью, ни емкостью. С оотношение 1 показывает, что ток имеет ту же начальную фазу, что и напряжение. Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:. Следовательно, соответствующие им векторы напряжения и тока см. Идеальный емкостный элемент не обладает ни активным сопротивлением проводимостью , ни индуктивностью. Однако в отличие от R данный параметр является функцией частоты, что иллюстрирует рис. Следовательно, уравнению 4 соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. Идеальный индуктивный элемент не обладает ни активным сопротивлением, ни емкостью. Пусть протекающий через него ток см. Тогда для напряжения на зажимах катушки индуктивности можно записать. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i , то на его экране идеальный индуктивный элемент будет иметь место картинка, соответствующая рис. Как и у емкостного элемента этот параметр является функцией частоты. Однако в данном случае эта зависимость имеет линейный характер, что иллюстрирует рис. Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим комплексам:. Следовательно, уравнению 6 соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. Последовательное соединение резистивного и индуктивного элементов. П усть в ветви на рис. На основании уравнения 7 могут быть построены треугольники напряжений см. Векторная диаграмма токов для данной цепи, называемая треугольником токов , приведена на рис. Ей соответствует уравнение в комплексной форме. Треугольник проводимостей , подобный треугольнику токов, приведен на рис. Необходимо отметить, что полученный результат аналогичен известному из курса физики выражению для эквивалентного сопротивления двух параллельно соединенных резисторов. Векторной диаграмме токов рис. Почему катушки индуктивности и конденсаторы не используются в цепях постоянного тока? В ветви на рис. Определить комплексное сопротивление ветви, если частота тока. В цепи на рис. Определить комплексные проводимость и сопротивление цепи для. Определить комплекс действующего значения напряжения на катушке. Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС. Формулы 1 и 2 являются аналитическим выражением закона Ома для участка цепи с источником ЭДС , согласно которому ток на участке цепи с источником ЭДС равен алгебраической сумме напряжения на зажимах участка цепи и ЭДС, деленной на сопротивление участка. В случае переменного тока все указанные величины суть комплексы. Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически — путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком — малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности. Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме. Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин. Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей это вытекает из закона Ома , то. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме. Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с n неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если воспользоваться специальными методами расчета , к которым относятся методы контурных токов и узловых потенциалов. Идея метода контурных токов: Число уравнений равно числу независимых контуров, то есть числу ветвей связи графа. Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Такие контуры называются независимыми. Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи. Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных направлений перед началом расчета может не определять действительные направления токов в цепи. П усть имеем схему по рис. Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров:. Следует обратить внимание на то, что, поскольку , коэффициенты контурных уравнений всегда симметричны относительно главной диагонали. Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в левых частях уравнений как известные контурные токи: Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал — величина относительная, потенциал одного из узлов любого принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно , то есть числу ветвей дерева. Пусть имеем схему по рис. Тогда значения токов на основании закона Ома для участка цепи с источником ЭДС. Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:. Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали. Если в подходящих к i - му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично. В заключение отметим, что выбор того или иного из рассмотренных методов определяется тем, что следует найти, а также тем, какой из них обеспечивает меньший порядок системы уравнений. При расчете токов при одинаковом числе уравнений предпочтительнее использовать метод контурных токов, так как он не требует дополнительных вычислений с использованием закона Ома. Метод узловых потенциалов очень удобен при расчетах многофазных цепей, но не удобен при расчете цепей со взаимной индуктивностью. В чем заключается сущность символического метода расчета цепей синусоидального тока? Методом контурных токов определить комплексы действующих значений токов ветвей. Рассчитать токи в ветвях, используя метод узловых потенциалов. Основы матричных методов расчета электрических цепей. Рассмотренные методы расчета электрических цепей — непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов — позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем. П ереходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме. В соответствии с рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно записать:. Формула 3 представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока обобщенной ветви. Соотношение 3 запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства. В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров В , записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам. Выражение 6 запишем следующим образом:. В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j —го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j —й ветви через контурные токи через токи ветвей связи. Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения. Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,. З апишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:. Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов. На основании полученного выше соотношения 4 , представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:. Умножив обе части равенства 14 на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому. Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А , равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:. Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов. В чем заключаются преимущества использования матричных методов расчета цепей? Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС. Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов. Составить контурные уравнения для цепи рис. Преобразование энергии в электрической цепи. Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока. Передача энергии w по электрической цепи например, по линии электропередачи , рассеяние энергии, то есть переход электромагнитной энергии в тепловую, а также и другие виды преобразования энергии характеризуются интенсивностью, с которой протекает процесс, то есть тем, сколько энергии передается по линии в единицу времени, сколько энергии рассеивается в единицу времени. Интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощностью р. Сказанному соответствует математическое определение:. Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет вид:. Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за , получим:. Итак, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока. Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место см. Такой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях соответственно индуктивных и емкостных элементов, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником двухполюснику в течение времени t равна. Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью. Принимая во внимание, что , из 3 получим:. Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной иначе двухполюсник будет генерировать энергию , поэтому , то есть на входе пассивного двухполюсника. Здесь напряжение и ток см. При идеальной индуктивности ток отстает от напряжения по фазе на. Поэтому в соответствии с 3 можно записать. Аналогичный характер имеют процессы и для идеальной емкости. Поэтому из 3 вытекает, что. Здесь происходит только циркуляция энергии: Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, которое называется реактивной мощностью. Она положительна при отстающем токе индуктивная нагрузка- и отрицательна при опережающем токе емкостная нагрузка-. Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют вольт-ампер реактивный ВАр. Из последнего видно, что реактивная мощность для идеальной катушки индуктивности пропорциональна частоте и максимальному запасу энергии в катушке. Аналогично можно получить для идеального конденсатора:. Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется понятие полной мощности: Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности. Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Тогда комплекс полной мощности:. К омплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей см. Применение статических конденсаторов для повышения cos. Как уже указывалось, реактивная мощность циркулирует между источником и потребителем. Реактивный ток, не совершая полезной работы, приводит к дополнительным потерям в силовом оборудовании и, следовательно, к завышению его установленной мощности. Следует указать, что подавляющее большинство потребителей электродвигатели, электрические печи, другие различные устройства и приборы как нагрузка носит активно-индуктивный характер. На этом основано применение конденсаторов для повышения. Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи. Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, то есть. В ТОЭ доказывается вследствие достаточной громоздкости вывода это доказательство опустим , что баланс соблюдается и для реактивных мощностей:. Почему необходимо стремиться к повышению коэффициента мощности? Определить активную, реактивную и полную мощности. Определить сопротивления R и XL элементов ветви. Определить сопротивления R и XL элементов цепи. Резонансы в цепях синусоидального тока. Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление входная проводимость вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением. Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами резонанс напряжений. Для цепи на рис. В цепи преобладает индуктивность, то есть , а следовательно,. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. В цепи преобладает емкость, то есть , а значит,. Этот случай отражает векторная диаграмма на рис. При этом, как следует из 1 и 2 ,. При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания. Пусть, например, в цепи на рис. Тогда , и, соответственно,. Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков. Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной. Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных элементов. Как показывает анализ уравнения 3 , режима резонанса можно добиться путем изменения параметров L и C, а также частоты. На основании 3 для резонансной частоты можно записать. Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q, определяемая отношением напряжения на индуктивном емкостном элементе к входному напряжению:. Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление , связанное с добротностью соотношением. Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами резонанс токов. Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рис. При этом, как следует из 8 и 9 ,. Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности при отсутствии в цепи на рис. Идентичность соотношений 3 и 5 указывает, что в обоих случаях резонансная частота определяется соотношением 4. Однако не следует использовать выражение 4 для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов. При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить из условия вещественности входного сопротивления входной проводимости цепи. Например, для цепи на рис. Общее число резонансных частот в цепи на единицу меньше количества индуктивных и емкостных элементов в схеме, получаемой из исходной путем ее сведения к цепи с помощью эквивалентных преобразований с минимальным числом этих элементов. Характерным при этом является тот факт, что режимы резонансов напряжений и токов чередуются. В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. Выражение входного сопротивления данной цепи имеет вид. На основании каких условий в общем случае определяются резонансные частоты? Определить резонансную частоту и добротность контура. Какие условия необходимы и достаточны, чтобы в цепи на рис. Определить резонансную частоту для цепи на рис. Векторные и топографические диаграммы. Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения, токи и т. Векторные диаграммы наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы искомых величин. Приближенное качественное построение диаграмм при аналитическом решении служит надежным контролем корректности хода решения и позволяет легко определить квадрант, в котором находятся определяемые векторы. При построении векторных диаграмм для цепей с последовательным соединением элементов за базовый отправной вектор следует принимать вектор тока см. Для цепей с параллельным соединением элементов за базовый отправной вектор следует принять вектор напряжения см. Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы. Они представляют собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной плоскости, отображающие их потенциалы. На топографической диаграмме, представляющей собой в принципе векторную диаграмму, порядок расположения векторов напряжений строго соответствует порядку расположения элементов в схеме, а вектор падения напряжения на каждом последующем элементе примыкает к концу вектора напряжения на каждом предыдущем элементе. При построении векторной диаграммы зададимся масштабами токов и напряжений см. Векторную диаграмму можно строить, имея запись комплекса в показательной форме, то есть по значениям модуля и фазы. Однако на практике удобнее проводить построения, используя алгебраическую форму записи, поскольку при этом вещественная и мнимая составляющие комплексной величины непосредственно откладываются на соответствующих осях комплексной плоскости, определяя положение точки на ней. Построение векторной диаграммы токов осуществляется непосредственно на основании известных значений их комплексов. Для построения топографической диаграммы предварительно осуществим расчет комплексных потенциалов другой вариант построения топографической диаграммы предполагает расчет комплексов напряжений на элементах цепи с последующим суммированием векторов напряжений вдоль контура непосредственно на комплексной плоскости. При построении топографической диаграммы обход контуров можно производить по направлению тока или против. Чаще используют второй вариант. Если на пути обхода встречается источник ЭДС, то потенциал искомой точки будет равен потенциалу предыдущей плюс величина этой ЭДС, если направление обхода совпадает с направлением ЭДС, и минус величина ЭДС, если не совпадает. Это вытекает из того, что напряжение на источнике ЭДС имеет направление, противоположное ЭДС. Обозначив на схеме по рис. Таким образом, в результате проведенных вычислений получено, что. Но разность потенциалов точек е и а равно напряжению U, приложенному к цепи, а оно равно В. Таким образом, второй закон Кирхгофа выполняется, а следовательно, вычисления выполнены верно. В соответствии с полученными результатами строится топографическая диаграмма на рис. Следует обратить внимание на ориентацию векторов, составляющих топографическую диаграмму, относительно векторов тока: В заключение заметим, что векторы напряжений ориентированы относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек электрической цепи. В этой связи допускается не указывать на топографической диаграмме направления векторов напряжений. Потенциальная диаграмма применяется при анализе цепей постоянного тока. Она представляет собой график распределения потенциала вдоль участка цепи или контура, при этом по оси абсцисс откладываются сопротивления резистивных элементов, встречающихся на пути обхода ветви или контура, а по оси ординат — потенциалы соответствующих точек. Таким образом, каждой точке рассматриваемого участка или контура соответствует точка на потенциальной диаграмме. Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на примере схемы на рис. Для выбора масштаба по оси абсцисс просуммируем сопротивления резисторов вдоль рассматриваемого контура: Таким образом, координаты точек потенциальной диаграммы: С учетом выбранных масштабов на рис. Для упрощения расчета и повышения наглядности анализа сложных электрических цепей во многих случаях рационально подвергнуть их предварительному преобразованию. Очевидно, что преобразование должно приводить к упрощению исходной схемы за счет уменьшения числа ее ветвей и или узлов. Такое преобразование называется целесообразным. При этом при любых способах преобразований должно выполняться условие неизменности токов в ветвях участков схемы, не затронутых этими преобразованиями. Из последнего вытекает, что, если преобразованию подвергаются участки цепи, не содержащие источников энергии, то мощности в исходной и эквивалентной схемах одинаковы. Если в преобразуемые участки входят источники энергии, то в общем случае мощности в исходной и преобразованной цепях будут различны. Рассмотрим участок цепи на рис. При расчете внешней по отношению к этому участку цепи данную ветвь можно свести к виду на рис. В ряде случаев могут встретиться схемы, соединения в которых нельзя отнести ни к последовательному, ни к параллельному типу см. В таких случаях преобразования носят более сложный характер: Преобразовать треугольник в звезду — значит заменить три сопротивления, соединенных в треугольник между какими-то тремя узлами, другими тремя сопротивлениями, соединенными в звезду между теми же точками. При этом на участках схемы, не затронутых этими преобразованиями, токи должны остаться неизменными. Построить потенциальные диаграммы для левого и внешнего контуров цепи рис. Полагая в цепи на рис. Определить входное сопротивление цепи на рис. Определить сопротивления ветвей треугольника, эквивалентного звезде между узлами a,c и d в цепи на рис. Определить сопротивления ветвей звезды, эквивалентной треугольнику в цепи на рис. Анализ цепей с индуктивно связанными элементами. Электрические цепи могут содержать элементы, индуктивно связанные друг с другом. В том случае, когда изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе цепи, говорят, что эти два элемента индуктивно связаны , а возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степень индуктивной связи элементов характеризуется коэффициентом связи. С леует отметить, что всегда к Пусть имеем две соосные катушки в общем случае с ферромагнитным сердечником см. Витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукции Ф11 , а витки второй катушки — с магнитным потоком взаимной индукции Ф21, который отличается от Ф11 Ф21 ;. Если теперь наоборот пропустить ток i 2 по второй катушке, то соответственно получим. Практически даже различные витки одной и той же катушки пронизываются разными потоками. Рассмотрим цепь переменного тока на рис. П ри изменении тока i в цепи в катушках индуцируются ЭДС само- и взаимоиндукции. При этом ЭДС взаимной индукции должна по закону Ленца иметь такое направление, чтобы препятствовать изменению потока взаимной индукции. Тогда, если в цепи протекает гармонически изменяющийся ток , то в первой катушке индуцируется ЭДС. Катушки можно включить так, что ЭДС самоиндукции будет суммироваться с ЭДС взаимоиндукции; при переключении одной из катушек ЭДС взаимоиндукции будет вычитаться из ЭДС самоиндукции. Один из зажимов каждой катушки на схеме помечают, например точкой или звездочкой. Этот знак означает, что при увеличении, например, тока в первой катушке, протекающего от точки, во второй катушке индуцируется ЭДС взаимоиндукции, действующая от другого конца к точке. Различают согласное и встречное включения катушек. При согласном включении токи в катушках одинаково ориентированы по отношению к их одноименным зажимам. При этом ЭДС само- и взаимоиндукции складываются — случай, показанный на рис. При встречном включении катушек токи ориентированы относительно одноименных зажимов различно. В этом случае ЭДС само- и взаимоиндукции вычитаются. Таким образом, тип включения катушек согласное или встречное определяются совместно способом намотки катушек и направлении токов в них. Одним из важнейших элементов электрических цепей является трансформатор, служащий для преобразования величин токов и напряжений. В простейшем случае трансформатор состоит из двух гальванически несвязанных и неподвижных катушек без ферромагнитного сердечника. Такой трансформатор называется воздушным. Наличие ферромагнитного сердечника обусловило бы нелинейные свойства трансформатора. В трансформаторе энергия из первичной цепи передается во вторичную посредством магнитного поля. Если в первичной цепи под действием напряжения источника возникает переменный ток, то во вторичной цепи за счет магнитной связи катушек индуцируется ЭДС, вызывающая протекание тока в нагрузке. По второму закону Кирхгофа для первичной и вторичной цепей трансформатора можно записать. Таким образом, согласно 13 воздушный трансформатор со стороны первичной обмотки может рассматриваться как двухполюсник с сопротивлением. Б аланс мощностей в цепях с индуктивно связанными элементами. Для данной цепи можно записать. Тогда для комплексов полных мощностей первой и второй ветвей соответственно можно записать:. Соотношение 16 показывает, что активная мощность передается от первой катушки ко второй. При этом суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимной индукцией, равна нулю, так как. Это означает, что на общий баланс активной мощности цепи индуктивно связанные элементы не влияют. Таким образом, общее уравнение баланса мощностей с учетом индуктивно связанных элементов имеет вид. Расчет разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности может быть осуществлен путем составления уравнений по законам Кирхгофа или методом контурных токов. Непосредственное применение метода узловых потенциалов для расчета таких цепей неприемлемо, поскольку в этом случае ток в ветви зависит также от токов других ветвей, которые наводят ЭДС взаимной индукции. В качестве примера расчета цепей с индуктивно связанными элементами составим контурные уравнения для цепи на рис. Ч тобы обойти указанное выше ограничение в отношении применения метода узловых потенциалов для расчета рассматриваемых схем можно использовать эквивалентные преобразования, которые иллюстрируют схемы на рис. При этом верхние знаки ставятся при согласном включении катушек, а нижние — при встречном. Запишите уравнения воздушного трансформатора, нарисуйте его схему замещения. Какие методы расчета можно использовать для анализа цепей с индуктивно связанными элементами? Записать уравнения для расчета цепи на рис. Записать контурные уравнения для цепи на рис. С использованием эквивалентной замены индуктивных связей записать узловые уравнения для цепи на рис. Рассчитать входное сопротивление на рис. Матрицы сопротивлений и проводимостей для цепей со взаимной индукцией. Как было показано ранее см. В общем случае разветвленной цепи со взаимной индукцией матрица сопротивлений ветвей имеет вид. Матрица проводимостей ветвей в цепях со взаимной индукцией определяется согласно. Зная матрицы и Y , можно составить контурные уравнения, а также узловые, то есть в матричной форме метод узловых потенциалов распространяется на анализ цепей с индуктивно связанными элементами. Следует отметить, что обычно не все ветви схемы индуктивно связаны между собой. В качестве примера составим матрицы Z и Y для схемы на рис. Для принятой нумерации ветвей матрица сопротивлений ветвей. В качестве примера матричного расчета цепей с индуктивными связями запишем контурные уравнения в матричной форме для цепи рис. Для заданной цепи составим граф см. Подставив найденные выражения в , окончательно получим. Составление матричных соотношений при наличии ветвей с идеальными источниками. В цепи могут иметь место ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС или тока. При записи уравнений без использования матричных соотношений такие ветви не вносят каких-либо особенностей в их составление. Однако, если уравнения записываются по второму закону Кирхгофа в матричной форме или используется матричная форма контурных уравнений, то в матрице сопротивлений ветвей Z ветвям, содержащим идеальные источники тока, будут соответствовать диагональные элементы. Поэтому при наличии таких ветвей исходная схема перед составлением уравнений должна быть подвергнута соответствующему преобразованию, иллюстрируемому рис. Может быть другой случай, когда уравнения в матричной форме записываются по первому закону Кирхгофа или используется матричная форма узловых уравнений, а в цепи имеют место ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС. Для таких ветвей соответствующие им диагональные элементы матрицы Y будут равны. Поэтому при наличии таких ветвей исходную схему перед составлением уравнений необходимо подвергнуть преобразованию, поясняемому рис. Здесь участок исходной цепи см. В чем заключается особенность нумерации ветвей графа при наличии индуктивных связей? Какие особенности имеют место при составлении матричных соотношений для цепей, содержащих ветви с идеальными источниками? Приняв, что дерево образовано ветвью 1, составить контурные уравнения в матричной форме и определить токи ветвей. Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей. Выбор того или иного метода расчета электрической цепи в конечном итоге определяется целью решаемой задачи. Поэтому анализ линейной цепи не обязательно должен осуществляться с помощью таких общих методов расчета, как метод контурных токов или узловых потенциалов. Ниже будут рассмотрены методы, основанные на свойствах линейных электрических цепей и позволяющие при определенных постановках задач решить их более экономично. Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными. Данный метод основан на принципе наложения суперпозиции , который формулируется следующим образом: Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается соотношением. Аналогично определяются коэффициенты передачи тока , которые в отличие от проводимостей являются величинами безразмерными. Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов. Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно любого контурного тока, например , то получим. Каждая из ЭДС в 2 представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i—го контура. Таким образом, при определении токов ветвей при помощи метода наложения следует поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах. После этого полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются — это и будут искомые токи в ветвях исходной цепи. В качестве примера использования метода наложения определим ток во второй ветви схемы на рис. Принимая источники в цепи на рис. Принцип взаимности основан на теореме взаимности , которую сформулируем без доказательства: Отсюда в частности вытекает указанное выше соотношение. Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимности гласит: В качестве примера использования данного принципа рассмотрим цепь на рис. При изменении в линейной электрической цепи ЭДС тока одного из источников или сопротивления в какой-то ветви токи в любой паре ветвей m и n будут связаны между собой соотношением. Умножив левую и правую части 10 на , вычтем полученное соотношением из уравнения 9. Отметим, что в соответствии с законом Ома из уравнения 8 вытекает аналогичное соотношение для напряжений в линейной цепи. Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: Для доказательства теоремы выделим из схемы произвольную ветвь с сопротивлением , по которой протекает ток , а всю остальную часть схемы условно обозначим некоторым активным двухполюсником А см. Равенство 12 позволяет гальванически соединить точки а и c, то есть перейти к цепи на рис. Таким образом, теорема доказана. Какими линейными соотношениями связаны токи и напряжения в ветвях линейной цепи? Можно ли распространить принцип компенсации на нелинейную электрическую цепь? Определить токи в остальных ветвях схемы, воспользовавшись линейным соотношением, принципом компенсации и методом наложения. Метод эквивалентного генератора, основанный на теореме об активном двухполюснике называемой также теоремой Гельмгольца-Тевенена , позволяет достаточно просто определить ток в одной представляющей интерес при анализе ветви сложной линейной схемы, не находя токи в остальных ветвях. Применение данного метода особенно эффективно, когда требуется определить значения тока в некоторой ветви для различных значений сопротивления в этой ветви в то время, как в остальной схеме сопротивления, а также ЭДС и токи источников постоянны. Теорема об активном двухполюснике формулируется следующим образом: Пусть в схеме выделена некоторая ветвь с сопротивлением Z, а вся оставшаяся цепь обозначена как активный двухполюсник А рис. Разомкнем эту ветвь между точками 1 и 2 рис. На зажимах этой ветви имеет место напряжение. Чтобы схему на рис. Но первая из этих составляющих в соответствии с рис. Указанные в теореме ЭДС и сопротивление можно интерпретировать как соответствующие параметры некоторого эквивалентного исходному активному двухполюснику генератора, откуда и произошло название этого метода. Т аким образом, в соответствии с данной теоремой схему на рис. Уравнение 1 представляет собой аналитическое выражение метода эквивалентного генератора. Параметры эквивалентного генератора активного двухполюсника могут быть определены экспериментальным или теоретическим путями. Тогда на основании результатов измерений. При теоретическом определении параметров эквивалентного генератора их расчет осуществляется в два этапа:. Любым из известных методов расчета линейных электрических цепей определяют напряжение на зажимах a-b активного двухполюсника при разомкнутой исследуемой ветви. При разомкнутой исследуемой ветви определяется входное сопротивление активного двухполюсника, заменяемого при этом пассивным. Данная замена осуществляется путем устранения из структуры активного двухполюсника всех источников энергии, но при сохранении на их месте их собственных внутренних сопротивлений. В случае идеальных источников это соответствует закорачиванию всех источников ЭДС и размыканию всех ветвей с источниками тока. Сказанное иллюстрируют схемы на рис. Тогда согласно схеме на рис. В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа определим зависимость показаний амперметра в схеме на рис. Для определения входного сопротивления активного двухполюсника трансформируем его в схему на рис. Со стороны зажимов данного пассивного двухполюсника его сопротивление равно:. Таким образом, для показания амперметра в схеме на рис. Задаваясь значениями R в пределах его изменения, на основании 2 получаем кривую на рис. В соответствии с теоремой об активном двухполюснике обведенная пунктиром на рис. Данные соотношения аналогичны соответствующим выражениям в цепи постоянного тока, для которой, как известно, максимальная мощность на нагрузке выделяется в режиме согласованной нагрузки, условие которого. Теорема вариаций применяется в тех случаях, когда требуется рассчитать, насколько изменятся токи или напряжения в ветвях схемы, если в одной из ветвей этой схемы изменилось сопротивление. Пусть сопротивление n-й ветви изменилось на. Полученные соотношения позволяют определить изменения токов в m-й и n-й ветвях, вызванные изменением сопротивления в n-й ветви. В каких случаях эффективно применение метода эквивалентного генератора? Как можно экспериментально определить параметры эквивалентного генератора? Как можно определить параметры активного двухполюсника расчетным путем? Как необходимо преобразовать исходную схему активного двухполюсника для расчета его входного сопротивления? При анализе электрических цепей в задачах исследования взаимосвязи между переменными токами, напряжениями, мощностями и т. Четырехполюсник — это часть схемы произвольной конфигурации, имеющая две пары зажимов отсюда и произошло его название , обычно называемые входными и выходными. Примерами четырыхполюсника являются трансформатор, усилитель, потенциометр, линия электропередачи и другие электротехнические устройства, у которых можно выделить две пары полюсов. В общем случае четырехполюсники можно разделить на активные, в структуру которых входят источники энергии, и пассивные, ветви которых не содержат источников энергии. Тогда на основании метода наложения для цепи на рис. Решая полученные уравнения 1 и 2 относительно напряжения и тока на первичных зажимах, получим. Учитывая, что в соответствии с принципом взаимности , видно, что коэффициенты четырехполюсника связаны между собой соотношением. У равнения 3 и 4 представляют собой основные уравнения четырехполюсника; их также называют уравнениями четырехполюсника в А-форме см. Вообще говоря, существует шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника. Любые две величины можно выразить через остальные. Так как число сочетаний из четырех по два равно шести, то и возможно шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника, которые приведены в табл. Положительные направления токов для различных форм записи уравнений приведены на рис. Отметим, что выбор той или иной формы уравнений определяется областью и типом решаемой задачи. Если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырехполюсник называется симметричным. Как видно из сравнения А- и В- форм в табл. Четырехполюсники, не удовлетворяющие данному условию, называются несимметричными. При практическом использовании уравнений четырехполюсника для анализа цепей необходимо знать значения его коэффициентов. Коэффициенты четырехполюсника могут быть определены экспериментальным или расчетным путями. При этом в соответствии с соотношением 5 определение любых трех коэффициентов дает возможность определить и четвертый. Один из наиболее удобных экспериментальных методов определения коэффициентов четырехполюсника основан на опытах холостого хода и короткого замыкания при питании со стороны вторичных зажимов и опыте холостого хода при питании со стороны первичных зажимов. Решение уравнений 6 - 8 относительно коэффициентов четырехполюсника дает:. При определении коэффициентов четырехполюсника