Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования. Часто возникает необходимость, как в самой математике, так и ее приложениях в разнообразных областях получать решения математических задач в числовой форме. Для представления решения в графическом виде также требуется предварительно вычислять его значения. При этом для многих задач известно только о существовании решения, но не существует конечной формулы, представляющей ее решение. Даже при наличии такой формулы ее использование для получения отдельных значений решения может оказаться неэффективным. Наконец, всегда существует необходимость решать и такие математические задачи, для которых строгие доказательства существования решения на данный момент отсутствуют. Во всех этих случаях используются методы приближенного, в первую очередь численного решения. Методы численного решения математических задач всегда составляли неотъемлемую часть математики и неизменно входили в содержание естественно-математического и инженерного образования. Как самостоятельная математическая дисциплина вычислительная математика оформилась в начала го века. К этому времени в основном были разработаны разнообразные, достаточно эффективные и надежные алгоритмы приближенного решения широкого круга математических задач, включающего стандартный набор задач из алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений. Прогресс в развитии численных методов способствовал постоянному расширению сферы применения математики в других научных дисциплинах и прикладных разработках, откуда в свою очередь поступали запросы на решение новых проблем, стимулируя дальнейшее развитие вычислительной математики. Метод математического моделирования, основанный на построении и исследовании математических моделей различных объектов, процессов и явлений и получении информации о них из решения связанных с этими моделями математических задач, стал одним из основных способов исследования в так называемых точных науках. Современной формой метода математического моделирования, базирующейся на мощной вычислительной базе в виде ЭВМ и программного обеспечения, реализующего алгоритмы численного решения, является вычислительный эксперимент, рассматриваемый как новый теоретический метод исследования различных явлений и процессов. Этот теоретический метод включает существенные черты методологии экспериментального исследования, но эксперименты выполняются не над реальным объектом, а над его математической моделью, и экспериментальной установкой является ЭВМ. Построение математической модели исследуемого объекта сюда же относится и анализ модели, выяснение корректности поставленной математической задачи. Построение вычислительного алгоритма - метода приближенного решения поставленной задачи и его обоснование. Проведение серии расчетов с варьированием определяющих параметров исходной задачи и алгоритма. Каждый из этих этапов допускает возврат к любому из предыдущих этапов с целью его уточнения и корректировки. В данном курсе рассматриваются вопросы, связанные со вторым этапом вычислительного эксперимента. Во многих случаях вычислительный алгоритм решения сложной задачи строится из набора базовых компонент, представляющих собой алгоритмы решения некоторых стандартных математических задач. Изучение численных методов решения этих задач - необходимый элемент овладения современной технологией математического моделирования. При этом идея модели лежит в основе того, что можно назвать методом вычислительной математики. Как правило, алгоритмы приближенного решения базируются на том, что исходная математическая задача заменяется аппроксимируется некоторой более простой или чаще последовательностью более простых задач. Решение этих более простых задач трактуется как приближенное решение задачи исходной. Во многих научных и инженерных задачах возникает необходимость решения уравнений вида: Решениями или корнями уравнения 1 называются такие значения х , которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество. Только для простейших уравнений удается найти решение в аналитическом виде, то есть записать формулу, выражающую искомую величину х в явном виде. В большинстве же случаев приходится решать уравнение вида 1 численными методами. Хотя иногда, даже при наличии аналитического решения, имеющего сложный вид, бывает проще провести численное решение по известному алгоритму, чем программировать громоздкую аналитическую формулу. На первом этапе необходимо определить интервал изменения переменной х , где расположен один корень или, что означает то же самое, определить