Методы и способы решения задач целочисленного параметрического программирования
Нахождение решения задачи параметрического программирования
Методы решения задач целевого программирования. Графический метод
Использованные в предшествующих главах методы оптимизации рассматривали задачи только с "жесткими" ограничениями на переменные, которые не могут быть изменены в ходе решения. Хотя для многих задач такая постановка не вызывает сомнений, существуют задачи, для которых оказывается возможным преодолевать указанные ограничения, сохраняя их в более "мягкой" форме как желаемые цели. Такая техника моделирования получила название "целевое программирование". Рассмотрим её особенности на следующем примере. Имеется отель, который решено перепрофилировать для проведения семинаров и конференций. Такое перепрофилирование требует перестройки отеля с целью создания системы конференц- залов. Приглашенная бригада маркетологов определила, что для того чтобы быть привлекательнее своих конкурентов, отель должен иметь по меньшей мере 5 малых 40 кв. При этом общий объем вновь создаваемых площадей должен быть не меньше кв. По расчетам, подготовленным архитектором, руководство отеля определило ожидаемые затраты на строительство: Управляемыми переменными данной задачи будет являться количество больших, средних и малых конференц-залов Х , Хг и X3 , которые предполагается построить. В отличие от всех рассмотренных ранее постановок, содержащих только одну цель, выражаемую целевой функцией, задача в данной постановке будет содержать несколько целей, приведенных ниже. Новый отель должен содержать приблизительно 5 малых конференц-залов. Новый отель должен содержать приблизительно 10 средних конференц-залов. Новый отель должен содержать приблизительно 15 больших конференц-залов. Новый отель должен содержать приблизительно кв. Обратите внимание на слово "приблизительно", содержащееся в каждой цели. Оно подчеркивает "нежесткий" характер данных ограничений. Иными словами, если нам в результате решения задачи не удастся удовлетворить всем пяти целям, нам прийдется установить процедуру достижения компромисса между ними с целью выбора приемлемого решения. Для этого построим линейную модель этой задачи и покажем, как с её помощью можно подойти к решению задачи целевого программирования. Построим целевые ограничения для каждой из перечисленных выше целей. Целевое ограничение показывает, как точно данное решение обеспечивает достижение поставленной цели. Для тою чтобы понять, как следует формулировать целевые ограничения, рассмотрим три таких ограничения, связанных с количеством необходимых отелю малых, средних и больших конференц-залов. Если бы мы хотели установить план реконструкции отеля, содержащий точно 5 малых, 10 средних и 15 больших конференц-залов, мы должны были бы включить в модель следующие жесткие ограничения: Для того чтобы трансформировать эти ограничения в мягкие ограничения, воспринимаемые как цели целевые ограничения , а не как жесткие требования, запишем их следующим образом: Остальные целевые ограничения задачи по суммарным вновь вводимым площадям и суммарным затратам на реконструкцию могут быть сформулированы в следующем виде: Как было указано выше, не обязательно все ограничения задачи целевого программирования должны иметь характер мягких, целевых ограничений. Часть из них может иметь вид обычных жестких ограничений, используемых, например, в линейных моделях. В рассматриваемом примере, в случае, если руководство отеля совершенно точно не имеет возможности истратить на реконструкцию более чем долларов, ограничение по суммарной стоимости реконструкции может быть отнесено к разряду жестких. Как мы увидим в дальнейшем, при анализе решения задач целевого программирования мягкие ограничения могут быть заменены жесткими. Хотя определение ограничений при решении задач целевого программирования может показаться достаточно простым, построение целевой функции таких задач часто требует известной изобретательности. Как уже отмечалось, решение задачи целевого программирования должно как можно более точно удовлетворить всем поставленным в задаче целям. Идеальное решение при этом будет точно соответствовать требованиям, определяемым правыми частями целевых ограничений. Однако чаще всего достигнуть идеального решения не удается из-за противоречивости поставленных в задаче целей. Поэтому наилучшим признается решение, в наименьшей степени отличающееся от идеального. Допустим, что целевой функцией рассматриваемого нами примера будет следующее выражение: Нетрудно заметить, что хотя такая целевая функция обеспечит нахождение решения, стремящегося к идеальному в котором все отклонения от целевых требований стремятся к минимуму , она имеет ряд недостатков. Первый из них связан с тем, что в этой формуле производится сложение разноразмерных величин. Избавиться от этого недостатка можно, заменив