Выражение и его значение, уравнение
Уравнения онлайн
Уравнение и его корни: определения, примеры
Наличие многочисленных соотношений формул между тригонометрическими функциями объясняет их широкое применение. Большое место тригонометрия занимает в школьном курсе математики; без тригонометрии не обходится ни один вступительный экзамен по математике в вуз. Табличные значения основных тригонометрических функций указаны на тригонометрическом круге. Используя табличные значения тригонометрических функций, найдите числовые значения выражений 1— Используя периодичность тригонометрических функций и формулы приведения: Все сомно жители разбиваются на пары чисел, произведение которых равно единице, поэтому и все произведение — единица. Применяя основное тригонометрическое тождество, проверьте выполнение равенств 21— Преобразуем левую часть доказываемого равенств; следующим образом: Соответствующие формулы суммы, разности и произведения для величин. Очень часто бывает полезной формула введения вспомогательного аргумента. Используя выписанные формулы, упростите выражения 21— Для второго слагаемого имеем. Суммируя оба слагаемых, получим единицу. Поэтому данное выражение преобразуется к виду. Умножьте и разделите всю сумму на. Умножьте и разделите исхо, ное выражение на. Преобразуем два последних слагаемых, использ5 формулу для тангенса двойного угла. Вычислите значения выражений 61— Теперь, вычисляя нужные выражения, получаем. Далее выразите все искомые величины через. Справедливы также два следующих тождества: Табличные значения обратных тригонометрических функций. Вычислите значения выражении 73— Проверьте выполнение равенств — Постройте графики следующих функций и уравнений — Решите простейшие тригонометрические уравнения — Решите уравнения — , сведя их к квадратному уравнению относительно какой-либо функции: Решите уравнения — , воспользовавшись однородностью левых частей этих уравнений: Здесь деление на cos 2 х приводит к неравносильному исходному уравнению! Поэтому решаем уравнение, приравнивая нулю сомножители. Решив эти уравнения, получаем ответ. В следующих уравнениях — примените формулы преобразования произведений тригонометрических функций в суммы или сумм в произведения: Решив эти уравнения, получаем. Приравнивая каждый сомножитель нулю, получаем ответ. Преобразуя произведения в суммы, получаем. Первая серия решений включает вторую. Проверяем, что эти решения удовлетворяют условию: Учитывая, что cos х 0, cos 2х 0, преобразуем уравнение к виду. Второе уравнение решим, сводя его к кубическому уравнению относительно cos x другой способ, основанный на ограниченности тригонометрических функций, будет рассмотрен ниже. Второе уравнение решений не имеет. Объединяя обе серии решений, получаем ответ: Решите уравнения — методом введения вспомогательного аргумента: Тогда уравнение примет вид. Это уравнение можно возвести в квадрат, если учесть условие. Третье уравнение не имеет решений, поскольку. Левые части последних уравнений одинаковы, значит, равны и правые: Произведение sin x cos 2x может быть равным -1 , если оба сомножителя по модулю равны 1 и противоположны по знаку, т. Для существования левой части уравнения необходимо выполнение условий. Так как одновременно должны выполняться два равенства. Запишем уравнение следующим образом: Левая часть уравнения может принимать любые значения от 1 до. Это может произойти в двух случаях: Используя различные методы, решите следующие уравнения — Найдем область определения уравнения: Далее, учитывая область определения sin 2x 0 , имеем. Проведя преобразования, аналогичные тем, что были выполнены при решении предыдущей задачи, получаем. Разделив уравнение на cos 3 2х, имеем. Данное уравнение можно возвести в квадрат при условии, что его правая часть неотрицательна: Данное уравнение равносильно системе. Далее, возведя обе части в квадрат, получаем. Первая серия не удовлетворяет условию. Отбираем только те значения х, которые удовлетворяют неравенству. Отметив, что sin Зх 0, sin х 0, преобразуем уравнение: Все эти решения входят в область определения. Сведите уравнение к квадратному относительно cos 2х. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, а правая не положительна, равенство возможно, если обе части уравнения одновременно обратятся в нуль, то есть. Эти уравнения имеют решения, если справедливы неравенства. Умножим обе части уравнения на cos x cos 2x cos Зх при этом в конце решения надо будет учесть, что эти множители не равны нулю. Оно выполняется при всех ж из области определения cos x, cos 2x, cos Зх 0. Умножим левую и правую части уравнения на. Данное уравнение эквивалентно системе. Полученное уравнение представляет собой тождество. Поскольку правая часть неотрицательна, то же самое относится к левой части. Поэтому можно возвести в квадрат: Применив формулы суммы синусов и косинуса двойного угла, получаем. Последнее уравнение равносильно совокупности соотношений: Решите уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции — Решив квадратное уравнение, получаем. Второе равенство невозможно, так как. Область определения уравнения задается условием. На этом множестве правая часть уравнения неположительна, а функция. Важно, что буквы k и n разные! В силу ограниченности косинуса второе уравнение системы