Рассмотрим сначала математические аспекты построения разностной схемы для уравнения диффузии тепла, а затем приведем примеры работы разработанного алгоритма применительно к линейному и нелинейному уравнениям. Используем для решения уравнения теплопроводности шаблон, изображенный на рис. Для дискретизации второй производной по пространственной координате необходимо использовать три последовательных узла, в то время как для разностной записи первой производной по времени достаточно двух узлов. Записывая на основании данного шаблона дискретное представление для i,k -ro узла, получим разностное уравнение:. Приведем в разностной схеме 8 подобные слагаемые, перенеся в правую часть значения сеточной функции с индексом k как часто говорят, с предыдущего слоя по времени , а в левую - с индексом k-t-i т. Кроме этого, введем коэффициент с , который будет характеризовать отношение шагов разностной схемы по времени и пространству Несколько забегая вперед, заметим, что значение параметра с, называемого коэффициентом Куранта, имеет большое значение для анализа устойчивости разностной схемы. С учетом этих замечаний, разностная схема 8 запишется в виде: Множители для каждого из значений сеточной функции в узлах шаблона, соответствующие разностному уравнению 9 , приведены рядом с каждой точкой шаблона на рис. Фактически, геометрия шаблона и эти множители задают построенную нами разностную схему. Несложно убедиться в том, что для получения замкнутой системы разностных алгебраических уравнений систему 9 необходимо дополнить дискретным представлением начального и граничных условий 6 и 7. Тогда число неизвестных будет в точности равно числу уравнений, и процесс формирования разностной схемы будет окончательно завершен. Важно подчеркнуть, что возможная нелинейность полученной системы алгебраических уравнений определяется зависимостями от температуры функций D u и ф и , т. Если присмотреться к разностным уравнениям 9 повнимательнее, то можно сразу предложить несложный алгоритм реализации этой разностной схемы. Действительно, каждое неизвестное значение сеточной функции со следующего временного слоя, т. Таким образом, в случае уравнения теплопроводности нам очень повезло — для расчета 1-го слоя по времени следует попросту подставить в 9 начальное условие известные значения и с нулевого слоя в узлах сетки , для расчета 2-го слоя достаточно использовать вычисленный таким образом набор и с 1-го слоя и т. Из-за того, что разностная схема сводится к такой явной подстановке, ее и называют явной, а благодаря пересчету значений с текущего слоя через ранее вычисленные слои — схемой бегущего счета. Сделанные замечания относительно реализации явной схемы для уравнения диффузии тепла сразу определяют алгоритм ее программирования в Mathcad. Для решения задачи нужно аккуратно ввести в листинг соответствующие формулы при помощи элементов программирования. Решение системы разностных уравнений 9 для модели без источников тепла, т. В его первых трех строках заданы шаги по временной и пространственной переменным т и Д, а также коэффициент диффузии D, равный единице. В следующих двух строках заданы начальные нагретый центр области и граничные постоянная температура на краях условия, соответственно. Затем приводится возможное программное решение разностной схемы, причем функция пользователя v t задает вектор распределения искомой температуры в каждый момент времени иными словами, на каждом слое , задаваемый целым числом t. Начальное распределение температуры вдоль расчетной области и решение для двух моментов времени показано на рис. Физически такое поведение вполне естественно — с течением времени тепло из более нагретой области перетекает в менее нагретую, а зона изначально высокой температуры остывает и размывается. Заметим, что в листинге Начнем с того, что поменяем четвертую строку листинга С физической точки зрения зависимость коэффициента диффузии и функции источника тепла от температуры означает, что эти параметры будут меняться от точки к точке среды, определяясь локальными значениями текущей температуры в этих точках. Ввод ненулевого источника тепла означает, что среда получает определенное количество тепла, тем большее, чем больше локальная температура. Можно догадаться, что введение такой зависимости может моделировать, в частности, горение среды. Если осуществить расчеты с упомянутым источником имеющим кубическую нелинейность , то получится очень интересное решение уравнения теплопроводности, имеющее профиль тепловых фронтов. С течением времени граница раздела высокой и низкой температуры распространяется в обе стороны от зоны первичного нагрева, оставаясь весьма четко выделенной рис. Еще более неожиданные решения возможны при нелинейности также и коэффициента диффузии. В отличие от рассмотренного эффекта распространения тепловых фронтов, горение оказывается локализованным в области первичного нагрева среды, причем, температура в центре нагрева со временем возрастает до бесконечной величины рис. Решение уравнения теплопроводности с нелинейным источником тепловой фронт. Читателю предлагается поэкспериментировать с этим и другими нелинейными вариантами уравнения теплопроводности. Существенно, что такие интересные результаты удается получить лишь численно, а в Mathcad только с применением элементов программирования. Решение уравнения теплопроводности с нелинейным источником и коэффициентом диффузии режим локализации горения. Как мы убедились, явная разностная схема Эйлера дает вполне разумные результаты и вполне может использоваться для практического моделирования задач, связанных с решением уравнений в частных производных. Однако теперь пришло время сказать об очень важной характеристике разностных схем, которая называется их устойчивостью. Не вдаваясь в детали, заметим, что производить расчеты можно только при помощи устойчивых разностных схем, а чтобы пояснить это понятие, обратимся вновь к листингу А вот следующее казалось бы, незначительное увеличение шага по времени приводит к катастрофе рис. Вместо ожидаемого решения получается совершенно неожиданные профили температуры, которые быстро осциллируют вдоль пространственной координаты, причем амплитуда и число пиков этих осцилляции быстро увеличиваются от шага к шагу. Совершенно ясно, что полученное