Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Три дня в деканате покойник лежал, в штаны Пифагора одетый, В руках Фихтенгольца он томик держал, что сжил его с белого света, К ногам привязали тройной интеграл, и в матрицу труп обернули, А вместо молитвы какой-то нахал прочёл теорему Бернулли. А там, где двойной, неподалёку и тройной:. Особо остановимся на области интегрирования. Если в двойном интеграле она представляет собой плоскую фигуру , то здесь — пространственное тело , которое, как известно, ограничено множеством поверхностей. Таким образом, помимо вышеуказанного вы должны ориентироваться в основных поверхностях пространства и уметь выполнять простейшие трёхмерные чертежи. Но ничего страшного — весь материал изложен в предельно доступной форме и осваивается в кратчайшие сроки! Вычислить тройной интеграл — это значит найти ЧИСЛО: А тройной интеграл как раз и объединяет все эти бесконечно малые частички по области , в результате чего получается интегральное суммарное значение объёма тела: Кроме того, у тройного интеграла есть важные физические приложения. Но об этом позже — во 2-й части урока, посвящённой вычислениям произвольных тройных интегралов , у которых функция в общем случае отлична от константы и непрерывна в области. В данной же статье детально рассмотрим задачу нахождения объёма, которая по моей субъективной оценке встречается в раз чаще. Ответ логично вытекает из предыдущего пункта. Необходимо определить порядок обхода тела и перейти к повторным интегралам. После чего последовательно расправиться с тремя одиночными интегралами. Как видите, вся кухня очень и очень напоминает двойные интегралы , с тем отличием, что сейчас у нас добавилась дополнительная размерность грубо говоря, высота. И, наверное, многие из вас уже догадались, как решаются тройные интегралы. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями. Пожалуйста, перепишите столбиком на бумагу: И ответьте на следующие вопросы. Знаете ли Вы, какие поверхности задают эти уравнения? Понятен ли Вам неформальный смысл этих уравнений? Представляете ли Вы, как данные поверхности расположены в пространстве? Для того чтобы выяснить порядок обхода тела и перейти к повторным интегралам нужно всё гениальное просто понять, что это за тело. И такому пониманию во многих случаях здОрово способствуют чертёжи. По условию тело ограничено несколькими поверхностями. С чего начать построение? Предлагаю следующий порядок действий:. Сначала изобразим параллельную ортогональную проекцию тела на координатную плоскость. Коль скоро проецирование проводится вдоль оси , то в первую очередь целесообразно разобраться с поверхностями , которые параллельны данной оси. В рассматриваемой задаче их три:. Скорее всего, искомая проекция представляет собой следующий треугольник: Возможно, не все до конца поняли, о чём речь. На втором этапе выясняем, чем тело ограничено сверху, чем снизу и выполняем пространственный чертёж. Возвращаемся к условию задачи и смотрим, какие поверхности остались. Таким образом, проекция тела действительно представляет собой треугольник. Кстати, здесь обнаружилась избыточность условия — в него было не обязательно включать уравнение плоскости , поскольку поверхность , касаясь оси абсцисс, и так замыкает тело. Аккуратно изобразим фрагмент параболического цилиндра: После выполнения чертежей с порядком обхода тела никаких проблем! Сначала определим порядок обхода проекции при этом ГОРАЗДО УДОБНЕЕ ориентироваться по двумерному чертежу. Это делается АБСОЛЮТНО ТАК ЖЕ , как и в двойных интегралах! Вспоминаем лазерную указку и сканирование плоской области. Далее берём в руки волшебный фонарик, смотрим на трёхмерный чертёж и строго снизу вверх просвечиваем пациента. Таким образом, порядок обхода тела: Перейдём к повторным интегралам: Но с этим способом будьте осторожнее — выигрыш в скорости чреват потерей качества, и чем труднее пример, тем больше шансов допустить ошибку. Это самый выигрышный вариант — если есть возможность выполнить два приличных чертежа, не ленитесь, делайте оба чертежа. Рекомендую в первую очередь. Годится, когда у тела несложная и очевидная проекция. Так, например, в разобранном примере хватило бы и трёхмерного чертежа. Однако тут есть и минус — по 3D-картинке неудобно определять порядок обхода проекции, и этот способ я бы советовал только людям с хорошим уровнем подготовки. Тоже неплохо, но тогда обязательны дополнительные письменные комментарии, чем ограничена область с различных сторон. К сожалению, третий вариант зачастую бывает вынужденным — когда тело слишком велико либо его построение сопряжено с иными трудностями. И такие примеры мы тоже рассмотрим. Подходит для совсем простых тел либо задач, где выполнение обоих чертежей затруднительно. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Однако и проекция тоже не помешает, тем более, она здесь не самая простая. Придерживаемся отработанной ранее тактики — сначала разберёмся с поверхностями , которые параллельны оси аппликат. Чтобы найти уравнения этих линий нужно решить простейшую систему: Изобразим проекцию тела на плоскость: Да, чуть не забыл, в большинстве случаев полученный результат малополезно и даже вредно сверять с трёхмерным чертежом, поскольку с большой вероятностью возникнет иллюзия объёма , о которой я рассказал ещё на уроке Объем тела вращения. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость. Пример 5 С помощью тройного интеграла найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями. Если выбрать 1-й способ, то фигуру придётся разделить на 2 части, что неиллюзорно грозит вычислением суммы двух тройных интегралов. В этой связи гораздо перспективнее выглядит 2-й путь. Прошу прощения за качество некоторых картинок, я их вырезаю прямо из собственных рукописей. Выбираем более выгодный порядок обхода фигуры: Теперь дело за телом. Снизу оно ограничено плоскостью , сверху — плоскостью , которая проходит через ось ординат. И всё бы было ничего, но последняя плоскость слишком крутА и построить область не так-то просто. Вычислим объём тела, не забывая, что проекцию мы обошли менее распространённым способом: Но это не есть какое-то правило, поэтому всегда нужно быть начеку — может попасться задание, где тело расположено и под плоскостью. Легко убедиться, что получится тот же самый результат: Пример 6 С помощью тройного интеграла найти объём тела, ограниченного поверхностями. Цилиндрические координаты — это, по сути, полярные координаты в пространстве. Переход от трёхмерной декартовой системы к цилиндрической системе координат осуществляется по следующим формулам: Применительно к нашей теме преобразование выглядит следующим образом: И, соответственно, в упрощённом случае, который мы рассматриваем в этой статье: Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями. Выполнить чертёжи данного тела и его проекции на плоскость. На очереди трёхмерный чертёж. Уточним данное сечение аналитически: Найдём уравнения поверхностей в цилиндрических координатах: Сначала разберёмся с проекцией. Как определить её порядок обхода? ТОЧНО ТАК ЖЕ, как и при вычислении двойных интегралов в полярных координатах. Обратите внимание, что в условиях задач ни слова не сказано о переходе к цилиндрической системе координат, и несведущий человек будет бодаться с трудными интегралами в декартовых координатах. С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями. Читатели, которые внимательно ознакомились с материалами статьи Основные поверхности пространства , уже представили, как выглядит тело, но на практике часто встречаются более сложные случаи, поэтому я проведу подробное аналитическое рассуждение. Сначала найдём линии, по которым пересекаются поверхности. Составим и решим следующую систему: Из 1-го уравнения почленно вычтем второе: В результате получено два корня: Естественно — ведь вершины рассматриваемых поверхностей совпадают. Каков геометрический смысл полученного результата? Кстати, в двух предыдущих задачах на чертёж проекции тоже можно было бы забить, если бы не условие. Найдём уравнения поверхностей в цилиндрической системе координат: С помощью тройного интеграла вычислить объём заданного тела: Геометрический смысл пространственных неравенств я достаточно подробно разъяснил в той же справочной статье — Основные поверхности пространства и их построение. Данная задача хоть и содержит параметр, но допускает выполнение точного чертежа, отражающего принципиальный вид тела. Подумайте, как выполнить построение. Краткое решение и ответ — в конце урока. Однако, справедливости ради, по условию вообще не требовалось ничего чертить и такой иллюстрации оказалось вполне достаточно. Кстати, как найти эту высоту аналитически? Но вернёмся к теме. Порядок обхода проекции тривиален: Можно сослаться на симметрию и вычислить объём половины тела, но, как ни странно, это только заморочит решение — гораздо проще провести формальные вычисления. Расписываем и щёлкаем повторные интегралы: Косвенным признаком правильности вычислений является тот факт, что параметр вошёл в ответ в кубе. Ну и ещё на всякий пожарный, проверим, не получился ли случаем результат отрицательным: Хотя всё это, конечно, нельзя считать надёжной проверкой. С помощью тройного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями. Особенность этого примера состоит в том, что здесь затруднено построение трёхмерного чертежа уже знакомый из предыдущего параграфа мотив и в этой связи тело придётся представить мысленно. Да и проекция, к слову, тоже не сахар. В данную статью я включил не самые сложные примеры, и желающие могут закачать дополнительные задачи с готовыми решениями , в частности, интересны и поучительны примеры, где тело приходится разделять на 2 части. Ну а сейчас я предлагаю сделать передышку и ознакомиться с заключительной частью урока — Как вычислить произвольный тройной интеграл? Объём тела вычислим с помощью тройного интеграла: Выберем следующий порядок обхода тела: Объём тела вычислим с помощью тройного интеграла, используя цилиндрическую систему координат: Найдём линию пересечения эллиптического параболоида с плоскостью: Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Бурение скважины с обсадной трубой своими руками
Регламент то солярис
Решение тройных интегралов
Скачать игры 32
Можно ли продать квартиру полученную от государства
Маски зайца своими руками из бумаги
Мариуполь школы на карте
Где находится башня
Таблица коэффициентов лиги европы 2017 2018
График выдачи пенсии в королеве
Можно ли из анапы попасть в крым
Избавиться от угрей раз навсегда
Решение тройных интегралов
Презентация общая характеристика типа моллюски 7 класс
Кармен чао бамбино текст
Главные новости часа срочные
Заказать пиццу в щелково
Пламя условные обозначения
Решение тройных интегралов
Карта г чапаевска самарской области
Особенности растворения вмскак следствиеих структуры
Второе дыхание 2013
Расписание автобусов псков тямша