сложение абсолютных величин отклонений в формуле сложением их относительных величин следующим образом: Заметим, что данное выражение может использоваться только в случае, если правые части целевых ограничений не равны нулю в противном случае, нам придется делить на нуль. Второй недостаток построенной целевой функции связан с оценкой желательности возможных отклонений от поставленных целей. На первый взгляд, это выглядит сомнительно. Однако, только менеджер, принимающий решения по данной проблеме, может точно определить какой сумме соответствует "недодача" одного малого конференц-зала. Было бы хорошо, предоставить менеджеру необходимый инструментарий для оценки влияния различных целей для достижения их компромисса в решении. В обоих выражениях для целевой функции, приведенных выше, полагается, что отклонение от каждой из целей в любом направлении является одинаково нежелательным. Однако, если перерасход бюджета затрат на реконструкцию отеля является для руководства действительно нежелательным, то получение экономии этих средств по- видимому будет для него желательным или, по крайней мере, нейтральным. C дугой стороны, выбор для строительства 4 вместо 5 малых конференц-залов окажется для руководства отеля нежелательным, в то время как выбор 6 данных помещений вместо 5 будет желательным или нейтральным. Было бы хорошо предоставить ЛПР соответствующую возможность определения в целевой функции желательности или нежелательности тех или иных отклонений. Одним из методов ликвидации указанного недостатка построенной целевой функции является введение в неё определяемых ЛПР специальных весов переменных, выражающих отклонения, для оценки важности и желательности последних. Построенная с учетом указанных весов целевая функция будет иметь вид: Заметим, что переменная, выражающая нежелательное отклонение от установленной цели, имеет вес, определяемый положительной величиной. Этот вес делает нежелательным принятие данной переменной значения большего, чем нуль. Переменная, выражающая приемлемые или желательные отклонения, имеет равный нулю или отрицательный вес, делающий принятие этой переменной значения большего, чем нуль, приемлемым или даже желательным. Поэтому чаще всего ЛПР вынужден использовать для этого итеративные процедуры, сводящиеся к многократному решению задачи при различных значениях весов и анализу получаемых результатов. Вернемся к рассматриваемому нами примеру с реконструкцией отеля. Допустим, что руководство отеля считает нежелательным недовыполнение первых трех целей строительство заданного количества малых, средних и больших конференц-залов и относится индифферентно к возможности их перевыполнения. Допустим также, что для руководства является нежелательным недовыполнение установленного общего объема вводимых площадей в кв. И наконец, будем считать, что руководство отеля считает нежелательным перерасход установленной сметы реконструкции в долл. При указанных допущениях целевая функция задачи, выражающая взвешенную относительную сумму отклонений от поставленных целей, будет иметь вид: Заметим, что в приведенной целевой функции отсутствуют слагаемые, содержащие отклонения, к возможности появления которых руководство отеля относится индифферентно, поскольку их веса равны нулю. C другой стороны, данная целевая функция будет препятствовать выбору в решении 3 вместо 5 малых конференц- залов fi? Решение модели в ЭТ. Таким образом, решение рассматриваемой задачи целевого программирования может быть получено при помощи линейной модели, включающей в себя целевую функцию В первой верхней части модели содержатся данные о площади и затратах на реконструкцию различных видов конференц-залов. Во второй части модели находятся управляемые переменные величины которых мы ищем , переменные, определяющие отклонения управляемых переменных от установленных целей, и установленные целевые ограничения. Ячейки Е6 и F6 содержат следующие формулы для расчета суммарной площади вводимых в строй помещений и суммарных затрат на проведение реконструкции: F8 содержат значения переменных, выражающих отклонения управляемых переменных от установленных целевых ограничений в смысле недовыполнения или перевыполнения последних. F9 находятся формулы для расчета левых частей целевых ограничений. Правые части целевых ограничений записаны в ячейки B Для получения целевой функции сначала рассчитываются значения относительных отклонений делением абсолютных отклонений, находящихся в ячейках B7: F8, на соответствующие значения правых частей ограничений, записанных в ячейках B Затем веса соответствующих отклонений от целевых значений записываются в ячейки B Поскольку нахождение решения задачи целевого программирования представляет собой итеративный процесс, в котором нам может потребоваться изменять веса отклонений, их следует располагать в отдельной части таблицы. F14 , записывается в ячейку В Решение