достаточно хорошее приближение окрестности этой точки. На втором этапе тем или иным численным методом определяется величина х , соответствующая корню уравнения 1 с заданной погрешностью. Для применения метода половинного деления необходимо установить окрестность или отрезок [ a, b ], на котором расположен один из корней уравнения, который необходимо уточнить с погрешностью Е рисунок 1. Пусть дано уравнение , где непрерывна на отрезке [ a, b ] и. Метод половинного деления, или дихотомии, заключается в следующем. Для нахождения корня уравнения, принадлежащего отрезку [ a, b ], делим отрезок пополам, то есть выбираем начальное приближение, равное:. Если , то является корнем уравнения. Если , то выбираем, одну из двух частей отрезка или для дальнейшего уточнения корня. Естественно, что корень будет находиться в той половине отрезка, на концах которого функция имеет разные знаки, а именно проверяем условие: На рисунке 1 это будет отрезок , т. Итерационный повторяющийся процесс деления будет продолжаться до тех пор, пока не будет выполнено условие:. Задать в явном виде уравнение , корни которого необходимо определить. Задать точность нахождения корня уравнения. Предположим, что у нас определено начальное приближение х 0 к одному из корней уравнения 1. Тогда в точке х 0 можно вычислить левую часть решаемого уравнения. Рассмотрение метода Ньютона начнем с его геометрического представления рисунок 2. Получим значение х 1 , в котором касательная пересекает ось 0x. Угловой коэффициент касательной равен значению производной от функции в точке касания. Следовательно, уравнение касательной, проходящей через точку с координатами имеет вид:. Абсциссу х 1 точки пересечения можно взять в качестве приближенного значения корня. Проведя касательную через новую точку с координатами и находя точку ее пересечения с осью 0х , получим второе приближения корня х 2. Аналогично определяются последующие приближения. Из формулы вытекает необходимость вычисления значения производной функции в каждой точке. Процесс нахождения корня может считаться законченным, когда модуль отношения значения функции в точке x k к ее производной меньше заданной величины погрешности , то есть когда выполняется следующее условие:. Определить первую производную функции в аналитическом виде. Определить начальное приближение х 0 , обеспечивающее быструю сходимость метода. Далеко не всегда бывает удобно находить аналитическое выражение для производной функции, в таком случае можно использовать метод секущих. Для начала итерационного процесса необходимо задать два начальных приближения х 0 и х 1. Если х 0 и x 1 расположены достаточно близко друг к другу, то производную можно заменить ее приближенным значением в виде отношения приращения функции равного к отношению приращения аргумента равного x 1 — x Таким образом, формула метода секущих может быть получена из формулы Ньютона 2 заменой производной выражением 4 и записана в виде:. Однако следует помнить, что при этом нет необходимости, чтобы значения функции и обязательно имели разный знак, как в методе половинного деления. Процесс нахождения корня при использовании метода секущих можно считать законченным, когда выполняется следующее условие:. Метод секущих несколько уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако не требует вычислений производной левой части уравнения. Определить начальные приближения х 0 и х 1 , обеспечивающие быструю сходимость метода. Результатом проведения лабораторной работы является программа, реализующая один из описанных методов с решением контрольного примера согласно, полученного индивидуального задания. При решении большого класса прикладных задач возникает необходимость в нахождении корней СЛАУ. Методы решения СЛАУ можно разделить на два больших класса: Точные методы решения, например метод Гаусса, дают, вообще говоря, точное значение корней СЛАУ, при этом при корректном составлении программы точность определяется только погрешностями, связанными с округлением и представлением чисел в ЭВМ. Итерационные методы решения СЛАУ характеризуется тем, что точное решение системы они могут, вообще говоря, давать лишь как предел некоторой бесконечной последовательности векторов. Исходное приближение при этом разыскивается каким-либо другим способом или задается произвольно. При выполнении определенных требований можно получить достаточно быстро сходящийся к решению итерационный процесс. К этому классу методов относятся: Известно, что система 7 имеет единственное решение, если ее матрица невырожденная т. В случае вырожденности матрицы система