Частота события. Статистическая вероятность
Частота (статистическая вероятность) события
Studepedia.org - это Лекции, Методички, и много других полезных для учебы материалов
Рассмотрим, например, неправильно выполненную, несимметричную игральную кость. Вместе с тем ясно, что каждое из перечисленных событий обладает определенной степенью объективной возможности, которую в принципе можно измерить численно и которая при повторении подобных опытов будет отражаться в относительной частоте соответствующих событий. Поэтому мы будем считать, что каждое событие, связанное с массой однородных опытов, - сводящееся к схеме случаев или нет, - имеет определенную вероятность, заключенную между нулем и единицей. Для событий, сводящихся к схеме случаев, эта вероятность может быть вычислена непосредственно по формуле 2. Для событий, не сводящихся к схеме случаев, применяются другие способы определения вероятностей. Все эти способы корнями своими уходят в опыт, в эксперимент, и для того, чтобы составить представление об этих способах, необходимо уяснить себе понятие частоты события и специфику той органической связи, которая существует между вероятностью и частотой. Частота события вычисляется на основании результатов опыта по формуле , 2. При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Например, при каких-то десяти бросаниях монеты вполне возможно, что герб появится только два раза частота появления герба будет равна 0,2 ; при других десяти бросаниях мы вполне можем получить 8 гербов частота 0,8. Однако при увеличении числа опытов частота все более теряет случайный характер; случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному опыту, в массе взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней, постоянной величине. Математическую формулировку этой закономерности впервые дал Я. Бернулли в своей теореме, которая представляет собой простейшую форму закона больших чисел. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать, что частота события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности в отдельном опыте. Связь между частотой события и его вероятностью — глубокая, органическая связь. Эти два понятия по существу неразделимы. Действительно, когда мы оцениваем степень возможности какого-либо события, мы неизбежно связываем эту оценку с большей или меньшей частотой появления аналогичных событий на практике. Характеризуя вероятность события каким-то числом, мы не можем придать этому числу иного реального значения и иного практического смысла, чем относительная частота появления данного события при большом числе опытов. Численная оценка степени возможности события посредством вероятности имеет практический смысл именно потому, что более вероятные события происходят в среднем чаще, чем менее вероятные. И если практика определенно указывает на то, что при увеличении числа опытов частота события имеет тенденцию выравниваться, приближаясь сквозь ряд случайных уклонений к некоторому постоянному числу, естественно предположить, что это число и есть вероятность события. Проверить такое предположение мы, естественно, можем только для таких событий, вероятности которых могут быть вычислены непосредственно, то есть для событий, сводящихся к схеме случаев, так как только для этих событий существует точный способ вычисления математической вероятности. Многочисленные опыты, производящиеся со времен возникновения теории вероятностей, действительно подтверждают это предположение. Они показывают, что для события, сводящегося к схеме случаев, частота события при увеличении числа опытов всегда приближается к его вероятности. Вполне естественно допустить, что и для события, не сводящегося к схеме случаев, тот же закон остается в силе и что постоянное значение, к которому при увеличении числа опытов приближается частота события, представляет собой не что иное, как вероятность события. Тогда частоту события при достаточно большом числе опытов можно принять за приближенное значение вероятности. Так и поступают на практике, определяя из опыта вероятности событий, не сводящихся к схеме случаев. Относительно частоты события и его вероятности такого категорического утверждения сделать нельзя. Действительно, нет ничего физически невозможного в том, что при большом числе опытов частота события будет значительно уклоняться от его вероятности; но такое значительное уклонение является весьма маловероятным, тем менее вероятным, чем большее число опытов произведено. Например, при бросании монеты 10 раз физически возможно хотя и маловероятно , что все 10 раз появится герб, и частота появления герба будет равна 1; при бросаниях такое событие все еще остается физически возможным, но приобретает настолько малую вероятность, что его смело можно считать практически