Main menu
Свойства чисел
Понятие числа и числа первого десятка
Справочник - Математика Арабские цифры В русском языке из 33 букв алфавита можно составить огромное множество слов. Цифры в математике выполняют такую же роль, как буквы в русском языке. Из цифр составляют различные числа. С помощью чисел можно сосчитать, сколько предметов, то есть узнать их количество. А еще числа помогают измерить предмет, то есть узнать, какой он длины, какой ширины или высоты, сколько он весит и так далее. Цифр меньше, чем букв. Их всего десять — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их изобрели очень давно, ещё в шестом веке. Это произошло в Индии, но сами цифры называют арабскими, потому что в Европу они пришли уже от арабов, которые взяли их у индийцев. В России арабскими цифрами начали пользоваться при Петре I. Настоящим открытием индийцев в девятом веке стала цифра 0 нуль. Сначала эта цифра обозначала, что числа просто нет, и только гораздо позже нуль был признан настоящим числом наравне с другими. Каждая цифра обозначает однозначное число. Кроме однозначных чисел, есть и многозначные. Числа, составленные из двух цифр, называются двузначными, из трёх цифр — трёхзначными и т. Кроме арабских цифр, для записи чисел используются римские цифры. Они совсем не такие, как арабские, и их всего семь: В древнем Риме в роли цифр использовали буквы. Роль единицы выполняла буква I и , пятеркой была буква V вэ , вместо десятки писали букву X икс , а дальше так: Если большая по значению цифра записана перед меньшей, то при чтении их значения складываются. При этом одна и та же цифра может повторяться два или три раза. V — пять, I — один. Пять стоит перед единицей и больше неё. Значит, значения цифр, то есть числа, складываются. К числу 5 прибавляются три единицы: VIII - это 8. Если большая по значению цифра записана после меньшей, то из большего значения вычитается меньшее. При этом повторять меньшую по значению цифру нельзя. I — один, V — пять. Пятёрка стоит после единицы и больше неё. Значит, из большего числа нужно вычесть меньшее. Вычитаю из пяти один: IV — это 4. Прочитай числа II, XXX. Только с цифрами V, L и D пять, пятьдесят и пятьсот такого не бывает, их повторять нельзя. Сейчас римскими цифрами чаще всего записывают числа, которые обозначают номер главы, параграфа или строфы стихотворения в книге, порядковый номер какого-то важного события, которое периодически повторяется XX Олимпийские игры. Выполнять арифметические действия над многозначными числами, которые записаны римскими цифрами, очень неудобно. Система счисления, которой мы пользуемся, называется десятичной. Десятичная система счисления — позиционная. Так, в записи чисел , , цифры одни и те же, но сами числа различны. Позицию цифры в записи числа называют разрядом. Самый младший разряд — разряд единиц. Им заканчивается любое число. С него же начинают отсчитывать разряды. И так первый это разряд единиц. Следующий за ним разряд — разряд десятков. Сделав ещё шаг влево от десятков, получаем разряд сотен. Единицы, десятки, сотни образуют первый класс — класс единиц. Следующие три цифры числа образуют соответственно разряды: Единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч образуют второй класс — класс тысяч. Если мы продвинемся ещё дальше влево, то обнаружим ещё три разряда: Единицы миллионов, десятки миллионов, сотни миллионов образуют третий класс — класс миллионов. Цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 обозначают количество единиц в каждом разряде. Отсутствие единиц в разряде обозначают цифрой 0. Роль у этой цифры — очень важная: Число 10 — это основа десятичной нумерации. Самое главное для тебя сейчас — это понять, что 10 единиц одного разряда образуют 1 единицу следующего за ним разряда: У названия числа сорок — особая история. В древней Руси так называли большой мешок с ценными соболиными шкурками, которых должно было хватить на целую шубу. Действительно, как узнать, сколько в числе всего единиц, всего десятков, всего сотен, всего тысяч И т. Давай учиться этому на примере. В числе семьсот восемьдесят одна тысяча пятьсот девяносто три содержится 7 ст. Откуда мы это знаем? Всё число покажет тебе, сколько в нём единиц: Отбрось первую цифру справа — цифру разряда единиц, оставшиеся цифры покажут число десятков: Отбрось две цифры справа — цифры разряда единиц и разряда десятков, и оставшиеся цифры покажут число сотен: Отбрось три цифры справа — цифры разрядов единиц, десятков, сотен, и те цифры, которые останутся, покажут число тысяч: Отбрось четыре цифры справа — цифры разрядов единиц, десятков, сотен, тысяч, и ты узнаешь, сколько в этом числе десятков тысяч: Отбрось пять цифр справа — цифры разрядов единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч. Осталось число сотен тысяч: Давай теперь из одних и тех же цифр 0, 5 и 7 составим все какие только возможно двузначные и трехзначные числа. А Двузначное число записывают двумя цифрами. Старший разряд — десятки. В разряде десятков может 9 стоять цифра 5 или 7, а в разряде единиц 0, 5, или Б Трёхзначное число записывают тремя цифрами. Старший разряд — сотни. В разряде сотен у нас могут стоять цифры 5 или 7, а в разряде десятков и единиц 0, 5 или Если тебя попросят записать и прочесть, например, наибольшее двузначное число, то нужно просто вспомнить, что в каждом разряде самое большое число единиц — это 9. Так что записывай 99 и читай: В самом старшем разряде многозначного числа не бывает нуля. Так что записывай и читай: Главная Публикации Контакты Навигатор. Вузы Нравственность Патриотизм Праздники Преподаватели Детский сад Воспитание. О цифрах и числах — Математика Дополнительные сочинения Сравнение натуральных чисел — Математика Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций продолжение Натуральный ряд чисел — Математика Составление формул веществ по валентности элементов Системы уравнений в текстовых задачах с алгебраическим или геометрическим содержанием. Тематические разработки уроков и бесплатные поурочные планы для учителя.