решение не имеет ничего общего с физикой моделируемого явления, а является следствием внутренних свойств самой разностной схемы, которые до этого были для нас скрыты. Численное решение уравнения теплопроводности при помощи явной схемы Эйлера см. В теории численных методов показывается, что явная схема Эйлера для уравнения теплопроводности устойчива при значениях коэффициента Куранта, меньших 1, и неустойчива в противоположном случае. Иными словами, существует ограничение для выбора соотношения шагов, заключающееся в том, что для расчета на более частых пространственных сетках необходимо использовать также и малые шаги по времени. Главное меню Перейти к основному содержимому. Вентиляторы Systemair Вентиляторы Systemair прайс Вентиляция Другие марки вентиляторов Вентиляционные агрегаты Vts Clima Вентиляторы Ostberg Документация Самоучитель по MathCAD Самоучитель по MathCAD Карта сайта. Явная схема Эйлера Рассмотрим сначала математические аспекты построения разностной схемы для уравнения диффузии тепла, а затем приведем примеры работы разработанного алгоритма применительно к линейному и нелинейному уравнениям. Построение разностной схемы Используем для решения уравнения теплопроводности шаблон, изображенный на рис. Записывая на основании данного шаблона дискретное представление для i,k -ro узла, получим разностное уравнение: Шаблон аппроксимации явной схемы для уравнения теплопроводности Приведем в разностной схеме 8 подобные слагаемые, перенеся в правую часть значения сеточной функции с индексом k как часто говорят, с предыдущего слоя по времени , а в левую - с индексом k-t-i т. Линейное уравнение Сделанные замечания относительно реализации явной схемы для уравнения диффузии тепла сразу определяют алгоритм ее программирования в Mathcad. Явная схема для линейного уравнения теплопроводности Рис. Решение линейного уравнения теплопроводности листинг Решение уравнения теплопроводности с нелинейным источником тепловой фронт Читателю предлагается поэкспериментировать с этим и другими нелинейными вариантами уравнения теплопроводности. Решение уравнения теплопроводности с нелинейным источником и коэффициентом диффузии режим локализации горения Устойчивость Как мы убедились, явная разностная схема Эйлера дает вполне разумные результаты и вполне может использоваться для практического моделирования задач, связанных с решением уравнений в частных производных.
Решение задачи Коши Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности. Требуется найти функцию , которая при и удовлетворяла бы уравнению 3. Будем считать, что задача 3. Для этого достаточно положить. Будем далее считать, что t изменяется в пределах. Выберем прямоугольную сетку и заменим область сеточной областью. К области отнесем совокупность узлов , где. Заменим задачу разностной схемой вида. Обозначим через точное значение решения задачи в узле , а через — соответствующее приближенное решение. Для замены выражений и воспользуемся формулами численного дифференцирования. Назовем некоторую совокупность узлов, привлекаемых для замены задачи в узле , разностной схемой , шаблоном. Наиболее употребительные шаблоны изображены на рис. Теперь на основании формул 3. Выясним порядок аппроксимации разностных схем 3. В качестве возьмем линейное множество всех пар ограниченных функций. Пусть , где r и s — некоторые положительные числа. Предположим, что для и верны оценки. Для параболических уравнений, как мы увидим далее, в случае схемы 3. Для этого достаточно в 3. В силу этого разностную схему 3. Действительно, если мы в 3. Для вычисления значений на первом слое в этом случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений. По этой причине схему 3. Определим норму в пространстве по правилу. Рассмотрим явную разностную схему 3. Выясним, при каких значениях r , возможна устойчивость этой схемы. Для доказательства устойчивости надо показать, что разностная схема однозначно разрешима и при любых. Перепишем формулу в виде. Это свойство однородной разностной схемы принято называть принципом максимума. Заметим, что есть число, независящее от m и n. Просуммировав последние неравенства и, учитывая, что , получим. Таким образом, разностная схема 3. Это приводит к тому, что если мы желаем сохранить устойчивость, то при вычислениях по схеме 3. Посмотрим, какие надо проделать вычисления, чтобы, используя формулы 3. Положив в формулах 3. Решение таких систем является сложной и трудоемкой задачей, поэтому разностные схемы 3. В частности, можно показать, что такие схемы являются абсолютно устойчивыми, то есть устойчивыми при любых значениях. Матрица этой системы трехдиагональна и ее можно решить методом прогонки. Отсюда ясно, что реализация неявных разностных схем требует больших вычислительных затрат для вычисления решения на одном временном слое, но таких слоев может быть немного из-за того, что в этом случае отсутствуют ограничения на соотношение. Если пользоваться явной разностной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляется по рекурсионному правилу и связано с минимальными вычислительными затратами, однако из-за ограничения. Рассмотрим теперь вопрос о сходимости схемы 3. Эта схема аппроксимирует задачу 3. При этом погрешность для приближенного решения будет величиной порядка. Все материалы в разделе "Математика". Разностные схемы для уравнения теплопроводности, задача Коши. Явная и неявная разностные схемы. Применение двухслойных разностных шаблонов. Устойчивость двухслойных разностных схем. Решение задач методом прогонки. Разностные схемы для систем уравнений гиперболического типа и теорема С. Конечно-разностный метод решения для уравнений параболического типа. Краевые задачи и разностные схемы. Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках. Расчет принципиальной тепловой схемы паротурбинной установки типа Т Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка. Расчет параметров электрической цепи. Расчёт тепловой схемы паротурбинной установки с турбиной типа К - 11 - 3. Проектирование судового радиоприёмного устройства. Классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных.
https://gist.github.com/201c40629300b5403123f05e8c055f7b
https://gist.github.com/3069267353390c6785f90e33fb3a3385
https://gist.github.com/d0dd66405088ccf6ee76690b20f17097