Дифференциальные уравнения!
Общий интеграл дифференциального уравнения
Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные интегралы
V Дифференциальные уравнения Задание 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Для этого поделим обе части равенства на. Общее решение дифференциального уравнения. Пределы Дифференцирование Графики Интегралы Дифференциальные уравнения Ряды Кратные интегралы Векторный анализ Аналитическая геометрия Линейная алгебра Уравнения математической физики.
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Эти два слова обычно приводят в ужас среднестатистического обывателя. Дифференциальные уравнения кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении и многим студентам. Уууууу… дифференциальные уравнения, как бы мне всё это пережить?! Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные уравнения? Для успешного изучения диффуров вы должны хорошо уметь интегрировать и дифференцировать. Чем качественнее изучены темы Производная функции одной переменной и Неопределенный интеграл , тем будет легче разобраться в дифференциальных уравнениях. Скажу больше, если у вас более или менее приличные навыки интегрирования, то тема практически освоена! Чем больше интегралов различных типов вы умеете решать — тем лучше. Также настоятельно рекомендую научиться находить производную от функции, заданной неявно. Начинающим изучать диффуры советую ознакомиться с уроками именно в такой последовательности, причём после изучения первых двух статей не помешает закрепить свои навыки на дополнительном практикуме — уравнения, сводящихся к однородным. Есть еще более редкие типы дифференциальных уравнений: Наиболее важными из двух последних видов являются уравнения в полных дифференциалах, поскольку помимо данного ДУ я рассматриваю новый материал — частное интегрирование. Сначала вспомним обычные алгебраические уравнения. Они содержат переменные и числа. Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найти множество чисел , которые удовлетворяют данному уравнению. Легко заметить, что детское уравнение имеет единственный корень: Для прикола сделаем проверку, подставим найденный корень в наше уравнение: Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит: Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение — это значит, найти множество всех функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто имеет вид — произвольная постоянная , который называется общим решением дифференциального уравнения. В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение , которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным. В диффурах рулит именно оно! На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции: Следующий этап — интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части: Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные: Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. В большинстве случаев её помещают в правую часть. Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение. Пожалуйста, запомните первый технический приём , он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: Теперь логарифмы и модули можно убрать: Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. Иногда общее решение называют семейством функций. После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях:. Всегда ли это можно сделать? И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка , необходимо сначала провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка , нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке — простейший тип дифференциальных уравнений. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. Даламбер и Коши гарантируют В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши. Сначала находим общее решение. Переписываем производную в нужном виде: Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики — налево, девочки — направо: Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу. Вспоминаем старое, доброе, школьное: Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом: Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций. На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию. В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие. Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение удовлетворяет начальному условию? Второй этап уже знаком. Переписываем производную в нужном нам виде: Оцениваем, можно ли разделить переменные? Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака: И перекидываем множители по правилу пропорции: Переменные разделены, интегрируем обе части: Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы , прорешали мало примеров, то деваться некуда — придется их осваивать сейчас. Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала , с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году: В правой части у нас получился логарифм, и, согласно моей первой технической рекомендации, константу тоже следует записать под логарифмом. Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно и нужно избавиться. Упаковка завершена, чтобы быть варварски ободранной: Дело в том, что общее решение будет смотреться просто ужасно — с большими корнями, знаками и прочим трэшем. Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается представить его в виде , то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. Делать это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора ;-. Таким образом, если ваш результат не совпал с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение. Общий интеграл тоже проверяется довольно легко, главное, уметь находить производную от функции, заданной неявно. Умножаем оба слагаемых на: Получено в точности исходное дифференциальное уравнение , значит, общий интеграл найден правильно. Напоминаю, что алгоритм состоит из двух этапов: Проверка тоже проводится в два шага см. Сначала найдем общее решение. Интеграл слева — табличный, интеграл справа — берем методом подведения функции под знак дифференциала: Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку они положительны, то знаки модуля излишни: Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать. Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию. Сначала проверим, выполнено ли начальное условие: Смотрим на исходное уравнение: Есть два способа проверки. Используем основное логарифмическое тождество: Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно. Второй способ проверки зеркален и более привычен: В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство. Пример 6 Решить дифференциальное уравнение. Ответ представить в виде общего интеграла. Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными? Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: Как действовать дальше — понятно. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла , то со многими диффурами придется туго. Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно обращаться достаточно вольно, и некоторые преобразования не всегда понятны новичку. Рассмотрим ещё один условный пример: В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2: Да, и коль скоро в правой части логарифм, то константу целесообразно переписать в виде другой константы: Беда же состоит в том, что с индексами частенько не заморачиваются и используют одну и ту же букву. В результате запись решения принимает следующий вид: Строго говоря — да. Однако с содержательной точки зрения — ошибок нет, ведь в результате преобразования варьируемой константы всё равно получается варьируемая константа. Или другой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл. Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому у каждого слагаемого целесообразно сменить знак: Формально здесь опять ошибка — справа следовало бы записать. Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании. Данное уравнение допускает разделение переменных. Дифференцируем ответ неявную функцию: Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на: Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно. Найти частное решение ДУ. Это пример для самостоятельного решения. Единственная подсказка — здесь получится общий интеграл, и, правильнее говоря, нужно исхитриться найти не частное решение, а частный интеграл. Полное решение и ответ в конце урока. Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко вырисовываются не самые простые интегралы. И вот еще парочка таких примеров для самостоятельного решения. Помните, что общий интеграл можно записать не единственным способом, и внешний вид ваших ответов может отличаться от внешнего вида моих ответов. Краткий ход решения и ответы в конце урока. Следующая рекомендуемая статья — Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них: Выражаем функцию в явном виде, используя. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию. Проверяем, действительно ли выполняется начальное условие: Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Разделяем переменные и интегрируем: Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотрится довольно плохо. Данное ДУ допускает разделение переменных. Найдем частное решение частный интеграл , соответствующий заданному начальному условию. В принципе, ответ можно попричесывать и получить что-нибудь более компактное. Левую часть интегрируем по частям: В интеграле правой части проведем замену: Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Оформление журнальной статьи в списке литературы
Где проходит фестиваль
Значение и виды контроля в муниципальном образовании
Образец обращения организацию
Незабываемое тесто для рыбалки