Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Найти решение краевой задачи/
Решение краевых задач
Математический форум Math Help Planet
Краевые задачи. Функция Грина
Как мы говорили ранее, наряду с основной начальной задачей часто приходится решать так называемые краевые или граничные задачи. В этих задачах значение искомой функции задается не в одной, а в двух точках, ограничивающих отрезок, на котором требуется определить решение. Например, в задаче о движении материальной точки массы под действием заданной силы часто требуется найти закон движения, если в начальный момент точка находилась в положении, характеризуемом радиус-вектором , а в момент должна попасть в точку. Задача сводится к интегрированию дифференциального уравнения движения с краевыми условиями. Заметим, что эта задача имеет, вообще говоря, не единственное решение. Если речь идет о баллистической задаче и о точках земной поверхности, то в одну и ту же точку тело может попасть по навесной и по настильной траектории. Более того, при очень высоких начальных скоростях можно попасть в ту же точку и после однократного или многократного облета земного шара. Аналогичную краевую задачу можно поставить и для луча света, проходящего через преломляющую среду: При этом очевидно, что задача не всегда имеет решение, а если решения существуют, то их может быть несколько и даже бесконечное множество например, если лучи, выходящие из точки А, фокусируются в точке В. Если удастся найти общее решение дифференциального уравнения краевой задачи, то для решения этой задачи надо определить произвольные постоянные, содержащиеся в общем решении, из граничных условий. При этом, конечно, далеко не всегда существует действительное решение, а если существует, то оно не обязательно единственно. В качестве примера возникающих здесь возможностей рассмотрим следующую краевую задачу: Общее решение уравнения 1 имеет вид. Первое граничное условие удовлетворяется при , при этом. Если , где — целое число, то из второго граничного условия находим ,. Следовательно, в этом случае существует единственное решение краевой задачи. Если же и , то все кривые пучка являются графиками решения краевой задачи. При , решений краевой задачи не существует, так как ни одна кривая пучка не проходит через точку , где ,. Линейной заменой переменных краевые условия 3 сводятся к нулевым условиям , причем линейность уравнения 2 не нарушается. Умножением на линейное уравнение 2 приводится к виду. Поэтому без существенного ограничения общности можно заменить изучение краевой задачи 2 , 3 изучением краевой задачи для уравнения 4 с граничными условиями. Вначале рассмотрим краевую задачу 4 , 5 , причем является локализованной в точке функцией с единичным импульсом. Обозначим непрерывное решение этой краевой задачи и перейдем к пределу при:. Нетрудно было бы доказать существование этого предела, не зависящего от выбора функции , однако в этом нет необходимости, так как пока наши рассуждения носят эвристический характер, а позже мы дадим точное определение функции. Функция называется функцией влияния или функцией Грина рассматриваемой краевой задачи. Решением рассматриваемой краевой задачи 4 , 5 является. В точке производная должна иметь разрыв первого рода со скачком. Действительно, ожидать разрыва следует лишь в точке локализации функции, то есть в точке. Умножая тождество на и интегрируя в пределах от до , получим и переходя к пределу при , будем иметь. Все наши рассуждения о функции Грина носили эвристический характер. Придадим им теперь необходимую точность. Функцией Грина краевой задачи 4 , 5 называется функция, удовлетворяющая указанным выше условиям 1, 2, 3, 4. Непосредственной подстановкой в уравнение 4 проверяем, что выражение 8 является решением этого уравнения краевые условия 5 , очевидно, удовлетворяются в силу свойства 3. Рассмотрим метод построения функции Грина, из которого получим также достаточное условие ее существования. Это решение, вообще говоря, не удовлетворяет второму граничному условию. Случай является исключительным, и мы его здесь рассматривать не будем. Очевидно, что решения , где — произвольная постоянная, также удовлетворяют граничному условию. Аналогично находим нетривиальное решение уравнения 9 , удовлетворяющее второму граничному условию. Этому же условию удовлетворяют все решения семейства , где — произвольная постоянная. Функцию Грина ищем в виде причем постоянные выбираем так, чтобы были выполнены условия 1 и 4, то есть чтобы функция была непрерывна по при фиксированном , и в частности непрерывна в точке:. В силу предположения, что , решения и линейно независимы, так как все линейно зависимые от решения имеют вид и, следовательно, при не обращаются в нуль в точке , в которой обращается в нуль решение. Следовательно, определитель системы 10 , 11 , являющийся определителем Вронского: Найти функцию Грина краевой задачи , ,. Решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющие условиям , , соответственно имеют вид и , следовательно, согласно 12 ,. Ранее мы предположили, что не существует нетривиального решения однородного уравнения 9 , удовлетворяющего нулевым граничным условиям. Это условие гарантирует не только существование и единственность решения краевой задачи 4 , 5 , но и единственность функции Грина. Действительно, если допустить существование двух различных функций Грина и для краевой задачи 4 , 5 , то получим два различных решения этой задачи: Учись учиться, не учась! Предложение, функция предложения, закон предложения. Неценовые факторы, влияющие на объем предложения Автоматического управления. Частотная передаточная функция системы Анализ решения данной задачи.. Так как оба ограничения этой задачи активно, то товары обоих видов необходимо продавать Бесконечно большая функция б. Соотносительность функций государственного управления с функциями государства Введение. Физиология — это наука о функциях и механизмах деятельности клеток, тканей, органов, систем и всего организма в целом Вероятность как функция события Весовая функция системы Взаимная коррел. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Лекция 13 Как мы говорили ранее, наряду с основной начальной задачей часто приходится решать так называемые краевые или граничные задачи. Рассмотрим несколько подробнее краевые задачи для линейных уравнений второго порядка , 2.
Финал нба 2016 результаты
Огэ английский язык письменная часть тренировочные тесты
После промывания уха осталась вода что делать
Краевая задача
Госпошлина загранпаспорта нового образца тюмень
Как сделать растущую игрушку
Муж изменил как пережить измену
Методы решения краевой задачи
Быстрое маринование грибов в домашних условиях
Правила поведения детей с родителями
Решение краевых задач
Как это любить по французски видео эротика
Ргсу курск расписание занятий
Перикоронит история болезни
Методы решения краевой задачи
Естественно правовое право понимание