Математический форум Math Help Planet
Логарифмическая производная. Дифференцирование показательно степенной функции.
Как найти производную. Таблица производных
Производная функции
Вычисление производных
Производная степенной функции
Производная экспоненты равна самой экспоненте производная e в степени x равна e в степени x: Производная показательной функции с основанием степени a равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a: Экспонента — это показательная функция, у которой основание степени равно числу e , которое является следующим пределом: Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу 1 производной экспоненты. Рассмотрим экспоненту, e в степени x: Эта функция определена для всех. Найдем ее производную по переменной x. По определению, производная является следующим пределом: Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты: Здесь — некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен. Г Значение второго замечательного предела: Применяем эти факты к нашему пределу 3. В силу непрерывности экспоненты,. Применим свойство логарифма 5: Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то: Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом 7. Теперь выведем формулу 2 производной показательной функции с основанием степени a. Мы считаем, что и. Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма. Итак, мы преобразовали формулу 8 к следующему виду: Выносим постоянную за знак производной: Применяем формулу производной сложной функции: Тем самым, мы нашли производную показательной функции с произвольным основанием степени: Пусть нам известна формула производной натурального логарифма: Тогда мы можем вывести формулу производной экспоненты, учитывая, что экспонента является обратной функцией к натуральному логарифму. Перепишем формулу 9 в следующем виде: Переменные можно обозначать любыми буквами. Поменяем местами x и y: Теперь рассмотрим экспоненту e в степени x: Применим формулу производной обратной функции: Обратной функцией к экспоненте является натуральный логарифм. Подставим значение производной натурального логарифма И, наконец, выразим y через x по формуле Теперь докажем формулу производной экспоненты, применяя формулу производной сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то. Дифференцируем это уравнение по переменной x: Производная от икса равна единице: Применим формулу производной сложной функции: Найти производные от e в степени 2x, e в степени 3x и e в степени nx. Исходные функции имеют похожий вид. И из общей формулы найдем выражения для производных от e 2x , e 3x и e nx. Итак, имеем исходную функцию. Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций: Тогда исходная функция составлена из функций и: Найдем производную от функции по переменной x: Найдем производную от функции по переменной: Применяем формулу производной сложной функции. Теперь найдем производные высших порядков. Мы нашли ее производную первого порядка: Мы видим, что производная от функции 14 равна самой функции Дифференцируя 1 , получаем производные второго и третьего порядка: Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции: Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a: Дифференцируя 15 , получаем производные второго и третьего порядка: Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на. Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид: Обыкновенные дифференциальные уравнения Справочник по элементарным функциям Методы вычисления неопределенных интегралов. Производная e в степени x и показательной функции Доказательство и вывод формул производной экспоненты e в степени x и показательной функции a в степени x. Формулы производных высших порядков. Показательная функция - свойства, формулы, график Экспонента, e в степени x - свойства, формулы, график. Тем самым мы получили формулу 1 производной экспоненты. Показательная функция - свойства, формулы, график Экспонента, e в степени x - свойства, формулы, график Производная экспоненты равна самой экспоненте производная e в степени x равна e в степени x: Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x Экспонента — это показательная функция, у которой основание степени равно числу e , которое является следующим пределом: Вывод формулы производной экспоненты Рассмотрим экспоненту, e в степени x: Вывод формулы производной показательной функции Теперь выведем формулу 2 производной показательной функции с основанием степени a. Другие способы вывода производной экспоненты Пусть нам известна формула производной натурального логарифма: Пример Найти производные от e в степени 2x, e в степени 3x и e в степени nx. Решение Исходные функции имеют похожий вид. Производные высших порядков показательной функции Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a:
Сонник подать воды
Под медитацией понимается способ
Эксплуатация систем водоснабжения
Где можно сдать комнату
Стихна святое валентинана английском
Цементовоз сколько тонн