Простые числа с давних времен привлекают внимание математиков. Простые числа следует одно за другим по закону, который еще не найден. Но простые числа в математике играют важную роль. Среди натурального ряда выделяют простые числа. Каждое натуральное число, больше единицы, делится по крайней мере на два числа: Если ни на какое другое натуральное число оно на целое не делится, то называется простым , а если у него имеются ещё какие- то целые делители, то составным. Не о всяком числе можно сразу сказать, простое оно или составное. Возьмем, например, число Если нет под рукой специальных справочных таблиц или помощника компьютера, то придется вспомнить о старом, но надежном решете Эратосфена. Старинный способ, придуманный еще в 3 в. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки. Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберем в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим не зачеркнутым числом будет 3. Возьмем в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3,зачеркнем. При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и другие. Следующее наименьшее не зачеркнутое число-это 5. Берем пятерку, а остальные числа, кратные 5, зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, мы в конце концов добьемся того, что не зачеркнутыми останутся одни лишь простые числа- они словно просеялись сквозь решето. Двадцатая теорема в этой книге утверждает: Вот доказательство этой теоремы. Предположим, что существует некое наибольшее простое число P. Тогда перемножим все простые числа, начиная с 2 и кончая P , и увеличим полученное произведение на единицу: Если число М составное, то оно должно иметь по крайней мере один простой делитель. Но этим делителем не может быть ни одно из простых чисел 2, 3, 5, …, Р , поскольку при делении М на каждое из них получаем в остатке 1. Следовательно, число М либо само простое, либо делится на простое число, большее Р. Значит, предположение, что существует наибольшее простое число Р, наверно и множество простых чисел бесконечно. Если нет под рукой специальных справочных таблиц или помощника-компьютера, то придется вспомнить о старом, но надежном решете Эратосфена. Первую известную нам таблицу простых чисел составил итальянский математик Пьетро Антонио Катальди в г. Она захватывала все простые числа от 2 до Немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт опубликовал таблицу наименьших делителей всех чисел, не превосходящих и не делящихся на 2, 3, 5. Вложив в этот труд поистине колоссальные усилия, Ламберт гарантировал бессмертие тому, кто доведет таблицу делителей до миллиона. На его призыв откликнулись многие вычислители. К середине 19 века уже были составлены таблицы наименьших делителей не только первого миллиона, но и следующих, в плоть до 9. В это же время в прессе появились сообщения, которые представлялись абсолютно фантастическими: Автором этого труда был Якуб Филипп Кулик, профессор высшей математики Пражского университета. В дальнейшем поиске простых чисел уже не носили характера массовой охоты, с которой можно сравнить составление таблиц, а превратились в целенаправленный отбор отдельных представителей. У охотников за числами больше всего популярны простые числа Марсена. Они названы в честь французского ученого Марена Марсенна, Сыгравшего в 18в. Видную роль в становлении европейской науки. Некоторые представления о распределения простых чисел имели уже древние греки. Из доказательства Евклида следует, например, что они не собраны вместе, а разбросаны по всей числовой оси. В последствии это свойство получило название постулата Бертрана, хотя самому Бертану обосновать его так и не удалось. Доказал его в г русский математик Пафнутий Львович Чебышев. Из результата Чебышева следовала и более точная оценка. Таким образом, даже среди очень больших чисел простые числа не так уж редки. С другой стороны, существуют промежутки, включающие тысячи, миллионы, миллиарды и вообще какое угодно большое количество подряд стоящих натуральных чисел, среди которых нельзя найти ни одного простого! В самом деле, задавшись произвольным большим натуральным числом к , построим ряд чисел к! Каждое из этих чисел составное. Простые числа, делящихся только на единицу и на самих себя 2,3,5,7,11,13,17,… , с давних времен привлекают внимание математиков. Более двух тысяч лет назад великий древнегреческий математик Евклид доказал, что ряд простых чисел бесконечен. Простые числа следуют одно за другим по закону, который еще не найден. Эти числа то на долго исчезают из натурального ряда, то по являются в нем часто, а