имеет место только при условиях. Отсюда следует, что система несовместна не имеет решений. Подставим это выражение у во второе уравнение: Тогда из первого уравнения следует, что. Если вычесть из первого уравнения второе, то получим. Заметим, что в этом случае важно, что k и n — разные буквы. Второе уравнение системы перепишем в виде. Подставляя эти значения х во второе уравнение исходной системы, находим. Для нахождения х и у получаем систему. Решите задачи , с учетом ограниченности функций синус и косинус. Найдите наименьшее значение выражений: Найдите наименьшее значение функций: Функция f t монотонно убывает на [0; П ]. При каких значениях параметра а уравнение. Поскольку функция cos x является периодической с периодом 2 П , отрезок. Таким образом, нужные значения а являются решениями неравенства. Обоим множествам удовлетворяют значения. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение. Тогда получим квадратное уравнение относительно t: Для того чтобы исходное уравнение имело два корня на интервале. Решив это уравнение относительно t, получаем. Равенство возможно только в том случае, если. Вычисляя больший корень первого уравнения. Второе уравнение имеет корни при всех. Применяя теорему Виета, находим разность корней этого уравнения: Таким образом, нужно решить уравнение. Найдите все значения а, при которых меньший корень уравнения. При каких значениях параметра а имеют решения уравнения: Теперь нужно установить, при каких а этот трехчлен имеет хотя бы один корень на отрезке [-1; 1]. Возведя уравнения в квадрат и вычитая из первого равенства второе, получим. Для того чтобы исходное уравнение имело решение, достаточно выполнения хотя бы одной из следующих систем неравенств: Решите следующие уравнения — Второе решение — постороннее. При условиях cos х 0, cos 2x 0 уравнение преобразуется к виду. Преобразуя обе части уравнения, получаем. Используя метод введения вспомогательного аргумента, получаем. Так как теперь выражение слева можно быть записать в виде. Значит, уравнение может иметь решение только при. Теперь исходное уравнение преобразуется к виду. Найдите все значения параметра b, при котором все корни уравнения. Все другие решения — это решения тригонометрического уравнения. Найдите все значения параметра а, при котором все корни уравнения. При каких действительных х для любого действительного у найдется такое z, что. Ее график изображен на рис. При каких неотрицательных значениях а все неотрицательные решения уравнения. Для того чтобы все неотрицательные корни составляли арифметическую прогрессию т. При каких положительных значениях а все неотрицательные решения уравнения. Решите тригонометрические неравенства — Заметим, что справа и слева в неравенстве должна стоять одна и та же буква, отмечающая период. Найдите все х, для которых выражение. Общий период обеих функций равен 2 П , поэтому достаточно выяснить знак произведения. Учитывая, что при переходе через каждую из отмеченных точек знак произведения меняется, получаем следующий ответ. Очень часто бывает полезной формула введения вспомогательного аргумента 17 где угол однозначно определяется системой следующих двух равенств: Запишите числитель дроби в виде Ответ: Для второго слагаемого имеем Суммируя оба слагаемых, получим единицу. Положим Поэтому данное выражение преобразуется к виду Ответ: Умножьте и разделите всю сумму на Задание Умножьте и разделите исхо, ное выражение на преобразуя полученные произведения косинусов в суммы. Если же то искомая сумма равна Получаем Далее аналогично находим пока не дойдем до последнего шага: Так как Поэтому Ответ: Так как то Поэтому Ответ: Так как Используя формулу получаем квадратное уравнение для Ответ: Имеем Учитывая, что находим Так как то Теперь, вычисляя нужные выражения, получаем Ответ: Так как Тогда Ответ: Используя формулы получим а так как Ответ: Возведя равенство в квадрат, найдите Далее выразите все искомые величины через Ответ: Из уравнения получаем Теперь находим поэтому Ответ: Имеем так как Если а в случае Ответ: Поэтому Справедливы также два следующих тождества: Табличные значения обратных тригонометрических функций можно найти на тригонометрическом круге см. Так как то Ответ: Пусть Тогда Далее, так как Ответ: Положим Тогда Учитывая, что Задание Пусть что и доказывает нужное равенство. Имеем Далее, полагая и замечая, что получаем откуда что и требовалось доказать. Применив формулу приведения запишем уравнение в виде Отсюда либо Решив эти уравнения, получаем Ответ: Имеем Приравнивая каждый сомножитель нулю, получаем ответ. Отсюда Первая серия решений включает вторую. Уравнение равносильно системе Выполнив преобразования: В самом деле, Ответ: Учтите, что cos х 0. Разделив уравнение на получим Пусть Тогда и уравнение примет вид Ответ: Разделим уравнение на Ответ: Так как то уравнение примет вид Далее имеем Ответ: Тогда уравнение примет вид Таким образом, Ответ: Третье уравнение не имеет решений, поскольку Решим второе уравнение: Поскольку справедливы оценки данное уравнение имеет место, если одновременно Левые части последних уравнений одинаковы, значит, равны и правые: Для существования левой части уравнения необходимо выполнение условий и кроме того, из неравенств следует Так как одновременно должны выполняться два равенства то неравенства