Будем рассматривать две независимые переменные х и у. Каждой паре значений х и у на плоскости соответствует точка, для которой х и у являются координатами. Возьмём на плоскости множество точек и обозначим его. Величина z называется функцией переменных величин х и у на множестве D , если каждой точке этого множества соответствует одно определённое значение величины z. Множество D называется областью определения функции. Графиком функции двух независимых переменных является некоторая поверхность в пространстве. Положим , где - постоянная величина. Тогда уравнение даёт зависимость между переменными х и у , при которой заданная функция z сохраняет заданное значение C. Геометрически это означает, что поверхность пересекается плоскостью , параллельной плоскости. В результате такого пересечения полученная линия проектируется на плоскость и задаётся уравнением. При перемещении точки с координатами вдоль этой линии функция сохраняет постоянное значение, равное С. Линия на плоскости , в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение, называется линий уровня этой функции. Найти линии уровня функции. Поверхность, определяемая функцией , является параболоидом вращения. Линиями уровня являются концентрические окружности. Предположим, что функция определена в окрестности точки. Дадим независимой переменной х приращение. При этом переменная у будет сохранять своё значение. Тогда функция получит приращение по переменной х в точке. Это приращение называется частным приращением функции по переменной х в точке. Аналогично определяется частное приращение функции по переменной у в точке: Частной производной функции называется предел отношения частного приращения функции к частному приращению соответствующего аргумента, если последнее стремится к нулю:. По определению частная производная функции двух переменных находится как производная функции одной переменной, когда вторая переменная остаётся постоянной. Поэтому вычисление частных производных ничем не отличается от вычисления производных функции одной переменной и выполняется по тем же правилам. Найти частные производные функции двух переменных. Найдём частную производную по переменной х , считая переменную у постоянной: Теперь будем считать, что переменная х остаётся постоянной: Предположим, что частные производные и функции в свою очередь являются функциями независимых переменных х и у. Тогда частные производные от этих частных производных называются частными производными второго порядка или вторыми частными производными функции: Производные и называются смешанными и они равны между собой. Найти частные производные второго порядка функции. Пусть функция определена в некоторой области и пусть точка. Точка называется точкой максимума функции , если есть наибольшее значение функции в окрестности этой точки. Точка называется точкой минимума функции , если есть наименьшее значение функции в окрестности этой точки. Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции , а значение функции в точке минимума — минимумом функции. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции. Если в точке функция имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю, то есть и. Это необходимые условия экстремума. Точка, в которой обе частные производные равны нулю, называется критической точкой функции. Для отыскания критических точек функции нужно найти её частные производные, приравнять их нулю и решить систему двух уравнений с двумя неизвестными: Точки экстремума, если они есть, находятся среди критических точек функции. Пусть является критической точкой функции. Вычислим частные производные второго порядка в этой точке: Составим выражение и проанализируем его знак:. Рассмотренные условия называются достаточными условиями экстремума. Исследовать функцию на экстремум. Таким образом, найдены две критические точки ,. Следовательно, стали известны ещё две критические точки ,. Найдём частные производные второго порядка: Проверим достаточные условия для точки:. Следовательно, в точке функция имеет экстремум. Аналогично установим, что в точке функция имеет максимум, причём. В точках и экстремума нет. В различных областях деятельности при изучении всевозможных процессов часто устанавливаются зависимости между участвующими в процессах величинами. Эти зависимости обычно выражаются математическими формулами. Формулы, которые составлены на основании обработки изучаемых данных, называются эмпирическими. Одним из наилучших методов получения эмпирических формул является метод наименьших квадратов. Пусть существует некоторая зависимость между переменными величинами х и у. Возьмём результаты n наблюдений этих величин и запишем их значения в таблицу:. Эта таблица выражает некоторую функциональную зависимость между переменными х и у. Требуется установить форму этой зависимости в аналитическом виде. Будем рассматривать упорядоченные пары чисел данной таблицы как точки в прямоугольной системе координат. Может оказаться, что эти точки на графике будут группироваться около некоторой линии. Если этой линией будет прямая, то целесообразно приближённо считать зависимость между переменными х и у линейной и искать её в виде уравнения прямой линии , где коэффициенты a и b нужно определить. Обозначим через наблюдаемые пары значений , а через - соответствующие точки на прямой. Разности или называются погрешностями, а функция есть функция двух переменных a и b. Следовательно, задача сводится к подбору таких коэффициентов a и b , чтобы сумма абсолютных величин погрешностей была наименьшей. Эта функция является функцией двух независимых переменных a и b. Если можно будет найти минимум функции при некоторых значениях a и b , то при этих же значениях функция также будет иметь минимум. Необходимым условием экстремума функции в точке является равенство нулю её частных производных и , то есть. Тогда система примет вид: Полученная система двух уравнений с двумя неизвестными называется нормальной системой метода наименьших квадратов при выравнивании по прямой. Решив эту систему, найдём значения a и b и подставим их в уравнение. Уравнение называется уравнением регрессии и выражает линейную зависимость переменной у от переменной х. Коэффициент а называется коэффициентом регрессии и показывает, как изменится переменная у при изменении переменной х на единицу. На основании опытных данных построить точки и по точечной диаграмме определить вид эмпирической зависимости. Затем методом наименьших квадратов найти параметры эмпирической функции. На диаграмме видно, что эти точки группируются около прямой линии. Поэтому эмпирическую зависимость будем считать линейной и искать её в виде уравнения прямой линии. Для определения параметров a и b заполним таблицу:. Следовательно, эмпирическая зависимость задаётся уравнением. Что называется частным приращением функции двух независимых переменных, полным приращением функции двух независимых переменных? Какие точки называются критическими точками функции двух независимых переменных и как они находятся? Найти частные производные первого и второго порядков функций: FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Белорусская государственная сельскохозяйственная академия. Частные производные Будем рассматривать две независимые переменные х и у. Частной производной функции называется предел отношения частного приращения функции к частному приращению соответствующего аргумента, если последнее стремится к нулю: Экстремум функции двух переменных Пусть функция определена в некоторой области и пусть точка. Составим выражение и проанализируем его знак: Проверим достаточные условия для точки: Метод наименьших квадратов В различных областях деятельности при изучении всевозможных процессов часто устанавливаются зависимости между участвующими в процессах величинами. Возьмём результаты n наблюдений этих величин и запишем их значения в таблицу: Необходимым условием экстремума функции в точке является равенство нулю её частных производных и , то есть Преобразуем и получим: Запишем суммы в сокращённом виде: Для определения параметров a и b заполним таблицу: Вопросы для самоконтроля знаний Что называется функцией двух независимых переменных? Что называется линией уровня функции двух независимых переменных? Что называется частной производной функции двух независимых переменных? Что называется частной производной второго порядка? Какие частные производные второго порядка называются смешанными? Что называется минимумом максимумом функции двух независимых переменных? Как формулируются необходимые условия экстремума функции двух независимых переменных? Как формулируются достаточные условия экстремума функции двух независимых переменных? Для чего используется метод наименьших квадратов и в чём его суть? Что такое уравнение регрессии? Задания для самостоятельной работы Найти частные производные первого и второго порядков функций: Исследовать функции на экстремум:
Ремонт ричтраков в москве
Какую зарплатуты заслуживаешь тест
Тянет низ живота и вздутие причины