Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Привести результате упрощения выражение/
Тождественные преобразования алгебраических выражений
Совет 1: Как упростить выражение
Буквенные выражения
Буквенное выражение или выражение с переменными — это математическое выражение, которое состоит из чисел, букв и знаков математических операций. Например, следующее выражение является буквенным:. С помощью буквенных выражений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Умение манипулировать буквенными выражениями — залог хорошего знания алгебры и высшей математики. Любая серьезная задача в математике сводится к решению уравнений. А чтобы уметь решать уравнения, нужно уметь работать с буквенными выражениями. Чтобы описать какое-либо явление или процесс этого мира, составляется математическая модель тоже самое, что и уравнение. А чтобы уметь составлять такие модели опять же нужно уметь работать с буквенными выражениями. Для того, чтобы работать с буквенными выражениями, нужно в первую очередь изучить базовую арифметику: И не просто изучить, а понять досконально. Вся сложная математика основана на понимании элементарных вещей. Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях называются переменными. Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных. Например, изменим значения переменных a и b. Для изменения значений используется знак равенства. Мы изменили значения переменных a и b. Переменной a присвоили значение 2 , переменной b присвоили значение 3. Когда же происходит умножение переменных, то они записываются слитно. Если подставить вместо переменных a и b числа 2 и 3 , то мы получим 6. Слитно также можно записать умножение числа на выражение в скобках. То есть, знак умножения опускается. В буквенных выражениях часто можно встретить запись в которой число и переменная записаны слитно, например 3a. Другими словами, выражение 3a является произведением числа 3 и переменной a. Число 3 в этом произведении называют коэффициентом. Этот коэффициент показывает во сколько раз будет увеличена переменная a. Например, если переменная a равна 5 , то значение выражения 3a будет равно Говоря простым языком, коэффициент это число, которое стоит перед буквой перед переменной. Букв может быть несколько, например 5abc. Здесь коэффициентом является число 5. Данный коэффициент показывает, что произведение переменных abc увеличивается в пять раз. Если вместо вместо переменных abc подставить числа 2, 3 и 4, то значение выражения 5abc будет равно Можно мысленно представить, как сначала перемножились числа 2, 3 и 4, и полученное значение увеличилось в пять раз:. Знак коэффициента относится только к коэффициенту, и не относится к переменным. Минус, стоящий перед коэффициентом 6 , относится только к коэффициенту 6 , и не относится к переменной b. Понимание этого факта позволит не ошибаться в будущем со знаками. Иногда буквы записаны без коэффициента, например a или ab. В этом случае, коэффициентом является единица:. Это произведение минус единицы и переменной a и оно получилось следующим образом:. Здесь кроется небольшой подвох. Поэтому при решении задач следует быть внимательным. Записываем выражение abc в развёрнутом виде, и только потом подставляем значения переменных a, b и c. Иногда требуется решить задачу в которой требуется определить коэффициент в выражении. В принципе, данная задача очень проста. Достаточно уметь правильно умножать числа. Чтобы определить коэффициент в выражении, нужно отдельно перемножить числа, входящие в это выражение, и отдельно перемножить буквы. Получившийся числовой сомножитель и будет являться коэффициентом. Выражение состоит из нескольких сомножителей. Это можно отчетливо увидеть, если записать выражение в развёрнутом виде. Применим сочетательный закон умножения, который позволяет перемножать сомножители в любом порядке. А именно, отдельно перемножим числа и отдельно перемножим буквы переменные:. После завершения, буквенную часть желательно расположить в алфавитном порядке, для удобства и эстетики:. Определить коэффициент в выражении: Эти казалось бы простейшие задачи могут сыграть с вами очень злую шутку. Часто выясняется, что знак коэффициента поставлен неверно: Чтобы избежать этих досадных