В этой статье мы разберем методы решения дифференциального уравнения Бернулли. Для закрепления материала подробно рассмотрим решение примеров. Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид. Одним из методов решения дифференциального уравнения Бернулли является сведение его к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка введением новой переменной. Действительно, при такой замене имеем и дифференциальное уравнение Бернулли примет вид. Так дифференциальное уравнение Бернулли приводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. После решения этого уравнения и проведения обратной замены получаем искомое решение. Найдите общее решение дифференциального уравнения Бернулли. Введем новую переменную , тогда. После проведения замены переменной и небольших преобразований получаем ЛНДУ первого порядка. Решим его методом вариации произвольной постоянной. Для этого сначала находим общее решение дифференциального уравнения. Таким образом, общим решением дифференциального уравнения является , где C — произвольная постоянная. Теперь варьируем произвольную постоянную, то есть, принимаем общим решением дифференциального уравнения. Поэтому где С 3 — произвольная постоянная. Осталось провести обратную замену. Так как мы принимали , то. Это и есть общее решение исходного дифференциального уравнения Бернулли. Рассмотрим еще один метод решения дифференциального уравнения Бернулли, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения функций u x и v x. После подстановки в уравнение Бернулли получаем. Если в качестве функции v взять ненулевое частное решение дифференциального уравнения , то придем к равенству откуда и определим функцию u. Найдем частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными , отличное от нуля. Возьмем в качестве частного решения. Интеграл, стоящий в левой части , легко находится из таблицы первообразных: Откуда и - все решения дифференциального уравнения Бернулли. Так как , то. Таким образом, - искомое решение задачи Коши. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Дифференциальные уравнения, примеры, решения Дифференциальное уравнение Бернулли. Действительно, при такой замене имеем и дифференциальное уравнение Бернулли примет вид Так дифференциальное уравнение Бернулли приводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. После проведения замены переменной и небольших преобразований получаем ЛНДУ первого порядка Решим его методом вариации произвольной постоянной. Сначала найдем общее решение. Таким образом, Откуда и - все решения дифференциального уравнения Бернулли. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
Экономические новости британии
Возбуждающие рассказы для мужчин
Коньяк пьют охлажденным или теплым