превращаются в равенства, поэтому sin Зх и cos Зх могут принимать только два значения: Это возможно при Ответ: Так как то уравнение принимает вид Ответ: Преобразуем левую часть уравнения: Поскольку уравнение примет вид Ответ: Так как то уравнение принимает вид Далее, учитывая область определения sin 2x 0 , имеем Ответ: Разделив уравнение на cos 3 2х, имеем откуда получаем причем все решения удовлетворяют ограничению sin 2х 0. Точке А соответствуют углы Ответ: Заметив, что и возведя обе части равенства в квадрат, получаем Выполним преобразования: Отсюда либо Отбираем только те значения х, которые удовлетворяют неравенству Имеем: Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, а правая не положительна, равенство возможно, если обе части уравнения одновременно обратятся в нуль, то есть Общими являются решения Ответ: Так как то исходное уравнение примет вид Учитывая, что приходим к уравнению откуда Ответ: Умножим левую и правую части уравнения на при этом, возможно, появятся лишние решения т. Данное уравнение эквивалентно системе Полученное уравнение представляет собой тождество. Из уравнения имеем — , причем первое значение косинуса не удовлетворяет неравенству. Решив эти уравнения, получим Ответ: Легко проверить, что Тогда получим Первая система дает а вторая не имеет решений, так как Ответ: Воспользуемся равенством и получим, что Отсюда Ответ: Решив квадратное уравнение, получаем либо Второе равенство невозможно, так как Если Ответ: Воспользуйтесь тем, что Ответ: Область определения уравнения задается условием На этом множестве правая часть уравнения неположительна, а функция — всегда неотрицательна, поэтому уравнение имеет решение только если Ответ: Функция является монотонно возрастающей. Из первого уравнения имеем Подставим это выражение у во второе уравнение: Тогда из первого уравнения следует, что Ответ: Если вычесть из первого уравнения второе, то получим Таким образом, откуда Заметим, что в этом случае важно, что k и n — разные буквы. Второе уравнение системы перепишем в виде откуда, используя первое уравнение, получим Тогда и первое уравнение примет вид Ответ: Учитывая условие возведем первое уравнение в квадрат: При каких значениях параметра а уравнение имеет на отрезке два различных решения? Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет на интервале 0; - более одного решения. Положим Тогда получим квадратное уравнение относительно t: Для того чтобы исходное уравнение имело два корня на интервале необходимо и достаточно, чтобы уравнение имело ровно два корня, больших 1. Решив это уравнение относительно t, получаем Условие При этом надо отбросить случай Замечание. При каких значениях параметра а уравнение имеет решения? При корни уравнения существуют, так как в этом случае дискриминант Используя теорему Виета, получим откуда Эти уравнения имеют решения из которых на отрезке лежат только Ответ: Найдите все значения при которых больший корень уравнения на больше, чем квадрат разности корней уравнения Решение: Вычисляя больший корень первого уравнения получаем Второе уравнение имеет корни при всех так как его дискриминант Применяя теорему Виета, находим разность корней этого уравнения: Таким образом, нужно решить уравнение откуда Ответ: Найдите все значения а, при которых меньший корень уравнения равен сумме квадратов корней уравнения Ответ: В обоих случаях получаем, что Ответ: В этом случае Второе решение — постороннее а первое имеет смысл в том случае, если Ответ: При условиях cos х 0, cos 2x 0 уравнение преобразуется к виду Условие cos х 0 влечет т. Преобразуя обе части уравнения, получаем Так как откуда Ответ: Используя метод введения вспомогательного аргумента, получаем Так как теперь выражение слева можно быть записать в виде — соответствующий вспомогательный угол, то дл существования решения должно выполняться условие очевидно, что. Получаем откуда Значит, уравнение может иметь решение только при Возможны следующие два случая: Если то причем Теперь, решив неравенства находим, что при также выполнены условния задачи. Найдите все значения параметра а, при котором все корни уравнения отрицательные. При каких действительных х для любого действительного у найдется такое z, что Указание: При каких действительных х для любого действительного у найдется такое z, что Решение: Имеем Заметим, что справа и слева в неравенстве должна стоять одна и та же буква, отмечающая период. Воспользуйтесь тем, что решите сначала неравенство Ответ: Значит, что равносильно следующим системам неравенств: Следовательно, Теперь решаем неравенство Получаем Ответ: Заменив приведите неравенство к виду Ответ: Главная Реклама Архивы Карта Наш блог Разрешается частичное копирование контента в виде анонса при условии размещения прямой ссылки на источник.
Сколько стоит спортивный костюм адидас женский
Наследование отдельных видов имущества кратко
Сегментация по возрасту
Многое другое просматривайте наши каталоги
Питание в 2 года таблица
Пироги из слоеного дрожжевого теста видео
Сколько времени можно восстановить страницу в контакте
Памятники йошкар олы фото и описание
Нарисуйте схему и объясните
5252f микросхема схема
Описание сортов чайно гибридных роз
Где играет ибрагимович сейчас 2017
Продам почку курск
Жесткая кожа рук сканворд 5
Где снять деньги в праге