ошибок, тема умножения целых чисел должна быть изучена на идеальном уровне. При сложении нескольких чисел получается сумма этих чисел. Это мы знаем с самого начала изучения математики. Числа, которые складывают называют слагаемыми. Слагаемых может быть несколько, например:. Видно, что выражение состоит из сплошных слагаемых. Но в выражении может присутствовать не только сложение, но и вычитание, например:. Получается, что числа 3 и 5 являются вычитаемыми, а не слагаемыми. Но нам ничего не мешает, заменить вычитание сложением. Тогда мы снова получим везде слагаемые:. Главное, что все числа в данном выражении соединены знаком сложения, то есть выражение является суммой. Таким образом, значение выражения не страдает от того, что мы где-то заменили вычитание сложением. Заменять вычитание сложением можно и в буквенных выражениях. Например, рассмотрим следующее выражение:. Вы должны быть готовы к тому, что учитель в школе или преподаватель в институте может называть слагаемыми даже те параметры, которые ими не являются. Оба параметра он назовет одним общим словом — слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть. Слагаемые 7a и 2a имеют одинаковую буквенную часть — переменную a. Значит слагаемые 7a и 2a являются подобными. Обычно подобные слагаемые складывают, чтобы упростить выражение или решить уравнение. Эту операцию называют приведением подобных слагаемых. Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить коэффициенты этих слагаемых, и полученный результат умножить на общую буквенную часть. В данном случае, подобными являются все слагаемые. Сложим их коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть — на переменную a. Было 3 переменные a , к ним прибавили еще 4 переменные a и ещё 5 переменных a. В итоге получили 12 переменных a. Рассмотрим несколько примеров на приведение подобных слагаемых. Учитывая, что данная тема очень важна, на первых порах будем записывать подробно каждую мелочь. Несмотря на то, что здесь всё очень просто, большинство людей допускают множество ошибок. В основном по невнимательности, а не по незнанию. Второе слагаемое a записано без коэффициента, но на самом деле перед ним стоит коэффициент 1 , который мы не видим по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:. Теперь приведем подобные слагаемые. То есть, сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:. Было 2 переменные a , добавили ещё одну переменную a , в итоге получилось 3 переменные a. Стало быть выражение выглядит следующим образом:. Было 2 переменные a , вычли одну переменную a , в итоге осталась одна единственная переменная a. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть. Подробности порой даже путают. В данном примере это более чем заметно. Поэтому такие действия как замена вычитания сложением и записывание суммы из коэффициентов можно пропустить, вычисляя всё в уме. Встречаются также выражения, которые содержат несколько различных групп подобных слагаемых. Для таких выражений справедливы те же правила, что и для остальных — сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть. Но чтобы не запутаться, удобно подчеркнуть разными линиями подобные слагаемые разных групп. Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть, сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть. Сделать это нужно для обоих групп слагаемых — для слагаемых, содержащих переменную a и для слагаемых содержащих переменную b. Опять же повторимся, выражение несложное, и подобные слагаемые можно приводить в уме:. Подчеркнём подобные слагаемые разными линиями. Слагаемые, содержащие переменные a подчеркнем одной линией, а слагаемые содержание переменные b , подчеркнем двумя линиями:. То есть, сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть:. То есть, сложим коэффициенты и полученный результат умножим на общую буквенную часть. Можно упорядочивать слагаемые, чтобы те слагаемые которые имеют одинаковую буквенную часть, располагались в одной части выражения. Поскольку выражение является суммой из нескольких слагаемых, это позволяет нам вычислять его в любом порядке. Поэтому слагаемые, содержащие переменную t , можно записать в начале выражения, а слагаемые содержащие переменную x в конце выражения:. Мы помним, что