Метод Эйлера
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Численные методы решения задачи Коши оду первого порядка
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Численные методы решения задачи Коши оду первого порядка
При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Лучше всего это делать в виде дифференциальных уравнений ДУ или системы дифференциальных уравнений. Наиболее часто они такая задача возникает при решении проблем, связанных с моделированием кинетики химических реакций и различных явлений переноса тепла, массы, импульса — теплообмена, перемешивания, сушки, адсорбции, при описании движения макро- и микрочастиц. В ряде случаев дифференциальное уравнение можно преобразовать к виду, в котором старшая производная выражена в явном виде. Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной при этом в правой части уравнения старшая производная отсутствует:. Решением обыкновенного дифференциального уравнения называется такая функция y x , которая при любых х удовлетворяет этому уравнению в определенном конечном или бесконечном интервале. Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием дифференциального уравнения. Исторически первым и наиболее простым способом численного решения задачи Коши дляОДУ первого порядка является метод Эйлера. В его основе лежит аппроксимация производной отношением конечных приращений зависимой y и независимой x переменных между узлами равномерной сетки:. Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования — формулой трапеций. Курсовая работа состоит из трех частей. В первой части краткое описание методов. Во второй части постановка и решение задачи. В третьей части — программная реализация на языке ЭВМ. Дифференциальным называется уравнение, содержащее один или несколько производных. В зависимости от количества не зависимых переменных, дифференциальные уравнения делятся на две категории. Обыкновенные дифференциальные уравнения ОДУ. Дифференциальные уравнения в частных производных. Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. Их можно записать виде. Наивысший порядок , входящий в уравнение 1 называется порядком дифференциального уравнения. Простейшим линейным ОДУ является уравнение 1 порядка разрешенное относительно производной. Решением дифференциального уравнения 1 называется всякая функция,которая после ее подстановки в уравнение обращает его в тождество. Основная задача, связанная с линейной ОДУ известно как задача Каши:. Найти решение уравнения 2 в виде функции удовлетворяющий начальному условию 3. Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через точку при выполнение равенства 2. Численный с точки зрения задачи Каши означает: Обычно считается, что то есть начальное условие задано в левом конце отрезка. Простейшим из численных методов решения дифференциального уравнения является метод Эйлера. В его основе лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной форме или таблицы. Пусть дано уравнение 2 с начальным условием тоесть поставлена задача Каши. Решим вначале следующую задачу. Найти простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке где -достаточно малый шаг. Уравнение 2 совместно с начальным условием 3 задают направление касательной искомой интегральной кривой в точке с координатами. Двигаясь вдоль этой касательной, получим приближенное значение решения в точке:. Располагая приближенным решением в точке можно повторить описанную ранее процедуру: Заметим, что эта прямая не является касательной к реальной интегральной кривой, поскольку точка нам не доступна, однако если достаточно мало то получаемые приближенные будут близки к точным значениям решения. Продолжая эту идею, построим систему равно отстоящих точек. Получение таблицы значений искомой функции. Графическая интерпретация метода Эйлера. Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, в которых решения получаются от одного узла к другому, называются пошаговыми. Метод Эйлера самый простой представитель пошаговых методов. Особенностью любого пошагового метода является то, что начиная со второго шага исходное значение в формуле 5 само является приближенным, то есть погрешность на каждом следующем шаге систематически возрастает. Наиболее используемым методом оценки точности пошаговых методов приближенного численного решения ОДУ является способ двойного прохождения заданного отрезка с шагом и с шагом. Основная идея этого метода: Но так как значение производной между точками не вычисляется, то перейдем к сдвоенным участкам центром, в которых является точка , при этом уравнение прямой получает вид:. Формула 7 применена только для , следовательно, значения по ней получить нельзя, поэтому находят по методу Эйлера, при этом для получения более точного результата поступают так: В точке а затем находится по формуле 7 с шагом. После того как найдено дальнейшие вычисления при производится по формуле 7. Геометрически это означает, что с начало определяется направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного направления берется среднее значение этих направлений. Постановка и решение задачи. Решить дифференциальное уравнения усовершенствованным методом Эйлера и методом Эйлера-Коши на примере уравнения н. Решить дифференциальное уравнения усовершенствованным методом Эйлера на примере уравнения н. Находим значения искомой функции. Находим максимум разностей значений. Так как наибольшее из больше чем мы дальше находим значения искомой функции. Решить дифференциальное уравнения методом Эйлера-Кошина примере уравнения н. Блок-схема алгоритма к усовершенствованному методу Эйлера. Текст программы усовершенствованного метода Эйлера на языке Delphi. Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,. Текст программы метода Эйлера-Коши на языке Delphi. Add floattostr y1[i] ;. Возьмем в качестве примера уравнение н. Результат работы программы представлен на рисунке 2 а , б:. Рисунок 2 а Реализация на ЭВМ тестового примера усовершенствованного. Рисунок 2 б Реализация на ЭВМ тестового примера метода Эйлера-Коши. Так, как заранее известно, решение уравнения и оно совпадает с полученным в программе результатом, то можно сделать вывод о том, что программа работает верно. Если погрешность введена не правильно, то программа поступит следующим образом:. Рисунок 5 — Результат решения уравнения усовершенствованным методом Эйлера при не правильно введенной погрешности. Рисунок 6 — Результат решения уравнения методом Эйлера-Коши при не правильно введенной погрешности. При решении заданного уравнения на языке программирования Borland Delphi, мы получаем следующие результаты рисунок Рисунок 7 Реализация на ЭВМ метода Эйлера-Коши. Рисунок 8 Реализация на ЭВМ усовершенствованного метода Эйлера. В таблицах 1 и 2 представлен результат работы программ при задании различных исходных данных. Таблица 1 - Результаты работы программы для усовершенствованного метода Эйлера. Таблица 2 - Результаты работы программы для метода Эйлера-Коши. Таким образом, очевидно, что при вычислении дифференциального уравнения методами Эйлера-Коши и Усовершенствованный метод Эйлера решение не дает нам точного значения, а только приближенное. Чем меньше задается интервал исчисления и шаг операций, тем точнее результат, получаемый машиной. Для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание затрат времени вычисления интеграла на компьютере обратно пропорционально точности вычисления. Использование для вычисления одновременно двух методов позволило исследовать зависимость точности вычислений при применении обоих методов. На чем можно сделать определенный вывод что, усовершенствованный метод Эйлера более легкий для машины и результат который очень близок к точному получаем быстрее метода Эйлера-Коши. Но метод Эйлера-Коши является более точным. Программы написаны на языке Borland Delphi для решения дифференциальных уравнений. Полученные в результате работы программ решения совпадают с ответами в примере. Численные методы и программное обеспечение пер. Мир, , c. Главная Опубликовать работу О сайте. Методы решения дифференциальных уравнений. Метод Эйлера-Коши и усовершенствованный метод Эйлера. Сохрани ссылку на реферат в одной из сетей: Введение При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной при этом в правой части уравнения старшая производная отсутствует: В его основе лежит аппроксимация производной отношением конечных приращений зависимой y и независимой x переменных между узлами равномерной сетки: В третьей части — программная реализация на языке ЭВМ Цель курсовой работы: Теоретическая часть Численное дифференцирование Дифференциальным называется уравнение, содержащее один или несколько производных. Обыкновенные дифференциальные уравнения ОДУ Дифференциальные уравнения в частных производных. Их можно записать виде 1 независимая переменная Наивысший порядок , входящий в уравнение 1 называется порядком дифференциального уравнения. Простейшим линейным ОДУ является уравнение 1 порядка разрешенное относительно производной 2 Решением дифференциального уравнения 1 называется всякая функция,которая после ее подстановки в уравнение обращает его в тождество. Основная задача, связанная с линейной ОДУ известно как задача Каши: Найти решение уравнения 2 в виде функции удовлетворяющий начальному условию 3 Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через точку при выполнение равенства 2. Уравнение 2 совместно с начальным условием 3 задают направление касательной искомой интегральной кривой в точке с координатами Уравнение касательной имеет вид Двигаясь вдоль этой касательной, получим приближенное значение решения в точке: Получение таблицы значений искомой функции по методу Эйлера заключается в циклическом применение формулы 5 Рисунок 1. Графическая интерпретация метода Эйлера Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, в которых решения получаются от одного узла к другому, называются пошаговыми. Наиболее используемым методом оценки точности пошаговых методов приближенного численного решения ОДУ является способ двойного прохождения заданного отрезка с шагом и с шагом 1. Но так как значение производной между точками не вычисляется, то перейдем к сдвоенным участкам центром, в которых является точка , при этом уравнение прямой получает вид: Постановка и решение задачи Решить дифференциальное уравнения усовершенствованным методом Эйлера и методом Эйлера-Коши на примере уравнения н. Находим Находим значения искомой функции берем шаг , находим: Находим Находим значения искомой функции Находим максимум разностей значений Наибольшее из Так как наибольшее из больше чем мы дальше находим значения искомой функции. Находим шаг Находим Находим значения искомой функции Находим максимум разностей значений Наибольшее из 2. Находим Находим значения искомой функции берем шаг , находим Находим Находим значения искомой функции Находим максимум разностей значений Наибольшее и 3 Программная реализация 3. TLabel; procedure Button1Click Sender: TObject ; var y,x,g,a,b,x0,y0,h,e,g2,m: TObject ; begin y[0]: Add floattostr y1[i] ; end else begin for i: Тестовые примеры Возьмем в качестве примера уравнение н. Результат работы программы представлен на рисунке 2 а , б: Рисунок 2 а Реализация на ЭВМ тестового примера усовершенствованного метода Эйлера Рисунок 2 б Реализация на ЭВМ тестового примера метода Эйлера-Коши Так, как заранее известно, решение уравнения и оно совпадает с полученным в программе результатом, то можно сделать вывод о том, что программа работает верно. Рисунок 5 — Результат решения уравнения усовершенствованным методом Эйлера при не правильно введенной погрешности Рисунок 6 — Результат решения уравнения методом Эйлера-Коши при не правильно введенной погрешности 3. Решение задачи с помощью ЭВМ Возьмем в качестве примера уравнение н. При решении заданного уравнения на языке программирования Borland Delphi, мы получаем следующие результаты рисунок 3: Рисунок 7 Реализация на ЭВМ метода Эйлера-Коши Возьмем в качестве примера уравнение н. При решении заданного уравнения на языке программирования Borland Delphi, мы получаем следующие результаты рисунок 4: Рисунок 8 Реализация на ЭВМ усовершенствованного метода Эйлера В таблицах 1 и 2 представлен результат работы программ при задании различных исходных данных. Таблица 1 - Результаты работы программы для усовершенствованного метода Эйлера Входные данные y нулевое Левая граница Правая граница Погрешность Шаг Результат: Таблица 2 - Результаты работы программы для метода Эйлера-Коши Входные данные y нулевое Левая граница Правая граница Погрешность Шаг Результат: Заключение Таким образом, очевидно, что при вычислении дифференциального уравнения методами Эйлера-Коши и Усовершенствованный метод Эйлера решение не дает нам точного значения, а только приближенное. Полученные в результате работы программ решения совпадают с ответами в примере Список используемой литературы Каханер Д.
Расписание автобусов барнаул 149 маршрут
Сколько мигрантов в россии 2016 статистика
Кинотеатр лодзь иваново расписание сеансов на завтра
Новости третьего рима
Где сделать недорого