Программы линейной структуры. Операторы разветвления. Операторы цикла
Структура линейного оператора
Программы линейной структуры
В линейной алгебре часто рассматриваются соответствия, при которых векторам одного линейного пространства ставят в соответствие векторы другого или того же линейного пространства. Пусть заданы два линейных пространства. Если каждому вектору поставлен в соответствие единственный вектор. При этом вектор называют прообразом вектора , а вектор — образом вектора. Линейные пространства называются соответственно пространством прообразов и пространством образов. Частным случаем отображения линейных пространств является отображение пространства на себя:. Отображение , переводящее линейное пространство V в себя, называется линейным оператором или линейным преобразованием , действующим в V, если для любых векторов и любого числа:. При этом запись , или называют операторной записью или операторным равенством. Условия 1 , 2 определения 5. Линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой вектор. Приведенное свойство может рассматриваться как необходимое но не достаточное условие линейности оператора. Если данное свойство не выполняется для данного отображения, то это отображение не является линейным оператором. При линейном преобразовании образ линейной комбинации равен линейной комбинации образов, то есть если задана система векторов , то. Если система векторов линейно зависима, то система образов также линейно зависима. Тогда, действуя оператором на обе части этого равенства используя теоремы 5. Линейный оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве, однозначно задается образами базисных векторов этого линейного пространства. Выберем произвольную систему векторов. Покажем, что существует единственный линейный оператор , переводящий вектор в соответствующий вектор: Рассмотрим отображение , которое каждому вектору , имеющему в базисе разложение. Покажем, что введенное отображение является аддитивным и однородным. Для любых векторов , и любого числа:. Существование линейного оператора доказано. Единственность доказывается методом от противного. Ядром линейного оператора называется множество векторов таких, что:. Из определения видно, что ядром линейного оператора являются те векторы пространства , которые переводятся оператором в нулевой вектор этого пространства. Образом линейного оператора называется множество всех векторов для каждого:. Ядро и образ линейного оператора, действующего в линейном пространстве, являются подпространствами линейного пространства. Очевидно, что ядро является непустым, так как по теореме 5. Покажем далее, что множество замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число, то есть покажем, что если , то при всех: Аналогично показывается, что множество замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число. Поскольку по теореме 5. Дефектом линейного оператора называют размерность ядра этого оператора. Рангом линейного оператора называют размерность образа линейного оператора. Сумма дефекта и ранга линейного оператора, действующего в конечномерном линейном пространстве, равна размерности этого линейного пространства:. Выберем в подпространстве базис и дополним его векторами до базиса всего пространства. Если и , то. Покажем теперь, что система векторов линейно независима. Так как линейный оператор, то по теореме 5. Отметим, что векторы порождают некоторое подпространство , являющееся линейной оболочкой этих векторов[1]: Покажем, что подпространства и пересекаются только по нулевому вектору. Тогда имеют место разложения вектора по векторам базисов этих двух подпространств:. Так как система векторов является базисом пространства а значит, она линейно независима , то последнее равенство возможно только в том случае, когда. Выше было показано, что. Так как система векторов является линейно независимой, то последнее равенство возможно только в том случае, когда. Итак, система векторов образует базис подпространства , а значит, , что и доказывает справедливость утверждения теоремы. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Деталирование сборочного чертежа Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей? Собственные движения и пространственные скорости звезд Тема
Схема строящегося метро москвы до 2020
Руский англиский словарь
Где недорогое осаго
Как сделать бисквит пошагово в домашних условиях
Конвенция оон о правах ребенка принята
Немеют руки и ноги после сна
Кино аймакс одесса сити
Как научить ребенка делать колесо
Таиланд где отдохнуть в ноябре
Отдам котят в хорошие руки нижний новгород
Афоризмы о женщине прикольные
Выдача прав проблема с регистрацией на госуслугах
Сколько калорийв жареном белке
Схемы автомобильных унч
Раскрытие 2 пальца сколько ждать до родов