сумма противоположных чисел равна нулю. Это правило работает и для буквенных выражений. Поэтому если в выражении нам встретятся одинаковые слагаемые, но с противоположными знаками, то мы можем избавиться от них на этапе приведения подобных слагаемых. То есть, вычеркнуть из выражения, потому что их сумма равна нулю. Сумма противоположных слагаемых равна нулю. Если убрать этот ноль из выражения, то значение выражения не изменится, поэтому мы его и уберем. В данном выражении можно привести подобные слагаемые и получить окончательный ответ:. Упростить выражение значит сделать его проще, короче, аккуратнее и красивее. На самом деле мы уже занимались упрощением выражений, когда сокращали дроби. Если вы помните, то после сокращения дробь становилась короче и проще для восприятия. Это задание буквально можно понять как: В данном случае, можно осуществить сокращение дроби, а именно разделить числитель и знаменатель дроби на Что ещё можно сделать? Можно вычислить полученную дробь. Тогда мы получим десятичную дробь 0,5. В итоге, дробь упростилась до 0,5. Потому что есть действия, которые можно делать, а есть действия, которые делать нельзя. Ещё один важный момент о котором нужно помнить заключается в том, что значение выражение не должно измениться после упрощения выражения. Например, вернемся к выражению. Данное выражение представляет собой деление, которое можно выполнить. Выполнив это деление, мы получаем значение данного выражения, которое равно 0,5. Но мы упростили выражение и получили новое упрощенное выражение. Значение нового упрощенного выражения по-прежнему равно 0,5. Но выражение мы тоже попытались упростить, вычислив его. В итоге получили окончательный ответ 0,5. Таким образом, как бы мы не упрощали выражение, значение получаемых выражений по-прежнему равно 0,5. Значит упрощение выполнялось верно на каждом этапе. Именно к этому нужно стремиться при упрощении выражений — значение выражения не должно страдать от наших действий. Часто требуется упрощать буквенные выражения. Для них справедливы те же принципы упрощения, что и для числовых выражений. Можно выполнять любые допустимые действия, лишь бы не пострадало значение выражения. На начальных этапах будем упрощать простейшие выражения, и постепенно перейдём к сложным. Чтобы упростить данное выражение можно отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы. Это задание очень похоже на то, которое мы рассматривали, когда учились определять коэффициент:. Данное решение можно записать покороче:. При упрощении выражений, дроби можно сокращать в процессе решения, а не в самом конце, как мы это делали с обычными дробями. Например, если в ходе решения мы наткнёмся на выражение вида , то вовсе необязательно вычислять числитель и знаменатель и делать что-то вроде этого:. Дробь можно сократить, выбирая по множителю в числителе и в знаменателе и сокращать эти множители на их наибольший общий делитель. Другими словами, использовать короткую версию сокращения дроби, в которой мы не расписываем подробно на что был разделен числитель и знаменатель. Например, в числителе множитель 12 и в знаменателе множитель 4 можно сократить на 4. Четвёрку храним в уме, а разделив 12 и 4 на эту четвёрку ответы записываем рядом с этими числами, предварительно зачеркнув их. Теперь можно перемножить получившиеся маленькие множители. В данном случае, их немного и можно перемножить в уме:. То что, можно вычислить в уме нужно вычислять в уме, а то что можно быстро сократить нужно быстро сокращать. Таким образом, выражение упростилось до. Таким образом, выражение упростилось до mn. Распишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:. Теперь отдельно перемножим числа и отдельно буквы. Решение для данного примера можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:. Перемножим отдельно числа и отдельно буквы. Для удобства вычисления смешанное число и десятичные дроби 0,1 и 0,6 можно перевести в обыкновенные дроби:. Таким образом, выражение упростилось до abcd. Если пропустить подробности, то данное решение можно записать значительно короче:. Обратите внимание на то, как сократилась дробь. Новые множители, которые получаются в результате сокращения предыдущих множителей, тоже допускается