неосуществимым. Таким образом, при возрастании числа опытов частота приближается к вероятности, но не с полной достоверностью, а с большой вероятностью, которая при достаточно большом числе опытов может рассматриваться как практическая достоверность. В теории вероятностей чрезвычайно часто встречается такой характер приближения одних величин к другим, и для его описания введен специальный термин: Это свойство частоты и вероятности, изложенное здесь пока без достаточных математических оснований, просто на основании практики и здравого смысла, составляет содержание теоремы Бернулли, которая будет доказана нами в дальнейшем см. Таким образом, вводя понятие частоты события и пользуясь связью между частотой и вероятностью, мы получаем возможность приписать определенные вероятности, заключенные между нулем и единицей, не только событиям, которые сводятся к схеме случаев, но и тем событиям, которые к этой схеме не сводятся; в последнем случае вероятность события может быть приближенно определена по частоте события при большом числе опытов. В дальнейшем мы увидим, что для определения вероятности события, не сводящегося к схеме случаев, далеко не всегда необходимо непосредственно определять из опыта его частоту. Теория вероятностей располагает многими способами, позволяющими определять вероятности событий косвенно, через вероятности других событий, с ними связанных. В сущности, такие косвенные способы и составляют основное содержание теории вероятностей. Однако и при таких косвенных методах исследования, в конечном счете, все же приходится обращаться к экспериментальным данным. Надежность и объективная ценность всех практических расчетов, выполненных с применением аппарата теории вероятностей, определяется качеством и количеством экспериментальных данных, на базе которых этот расчет выполняется. Кроме того, при практическом применении вероятностных методов исследования всегда необходимо отдавать себе отчет в том, действительно ли исследуемое случайное явление принадлежит к категории массовых явлений, для которых, по крайней мере, на некотором участке времени, выполняется свойство устойчивости частот. Только в этом случае имеет смысл говорить о вероятностных событиях, имея в виду не математические фикции, а реальные характеристики случайных явлений. Частота, или статистическая вероятность, события Формула 2.
Итак, случайное событие и его вероятность представляют собой основные понятия теории вероятностей. Аксиоматически, определив первичные свойства этих понятий, можно построить соответствующую математическую теорию. В настоящее время принята предложенная А. Колмогоровым система аксиом, на основе которой строится современная математическая теория вероятностей, представляющая собой хорошо развитый, достаточно сложный и изящный раздел математики. Она позволяет по значениям вероятностей некоторых исходных событий определять вероятности других связанных с ними событий. Можно всю жизнь заниматься этой наукой, не интересуясь физическим смыслом ее основных понятий. Однако для того, чтобы применить ее на практике, необходимо ответить по крайней мере на следующие два вопроса:. В случае применимости схемы равновозможных случаев ответ на эти вопросы дает формула 1. Однако в подавляющем большинстве прикладных задач эта схема неприменима. Последнее вводится Следующим образом. При малом числе н разброс этих величин может быть значительным. Для анализа таких событий может быть использована теория вероятностей. Для многих статистически устойчивых событий их частота определяется экспериментально. В этом случае между вероятностью и частотой события существует такое же соотношение, как между истинным и измеренным значениями некоторой физической величины. Возможность подобного рассмотрения подтверждается следующими соображениями:. Многочисленные эксперименты показали существование разнообразных статистически устойчивых событий. Экспериментально показано, что для событий, соответствующих схеме равновозможных случаев, частота!? В качестве примера использования понятий частоты и вероятности при исследовании прикладных вопросов рассмотрим следующую простую задачу. Предположим, что мы собираемся изготовить некоторое устройство, состоящее из четырех однотипных элементов, соединенных в два параллельных канала, по два элемента в каждом, по изображенной на рис. Устройство предназначено для преобразования поступающего на его вход сигнала и выдачи его в преобразованном виде на выходе. При этом для правильного срабатывания устройства достаточно правильного срабатывания по крайней мере одного канала. Однако каждый канал срабатывает лишь при условии нормальной работы обоих его элементов. Требуется еще до изготовления устройства оценить ожидаемую частоту его правильных срабатываний, т. Эту