построенной в ЭТ модели производится с использованием режима ПОИСК РЕШЕНИЯ меню СЕРВИС, использующего для установки параметров диалоговые окна, приведенные на Рис. Диалоговое окно ПОИСК РЕШЕНИЯ для решения задачи целевого программирования Анализ решения. В приведенном в Табл. Однако полученные в решении значения суммарной вводимой площади и суммарных затрат на реконструкцию отеля превышают установленные требования на 25 кв. Диалоговое окно ПАРАМЕТРЫ РЕШЕНИЯ для решения задачи целевого программирования Таблица Поэтому ЛПР следует попытаться выбрать другую альтернативу решения, которая будет более точно соответствовать установленным целевым требованиям. Это может быть сделано путем изменения весов отклонений. После этого решим задачу повторно. Результаты второй итерации решения приведены в Табл. Малый Средний Большой г Площадь, кв. Малый Средний ТОЛИНОЙ Площадь кв. Однако, заметим, что для того, чтобы достигнуть такого сокращения затрат на строительство, нам пришлось отказаться от строительства двух больших конференц-залов, что стоило нам недовыполнения третей цели на Если ЛПР сочтет это неприемли- Таблица Малый Средний Большой ф Плошдаь, КВ. Малый Средний Большой Площадь кв. Полученная в результате третья итерация решения приведена в Табл. Как видно из Табл. Подобным образом ЛПР может продолжить процесс нахождения удовлетворяющего его компромисса в достижении поставленных целей. Этот итеративный процесс и составляет основу метода целевого программирования. Таким образом, в отличие от задач линейного программирования, рассмотренных выше, использование линейных моделей для решения задач целевого программирования не приводит к немедленному нахождению оптимального решения, а лишь дает возможность ЛПР исследовать различные альтернативы решения с целью выбора более точно соответствующей поставленным целям. Определить управляемые переменные в задаче. Определить жесткие ограничения задачи и сформулировать их обычным образом. Определить цели, которых Вы хотите достигнуть в результате решения задачи, и их целевые значения. Используя управляемые переменные, построить систему ограничений, обеспечивающих точное достижение поставленных целей. Трансформировать построенную систему ограничений в целевые ограничения, используя переменные, выражающие отклонения от установленных целей. Установить, какие из отклонений являются нежелательными. Построить целевую функцию, отражающую нежелательные отклонения. Установить приемлемые веса для отклонений. Если оно неприемлемо, вернуться к шагу 8 и произвести необходимые изменения весов. Технология целевого программирования а. Особенностью целевого программирования является то. Поскольку ЛПР изменяет веса в целевой функции от итерации к итерации, сравнение таких целевых функций по их полученной в результате решения величине лишено смысла, так как они выражают различные требования. Таким образом, мы должны сравнивать полученные альтернативы решения значения управляемых переменных , а не значения целевой функции. В некоторых задачах целевого программирования некоторые цели могут оказаться более важными, чем остальные. В этом случае ЛПР может установить для отклонений от этих целей такие большие веса, что эти нежелательные отклонения никогда не произойдут поскольку их вклад в целевую функцию будет таким большим, что даже незначительные отклонения резко увеличат целевую функцию. Установление таких весов, в каком-то смысле, сделает эти ограничения жесткими. Мы можем установить жесткое ограничение на величину отклонения от поставленной цели. Это требование может быть легко включено в модель в виде жесткого ограничения: Финансирование целевых программ Основы динамического программирования Глава 5. Линейное программирование в исследовании систем управления Линейное программирование. Уровни языков программирования Сущность и содержание программирования 5. Studio Аудиторская деятельность Банки Бизнес Бухгалтерский учет Кредит Маркетинг Менеджмент Бренд-менеджмент Инновационный менеджмент История менеджмента Коммуникационный менеджмент Кризисный менеджмент Менеджмент предприятий Общие вопросы менеджмента Организационное поведение Проектный менеджмент Управление рисками Финансовый менеджмент Философия Финансы Экономика Economics. Менеджмент — Общие вопросы менеджмента. Аудиторская деятельность Банки Бизнес Бухгалтерский учет Кредит Маркетинг Менеджмент Бренд-менеджмент Инновационный менеджмент История менеджмента Коммуникационный менеджмент Кризисный менеджмент Менеджмент предприятий Общие вопросы менеджмента Организационное поведение Проектный менеджмент Управление рисками Финансовый менеджмент Философия Финансы Экономика. Диалоговое окно ПОИСК РЕШЕНИЯ для решения задачи целевого программирования. Диалоговое окно ПАРАМЕТРЫ РЕШЕНИЯ для решения задачи целевого программирования. Результаты первой итерации решения задачи целевого программирования.