сокращать. Теперь поговорим о том, чего делать нельзя. При упрощении выражений категорически нельзя перемножать числа и буквы, если они являются суммой, а не произведением. Это равносильно тому, если бы нас попросили сложить два числа, а мы бы их перемножали вместо того, чтобы складывать. Предположим, что переменные a и b имеют следующие значения:. Сначала выполняется умножение, а затем полученные результаты складываются. А если бы попытались упростить данное выражение, перемножив числа и буквы, то получилось бы следующее:. Получается совсем другое значение выражения. В первом случае получилось 22 , во втором случае После упрощения выражения, его значение не должно изменяться при одних и тех же значениях переменных. Если при подстановке в изначальное выражение любых значений переменных получается одно значение, то после упрощения выражения должно получаться то же самое значение, что и до упрощения. Если в выражении присутствуют подобные слагаемые, то их можно сложить, если нашей целью является упрощение выражения. Коэффициент был переведён в неправильную дробь для удобства вычисления. В данном примере, целесообразнее было бы сложить первый и последний коэффициент в первую очередь. В этом случае мы получили бы короткое решение. Выглядело бы оно так:. Слагаемое осталось без изменений поскольку его не с чем было слкладывать. В коротком решении пропущены этапы замены вычитания сложением и подробное расписывание, как дроби приводились к общему знаменателю. Ещё одно различие заключается в том, что в подробном решении ответ выглядит как , а в коротком как. На самом деле это одно и то же выражение. Разница лишь в том, что в первом случае вычитание заменено сложением поскольку в начале, когда мы записывали решение в подробном виде, мы везде где можно заменили вычитание сложением и эта замена сохранилась и для ответа. После того, как мы упростили любое выражение, оно становится короче и проще. Чтобы проверить, верно ли упрощено выражение, достаточно подставить любые значения переменных сначала в предыдущее выражение, которое требовалось упростить, а затем в новое которое упростили. Если значение в обоих выражениях будет одинаковым, то выражение упрощено верно. Чтобы упростить данное выражение, можно по отдельности перемножить числа и буквы:. Проверим верно ли мы упростили выражение. Для этого подставим любые значения переменных a и b сначала в первое выражение, которое требовалось упростить, а затем во второе которое упростили. То же самое произойдет и для любых других значений. Такие выражения называют тождественно равными. Решая сложную задачу, чтобы облегчить себе вычисление, сложное выражение обычно заменяют на более простое выражение тождественно равное предыдущему. Такую замену называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения. Это упрощение можно называть тождественным преобразованием. Обычно это равенство состоит из двух частей: Наша задача состоит в том, чтобы произвести тождественные преобразования с одной из частей равенства и получить другую часть. Либо произвести тождественные преобразования с обеими частями равенства и сделать так, чтобы в обоих частях равенства оказались одинаковые выражения. Упростим левую часть данного равенства. Для этого, по отдельности перемножим числа и буквы:. В результате небольшого тождественного преобразования, левая часть равенства стала равна правой части равенства. Из всех тождественных преобразований мы научились складывать, вычитать, умножать и делить числа, сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, перемножать числа и буквы, входящие в выражения, упрощать некоторые выражения и т. Но это далеко не все тождественные преобразования, которые существуют в математике. Тождественных преобразований намного больше. В будущем мы ещё не раз в этом убедимся. Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках. Тех материалов, которые сейчас есть на данном сайте, маловато для сдачи огэ или егэ. Но их вполне достаточно, чтобы начать заниматься самостоятельно, открыв школьный учебник. Как-то вы долго делали этот сайт.. Я в 8 классе, 4 месяца назад нашёл ваш сайт, так как ничего не понимал там было вроде 30 шагов еще , прочитал их все, можно сказать базовое понял, но нужно дальше, на ютубе начал уроки смотреть и за еще 3 месяца, выучил на ютубе всю программу класса, выучил 9 класс неравенства , 10 класс тригонометрия. Никогда не занимался математикой, я гуманитарий, но по воле судьбы приходится. Но мне срочно нужна инфа про корни, квадраты, кубы, интегралы, системы линейных уравнений, начальная тригонометрия, логарифмы и все подобное для экономистов. Нет ли возможности рассказать что это или где можно на доступном языке прочесть? К сожалению, уроки с названными вами темами пока не написаны. Из книг можем посоветовать учебник Киселева по математике. Про интегралы хорошо написано у Александра Емелина на сайте http: Стало ясно только после анализа материала по многочленам и их свободным членам — но это вроде как уже вперед паровоза…. Имеются ввиду подобные слагаемые, свободные от буквенной части. Это словосочетание употреблено в переносном смысле и взято в кавычки. Очень жаль что заморозили временно сайт, Вы все очень круто объясняете, спасибо вам! Хотел у Вас спросить, возможно Вы смогли бы подсказать учебники по которым можно начать изучение физики с нуля? Интересует квантовая физика, оптическая физика. Буду благодарен за помощ. И вам спасибо, Тимур. Насчет физики ничего сказать не можем, поскольку это не наш профиль. Загляните на сайт http: Может найдете для себя что-нибудь полезное. Ваш e-mail не будет опубликован. Перейти к содержимому Математика с нуля Пошаговое изучение математики для начинающих Меню и виджеты. Основные операции Шаг 3. Первая практика Шаг 4. Порядок действий Шаг 6. Законы математики Шаг 7. Замены в выражениях Шаг 8. Разряды для начинающих Шаг 9. Делители и кратные Шаг НОД и НОК Шаг Действия с дробями Шаг Смешанные числа Шаг Сравнение дробей Шаг Единицы измерения Шаг Применение дробей Шаг Десятичные дроби Шаг Действия с десятичными дробями Шаг Применение десятичных дробей Шаг Округление чисел Шаг Периодические дроби Шаг Перевод единиц Шаг Расстояние, скорость, время Шаг Прямая и обратная пропорциональность Шаг Отрицательные числа Шаг Модуль числа Шаг Сложение и вычитание целых чисел Шаг Умножение и деление целых чисел Шаг Рациональные числа Шаг Сравнение рациональных чисел Шаг Сложение и вычитание рациональных чисел Шаг Умножение и деление рациональных чисел Шаг Дополнительные сведения о дробях Шаг Буквенные выражения Шаг Вынесение общего множителя за скобки Шаг Буквенные выражения Буквенное выражение или выражение с переменными — это математическое выражение, которое состоит из чисел, букв и знаков математических операций. Например, следующее выражение является буквенным: Содержание урока Переменные Коэффициенты Как определить коэффициент Слагаемые в буквенных выражениях Подобные слагаемые Упрощение выражений Тождества. Тождественно равные выражения Задания для самостоятельного решения. Переменные Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях называются переменными. Коэффициенты В буквенных выражениях часто можно встретить запись в которой число и переменная записаны слитно, например 3a. В этом случае, коэффициентом является единица: Это произведение минус единицы и переменной a и оно получилось следующим образом: А именно, отдельно перемножим числа и отдельно перемножим буквы переменные: После завершения, буквенную часть желательно расположить в алфавитном порядке, для удобства и эстетики: Перемножим отдельно числа и буквы: Слагаемые в буквенных выражениях При сложении нескольких чисел получается сумма этих чисел. Слагаемых может быть несколько, например: Но в выражении может присутствовать не только сложение, но и вычитание, например: Тогда мы снова получим везде слагаемые: Например, рассмотрим следующее выражение: Подобные слагаемые Подобные слагаемые — это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть. В итоге получили 12 переменных a Если подсчитать на рисунке количество переменных a , то насчитается Стало быть, выражение выглядит следующим образом: То есть, сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть: Стало быть выражение выглядит следующим образом: Было 2 переменные a , вычли одну переменную a , в итоге осталась одна единственная переменная a Пример 4. Слагаемые, содержащие переменные a подчеркнем одной линией, а слагаемые