Совет 1: Как считать пределы
Пределы онлайн
Решение пределов через раскрытие неопределённостей
Теория пределов — это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:. Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта. А сразу пример, чего бабушку лохматить…. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность. Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:. Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. А что в это время происходит с функцией? Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:. Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? А что получается внизу? Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида. Старшая степень в числителе равна двум. Старшая степень знаменателя равна двум. Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: Итак, метод решения следующий: Разделим числитель и знаменатель на. Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так: Для пометок лучше использовать простой карандаш. Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо? Максимальная степень в числителе: Полное оформление задания может выглядеть так:. Чистовой вариант решения может выглядеть так:. Предвосхищаю вопрос от чайников: На ноль же делить нельзя! А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее. Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: В данном случае получена так называемая неопределенность. Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и или использовать формулы сокращенного умножения. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше. Итак, решаем наш предел. Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение: И квадратный корень из него: Если корень не извлекается нацело получается дробное число с запятой , очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка. Очевидно, что можно сократить на:. Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:. Разложим числитель на множители. Что важного в данном примере? Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть. Если в пределе практически любого типа можно вынести число за скобку, то всегда это делаем. Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения. Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем — минус. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя вынести -1 за скобки. Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены. Продолжаем рассматривать неопределенность вида. Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни. Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела Еще раз повторяю — это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике. Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. А без них жизнь проще. Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: И смотрим на наш предел: А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, то есть на:. В известной степени, это искусственный прием. Теперь самое время применить вверху формулу:. Да просто подставить тройку под корни:. Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше. Разложим числитель на множители: FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Московский государственный университет приборостроения и информатики. Примеры решений Теория пределов — это один из разделов математического анализа. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи: Понять, что такое предел. Научиться решать основные типы пределов. Итак, что же такое предел? Любой предел состоит из трех частей: Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела: Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко! Еще один пример с бесконечностью: И еще серия примеров: Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов: Что нужно запомнить и понять из вышесказанного? Как решать пределы данного типа? Что принципиально важно в оформлении решения? Во-первых, указываем неопределенность, если она есть. Полное оформление задания может выглядеть так: Чистовой вариант решения может выглядеть так: Итак, решаем наш предел Разложим числитель и знаменатель на множители Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение: Числитель на множители разложен. Очевидно, что можно сократить на: Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела: В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так: Умножаем числитель на сопряженное выражение: Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем. А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, то есть на: Теперь самое время применить вверху формулу: Да просто подставить тройку под корни: Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела. Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте? Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Окончательное решение примера может выглядеть так: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение Спасибо за внимание.
Как сделать коробочку из пластиковой бутылки
Пион мисс америка описание
Аштанга йога асана
В рот крупным планом
Сорт винограда рислинг
Нарисовать животных африки
Как сделать цветочную композицию своими руками
Карамзин стихи о родине
Эси 032 1 протон инструкция
Понятие и классификация принципов права кратко
Английский язык 3 класс тесты 3 четверть
Коллективная жалоба о невыплате заработной платы образец
Типы и характеристики процессоров
Ценности и принципы права курсовая работа
Роль и значение искусства