может иметь бесконечное число решений если ранг матрицы и ранг расширенной матрицы, полученной добавлением к столбца свободных членов равны или не иметь решений вовсе если ранг матрицы и расширенной матрицы не совпадают. Метод Гаусса основан на известном из обычного школьного курса алгебры методе исключений. Комбинируя каким-либо образом уравнения системы, добиваются того, что во всех уравнениях, кроме одного, будет исключено одно из неизвестных. Затем исключают другое неизвестное, третье и т. Рассмотрим систему уравнений размера. Алгоритм гауссова исключения состоит из нескольких шагов. Если система записана в виде 7 , то первый шаг состоит в исключении из последних n-1 уравнений. Это достигается вычитанием из второго уравнения первого, умноженного на , из третьего уравнения первого, умноженного на , и т. Этот процесс приводит к преобразованной системе уравнений:. Применяя теперь тот же самый процесс к последним n-1 уравнениям системы 8 , исключаем из последних n-2 уравнений и т. Этим завершается фаза прямого исключения или приведением к треугольной форме алгоритма гауссова исключения. Решение треугольной системы 9 теперь легко получается на фазе обратной подстановки , в ходе которой уравнения системы 9 решаются в обратном порядке:. Существует большое количество модификаций вычислительных схем, реализующих метод Гаусса. В качестве примера рассмотрим компактную схему Гаусса. Для примера выбрана СЛАУ 3-го порядка. Первый основной шаг гауссова исключения состоит в исключении первой переменной x 1 из второго и третьего уравнений. Если из второго уравнения системы вычесть первое, умноженное на 0. Второй основной шаг состоит в исключении из третьего уравнения. Это может быть сделано вычитанием из третьего уравнения второго, умноженного на —0. Проделанные операции называются элементарными преобразованиями строк. К этому моменту завершается первая часть алгоритма гауссова исключения, которую обычно называют прямым исключением или приведением к треугольной форме. Эта часть завершается тогда, когда все элементы последней строки системы, кроме крайне правого, обращаются в нуль. Вторая часть алгоритма заключается в решении полученной верхней треугольной системы. Это легко осуществляется с помощью процесса обратной подстановки. Подставляя теперь это значение во второе уравнение: Чтобы проверить найденное решение, выполним умножение. При составлении программы для ЭВМ, реализующей этот алгоритм, следует обратить внимание на то, что последовательно преобразуемые в ходе этого процесса элементы можно записывать в те же ячейки памяти, где располагались элементы исходной матрицы. На это указывает пятая строка алгоритма. Если это будет сделано, то исходная матрица, разумеется, будет испорчена. При разработке алгоритма, реализующего метод Гаусса , на первом этапе рекомендуется преобразовать исходную матрицу к виду, когда на главной диагонали выстраиваются максимальные по абсолютной величине коэффициенты. При этом если хотя бы одно значение коэффициента, стоящего на главной диагонали, равно нулю, применять метод Гаусса нельзя. Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значений, сходящихся к точному решению системы. Разрешим первое уравнение относительно x 1 , второе относительно x 2 и т. Тогда систему можно переписать в виде:. Правые части системы являются функциями переменных x 1 , x 2 , Обозначив правы части уравнений через L i x 1 , x 2 , Итерации начинаются с задания начального приближенного решения x 0 1 , x 0 2 , Чем ближе исходное приближение к решению, тем меньше итераций необходимо для его получения. Для заданных начальных приближений x 0 1 , x 0 2 , Полученные первые приближения могут быть таким же образом использованы для получения 2-х, 3-их и т. Итерации проводятся до получения решения с требуемой точностью, которая не должна превышать заданной погрешности вычислений, то есть окончание итерационного процесса происходит при выполнении следующего неравенства:. Естественно возникает вопрос об условиях, выполнение которых обеспечивает сходимость полученных приближений к истинному решению системы. Достаточное условие сходимости, то есть возможности решения СЛАУ методом итераций, формулируется следующим образом. Для того чтобы итерационный процесс сходился, достаточно, чтобы в любой строке сумма отношений коэффициентов системы к диагональным коэффициентам, взятым из той же строки была строго меньше единицы. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Соседние файлы в папке Методические указания