расчетным путем должны быть известны схема соединения и величины сопротивлений четырехполюсника. Как было отмечено ранее, пассивный четырехполюсник характеризуется тремя независимыми постоянными коэффициентами. Следовательно, пассивный четырехполюсник можно представить в виде трехэлементной эквивалентной Т - рис. Для определения коэффициентов четырехполюсника для схемы на рис. Сопоставление полученных выражений 9 и 10 с соотношениями 3 и 4 дает:. Данная задача может быть решена и другим путем. Коэффициенты четырехполюсника для схемы на рис. Из вышесказанного можно сделать вывод, что зная коэффициенты четырехполюсника, всегда можно найти параметры Т- и П-образных схем его замещения. На практике часто возникает потребность в переходе от одной формы записи уравнений четырехполюсника к другой. Для решения этой задачи, то есть чтобы определить коэффициенты одной формы записи уравнений через коэффициенты другой, следует выразить какие-либо две одинаковые величины в этих формулах через две остальные и сопоставить их с учетом положительных направлений токов для каждой из этих форм. Так при переходе от А- к Z-форме на основании 4 имеем. Сопоставляя выражения 11 и 12 с уравнениями четырехполюсника в Z-форме см. Характеристическое сопротивление и коэффициент распространения симметричного четырехполюсника. В электросвязи широко используется режим работы симметричного четырехполюсника, при котором его входное сопротивление равно нагрузочному, то есть. Запишем уравнение симметричного четырехполюсника с использованием коэффициента распространения. Как определяются коэффициенты одной формы записи уравнений четырехполюсника через коэффициенты другой? Определить коэффициенты А, В, С и D для П-образной схемы замещения четырехполюсника на рис. Коэффициенты уравнений пассивного четырехполюсника ; ;. Параметры Т-образной схемы замещения четырехполюсника: Определить, при каком сопротивлении нагрузки входное сопротивление четырехполюсника будет равно нагрузочному сопротивлению. Электрическим фильтром называется четырехполюсник, устанавливаемый между источником питания и нагрузкой и служащий для беспрепятственного с малым затуханием пропускания токов одних частот и задержки или пропускания с большим затуханием токов других частот. Диапазон частот, пропускаемых фильтром без затухания с малым затуханием , называется полосой пропускания или полосой прозрачности; диапазон частот, пропускаемых с большим затуханием, называется полосой затухания или полосой задерживания. Качество фильтра считается тем выше, чем ярче выражены его фильтрующие свойства, то есть чем сильнее возрастает затухание в полосе задерживания. В качестве пассивных фильтров обычно применяются четырехполюсники на основе катушек индуктивности и конденсаторов. Возможно также применение пассивных RC-фильтров, используемых при больших сопротивлениях нагрузки. Фильтры применяются как в радиотехнике и технике связи, где имеют место токи достаточно высоких частот, так и в силовой электронике и электротехнике. Для упрощения анализа будем считать, что фильтры составлены из идеальных катушек индуктивности и конденсаторов, то есть элементов соответственно с нулевыми активными сопротивлением и проводимостью. Это допущение достаточно корректно при высоких частотах, когда индуктивные сопротивления катушек много больше их активных сопротивлений , а емкостные проводимости конденсаторов много больше их активных проводимостей. Фильтрующие свойства четырехполюсников обусловлены возникающими в них резонансными режимами — резонансами токов и напряжений. В этой связи при изучении фильтров будем использовать введенные в предыдущей лекции понятия коэффициентов затухания и фазы. Классификация фильтров в зависимости от диапазона пропускаемых частот приведена в табл. В соответствии с материалом, изложенным в предыдущей лекции, если фильтр имеет нагрузку, сопротивление которой при всех частотах равно характеристическому, то напряжения и соответственно токи на его входе и выходе связаны соотношением. Следовательно, справедливо и равенство , которое указывает на отсутствие потерь в идеальном фильтре, а значит, идеальный фильтр должен быть реализован на основе идеальных катушек индуктивности и конденсаторов. Связь коэффициентов четырехполюсника с параметрами элементов Т-образной схемы замещения определяется соотношениями см. Из уравнений четырехполюсника, записанных с использованием гиперболических функций см. Так как пределы изменения: Для характеристического сопротивления фильтра на основании 3 и 4 имеем. Анализ соотношения 7 показывает, что с ростом частоты w в пределах, определяемых неравенством 6 , характеристическое сопротивление фильтра уменьшается до нуля, оставаясь активным. Поскольку, при нагрузке фильтра сопротивлением, равным характеристическому, его входное сопротивление также будет равно , то, вследствие вещественности , можно сделать заключение, что фильтр работает в режиме резонанса, что было отмечено ранее. При частотах, больших , как это следует из 7 , характеристическое сопротивление приобретает индуктивный характер. Следует отметить, что вне полосы пропускания. Так как вне полосы прозрачности , то соотношение 8 может выполняться только при. Существенным при этом является факт постепенного нарастания , то есть в полосе затухания фильтр не является идеальным. Другим вариантом простейшего низкочастотного фильтра может служить четырехполюсник по схеме на рис. Для данного фильтра коэффициенты четырехполюсника определяются выражениями. Как и для рассмотренного выше случая, А — вещественная переменная. Поэтому на основании 9. Это соответствует, как уже отмечалось, работе фильтра, нагруженного характеристическим сопротивлением, в резонансном режиме. Плавное изменение коэффициента затухания в соответствии с 14 показывает, что в полосе задерживания фильтр не является идеальным. Следует отметить, что другим примером простейшего высокочастотного фильтра может служить П-образный четырехполюсник на рис. У режекторного фильтра полоса прозрачности разделена на две части полосой затухания. В заключение необходимо отметить, что для улучшения характеристик фильтров всех типов их целесообразно выполнять в виде цепной схемы, представляющей собой каскадно включенные четырехполюсники. Как классифицируются фильтры в зависимости от диапазона пропускаемых частот? Определить границы полосы прозрачности фильтров на рис. Трехфазная цепь является частным случаем многофазных электрических систем, представляющих собой совокупность электрических цепей, в которых действуют ЭДС одинаковой частоты, сдвинутые по фазе относительно друг друга на определенный угол. Отметим, что обычно эти ЭДС, в первую очередь в силовой энергетике, синусоидальны. Однако, в современных электромеханических системах, где для управления исполнительными двигателями используются преобразователи частоты, система напряжений в общем случае является несинусоидальной. Каждую из частей многофазной системы, характеризующуюся одинаковым током, называют фазой, то есть фаза — это участок цепи, относящийся к соответствующей обмотке генератора или трансформатора, линии и нагрузке. Разработка многофазных систем была обусловлена исторически. Исследования в данной области были вызваны требованиями развивающегося производства, а успехам в развитии многофазных систем способствовали открытия в физике электрических и магнитных явлений. Важнейшей предпосылкой разработки многофазных электрических систем явилось открытие явления вращающегося магнитного поля Г. Первые электрические двигатели были двухфазными, но они имели невысокие рабочие характеристики. Наиболее рациональной и перспективной оказалась трехфазная система, основные преимущества которой будут рассмотрены далее. Большой вклад в разработку трехфазных систем внес выдающийся русский ученый-электротехник М. Доливо-Добровольский, создавший трехфазные асинхронные двигатели, трансформаторы, предложивший трех- и четырехпроводные цепи, в связи с чем по праву считающийся основоположником трехфазных систем. Источником трехфазного напряжения является трехфазный генератор, на статоре которого см. Начала обмоток принято обозначать заглавными буквами А,В,С, а концы- соответственно прописными x,y,z. ЭДС в неподвижных обмотках статора индуцируются в результате пересечения их витков магнитным полем, создаваемым током обмотки возбуждения вращающегося ротора на рис. Трехфазные системы в настоящее время получили наибольшее распространение. На трехфазном токе работают все крупные электростанции и потребители, что связано с рядом преимуществ трехфазных цепей перед однофазными, важнейшими из которых являются:. Для рассмотрения важнейшего свойства уравновешенности