Вариационный ряд и его характеристики
Вариационные ряды и их характеристики
Вариационные ряды
Математическая статистика — наука, позволяющая распространять выводы, сделанные на основе изучения части совокупности случайной выборки , на всю совокупность генеральную совокупность. Ее определяют также как науку о принятии решений в условиях неопределенности. Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск. Вариационные ряды и их числовые характеристики. Математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования планирование эксперимента , в ходе исследования последовательный анализ и решает многие другие задачи. Математическая статистика возникла в 17 веке и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Ученые, внесшие наибольший вклад в развитие математической статистики: Генеральная и выборочная совокупности. Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным - контролируемый размер детали. Иногда проводят сплошное обследование, то есть обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению. Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка. Объемом совокупности выборочной или генеральной называют число объектов этой совокупности. Выборки подразделяют на повторные и бесповторные. Повторной называют выборку, при которой отобранный объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором. Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает. На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида: Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Осуществить простой отбор можно различными способами. Например, для извлечения n объектов из генеральной совокупности объема N поступают так: Так поступают n раз; в итоге получают простую случайную повторную выборку объема n. Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка является простой случайной бесповторной. При большом объеме генеральной совокупности описанный процесс оказывается очень трудоемким. Для того чтобы отобрать, например, 50 объектов из пронумерованной генеральной совокупности, открывают любую страницу таблицы случайных чисел и выписывают подряд 50 чисел; в выборку попадают те объекты, номера которых совпадают с выписанными случайными числами. Если бы оказалось, что случайное число таблицы превышает число N, то такое случайное число пропускают. При осуществлении бесповторной выборки случайные числа таблицы, уже встречавшиеся ранее, следует также пропустить. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготовляется на нескольких машинах, среди которых есть более и менее изношенные, то здесь типический отбор целесоо6разен. Следует указать, что иногда механический отбор может не обеспечить репрезентативности выборки. Например, если отбирают каждый двадцатый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производят замену резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами. В таком случае следует устранить совпадение ритма отбора с ритмом замены резца, для чего надо отбирать, скажем, каждый десятый валик из двадцати обточенных. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно. На практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Например, иногда разбивают генеральную совокупность на серии одинакового объема, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии простым случайным отбором извлекают отдельные объекты. Наблюдаемые значения х i называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал. Непрерывный вариационный ряд для такого признака называется интервальным. Рекомендуемое число интервалов находится по формуле Стэрджеса , а оптимальная величина интервала вычисляется по формуле. При изучении вариационных рядов используется понятие накопленной частоты или частости. Накопленная частота показывает, сколько наблюдалось вариантов со значением признака, меньшим определенного данного значения х. Ее можно определить также как значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. Для расчета значения медианы в интервальном вариационном ряду вначале находят интервал, содержащий медиану. Внутри медианного интервала расчет значения медианы производится по формуле. Для дискретного вариационного ряда мода определяется по наибольшей частоте. В случае интервального вариационного ряда по наибольшей частоте определяется модальный интервал, а затем мода по формуле. Функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Графические методы изображения вариационных рядов. Дискретный вариационный ряд графически можно представить в виде полигона распределения частот частостей , представляющего ломаную, соединяющую точки с координатами x i , m i. При построении полигона для интервального ряда необходимо предварительно преобразовать его в дискретный, заменив каждый интервал его серединой. Интервальные вариационные ряды графически можно представить с помощью гистограммы. Для ее построения откладываются по оси абсцисс концы интервалов, а по оси ординат частоты или частости масштаб по обеим осям выбирается произвольный. На отрезках оси абсцисс, соответствующих построенным интервалам, как на основаниях, строятся прямоугольники, высота которых равна частоте частоти данного интервала. В том случае, когда интервалы различны, на оси ординат откладываются значения абсолютной или относительной плотности распределения. Абсолютная плотность показывает, сколько единиц совокупности приходится на единицу интервала. Относительная плотность показывает, какая часть единиц совокупности приходится на единицу