содержание переменные b , подчеркнем двумя линиями: То есть, сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть: Поэтому слагаемые, содержащие переменную t , можно записать в начале выражения, а слагаемые содержащие переменную x в конце выражения: В данном выражении можно привести подобные слагаемые и получить окончательный ответ: В данном случае, можно осуществить сокращение дроби, а именно разделить числитель и знаменатель дроби на 2: Тогда мы получим десятичную дробь 0,5 В итоге, дробь упростилась до 0,5. Выполнив это деление, мы получаем значение данного выражения, которое равно 0,5 Но мы упростили выражение и получили новое упрощенное выражение. Значение нового упрощенного выражения по-прежнему равно 0,5 Но выражение мы тоже попытались упростить, вычислив его. Это задание очень похоже на то, которое мы рассматривали, когда учились определять коэффициент: Упростить выражение Распишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы: Теперь отдельно перемножим числа и отдельно перемножим буквы: Данное решение можно записать покороче: Например, если в ходе решения мы наткнёмся на выражение вида , то вовсе необязательно вычислять числитель и знаменатель и делать что-то вроде этого: Четвёрку храним в уме, а разделив 12 и 4 на эту четвёрку ответы записываем рядом с этими числами, предварительно зачеркнув их Далее в числителе множитель 9 и в знаменателе множитель 3 можно сократить на 3 Далее в числителе множитель 6 и в знаменателе множитель 2 можно сократить на 2 Теперь можно перемножить получившиеся маленькие множители. В данном случае, их немного и можно перемножить в уме: Упростить выражение Перемножим отдельно числа и отдельно буквы: Таким образом, выражение упростилось до Пример 5. Выглядеть оно будет следующим образом: Упростить выражение Перемножим отдельно числа и отдельно буквы. Для удобства вычисления смешанное число и десятичные дроби 0,1 и 0,6 можно перевести в обыкновенные дроби: Если пропустить подробности, то данное решение можно записать значительно короче: Предположим, что переменные a и b имеют следующие значения: А если бы попытались упростить данное выражение, перемножив числа и буквы, то получилось бы следующее: Упростить выражение Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые: Таким образом, выражение упростилось до Пример Выглядело бы оно так: Данное решение можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет так: Тождественно равные выражения После того, как мы упростили любое выражение, оно становится короче и проще. Чтобы упростить данное выражение, можно по отдельности перемножить числа и буквы: Пусть к примеру, значения переменных a, b будут следующими: Тождеством называют равенство, которое верно при любых значениях переменных. Верные числовые равенства также являются тождествами. Для этого, по отдельности перемножим числа и буквы: Задания для самостоятельного решения: Найдите значение выражения при и. Найдите значение выражения при. Найдите значение выражения при и и. Запишите в виде буквенного выражения следующую последовательность действий:. Число a умножить на три , и из этого произведения вычесть пятнадцать Число t умножить на девять , и к полученному произведению прибавить тридцать пять. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:. Если будете усиленно заниматься, то да. Работа над сайтом пока заморожена. Уроки появляются не чаще, чем в раз в месяц. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш e-mail не будет опубликован. Дополнительные сведения о дробях. Вынесение общего множителя за скобки. Пошаговое изучение математики для начинающих. Копирование материалов и размещение их на других ресурсах строго запрещено.
Как запаролить файл не создавая архив
Отношение порождает отношение цитата
Вязание крючком мочалки с вытянутыми петлями
Преобразование выражений. Начальный уровень.
Из какой бумаги делают объемные цветы
Основные события войны 1812 года кратко
Проблема сохранения лесов
Пример 3.1
Сервера гаррис мод 13 гдеесть админка
Схема электроснабжения 8 квартирного дома
Упрощение выражений
Энгистол инструкция детям отзывы
Сделать дерево белым
Сколько лечится эпилепсия
Упрощение логических выражений
Журнал замены фритюрного масла образец скачать