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования. Часто возникает необходимость, как в самой математике, так и ее приложениях в разнообразных областях получать решения математических задач в числовой форме. Для представления решения в графическом виде также требуется предварительно вычислять его значения. При этом для многих задач известно только о существовании решения, но не существует конечной формулы, представляющей ее решение. Даже при наличии такой формулы ее использование для получения отдельных значений решения может оказаться неэффективным. Наконец, всегда существует необходимость решать и такие математические задачи, для которых строгие доказательства существования решения на данный момент отсутствуют. Во всех этих случаях используются методы приближенного, в первую очередь численного решения. Методы численного решения математических задач всегда составляли неотъемлемую часть математики и неизменно входили в содержание естественно-математического и инженерного образования. Как самостоятельная математическая дисциплина вычислительная математика оформилась в начала го века. К этому времени в основном были разработаны разнообразные, достаточно эффективные и надежные алгоритмы приближенного решения широкого круга математических задач, включающего стандартный набор задач из алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений. Прогресс в развитии численных методов способствовал постоянному расширению сферы применения математики в других научных дисциплинах и прикладных разработках, откуда в свою очередь поступали запросы на решение новых проблем, стимулируя дальнейшее развитие вычислительной математики. Метод математического моделирования, основанный на построении и исследовании математических моделей различных объектов, процессов и явлений и получении информации о них из решения связанных с этими моделями математических задач, стал одним из основных способов исследования в так называемых точных науках. Современной формой метода математического моделирования, базирующейся на мощной вычислительной базе в виде ЭВМ и программного обеспечения, реализующего алгоритмы численного решения, является вычислительный эксперимент, рассматриваемый как новый теоретический метод исследования различных явлений и процессов. Этот теоретический метод включает существенные черты методологии экспериментального исследования, но эксперименты выполняются не над реальным объектом, а над его математической моделью, и экспериментальной установкой является ЭВМ. Построение математической модели исследуемого объекта сюда же относится и анализ модели, выяснение корректности поставленной математической задачи. Построение вычислительного алгоритма - метода приближенного решения поставленной задачи и его обоснование. Проведение серии расчетов с варьированием определяющих параметров исходной задачи и алгоритма. Каждый из этих этапов допускает возврат к любому из предыдущих этапов с целью его уточнения и корректировки. В данном курсе рассматриваются вопросы, связанные со вторым этапом вычислительного эксперимента. Во многих случаях вычислительный алгоритм решения сложной задачи строится из набора базовых компонент, представляющих собой алгоритмы решения некоторых стандартных математических задач. Изучение численных методов решения этих задач - необходимый элемент овладения современной технологией математического моделирования. При этом идея модели лежит в основе того, что можно назвать методом вычислительной математики. Как правило, алгоритмы приближенного решения базируются на том, что исходная математическая задача заменяется аппроксимируется некоторой более простой или чаще последовательностью более простых задач. Решение этих более простых задач трактуется как приближенное решение задачи исходной. Во многих научных и инженерных задачах возникает необходимость решения уравнений вида: Решениями или корнями уравнения 1 называются такие значения х , которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество. Только для простейших уравнений удается найти решение в аналитическом виде, то есть записать формулу, выражающую искомую величину х в явном виде. В большинстве же случаев приходится решать уравнение вида 1 численными методами. Хотя иногда, даже при наличии аналитического решения, имеющего сложный вид, бывает проще провести численное решение по известному алгоритму, чем программировать громоздкую аналитическую формулу. На первом этапе необходимо определить интервал изменения переменной х , где расположен один корень или, что означает то же самое, определить достаточно хорошее приближение окрестности этой точки. На втором