интервала. Дискретные и интервальные вариационные ряды графически можно представить в виде кумуляты и огивы. Кумулята представляет собой ступенчатую разрывную линию, имеющую конечные разрывы в точках, соответствующих значениям признака, вариантам. Другие точки этой ломаной соответствуют концам интервалов. График огивы симметричен кумуляте относительно биссектрисы координатного угла. Полигон, кумулята и огива применяются для изображения как дискретных, так и интервальных статистических рядов, гистограмма для изображения только интервальных рядов. Средняя арифметическая вариационного ряда и ее свойства. Дисперсия и ее свойства. Различают среднее линейное отклонение невзвешенное и взвешенное: Для вычисления дисперсии часто применяется формула дисперсии следующего вида: Относительной мерой рассеяния является коэффициент вариации. Коэффициент вариации представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической: Частные средние и частные дисперсии. Пусть некоторая совокупность разбита на l непересекающихся групп, не обязательно одинаковых по объему. Группы называются непересекающимися, если каждый вариант принадлежит только одной группе. Для каждой группы вариантов вариационного ряда можно вычислить средние, которые называются частными групповыми средними. Тогда среднюю арифметическую всей совокупности называют общей средней. Частная средняя j -ой группы вычисляется по формуле. Общую среднюю можно выразить через частные средние: Если объемы всех групп одинаковы, то общая средняя может быть получена и как простая средняя из частных средних. Дисперсия для распределения вариантов j -й группы относительно их средней называется частной внутригрупповой дисперсией и вычисляется по формуле. Дисперсия по этому же признаку всей совокупности относительно общей средней называется общей дисперсией и обозначается. Частные средние могут и не совпадать с общей средней. Мерой колеблемости частных средних вокруг общей средней является межгрупповая дисперсия , которая вычисляется по формуле: Межгрупповая дисперсия характеризует колеблемость групповых или частных средних около общей средней, то есть характеризует систематическую вариацию , которая возникает под влиянием фактора признака , положенного в основу группировки. Средняя из частных дисперсий служит для характеристики среднего рассеяния признака внутри групп. Средняя внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе. Она возникает вод влиянием других, неучитываемых факторов и не зависит от условий, положенных в основу группировки. Если статистической распределение состоит из суммы нескольких других распределений, то дисперсия этого общего распределения равна сумме средней арифметической дисперсий входящих с него распределений средней дисперсии групп и дисперсии их средних арифметических дисперсия групповых средних. Начальные и центральные моменты вариационного ряда. Средняя из r -х степеней отклонений вариантов х i от некоторой постоянной величины А называется эмпирическим моментом r -го порядка. Если , то эмпирический момент r -го порядка называется центральным моментом r -го порядка. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Эмпирическим называют распределение относительных частот. Эмпирические распределения изучает математическая статистика. Теоретическим называют распределение вероятностей. Теоретические распределения изучает теория вероятностей. Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения: Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Их используют для того, чтобы определить близость некоторого эмпирического распределения к нормальному. Методы расчета характеристик вариационного ряда. Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки: Если первоначальные варианты не являются равноотстоящими, то интервал, в котором заключены все варианты выборки, делят на несколько равных, длины h , частичных интервалов. Затем находят середины частичных интервалов, которые и образуют последовательность равноотстоящих вариант. В качестве частоты каждой середины интервала принимают сумму частот вариант, которые попали в соответствующий частичный интервал. Метод сумм вычисления выборочных средней и дисперсии. Найти методом сумм выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки: Главная Новости Регистрация Контакты. Поделитесь работой в социальных сетях Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Значения эмпирической функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]. Если находят среднюю арифметическую для интервального вариационного ряда, то в качестве значения признака для каждого интервала условно принимают его середину: Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной, то есть. Если все варианты ряда уменьшить увеличить на одно и то же число с, то средняя арифметическая уменьшится увеличится на то же число. Если все варианты ряда уменьшить увеличить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая уменьшится увеличится во столько же раз. Если частоты частости средней взвешенной разделить или умножить на постоянное число, то средняя арифметическая не изменится. Сумма отклонений вариантов ряда от средней арифметической равна нулю. Если вариационный ряд состоит из l непересекающихся групп наблюдений, то средняя арифметическая всего ряда равна взвешенной средней арифметической групповых средних. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Если все значения вариантов уменьшить на постоянную величину, то дисперсия не изменится. Если все значения вариантов увеличить уменьшить в с раз, то дисперсия увеличится уменьшится в с 2 раз. Дисперсия для распределения вариантов j -й группы относительно их средней называется частной внутригрупповой дисперсией и вычисляется по формуле Дисперсия по этому же признаку всей совокупности относительно общей средней называется общей дисперсией и обозначается. Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать. Лекция Числовые ряды Свойства абсолютно сходящихся рядов. Если для двух рядов с положительными членами u1 u2 un Лабораторная работа Вариационные ряды и их графическое представление Имеются данные о распределении рабочих цеха по выработке в отчётном году в процентах к предыдущему году. Построить полигон гистограмму кумуляту и эмпирическую функцию распределения рабочих. В ней приведены данные о распределении ти рабочих цеха по тарифному разряду. Лекция Ряды динамики Первоначальным является ряд абсолютных величин где статистические показатели уровни ряда представляются в абсолютных цифрах с соответствующими единицами измерения. В рядах относительных величин уровни ряда характеризуют изменение относительных показателей изучаемых явлений во времени и выражаются как правило в процентах или в коэффициентах. В рядах средних величин уровни ряда Доклад Ряды MathCAD Преобразования Фурье Разработка преобразований Фурье сыграла огромную роль в появлении и развитии ряда новых областей науки и техники. Ряды Фурье также можно рассматривать как приближение произвольных функций определенные ограничения в этом известны тригонометрическими рядами бесконечной Лекция Функциональные ряды Практическую ценность представляют только сходящиеся ряды, поэтому важно определить те значения х, при которых функциональный ряд становится сходящимся числовым рядом. Лекция Степенные ряды Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций. Лекция Ряды Фурье Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье непериодической функции. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Лекция Характеристики автомобильных двигателей Скоростные характеристики Внешней скоростной характеристикой называют зависимость от числа оборотов эффективной мощности крутящего момента часового и удельного расхода топлива при полностью открытой дроссельной заслонке в карбюраторном двигателе или при при максимальной подаче топлива в дизеле. На внешней скоростной характеристике отмечаются следующие характерные точки: Ряд динамики состоит из двух элементов: Если задать конкретное числовое значение х, ряд При любом числе оборотов коленчатого вала двигатель должен устойчиво работать при всех нагрузках.
Вариацией называется различие значений признака у отдельных единиц изучаемой совокупности в один и тот же период или момент времени. Расчет показателей центра распределения и структурных характеристик вариационного ряда. В большом магазине собираются данные о числе продаж, произведённых каждым из 20 продавцов. Варианты , расположенные в возрастающем порядке, то есть ранжированные , составляют вариационный ряд. Если значения вариантов встречаются несколько раз, то вариационный ряд имеет вид:. Абсолютные числа, показывающие, сколько раз встречается тот или иной вариант, называется частотами и обозначаются m 1 , m 2 , … m к иногда n 1 , n 2 , … n k. Дискретной вариацией называется такая, при которой отдельные значения признака варианты отличаются друг от друга на некоторую конечную величину обычно целое число , то есть даны в виде прерывных чисел. Непрерывной называется вариация, при которой значения признака могут отличаться одно от другого на сколь угодно малую величину. Менеджер большого универмага записал суммы денег, которые израсходовали покупателя, посетившие отдел верхней одежды в день сезонной распродажи товаров по сниженным ценам. Данные о суммах, израсходованных на покупки, были отгруппированы по следующим категориям: Интервалы и частоты каждого интервала представлены в таблице для простоты расчётов примем за единицу измерения рублей. Частоты обозначим латинской буквой m. Частоты относятся не к отдельному значению признака, а ко всему интервалу. Иногда за значение интервала принимают его середину центр. Интервальные вариационные ряды бывают с одинаковыми и неодинаковыми интервалами. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Ростовский Государственный Экономический Университет "РИНХ". Вариационные ряды и их характеристики Понятие о вариации и задачи её изучения Вариацией называется различие значений признака у отдельных единиц изучаемой совокупности в один и тот же период или момент времени. Статистический анализ вариации предполагает выполнение следующих основных этапов: Графическое изображение вариационного ряда. Расчет показателей размера и интенсивности вариации. Оценка вариационного ряда на асимметрию и эксцесс самостоятельно. Если значения вариантов встречаются несколько раз, то вариационный ряд имеет вид: Частоты появления значений признака в примере 1: Виды вариации Вариация признака может быть дискретной и непрерывной. Таблица 1 Интервалы Частоты 30 38 50 31 22 13 Центральное значение интервалов 50 При непрерывной вариации распределение признака называется интервальным. Значения признака х i числа продаж.
18650 аккумулятор для электронной сигареты как выбрать
Спицами узоры схемы
Правила индивидуального предпринимателя
Вещи в гражданском праве общая характеристика курсовая
Поликлиника шинного завода ярославль расписание врачей