Линейное программирование — область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными. Программирование в управлении можно представить как процесс распределения ресурсов. Существует ряд различных методов, основанных на идеях математического программирования, однако, наиболее широкое применение нашел метод линейного программирования. Применение методов линейного программирования актуально в сегодняшнее время, так как использование математических моделей является важным направлением совершенствования планирования и анализа деятельности компании. Представление данных в виде математической модели позволяет конкретизировать информацию, создавать и моделировать варианты, выбирать оптимальные решения. Актуальность линейного программирования и обусловила выбор темы данной курсовой работы. Значимость выбранного вопроса определяется также тем, что использование метода линейного программирования представляет собой важность и ценность — оптимальный вариант выбирается из достаточно значительного количества альтернативных вариантов. Также все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Цель курсовой работы — на практическом примере продемонстрировать использование методов линейного программирования. Мебельный комбинат выпускает книжные полки А из натурального дерева со стеклом, полки В1 из полированной ДСП древесно-стружечной плиты без стекла и полки В2 из полированной ДСП со стеклом. Габариты полок А, В1 и В2 следующие: При изготовлении полок А выполняются следующие работы: Все операции, производимые в ходе столярных работ и упаковки, выполняются вручную. Полки В1 и В2 поставляются в торговую сеть в разобранном виде. За исключением операции упаковки, все остальные операции производство комплектующих полки, резка стекла при изготовлении полок В1 и В2, выполняются на специализированных автоматах. Трудоемкость столярных работ по выпуску одной полки А составляет 3,2 Тр1 ч. Производительность автомата, покрывающего полки А лаком - 2 Пр1 полок в час, автомата, режущего стекло - Пр2 стекол в час. Сменный фонд времени автомата для покрытия лаком — 7,4 ФВ1 ч, автомата для резки стекла - 7,1 ФВ2 ч. Сушка полок, покрытых лаком, происходит в течение суток в специальных сушилках, вмещающих 55 VI полок. На упаковку полки А требуется 6 Тр2 минуты. В производстве полок заняты 27 Р1 столяров и 7 Р2 упаковщиков. Производительность автомата, производящего комплектующие полок В, и В2, равна 7 Прз полки в час, а его сменный фонд времени равен 7,8 ФВ3 ч, трудоемкость упаковочных работ составляет 9 Тр3 мин для полки В1 и 10 Тр4 мин для полки В2. От поставщиков комбинат получает в месяц Z1 листов полированной ДСП, Z2 листов ДВП древесно-волокнистой плиты , а также Z3 листов стекла. Из каждого листа ДВП можно выкроить 6 К1 задних стенок полок В1 и В2, а из каждого листа стекла - 13 К2 стекол для полок А и В2. Склад готовой продукции может разместить не более V2 полок и комплектов полок, причем ежедневно в торговую сеть вывозится в среднем 72 N полок и комплектов. На начало текущего месяца на складе осталось 80 Ост полок, произведенных ранее. Себестоимость полки А равна С1 руб. Мебельный комбинат заключил договор на поставку заказчику 50 З полок типа В2 в текущем месяце. Составьте план производства полок на текущий месяц. Известны цены реализации полок: На складах хранится мука, которую необходимо завезти в хлебопекарни. Номера складов и номера хлебопекарен даны в таблице 1. Текущие тарифы перевозки муки [руб. При этом необходимо учитывать, что из-за ремонтных работ временно нет возможности перевозить муку с некоторых складов в некоторые хлебопекарни. Кроме того, необходимо учесть, что некоторые хлебопекарни имеют договоры на гарантированную поставку муки с определенных складов. Необходимо организовать поставки наилучшим образом, учитывая, что мука хранится и транспортируется в мешках весом по 50 кг. Симплекс метод - метод линейного программирования, который реализует рациональный перебор базисных допустимых решений, в виде конечного итеративного процесса, необходимо улучшающего значение целевой функции на каждом шаге. Применение симплекс-метода для задачи линейного программирования предполагает предварительное приведение ее формальной постановки к канонической форме с n неотрицательными переменными: Среди переменных задачи выбирается начальный базис из m переменных, для определенности X1, Целевая функция и ограничения равенства преобразуются к диагональной форме относительно базисных переменных, переменных, где каждая базисная переменная входит только в одно уравнение с коэффициентом Верхняя строка симплекс-таблицы представляет