трехфазной системы, которое будет доказано далее, введем понятие симметрии многофазной системы. Система ЭДС напряжений, токов и т. В частности векторная диаграмма для симметричной системы ЭДС, соответствующей трехфазной системе синусоид на рис. Из несимметричных систем наибольший практический интерес представляет двухфазная система с градусным сдвигом фаз см. Это означает, что хотя в отдельных фазах мгновенная мощность пульсирует см. Уравновешенность имеет важнейшее практическое значение. Если бы суммарная мгновенная мощность пульсировала, то на валу между турбиной и генератором действовал бы пульсирующий момент. Такая переменная механическая нагрузка вредно отражалась бы на энергогенерирующей установке, сокращая срок ее службы. Эти же соображения относятся и к многофазным электродвигателям. Если симметрия нарушается двухфазная система Тесла в силу своей специфики в расчет не принимается , то нарушается и уравновешенность. Поэтому в энергетике строго следят за тем, чтобы нагрузка генератора оставалась симметричной. Трехфазный генератор трансформатор имеет три выходные обмотки, одинаковые по числу витков, но развивающие ЭДС, сдвинутые по фазе на Можно было бы использовать систему, в которой фазы обмотки генератора не были бы гальванически соединены друг с другом. Это так называемая несвязная система. В этом случае каждую фазу генератора необходимо соединять с приемником двумя проводами, то есть будет иметь место шестипроводная линия, что неэкономично. В этой связи подобные системы не получили широкого применения на практике. Для уменьшения количества проводов в линии фазы генератора гальванически связывают между собой. Различают два вида соединений: В свою очередь при соединении в звезду система может быть трех- и четырехпроводной. Линейным называется провод, соединяющий начала фаз обмотки генератора и приемника. Точка, в которой концы фаз соединяются в общий узел, называется нейтральной на рис. Провод, соединяющий нейтральные точки генератора и приемника, называется нейтральным на рис. Трехфазная система при соединении в звезду без нейтрального провода называется трехпроводной, с нейтральным проводом — четырехпроводной. Как видно из схемы на рис. При наличии нейтрального провода ток в нейтральном проводе. Если система фазных токов симметрична, то. Следовательно, если бы симметрия токов была гарантирована, то нейтральный провод был бы не нужен. Как будет показано далее, нейтральный провод обеспечивает поддержание симметрии напряжений на нагрузке при несимметрии самой нагрузки. Поскольку напряжение на источнике противоположно направлению его ЭДС, фазные напряжения генератора см. Линейные напряжения действуют между линейными проводами. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для линейных напряжений можно записать. Как показывает ее анализ лучи фазных напряжений образуют стороны равнобедренных треугольников с углами при осно. Обычно при расчетах принимается. С учетом этого на основании соотношений 1 … 3 могут быть определены комплексы линейных напряжений. Однако при симметрии напряжений эти величины легко определяются непосредственно из векторной диаграммы на рис. В связи с тем, что значительная часть приемников, включаемых в трехфазные цепи, бывает несимметричной, очень важно на практике, например, в схемах с осветительными приборами, обеспечивать независимость режимов работы отдельных фаз. Кроме четырехпроводной, подобными свойствами обладают и трехпроводные цепи при соединении фаз приемника в треугольник. Но в треугольник также можно соединить и фазы генератора см. Таким образом, при отсутствии нагрузки в фазах генератора в схеме на рис. Следовательно, для треугольника нужно строго соблюдать порядок соединения фаз: Схема соединения фаз генератора и приемника в треугольник представлена на рис. Очевидно, что при соединении в треугольник линейные напряжения равны соответствующим фазным. По первому закону Кирхгофа связь между линейными и фазными токами приемника определяется соотношениями. А налогично можно выразить линейные токи через фазные токи генератора. Ее анализ показывает, что при симметрии токов. Какие соотношения между фазными и линейными величинами имеют место при соединении в звезду и в треугольник? Что будет, если поменять местами начало и конец одной из фаз генератора при соединении в треугольник, и почему? Определите комплексы линейных напряжений, если при соединении фаз генератора в звезду начало и конец обмотки фазы С поменяли местами. На диаграмме на рис. Определить комплексы остальных фазных и линейных токов. Какие схемы соединения обеспечивают автономность работы фаз нагрузки? Трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, и, следовательно, все рассмотренные ранее методы расчета и анализа в символической форме в полной мере распространяются на них. Анализ трехфазных систем удобно осуществлять с использованием векторных диаграмм, позволяющих достаточно просто определять фазовые сдвиги между переменными. Однако определенная специфика многофазных цепей вносит характерные особенности в их расчет, что, в первую очередь, касается анализа их работы в симметричных режимах. Многофазный приемник и вообще многофазная цепь называются симметричными, если в них комплексные сопротивления соответствующих фаз одинаковы, то есть если. В противном случае они являются несимметричными. Равенство модулей указанных сопротивлений не является достаточным условием симметрии цепи. Так, например трехфазный приемник на рис. Если к симметричной трехфазной цепи приложена симметричная трехфазная система напряжений генератора, то в ней будет иметь место симметричная система токов. Такой режим работы трехфазной цепи называется симметричным. В этом режиме токи и напряжения соответствующих фаз равны по модулю и сдвинуты по фазе друг по отношению к другу на угол. Вследствие указанного расчет таких цепей проводится для одной — базовой — фазы, в качестве которой обычно принимают фазу А. Так для симметричного режима работы цепи на рис. Комплексы линейных токов можно найти с использованием векторной диаграммы на рис. При анализе сложных схем, работающих в симметричном режиме, расчет осуществляется с помощью двух основных приемов:. Все треугольники заменяются эквивалентными звездами. Так как все исходные и вновь полученные звезды нагрузки симметричны, то потенциалы их нейтральных точек одинаковы. Следовательно, без изменения режима работы цепи их можно мысленно соединить нейтральным проводом. После этого из схемы выделяется базовая фаза обычно фаза А , для которой и осуществляется расчет, по результатам которого определяются соответствующие величины в других фазах. В соответствии с указанной методикой выделим расчетную фазу А, которая представлена на рис. Если хотя бы одно из условий симметрии не выполняется, в трехфазной цепи имеет место несимметричный режим работы. Такие режимы при наличии в цепи только статической нагрузки и пренебрежении падением напряжения в генераторе рассчитываются для всей цепи в целом любым из рассмотренных ранее методов расчета. При этом фазные напряжения генератора заменяются соответствующими источниками ЭДС. Можно отметить, что, поскольку в многофазных цепях, помимо токов, обычно представляют интерес также потенциалы узлов, чаще других для расчета сложных схем применяется метод узловых потенциалов. Для анализа несимметричных режимов работы трехфазных цепей с электрическими машинами в основном применяется метод симметричных составляющих, который будет рассмотрен далее. При заданных линейных напряжениях наиболее просто рассчитываются трехфазные цепи при соединении в треугольник. Пусть в схеме на рис. Тогда при известных комплексах линейных напряжений в соответствии с законом Ома. По найденным фазным токам приемника на основании первого закона Кирхгофа определяются линейные токи:. Обычно на практике известны не комплексы линейных напряжений, а их модули. В этом случае необходимо предварительное определение начальных фаз этих напряжений, что можно осуществить, например, графически. Для этого, приняв , по заданным модулям напряжений, строим треугольник см. При соединении фаз генератора и нагрузки в звезду и наличии нейтрального провода с нулевым сопротивлением фазные напряжения нагрузки равны соответствующим напряжениям на фазах источника. В этом случае фазные токи легко определяются по закону Ома, то есть путем деления известных напряжений на фазах потребителя на соответствующие сопротивления. Однако, если сопротивление нейтрального провода велико или он отсутствует, требуется более сложный расчет. Рассмотрим трехфазную цепь на рис. Для расчета токов в цепи на рис. Если оно известно, то напряжения на фазах нагрузки