этапе тем или иным численным методом определяется величина х , соответствующая корню уравнения 1 с заданной погрешностью. Для применения метода половинного деления необходимо установить окрестность или отрезок [ a, b ], на котором расположен один из корней уравнения, который необходимо уточнить с погрешностью Е рисунок 1. Пусть дано уравнение , где непрерывна на отрезке [ a, b ] и. Метод половинного деления, или дихотомии, заключается в следующем. Для нахождения корня уравнения, принадлежащего отрезку [ a, b ], делим отрезок пополам, то есть выбираем начальное приближение, равное:. Если , то является корнем уравнения. Если , то выбираем, одну из двух частей отрезка или для дальнейшего уточнения корня. Естественно, что корень будет находиться в той половине отрезка, на концах которого функция имеет разные знаки, а именно проверяем условие: На рисунке 1 это будет отрезок , т. Итерационный повторяющийся процесс деления будет продолжаться до тех пор, пока не будет выполнено условие:. Задать в явном виде уравнение , корни которого необходимо определить. Задать точность нахождения корня уравнения. Предположим, что у нас определено начальное приближение х 0 к одному из корней уравнения 1. Тогда в точке х 0 можно вычислить левую часть решаемого уравнения. Рассмотрение метода Ньютона начнем с его геометрического представления рисунок 2. Получим значение х 1 , в котором касательная пересекает ось 0x. Угловой коэффициент касательной равен значению производной от функции в точке касания. Следовательно, уравнение касательной, проходящей через точку с координатами имеет вид:. Абсциссу х 1 точки пересечения можно взять в качестве приближенного значения корня. Проведя касательную через новую точку с координатами и находя точку ее пересечения с осью 0х , получим второе приближения корня х 2. Аналогично определяются последующие приближения. Из формулы вытекает необходимость вычисления значения производной функции в каждой точке. Процесс нахождения корня может считаться законченным, когда модуль отношения значения функции в точке x k к ее производной меньше заданной величины погрешности , то есть когда выполняется следующее условие:. Определить первую производную функции в аналитическом виде. Определить начальное приближение х 0 , обеспечивающее быструю сходимость метода. Далеко не всегда бывает удобно находить аналитическое выражение для производной функции, в таком случае можно использовать метод секущих. Для начала итерационного процесса необходимо задать два начальных приближения х 0 и х 1. Если х 0 и x 1 расположены достаточно близко друг к другу, то производную можно заменить ее приближенным значением в виде отношения приращения функции равного к отношению приращения аргумента равного x 1 — x Таким образом, формула метода секущих может быть получена из формулы Ньютона 2 заменой производной выражением 4 и записана в виде:. Однако следует помнить, что при этом нет необходимости, чтобы значения функции и обязательно имели разный знак, как в методе половинного деления. Процесс нахождения корня при использовании метода секущих можно считать законченным, когда выполняется следующее условие:. Метод секущих несколько уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако не требует вычислений производной левой части уравнения. Определить начальные приближения х 0 и х 1 , обеспечивающие быструю сходимость метода. Результатом проведения лабораторной работы является программа, реализующая один из описанных методов с решением контрольного примера согласно, полученного индивидуального задания. При решении большого класса прикладных задач возникает необходимость в нахождении корней СЛАУ. Методы решения СЛАУ можно разделить на два больших класса: Точные методы решения, например метод Гаусса, дают, вообще говоря, точное значение корней СЛАУ, при этом при корректном составлении программы точность определяется только погрешностями, связанными с округлением и представлением чисел в ЭВМ. Итерационные методы решения СЛАУ характеризуется тем, что точное решение системы они могут, вообще говоря, давать лишь как предел некоторой бесконечной последовательности векторов. Исходное приближение при этом разыскивается каким-либо другим способом или задается произвольно. При выполнении определенных требований можно получить достаточно быстро сходящийся к решению итерационный процесс. К этому классу методов относятся: Известно, что система 7 имеет единственное решение, если ее матрица невырожденная т. В случае вырожденности матрицы система может иметь бесконечное число решений если ранг матрицы и