величину обычно называют надежностью устройства. Примем ее за величину вероятности отказа одного элемента. Отсюда, пользуясь зависимостью 1. Будем рассматривать отказы всех входящих в устройство элементов как независимые события. Тогда, пользуясь равенствами 1. Для нормальной работы всего устройства в целом необходимо и достаточно осуществления одного из следующих трех несовместных событий:. Отсюда видно, что введение второго канала существенно уменьшает вероятность отказа устройства в целом. Аналогичным образом может быть проанализирована работа устройства, состоящего из трех и большего числа параллельных каналов. Таким образом, зная надежность исходных элементов, можно выбрать конструкцию, удовлетворяющую заданным требованиям по надежности устройства в целом. Приведенный пример расчета надежности методами теории вероятностей базируется на ряде допущений. Укажем основные из них. Допустимость перехода от частоты к вероятности при определении вероятности отказа одного элемента и от вероятности к частоте при практических использованиях найденной вероятности безотказной работы устройства в целом. Независимость вероятности отказа одного элемента от различия между условиями заводских испытаний и условиями работы элементов в устройстве. Безотказность остальных частей устройства соединяющих элементов, коммуникационных линий, различных переключателей и т. Существенное нарушение хотя бы одного из этих условий может быть причиной пру бой ошибочности найденных результатов. Так, например, какой-либо внешний фактор сотрясение, изменение температуры, вспышка на Солнце может повысить вероятность отказа всех элементов устройства. При этом возникает зависимость между отказами различных элементов и резервирование каналов иногда становится практически бесполезным. Следует иметь в виду, что небольшие отклонения от принятых допущений всегда имеют место. Поэтому в ответственных случаях например, при передаче изделий в массовое производство результаты предварительных проектных расчетов надежности проверяются испытаниями готовых изделий. Приведенный пример хорошо иллюстрирует основные принципы использования вероятностных расчетов для практических целей. При этом решение рассматриваемой прикладной выдачи можно разделить на следующие этапы:. Проведение подобных исследований возможно лишь на основе некоторых допущений о характере рассматриваемых событий и их взаимной связи. Правильный выбор системы -допущений имеет решающее значение для задач рассматриваемого типа. Эта система должна соответствовать существу решаемой прикладной задачи и обеспечивать возможность проведения необходимых расчетов методами теории вероятностей. Так как ни одна система допущений не учет выполняться абсолютно точно, то следует обратить особое внимание на устойчивость получаемого решения к малым отклонениям от принятых допущений. А именно, при возможных малых отклонениях от этих допущений результаты не должны существенно изменяться. Таким образом, устанавливается близость понятий частоты и вероятности. А именно, частоту статистически устойчивого случайного события следует рассматривать как измеренное значение его вероятности и использовать в числе исходных данных для вероятностных расчетов. Получаемая в результате этих расчетов вероятность некоторого другого события может рассматриваться как его частота при многократном повторении эксперимента. Такой переход имеет смысл даже в том случае, когда эксперимент проводится всего один раз например - при запуске космического аппарата на другую планету. В этом случае многократное повторение эксперимента следует рассматривать как гипотетическую возможность. Если вероятность некоторого события мала, то при единичном эксперименте мы можем с большой уверенностью считать, что оно не произойдет. По сути, этим мы все время руководствуемся в обыденной жизни. Пешеход, выходящий на улицу большого города, и пехотинец, идущий в атаку на пулемет, испытывают совершенно различные чувства. Но ведь в обоих случаях можно погибнуть. Только с разной вероятностью! В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание и дисперсия. Если число значений случайной величины счетно, то. При этом, если ряд в. Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания. Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например:. В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой. Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Среднее гармоническое и среднее геометрическое случайной величины - числовые характеристики, используемые в экономических вычислениях. Прямые многократные измерения делятся на равно- и неравноточные. Теоретические основы и методика объединения результатов неравноточных измерений подробно рассмотрены в [3]. При равноточных измерениях СКО результатов всех рядов измерений равны между собой. Перед проведением обработки результатов измерений необходимо удостовериться в том, что данные из обрабатываемой выборки статистически подконтрольны, группируются вокруг одного и того же центра и имеют одинаковую дисперсию. Устойчивость изменений часто оценивают интуитивно на основе длительных наблюдений. Однако существуют математические методы решения поставленной задачи — так называемые методы проверки однородности [3]. Применительно к измерениям рассматривается однородность групп наблюдений, необходимые признаки которой состоят в оценке несмещенности средних арифметических и дисперсий относительно друг друга. Проверка допустимости различия между оценками дисперсий нормально распределенных результатов измерений выполняется с помощью критерия Р. Фишера при наличии двух групп наблюдений и критерия М. Бартлетта, если групп больше. Критерий Фишера рассмотрен в гл. Задача обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение. Обработка должна проводится в соответствии с ГОСТ 8. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Последовательность обработки результатов прямых многократных измерений состоит из ряда этапов. Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений. На этом этапе определяются:. В соответствии с критериями, рассмотренными в гл. В ряде случаев для более надежной идентификации закона распределения результатов измерений могут определяться другие точечные оценки: Определение закона распределения результатов измерений или случайных погрешностей измерений. В последнем случае от выборки результатов измерений х 1 , х 2 , х 3 , В вариационном ряду результаты измерений или их отклонения от среднего арифметического располагают в порядке возрастания. Сумма этих чисел должна равняться числу измерений. Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму, полигон и кумулятивную кривую. В этом случае площадь под гистограммой равна единице. При увеличении числа интервалов и соответственно уменьшении их длины гистограмма все более приближается к гладкой кривой — графику плотности распределения вероятности. Следует отметить, что в ряде слуяаев производят расчетное симметрирование гистограммы, методика которого приведена в [4 ]. Он более наглядно, чем гистограмма, отражает форму кривой распределения. За пределами гистограммы справа и слева остаются пустые интервалы, в которых точки, соответствующие их серединам, лежат на оси абсцисс. Эти точки при построении полигона соединяют между собой отрезками прямых линий. В результате совместно с осью х образуется замкнутая фигура, площадь которой в соответствии с правилом нормирования должна быть равна единице или числу наблюдений при использовании частостей. Для ее построения по оси результатов наблюдений х рис. По виду построенных зависимостей может быть оценен закон распределения результатов измерений. Оценка закона распределения по статистическим критериям. Определение доверительных границ случайной погрешности. Под этими границами понимают найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. Она образуется из ряда составляющих: Границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы. Они суммируются по правилам, рассмотренным в разд. Доверительная вероятность при определении границ 6 принимается равной доверительной вероятности, используемой при нахождении границ случайной погрешности. При отсутствии данных о виде функции распределения состава. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Частота статистическая вероятность события Итак, случайное событие и его вероятность представляют собой основные понятия теории вероятностей. Однако для того, чтобы применить ее на практике, необходимо ответить по крайней мере на следующие два вопроса: Возможность подобного рассмотрения подтверждается следующими соображениями: Определяемая по формуле 1. Для нормальной работы всего устройства в целом необходимо и достаточно осуществления одного из следующих трех несовместных событий: Статистическая устойчивость результатов заводских испытаний используемых элементов. При этом решение рассматриваемой прикладной выдачи можно разделить на следующие этапы: Дисперсия случайной величины Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания. Моменты В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например: Эксцесс Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Среднее геометрическое и среднее гармоническое Среднее гармоническое и среднее геометрическое случайной величины - числовые характеристики, используемые в экономических вычислениях. На этом этапе определяются:
Благотворительный фонд материальной
Очень хочу похудеть на 5 кг
Вырица спб расписание электричек
Сравнительная таблица россия при петре 1
Новости нефтекамска на тнт вчера дтп