равны:. Соотношение для напряжения смещения нейтрали, записанное на основании метода узловых потенциалов, имеет вид. При наличии нейтрального провода с нулевым сопротивлением , и из 1. В случае отсутствия нейтрального провода. В качестве примера анализа несимметричного режима работы цепи с использованием соотношения 1 определим, какая из ламп в схеме на рис. Тогда, поскольку при этом , соотношение 1 трансформируется в формулу. Линейное напряжение равно В. В схеме предыдущей задачи ;. Остальные параметры те же. Несимметричные режимы в простейших характерных случаях короткое замыкание и холостой ход могут быть проанализированы на основе построения векторных диаграмм. Рассмотрим режимы обрыва и короткого замыкания фазы при соединении в звезду для трех- и четырехпроводной систем. При этом будем проводить сопоставление с симметричным режимом работы цепи, фазные напряжения и токи в которой будут базовыми. Для этой цепи см. При коротком замыкании фазы А трехпроводная система имеет место векторная диаграмма на рис. При обрыве фазы А в четырехпроводной системе нейтральный провод на рис. Здесь при том же способе соединения фаз генератора ; ; ; ; ;. П ри обрыве провода в фазе А-В нагрузки, как это видно из схемы на рис. Активная мощность генератора, определяемая как среднее за период значение мгновенной мощности, равна. Соответственно активная мощность трехфазного приемника с учетом потерь в сопротивлении нейтрального провода. Докажем теперь указанное ранее свойство уравновешенности двухфазной системы Тесла и симметричной трехфазной системы. В соответствии с рис. Таким образом, суммарная мгновенная мощность фаз есть величина постоянная, равная суммарной активной мощности источника. Ниже рассмотрены практические схемы включения ваттметров для измерения мощности в трехфазных цепях. С уммарная активная мощность цепи определяется как сумма показаний трех ваттметров. Если режим работы цепи симметричный, то для определения суммарной активной мощности достаточно ограничиться одним ваттметром любым , включаемым по схеме на рис. Тогда, например, при включении прибора в фазу А,. Тогда суммарная активная мощность трехфазной системы определяется согласно 4. С помощью одного ваттметра при симметричном режиме работы цепи можно измерить ее реактивную мощность. В этом случае схема включения ваттметра будет иметь вид по рис. Согласно векторной диаграмме на рис. В ней сумма показаний приборов равна суммарной активной мощности цепи. В заключение отметим, что если в схеме на рис. В симметричной трехпроводной цепи произошел обрыв фазы. Что покажет вольтметр, включенный между найтральными точками источника и приемника? На основе построения векторной диаграммы токов и напряжений для симметричного режима работы цепи на рис. Метод симметричных составляющих относится к специальным методам расчета трехфазных цепей и широко применяется для анализа несимметричных режимов их работы, в том числе с нестатической нагрузкой. В основе метода лежит представление несимметричной трехфазной системы переменных ЭДС, токов, напряжений и т. Различают симметричные составляющие прямой , обратной и нулевой последовательностей, которые различаются порядком чередования фаз. Симметричную систему прямой последовательности образуют см. Введя, оператор поворота , для симметричной системы прямой последовательности можно записать. Для этой системы имеем. С истема нулевой последовательности состоит из трех векторов, одинаковых по модулю и фазе см. При сложении трех указанных систем векторов получается несимметричная система векторов см. Любая несимметричная система однозначно раскладывается на симметричные составляющие. Таким образом, получена система из трех уравнений относительно трех неизвестных , которые, следовательно, определяются однозначно. Тогда, учитывая, что , получим. В результате приходим к соотношению. Формулы 1 … 6 справедливы для любой системы векторов , в том числе и для симметричной. В заключение раздела отметим, что помимо вычисления симметричные составляющие могут быть измерены с помощью специальных фильтров симметричных составляющих, используемых в устройствах релейной защиты и автоматики. Р ассмотрим четырехпроводную систему на рис. Для тока в нейтральном проводе имеем. Поскольку сумма линейных напряжений равна нулю, то в соответствии с 4 линейные напряжения не содержат составляющих нулевой последовательности. Р ассмотрим трехпроводную несимметричную систему на рис. Тогда, просуммировав эти соотношения, для симметричных составляющих нулевой последовательности фазных напряжений можно записать. Если к симметричной цепи приложена симметричная система фазных напряжений прямой обратной или нулевой последовательностей, то в ней возникает симметричная система токов прямой обратной или нулевой последовательности. При использовании метода симметричных составляющих на практике симметричные составляющие напряжений связаны с симметричными составляющими токов той же последовательности. Отношение симметричных составляющих фазных напряжений прямой обратной или нулевой последовательности к соответствующим симметричным составляющим токов называется комплексным сопротивлением прямой. Тогда для симметричных составляющих прямой и обратной последовательностей с учетом, того, что , на основании 9 имеем. О тсюда комплексные сопротивления прямой и обратной последовательностей одинаковы и равны:. В рассмотренном примере получено равенство сопротивлений прямой и обратной последовательностей. В общем случае эти сопротивления могут отличаться друг от друга. Наиболее типичный пример — различие сопротивлений вращающейся машины для токов прямой и обратной последовательностей за счет многократной разницы в скольжении ротора относительно вращающегося магнитного поля для этих последовательностей. Расчет цепей методом симметричных составляющих основывается на принципе наложения, в виду чего метод применим только к линейным цепям. Согласно данному методу расчет осуществляется в отдельности для составляющих напряжений и токов различных последовательностей, причем в силу симметрии режимов работы цепи для них он проводится для одной фазы фазы А. После этого в соответствии с 1 … 3 определяются реальные искомые величины. При расчете следует помнить, что, поскольку в симметричном режиме ток в нейтральном проводе равен нулю, сопротивление нейтрального провода никак ни влияет на симметричные составляющие токов прямой и обратной последовательностей. Наоборот, в схему замещения для нулевой последовательности на основании 7 вводится утроенное значение сопротивления в нейтральном проводе. С учетом вышесказанного исходной схеме на рис. Существенно сложнее обстоит дело при несимметрии сопротивлений по фазам. Пусть в цепи на рис. Разложив токи на симметричные составляющие, для данной цепи можно записать. Из полученных соотношений видно, что если к несимметричной цепи приложена несимметричная система напряжений, то каждая из симметричных составляющих токов зависит от симметричных составляющих напряжений всех последовательностей. Поэтому, если бы трехфазная цепь на всех участках была несимметрична, рассматриваемый метод расчета не давал бы преимуществ. На практике система в основном является симметричной, а несимметрия обычно носит локальный характер. Это обстоятельство, как будет показано в следующей лекции, значительно упрощает анализ. Тогда из 12 получаем. Для каких цепей сопротивления прямой и обратной последовательностей одинаковы, а для каких — различны? Как при использовании метода симметричных составляющих учитывается сопротивление в нейтральном проводе? В чем заключается упрощение расчета цепи при использовании метода симметричных составляющих? Определить коэффициент несимметрии линейных напряжений , если ,. До короткого замыкания в фазе А в цепи на рис. Определить действующие значения токов в фазах двигателя, если его сопротивления прямой и обратной последовательностей соответственно равны: В тех случаях, когда трехфазная цепь в целом симметрична, а несимметрия носит локальный характер местное короткое замыкание или обрыв фазы, подключение несимметричной нагрузки , для расчета удобно применять теорему об активном двухполюснике. При мысленном устранении несимметрии несимметричного участка для оставшейся цепи имеет место симметричный режим холостого хода. В соответствии с методом эквивалентного генератора теперь необходимо определить эквивалентные ЭДС и входные сопротивления симметричной цепи. Однако обычно напряжения генераторов симметричны — тогда. В отдельности рассчитываются входные сопротивления симметричной цепи для различных последовательностей, которая предварительно преобразуется известными методами в пассивную цепь. Схемы для расчета