целевую функцию задачи. Каждая строка симплекс-таблицы, кроме первой, соответствует определенному ограничению-равенству задачи. Свободные члены ограничений составляют крайний левый столбец таблицы. Слева от таблицы записаны текущие базисные переменные X1, Преобразования таблицы надо производить до тех пор, пока не будет получена симплекс-таблица, которая одновременно является прямо и двойственно допустимой. Данный метод получил широкое распространение и большую популярность по сравнению с другими подходами, так как крайне редко на практике встречаются задачи трудные для симплекс-метода. На плоскости Ох1х2 строятся прямые, которые задают соответствующие ограничения:. Находим множество всех точек х1,х2, удовлетворяющим всем неравенствам. Такое множество называется областью допустимых решений. Множество индексов переменных, на которые наложено условие неотрицательности в прямой задаче определяют номера ограничений, имеющих форму неравенств в двойственной задаче. Множество номеров ограничений, имеющих форму неравенств в прямой задаче определяют множество индексов переменных, на которые накладывается условие неотрицательности, в двойственной задаче. Из приведенного определения вытекает важное свойство — симметричность отношения двойственности, т. Теорема 2 о дополняющей нежесткости. Теорема 3 об оценках. Одна из наиболее распространенных задач математического программирования — транспортная задача. В общем виде ее можно представить так: Следовательно, дело сводится к наиболее рациональному прикреплению производителей к потребителям продукции и наоборот. В простейшем виде, когда распределяется один вид продукта и потребителям безразлично, от кого из поставщиков его получать, задача формулируется следующим образом. Имеется ряд пунктов производства с объемами производства в единицу времени месяц, квартал , равными соответственно и пункты потребления потребляющие за тот же промежуток времени соответственно продукции. В случае, если решается закрытая сбалансированная задача, сумма объемов производства на всех пунктах-поставщиках равна сумме объемов потребления на всех пунктах-получателях:. Тогда наиболее рациональным прикреплением поставщиков к потребителям будет такое, при котором суммарные затраты на транспортировку будут наименьшими:. Как и во всех подобных случаях, здесь также оговаривается неотрицательность переменных: Строки транспортной таблицы соответствуют пунктам производства в последней клетке каждой строки указан объем запаса продукта ai , а столбцы — пунктам потребления последняя клетка каждого столбца содержит значение потребности bj. Все клетки таблицы кроме тех, которые расположены в нижней строке и правом столбце содержат информацию о перевозке из i-го пункта в j-й: Несбалансированную открытую транспортную задачу приводят к виду, показанному выше, искусственно: В настоящее время разработано множество различных алгоритмов решения транспортной задачи: Это оптимизационная задача, при которой одновременно с установлением объема производства на отдельных предприятиях определяется и оптимальная схема размещения заказов т. Она имеет особое значение для так называемых многотоннажных производств, где важен транспортный фактор например, черные металлы, минеральные удобрения, нефтепереработка. Такие задачи математически могут быть представлены в двух видах: Будучи основанными на принципах транспортной задачи линейного программирования, они очень сложны и решаются специальными, обычно многостадийными приемами с использованием эвристических элементов. Введем на рабочий лист Excel необходимые данные. В ячейке В5 запишем выражение целевой функции, а в ячейках В8: В11— левые части ограничений. Переведите переключатель Равной в положение минимальному значению. Начнем с первого ограничения. Установим курсор в поле Ссылка на ячейку и, выделяя на листе рис. В этом окне оставьте неизменными установленные по умолчанию Максимальное время: С его помощью можно подготовить три типа отчетов: В первой таблице Целевая ячейка приводятся сведения о целевой функции: Третья таблица Ограничения отображает результаты оптимального решения, касающиеся ограничений и граничных условий. Отчёт по переделам рис. В данной задаче искомыми неизвестными являются количество полок каждого вида, которые будут произведены в текущем месяце. Таким образом, Х1 — количество полок А шт. Тр1 — это время, затрачиваемое на столярные работы при производстве одной полки типа А;. Целесообразно ориентироваться не на количество листов ДСП, а на количество комплектов для полок, которые можно получить из имеющегося запаса ДСП. Поскольку листы ДСП можно раскраивает различными способами и получать при этом различное количество деталей и комплектов, то обозначим месячный запас комплектов в правой части как Yкомпл и рассмотрим способ его численного определения позже. Здесь учитывается, что общая емкость склада уменьшается на остаток полок, которые остались невывезенными с прошлого месяца. Кроме того, в течение месяца каждый день будет освобождаться по N мест для полок. В зависимости от размеров листов ДСП и габаритов полок детали В1 и В2 можно выкроить различными способами. Рассмотрим 3 возможных варианта такого раскроя рис. Согласно 1 варианту из одного листа ДСП для полок В1 и В2 можно выкроить 19 деталей верхней и нижней стенок, а также 9 деталей боковых стенок. По 2 варианту раскроя получаем 12 деталей верхней и нижней стенок и 36 деталей боковых стенок. По 3 варианту раскроя получаем 16 деталей верхней или нижней стенок и 18 деталей боковых стенок. Обозначим количество листов ДСП, раскроенных в течение месяца: Таким образом, наша цель — укомплектовка максимального количества полок — описывается целевой функцией:. Количество всех раскроенных листов ДСП не должно превышать , то есть ежемесячный запас их на складе:. Для этого повторим все пункты выполнения работы 3. В ячейку Е5 введем целевую функцию, в ячейки В6: В19 — ограничения, переменные будем изменять в ячейках В3: После реализации всех произведенных полок комбинат получит прибыль в размере рублей. Оформим отчеты аналогично п. Информация о значениях переменных, полученных в результате решения задачи. Анализ отчета показывает, что мы можем уменьшить фонд времени фонд времени по производству полок В на 60,86 ч и это никак не повлияет на оптимальное решение. Таким образом, мы снизим время работы автомата, производящего комплектующие полки В1 и В2. На основании проведенного анализа можно сделать вывод о том, что существуют причины, не позволяющие мебельному комбинату выпускать большее количество полок и получать большую прибыль. Проанализировать эти причины позволяет отчет по устойчивости. Это приведет к новым оптимальным решениям, увеличивающим прибыль по сравнению с найденной. Дальнейшее увеличение емкости рынка сверх указанных пределов не будет больше улучшать решение. Обозначим через хij [меш. Прежде чем проверять сбалансированность задачи, надо исключить объем гарантированной поставки из дальнейшего рассмотрения. Для этого вычтем 40 т из следующих величин:. Поэтому для проверки баланса и дальнейшего решения задачи приведем эти величины к одной единице измерения - мешкам. Например, запас муки на. Округление при расчете потребностей надо проводить в большую сторону, иначе потребность в муке не будет удовлетворена полностью. Сбалансированная транспортная матрица представлена в таблице 3. Стоимость перевозки муки должна быть отнесена к единице продукции, то есть к 1 мешку муки. Так, например, тариф перевозки из первого склада в третий магазин равен руб. Для установления баланса необходим дополнительный фиктивный магазин. Фиктивные тарифы перевозки зададим таким образом, чтобы они были дороже реальных тарифов. Формальная ЦФ, то есть суммарные затраты на все возможные перевозки муки, учитываемые в модели, задается следующим выражением:. При этом следует учитывать, что вследствие использования фиктивных тарифов реальная ЦФ будет меньше формальной ЦФ на стоимость найденных в процессе решения фиктивных перевозок. Решим задачу с помощью средств MS Excel. Стоимость фиктивных перевозок составит: Найдем стоимость необходимых перевозок: После проведенных вычислений, в первой задаче, на нахождение значения переменных, обеспечивающие минимизацию целевой функции, мы получили следующие результаты:. Во втором решении, одноиндексной задачи линейного программирования, получаем итоговый ответ:. В данной работе мы не только исследовали, но и доказали выгодность проведения расчетов задач линейного программирования и, в частности, электронных таблиц Excel. Общий курс высшей математики для экономистов [Текст]: Попов Математические методы [Текст]: Экономико-математические методы и прикладные модели: Линейное и нелинейное программирования [Текст]: Задачи линейного программирования транспортного типа. A Subspace, Interior, and Conjugate Gradient Method for Large-Scale Bound-Constrained Minimization Problems. SIAM Journal on Scientific Computing, Vol. Решение задач линейного программирования, Курсовая работа. Хлебопекарни Запас, мешки Склады X3 Х4 Х5 Х6 С!
Автобус 33 одинцово расписание
Правила ловли креветки в крыму
Аллергический дерматит половых органов
Договор купли продажи крана образец
Что сделать бабушке на юбилей своими руками