ранг расширенной матрицы, полученной добавлением к столбца свободных членов равны или не иметь решений вовсе если ранг матрицы и расширенной матрицы не совпадают. Метод Гаусса основан на известном из обычного школьного курса алгебры методе исключений. Комбинируя каким-либо образом уравнения системы, добиваются того, что во всех уравнениях, кроме одного, будет исключено одно из неизвестных. Затем исключают другое неизвестное, третье и т. Рассмотрим систему уравнений размера. Алгоритм гауссова исключения состоит из нескольких шагов. Если система записана в виде 7 , то первый шаг состоит в исключении из последних n-1 уравнений. Это достигается вычитанием из второго уравнения первого, умноженного на , из третьего уравнения первого, умноженного на , и т. Этот процесс приводит к преобразованной системе уравнений:. Применяя теперь тот же самый процесс к последним n-1 уравнениям системы 8 , исключаем из последних n-2 уравнений и т. Этим завершается фаза прямого исключения или приведением к треугольной форме алгоритма гауссова исключения. Решение треугольной системы 9 теперь легко получается на фазе обратной подстановки , в ходе которой уравнения системы 9 решаются в обратном порядке:. Существует большое количество модификаций вычислительных схем, реализующих метод Гаусса. В качестве примера рассмотрим компактную схему Гаусса. Для примера выбрана СЛАУ 3-го порядка. Первый основной шаг гауссова исключения состоит в исключении первой переменной x 1 из второго и третьего уравнений. Если из второго уравнения системы вычесть первое, умноженное на 0. Второй основной шаг состоит в исключении из третьего уравнения. Это может быть сделано вычитанием из третьего уравнения второго, умноженного на —0. Проделанные операции называются элементарными преобразованиями строк. К этому моменту завершается первая часть алгоритма гауссова исключения, которую обычно называют прямым исключением или приведением к треугольной форме. Эта часть завершается тогда, когда все элементы последней строки системы, кроме крайне правого, обращаются в нуль. Вторая часть алгоритма заключается в решении полученной верхней треугольной системы. Это легко осуществляется с помощью процесса обратной подстановки. Подставляя теперь это значение во второе уравнение: Чтобы проверить найденное решение, выполним умножение. При составлении программы для ЭВМ, реализующей этот алгоритм, следует обратить внимание на то, что последовательно преобразуемые в ходе этого процесса элементы можно записывать в те же ячейки памяти, где располагались элементы исходной матрицы. На это указывает пятая строка алгоритма. Если это будет сделано, то исходная матрица, разумеется, будет испорчена. При разработке алгоритма, реализующего метод Гаусса , на первом этапе рекомендуется преобразовать исходную матрицу к виду, когда на главной диагонали выстраиваются максимальные по абсолютной величине коэффициенты. При этом если хотя бы одно значение коэффициента, стоящего на главной диагонали, равно нулю, применять метод Гаусса нельзя. Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значений, сходящихся к точному решению системы. Разрешим первое уравнение относительно x 1 , второе относительно x 2 и т. Тогда систему можно переписать в виде:. Правые части системы являются функциями переменных x 1 , x 2 , Обозначив правы части уравнений через L i x 1 , x 2 , Итерации начинаются с задания начального приближенного решения x 0 1 , x 0 2 , Чем ближе исходное приближение к решению, тем меньше итераций необходимо для его получения. Для заданных начальных приближений x 0 1 , x 0 2 , Полученные первые приближения могут быть таким же образом использованы для получения 2-х, 3-их и т. Итерации проводятся до получения решения с требуемой точностью, которая не должна превышать заданной погрешности вычислений, то есть окончание итерационного процесса происходит при выполнении следующего неравенства:. Естественно возникает вопрос об условиях, выполнение которых обеспечивает сходимость полученных приближений к истинному решению системы. Достаточное условие сходимости, то есть возможности решения СЛАУ методом итераций, формулируется следующим образом. Для того чтобы итерационный процесс сходился, достаточно, чтобы в любой строке сумма отношений коэффициентов системы к диагональным коэффициентам, взятым из той же строки была строго меньше единицы. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Соседние файлы в папке Методические указания
Численные методы
Мышцы человека анатомия таблица
Витамин е форте
https://gist.github.com/191771ccebd4e7131ecf7cfc6720a6c2