иногда и по соседству: Мысленно подвесим на провод через каждый метр электрические лампочки, нумеруя их, начиная с ближней: Вместе с автором этой книги мы начинаем движение с первой электрической лампочки, которая не осветила нам старта; она не горит, так как ее номер единица не является простым числом. Сразу за ней две лампочки с номерами 2 и 3 включены, эти числа простые. Оставим позади горящие лампочки 5 и 7. Они пронумерованы простыми числами. На нашем длинном пути очень редко будут попадаться числа-близнецы. Вот промелькнули следующие числа-близнецы: Мы быстро набираем скорость; оставляя позади лампочки и , и ; теперь реже и реже встречаются освещенные островки из лампочек, пронумерованы простыми числами-близнецами. Вот на фоне темноты и мрака засверкали лампочки с номерами 10 и 10 ; это последняя пара известных простых чисел-близнецов. Возможно, где то в бесконечных просторах обрадуют наш взор еще пара светящихся лампочек, или такие близнецы исчезнут на всегда. Нам встречаются участки, довольно часто освещаемые лампочками, но чаще путь проходит в темноте. Из первого миллиона промелькнуло всего 78 горящих лампочек, не горели. Как и пространство, множество простых чисел бесконечно. Среди натурального ряда чисел мы выделяем простые числа. Простыми числами называются такие, которые делятся на 1 и на самих себя. Выделение простых чисел является сложной задачей математики. Ученые на протяжении многих веков пытаются найти формулу, которая позволила бы из множества натуральных чисел выписать простые. Первый, кто занимался этой задачей, был великий математик древности Эратосфен, живший почти 2 лет назад. Эратосфен был главным библиотекарь знаменитой Александрийской библиотеки, математиком, географом, историком, астрономом, философом и поэтом. Эратосфен вычислил наклон эклиптики — большой окружности сферы, по которой проходит видимое годичное движение солнца, расстояние от солнца и луны, длину земного меридиана измерив расстояние от Асуана до Александрии , составив карту мира с учетом шарообразности Земли и т. Способ Эратосфена составления таблиц простых чисел чрезвычайно прост и не требует проверки чисел на делимость. Чтобы очистить зерно, мы его просеиваем. Допустим, что были выписаны в таблице из 10рядов все по следовательно от 1 до Подчеркнув число2, остальные числа, делящиеся на 2, зачеркнем. После 2 в таблице идет простое число 3. Подчеркнем число 3 как простое, а все остальные, делящееся на 3, зачеркнем. Числа, кратные 3, стоят на местах через два на третье. Дальше подчеркиваем следующее число 7 и зачеркиваем числа, делящиеся на 7, и т. Заметьте, что из всех натуральных чисел не зачеркнутыми остаются простые числа. Древне греческих ученых заинтересовало: Ответил на этот вопрос Евклид, доказав, что простых чисел бесконечное множество. Однако способ Эратосфена не смог удовлетворить ученых, и они пытались найти формулу простых чисел. На протяжении многих столетий это сделать не удавалось. В ряду простых чисел были найдены многие интересные закономерности, но поставленная задача оставалась без ответа. Первым приблизился к решению проблем простых чисел П. Оно оставалось самым большим из известных простых чисел более ста лет. Французский математик Лукас установил, что огромное число. Оно содержит 39 цифр. Для его вычисления были механические настольные счетные машины. А простое число — 1 состоит из 13 цифр. Два натуральных числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей m равна n , а сумма собственных делителей n равна m. История дружественных чисел теряется в глубине веков. По свидетельству античного философа Ямвлиха III-IV вв. Проверьте, пожалуйста, что числа и дружественные. Для нахождения дружественных чисел арабский ученый Сабит Ибн Курра IX в. Следующую пару чисел — 17 и 18 — обнаружили независимо друг от друга марокканский ученый Ибн Аль — Банна и три столетия спустя француз Пьер Ферма. Дальнейшие попытки найти дружественные пары при не больших значениях n к успеху не приводят. Более того способ Сабита ибн Курры не выявляется ни одной новой пары дружественных чисел, если n увеличивать до 20 ! Неужели дружественные числа — алмазы-самородки и для подсчета их пар многовато пальцев одной руки? Леонард Эйлер провел уникальные числовые раскопки. Он придумал оригинальные методы поиска и обнаружил сразу 61 новую пару дружественных чисел. Примечательно, что среди них оказались и не четные числа: Сейчас известно около пар дружественных чисел. Любопытно, что в г. Паганини однофамилец известного скрипача нашел пару дружественных чисел и , которую все, в том числе и выдающееся математики, проглядели! Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Есть ли смешанные пары, у которых одно число четное, а другое не четное? Существует общая формула, описывающая все дружественные пары? На эти и другие вопросы ответы пока не найдены. Из опыта вычисления люди знали, что каждое число является либо простым, либо произведением нескольких простых чисел. Но они не умели этого доказывать. Пифагор или кто-то из его последователей нашел доказательство этого утверждения. Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: Хорошо было бы, если все простые числа можно было сосчитать! Пусть их было бы хоть миллион — все равно мы знали бы, что, перемножая эти простые числа, можем получить все остальные. Но это оказалось не так. И одними из утверждений этой книги было следующее: Простые числа в натуральном ряде чисел, расположены очень причудливо. Иногда между ними есть только одно четное число все простые числа, кроме числа 2, нечетные. Такими близнецами так их зовут в науке, являются: До сих пор не известно, есть ли самые большие близнецы или нет. А иногда между соседними простыми числами лежит пропасть в миллионы и миллиарды чисел. Первым глубокие результаты о том, как разбросаны простые числа среди остальных натуральных чисел, получил великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев, основатель и руководитель русских математических исследований в прошлом веке. Из простых чисел можно получить любое число с помощью умножения. А что будет, если складывать простые числа? Конечно, если брать сколько угодно слагаемых, то можно получить любое число: Но живший в России в XVIII веке математик Гольдбах решил складывать нечетные простые числа лишь попарно. Он обнаружил удивительную вещь: Вот эти разложения для двухзначных чисел как это было во времена Гольдбаха, мы считаем 1 простым числом:. О своем наблюдении Гольдбах написал великому математику XVIII века Леонарду Эйлеру, который был членом Петербургской академии наук. Проверив еще много четных чисел, Эйлер убедился, что все они являются суммами двух простых чисел. Но четных чисел бесконечно много. По этому вычисления Эйлера давали надежду на то, что свойством, которое заметил Гольдбах, обладают все числа. Однако попытки доказать, что это всегда будет так, ни к чему не привели. Двести лет математики размышляли над проблемой Гольдбаха. И только советскому ученому Ивану Матвеевичу Виноградову удалось сделать решающий шаг. Он установил, что любое достаточно большое натуральное число является суммой трех простых чисел. Но число, начиная с которого верно утверждение Виноградова, невообразимо велико. По этому пока что, к сожалению, нет надежды даже с помощью самых лучших ЭВМ проверить, верно ли это утверждение для всех остальных чисел. Для нахождения всех простых чисел не больше заданного числа n, следуя методу Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги:. Данную работу можно использовать на уроках математики, и в кружковой работе, что бы не казалось, что наука математика это сухая, сухая неинтересная наука. Занятия школьного кружка 5 6 кл. Занимательные материалы по информатике и математике. Сфера, с игровые методы обучения. ISBN 5 09 3. Занимательные дидактические материалы по математике. Все материалы в разделе "Математика". Характеристика истории изучения значения простых чисел в математике путем описания способов их нахождения. Вклад Пьетро Катальди в развитие теории простых чисел. Способ Эратосфена составления таблиц простых чисел. ВВЕДЕНИЕ Простые числа с давних времен привлекают внимание математиков. В данной работе поставленная цель: Задачи для этой работы следующие: Показать способы нахождения простых чисел. Назвать имена математиков, связанных с историей открытия простых чисел. Составить задачи с использованием простых чисел. Она захватывала все простые числа от 2 до В г. Принципы построения курса математики в начальной школе. Математика и расцвет цивилизации. Доказательство бесконечности некоторых видов простых чисел. Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел. Физическое доказательство малой теоремы Ферма. Алгоритм нахождения простых чисел. Нумерация многозначных чисел в начальном курсе математики. Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера. Методика обучения математике как учебный предмет. Свойства чисел Периодическая система чисел. Элементарное доказательство великой теоремы Ферма.
Бибикор лекарство инструкция
Комитет информационных технологий
Расписание 41 автобуса могилев
Мисхор крым карта с улицами
Капли альбуцид инструкция