входных сопротивлений прямой и обратной последовательностей одинаковы, однако в случае вращающихся машин величины этих сопротивлений различны. Поскольку в отдельности для каждой симметричной последовательности имеет место симметричный режим, расчет указанным методом ведется на одну фазу с использованием расчетных схем для прямой рис. Поскольку соотношений три, а число входящих в них неизвестных шесть , необходимо составление трех дополнительных уравнений, учитывающих конкретный вид несимметрии. Принимая во внимание 4 , а также то, что источник питания симметричный , просуммируем 5 , 6 и Последнее равенство объясняется отсутствием пути для протекания токов нулевой последовательности. Из двух последних соотношений вытекает, что. Подставив полученные выражения для напряжений и токов прямой и обратной последовательностей в 1 и 2 , запишем. Вычитая из 8 соотношение 9 и учитывая, что в силу симметрии источника , получим. В рассматриваемом случае дополнительные уравнения имеют вид. Принимая во внимание симметричность источника , подставим последние выражения в Рассмотрим их расчет на примере предыдущей задачи для некоторой схемы на рис. В соответствии с ней. Схема для определения , полученная с учетом возможных путей протекания токов нулевой последовательности, приведена на рис. В каких случаях целесообразно применение теоремы об активном двухполюснике для симмметричных составляющих? Какова последовательность анализа трехфазной цепи с использованием теоремы об активном двухполюснике для симметричных составляющих? Фазы А и С симметричного трехфазного источника замкнуты накоротко. Определить ток короткого замыкания, если , а сопротивления прямой и обратной последовательностей. Как было показано ранее, одним из важнейших преимуществ многофазных систем является получение вращающегося магнитного поля с помощью неподвижных катушек, на чем основана работа двигателей переменного тока. Рассмотрение этого вопроса начнем с анализа магнитного поля катушки с синусоидальным током. При пропускании по обмотке катушки синусоидального тока она создает м агнитное поле, вектор индукции которого изменяется пульсирует вдоль этой катушки также по синусоидальному закону Мгновенная ориентация вектора магнитной индукции в пространстве зависит от намотки катушки и мгновенного направления тока в ней и определяется по правилу правого буравчика. Так для случая, показанного на рис. Через полпериода, когда при том же модуле ток изменит свой знак на противоположный, вектор магнитной индукции при той же абсолютной величине поменяет свою ориентацию в пространстве на С учетом вышесказанного магнитное поле катушки с синусоидальным током называют пульсирующим. Круговым вращающимся магнитным полем называется поле, вектор магнитной индукции которого, не изменяясь по модулю, вращается в пространстве с постоянной угловой частотой. Оси катушек должны быть сдвинуты в пространстве друг относительно друга на определенный угол для двухфазной системы — на 90 0 , для трехфазной — на 0. Токи, питающие катушки, должны быть сдвинуты по фазе соответственно пространственному смещению катушек. Рассмотрим получение кругового вращающегося магнитного поля в случае двухфазной системы Тесла рис. При пропускании через катушки гармонических токов каждая из них в соответствии с вышесказанным будет создавать пульсирующее магнитное поле. Если ток в катушке В отстает от тока в катушке А на 90 0 см. Полученные соотношения 1 и 2 показывают, что вектор результирующего магнитного поля неизменен по модулю и вращается в пространстве с постоянной угловой частотой , описывая окружность, что соответствует круговому вращающемуся полю. Покажем, что симметричная трехфазная система катушек см. Каждая из катушек А, В и С при пропускании по ним гармонических токов создает пульсирующее магнитное поле. Векторная диаграмма в пространстве для этих полей представлена на рис. Приведенные соотношения учитывают пространственное расположение катушек, но они также питаются трехфазной системой токов с временным сдвигом по фазе на Поэтому для мгновенных значений индукций катушек имеют место соотношения. В соответствии с 5 и 6 и рис. Таким образом, и в данном случае имеет место неизменный по модулю вектор магнитной индукции, вращающийся в пространстве с постоянной угловой частотой , что соответствует круговому полю. С целью усиления и концентрации магнитного поля в электрической машине для него создается магнитная цепь. Электрическая машина состоит из двух основных частей см. Приняв магнитную проницаемость стали бесконечно большой, построим кривую распределения магнитной индукции в воздушном зазоре машины, создаваемой обмоткой фазы А, для некоторого момента времени t рис. При построении учтем, что кривая изменяется скачком в местах расположения катушечных сторон, а на участках, лишенных тока, имеют место горизонтальные участки. З аменим данную кривую синусоидой следует указать, что у реальных машин за счет соответствующего исполнения фазных обмоток для результирующего поля такая замена связана с весьма малыми погрешностями. Приняв амплитуду этой синусоиды для выбранного момента времени t равной ВА, запишем. С учетом гармонически изменяющихся фазных токов для мгновенных значений этих величин при сделанном ранее допущении о линейности зависимости индукции от тока можно записать. Просуммировав соотношения 10 … 12 , с учетом того, что сумма последних членов в их правых частях тождественно равна нулю, получим для результирующего поля вдоль воздушного зазора машины выражение. Таким образом, если мысленно выбрать в воздушном зазоре некоторую точку и перемещать ее вдоль расточки магнитопровода со скоростью. Это означает, что с течением времени кривая распределения магнитной индукции, не меняя своей формы, перемещается вдоль окружности статора. Следовательно, результирующее магнитное поле вращается с постоянной скоростью. Эту скорость принято определять в оборотах в минуту:. Устройство асинхронного двигателя соответствует изображению на рис. Вращающееся магнитное поле, создаваемое расположенными на статоре обмотками с током, взаимодействует с токами ротора, приводя его во вращение. Наибольшее распространение в настоящее время получил асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором ввиду своей простоты и надежности. В пазах ротора такой машины размещены токонесущие медные или алюминиевые стержни. Отсюда и произошло такое название ротора. В короткозамкнутой обмотке ротора под действием ЭДС, вызываемой вращающимся полем статора, возникают вихревые токи. Взаимодействуя с полем, они вовлекают ротор во вращение со скоростью , принципиально меньшей скорости вращения поля 0. Отсюда название двигателя - асинхронный. Принципиальное отличие синхронного двигателя от асинхронного заключается в исполнении ротора. Последний у синхронного двигателя представляет собой магнит, выполненный при относительно небольших мощностях на базе постоянного магнита или на основе электромагнита. Поскольку разноименные полюсы магнитов притягиваются, то вращающееся магнитное поле статора, которое можно интерпретировать как вращающийся магнит, увлекает за собой магнитный ротор, причем их скорости равны. Это объясняет название двигателя — синхронный. В этом случае, подобно конденсаторным батареям, синхронная машина используется для повышения коэффициента мощности. На какие синхронные скорости выпускаются в нашей стране двигатели переменного тока общепромышленного исполнения? Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников. В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными. Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или и наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами. В качестве примера на рис. Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты приведены на примере периодического тока:. Среднее по модулю значение -. Среднее за период значение постоянная составляющая -. Коэффициент амплитуды отношение максимального значения к действующему -. Коэффициент формы отношение действующего значения к среднему по модулю -. Коэффициент искажений отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной -. Коэффициент гармоник отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники -. Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т — период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно. Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях. К ривые, симметричные относительно оси абсцисс. В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, то есть.
Изменение условий государственного контракта
Земляные крысы на даче как избавиться форум
Понятие слова автор
Понятие военное преступление
Идеи из кофейных зерен своими руками