Решение уравнений в MathCad
Математика : Учебное пособие: Пособие MathCAD
Математика : Учебное пособие: Пособие MathCAD
Пособие MathCAD Учебное пособие: К основным элементам математических выражений MathCAD относятся операторы, константы, переменные, массивы и функции. Операторы — элементы MathCAD, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной, интеграла и т. Операнд — число или выражение, на которое действует оператор. Например, в выражении 5! Для присвоения или вывода содержимого ячейки памяти, связанной с переменной, используются следующие операторы:. Такое присвоение называется локальным. До этого присваивания переменная не определена и ее нельзя использовать. Это присвоение может производиться в любом месте документа. К примеру, если переменной присвоено таким образом значение в самом конце документа, то она будет иметь это же значение и в начале документа. Используется при решении систем уравнений. Вводится нажатием клавиши ; на клавиатуре точка с запятой в английской раскладке клавиатуры или нажатием соответствующей кнопки на Булевой панели. Если необходимо поделить все выражение в числителе, то его нужно первоначально выделить, нажав пробел на клавиатуре или поместив в скобки. Константы — поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены. Размерные константы — это общепринятые единицы измерения. Например, метры, секунды и т. В измерениях наиболее известные вам категории: Length — длина м, км, см ; Mass — вес гр, кг, т ; Time — время мин, сек, час. Переменные являются поименованными объектами, имеющими некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т. Значения переменным задаются с помощью знака присвоить: MathCAD прописные и строчные буквы воспринимает как разные идентификаторы. В MathCAD содержится небольшая группа особых объектов, которые нельзя отнести ни к классу констант, ни к классу переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Их правильнее считать системными переменными. Это, например, TOL [0. Значения этим переменным при необходимости можно задать другие. Эти переменные имеют ряд фиксированных значений, либо целочисленных, либо изменяющихся с определенным шагом от начального значения до конечного. Ранжированные переменные широко применяются при построении графиков. Например, для построения графика некоторой функции f x прежде всего необходимо создать ряд значений переменной x — для этого она должна быть ранжированной переменной. Если в диапазоне изменения переменной не указывать шаг, то программа автоматически примет его равным 1. Переменная с индексом — это переменная, которой присвоен набор не связанных друг с другом чисел, каждое из которых имеет свой номер индекс. Ввод индекса осуществляется нажатием левой квадратной скобки на клавиатуре или при помощи кнопки xn на панели Калькулятор. В качестве индекса можно использовать как константу, так и выражение. Для инициализации переменной с индексом необходимо ввести элементы массива, разделяя их запятыми. Массив — имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса. Если матрице вектору нужно присвоить имя, то вначале вводится имя матрицы вектора , затем оператор присвоения и после — шаблон матрицы. Функция — выражение, согласно которому производятся некоторые вычисления с аргументами и определяется его числовое значение. Функции в пакете MathCAD могут быть как встроенными, так и определенными пользователем. Способы вставки встроенной функции:. Функции пользователя обычно используются при многократных вычислениях одного и того же выражения. Для того чтобы задать функцию пользователя необходимо:. В MathCAD можно изменить формат вывода чисел. Обычно вычисления производятся с точностью 20 знаков, но выводятся на экран не все значащие цифры. Чтобы изменить формат числа, необходимо дважды щелкнуть на нужном численном результате. Появится окно форматирования чисел, открытое на вкладке Number Format Формат чисел со следующими форматами:. Числа отображаются с порядком например, 1. Число знаков мантиссы определяется в поле Exponential Threshold Порог экспоненциального представления. При превышении порога число отображается с порядком. Число знаков после десятичной точки меняется в поле Number of decimal places. Если после установления нужного формата в окне форматирования чисел выбрать кнопку Ок, формат установится только для выделенного числа. А если выбрать кнопку Set as Default, формат будет применен ко всем числам данного документа. Автоматически числа округляются до нуля, если они меньше установленного порога. Порог устанавливается для всего документа, а не для конкретного результата. Для того чтобы изменить порог округления до нуля, необходимо выбрать пункт меню Форматирование Результат и во вкладке Tolerance , в поле Zero threshold ввести необходимое значение порога. Текстовые фрагменты представляют собой куски текста, которые пользователь хотел бы видеть в своем документе. Это могут быть пояснения, ссылки, комментарии и т. Они вставляются при помощи пункта меню Вставка — Текстовый регион. Вы можете отформатировать текст: Для этого нужно его выделить и выбрать соответствующие параметры на панели шрифтов или в меню Форматирование — Текст. При решении многих задач, где производится исследование функции, часто возникает необходимость в построении ее графика, где наглядно будет отражено поведение функции на определенном промежутке. В системе MathCAD существует возможность построения различных видов графиков: Мы рассмотрим приемы построения некоторых из них. Пусть необходимо построить график функции на интервале [-2,2] с шагом 0. Значения переменной t задаются в виде диапазона следующим образом:. Многоточие вводится нажатием точки с запятой в английской раскладке клавиатуры. Если оставить эти метки незаполненными, то масштаб будет установлен автоматически. Автоматический масштаб не всегда отражает график в нужном виде, поэтому предельные значения абсцисс и ординат приходится редактировать, изменяя вручную. Уравнение окружности с центром в точке с координатами x 0, y 0 и радиусом R записывается в виде:. Таким образом, для построения окружности необходимо задать две функции: Диапазон значений аргумента вычисляется следующим образом:. Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты x и y , рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат x и y в виде функций от некоторой переменной величины t параметра: При построении параметрического графика на осях ординат и абсцисс указываются имена функций одного аргумента. Для построения используется параметрическое уравнение окружности. Чтобы отформатировать график, необходимо дважды щелкнуть по области графика. Откроется диалоговое окно форматирования графика. Ниже перечислены вкладки окна форматирования графика:. Установив нужные флажки можно:. Для каждого графика в отдельности можно изменить:. В поле Title Заголовок можно записать текст заголовка, выбрать его положение — вверху или внизу графика Above вверху, Below — внизу. Можно вписать, если надо, названия аргумента и функции Axis Labels. При построении трехмерных графиков используется панель Graph График математической панели. Можно построить трехмерный график с помощью мастера, вызываемого из главного меню; можно построить график, создав матрицу значений функции двух переменных; можно задействовать ускоренный метод построения; можно вызвать специальные функции CreateMech и CreateSpase, предназначенные для создания массива значений функции и построения графика. Мы рассмотрим ускоренный метод построения трехмерного графика. Необходимо только начать вращение графика мышью, дальше анимация будет выполняться автоматически. Для остановки вращения следует щелкнуть левой кнопкой мыши внутри области графика. Существует возможность построения сразу нескольких поверхностей на одном рисунке. Для этого необходимо задать обе функции и через запятую указать имена функций на шаблоне графика. Для изменения этих значений необходимо:. Для форматирования графика необходимо дважды щелкнуть по области построения появится окно форматирования с несколькими вкладками: Appearance , General , Axes , Lighting , Title , Backplanes , Special , Advanced , Quick Plot Data. Вкладка Appearance позволяет менять внешний вид графика. Поле Fill Options позволяет изменить параметры заливки, поле Line Option — параметры линий, Point Options — параметры точек. Во вкладке General общие в группе View можно выбрать углы поворота изображенной поверхности вокруг всех трех осей; в группе Display as можно поменять тип графика. Во вкладке Lighting освещение можно управлять освещением, установив флажок Enable Lighting включить освещение и переключатель On включить. Одна из 6-ти возможных схем освещения выбирается в списке Lighting scheme схема освещения. Решить уравнение аналитически — значит найти все его корни, то есть такие числа, при подстановке которых в исходное уравнение получим верное равенство. Решить уравнение графически — значит найти точки пересечения графика функции с осью ОХ. Эта функция возвращает с заданной точностью значение переменной, при котором выражение f x равно 0. Перед использованием функции root необходимо задать аргументу х начальное приближение. Если корней несколько, то для отыскания каждого корня необходимо задавать свое начальное приближение. Перед решением желательно построить график функции, чтобы проверить, есть ли корни пересекает ли график ось Ох , и если есть, то сколько. Начальное приближение можно выбрать по графику поближе к точке пересечения. Перед тем как приступить к решению в системе MathCAD, в уравнении все перенесем в левую часть. Для одновременного нахождения всех корней полинома используют функцию Polyroots v , где v — вектор коэффициентов полинома, начиная со свободного члена. Нулевые коэффициенты опускать нельзя. В отличие от функции root функция Polyroots не требует начального приближения. Функция Find Найти работает в ключевой связке с ключевым словом Given Дано. Конструкция Given — Find использует расчетную методику, основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданной пользователем. Если существует несколько корней, то их можно найти, меняя начальное приближение х0 на близкое к искомому корню. Иногда возникает необходимость отметить на графике какие-либо точки например, точки пересечения функции с осью Ox. Координата х этой точки была найдена в предыдущем примере: В окне форматирования графика во вкладке Traces для trace 2 изменены: Систему линейных уравнений можно решить матричным методом или через обратную матрицу или используя функцию lsolve A,B и с использованием двух функций Find и функции Minerr. Предварительно необходимо указать начальные приближения неизвестных переменных. Это могут быть любые числа, входящие в область определения. Часто за них принимают столбец свободных членов. Для того чтобы решить систему линейных уравнений с помощью вычислительного блока Given — Find , необходимо:. Решение данной системы с помощью вычислительного блока Given — Find приведено на рисунке 4. Решение системы линейных уравнений с помощью функцию Minerr аналогично решению с помощью функции Find используется тот же алгоритм , только функция Find дает точное решение, а Minerr — приближенное. Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Miner r возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Ниже перечислены некоторые рекомендации, которые следует выполнять, если MathCAD не может самостоятельно найти решение. В открывшейся вкладке необходимо уменьшить допустимую погрешность вычислений Convergence Tolerance TOL. При матричном методе решения необходимо переставить коэффициенты согласно возрастанию неизвестных х 1, х 2, х 3, х 4. Системы нелинейных уравнений в MathCAD решаются с помощью вычислительного блока Given — Find. Для решения системы уравнений с помощью блока Given — Find необходимо:. Если система имеет несколько решений, алгоритм следует повторить с другими начальными приближениями. Если решается система из двух уравнений с двумя неизвестными, перед решением желательно построить графики функций, чтобы проверить, есть ли корни у системы пересекаются ли графики заданных функций , и если есть, то сколько. Перед решением системы построим графики функций: Построение графика прямой и параболы в одной системе координат приведено на рисунке 4. Прямая и парабола пересекаются в двух точках, значит, система имеет два решения. По графику выбираем начальные приближения неизвестных x и y для каждого решения. Нахождение корней системы уравнений представлено на рисунке 4. Для того чтобы отметить на графике точки пересечения параболы и прямой, координаты точек, найденные при решении системы, введем по оси Ох значения х и по оси Оу значения у через запятую. В окне форматирования графика во вкладке Traces для trace 3 и trace 4 изменим: В данном разделе приведены примеры решения задач, для решения которых необходимо решить уравнение или систему уравнений. Для нахождения экстремумов непрерывной функции сначала находят точки, удовлетворяющие необходимому условию, то есть находят все действительные корни уравнения. Если построен график функции, то можно сразу увидеть — максимум или минимум достигается в данной точке х. Если графика нет, то каждый из найденных корней исследуют одним из способов. Если знак производной не меняется, то экстремумов не существует. Если она меньше нуля, то в данной точке функция имеет максимум, если она больше нуля, то минимум. Определим по графику начальные приближения значений х , соответствующих локальным экстремумам функции f x. Найдем эти экстремумы, решив уравнение. Для решения используем блок Given — Find рис. Определим вид экстремумов первым способом , исследуя изменение знака производной в окрестности найденных значений рис. Из таблицы значений производной и из графика видно, что знак производной в окрестности точки x 1 меняется с плюса на минус, поэтому в этой точке функция достигает максимума. А в окрестности точки x 2 знак производной поменялся с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция достигает минимума. Видно, что в точке x 1 вторая производная меньше нуля, значит, точка х 1 соответствует максимуму функции. А в точке x 2 вторая производная больше нуля, значит, точка х 2 соответствует минимуму функции. Чтобы избежать ошибок при вычислении площади, разность функций надо брать по модулю. Таким образом, площадь будет всегда положительной величиной. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями и. Решение представлено на рисунке 6. Находим точки пересечения функций с помощью функции root. Начальные приближения определим по графику. Для составления уравнения прямой, проходящей через две точки А x 0, y 0 и B x 1, y 1 , предлагается следующий алгоритм:. Данная система является линейной. В ней две неизвестные переменные: Систему можно решить матричным способом. В результате решения системы получаем: Значит, уравнение прямой будет иметь вид: Построим эту прямую рис. Для построения параболы, проходящей через три точки А x 0, y 0 , B x 1, y 1 и C x 2, y 2 , алгоритм следующий:. В ней три неизвестные переменные: Полученные коэффициенты подставляем в уравнение и строим параболу. В результате получены коэффициенты: Построим эту параболу рис. Для построения окружности, проходящей через три точки А x 1, y 1 , B x 2, y 2 и C x 3, y 3 , можно воспользоваться следующим алгоритмом:. Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:. Данная система является нелинейной. Система решается с применением вычислительного блока Given — Find. В результате решения системы получено: Подставим полученные координаты центра окружности и радиус в уравнение окружности. Выразим отсюда y и построим окружность рис. Панель Математика При щелчке на кнопке математической панели инструментов открывается дополнительная панель: Элементы языка MathCAD К основным элементам математических выражений MathCAD относятся операторы, константы, переменные, массивы и функции. Любой оператор в MathCAD можно ввести двумя способами: Для присвоения или вывода содержимого ячейки памяти, связанной с переменной, используются следующие операторы: Простейшие вычисления Процесс вычисления осуществляется при помощи: Системные переменные В MathCAD содержится небольшая группа особых объектов, которые нельзя отнести ни к классу констант, ни к классу переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Ранжированные переменные Эти переменные имеют ряд фиксированных значений, либо целочисленных, либо изменяющихся с определенным шагом от начального значения до конечного. Для создания ранжированной переменной используется выражение: Nend, где Name — имя переменной; Nbegin — начальное значение; Step — заданный шаг изменения переменной; Nend — конечное значение. В результате у вас получится: Таблицы вывода Любое выражение с ранжированными переменными после знака равенства инициирует таблицу вывода. В таблицы вывода можно и вставлять числовые значения и корректировать их. Переменная с индексом Переменная с индексом — это переменная, которой присвоен набор не связанных друг с другом чисел, каждое из которых имеет свой номер индекс. В пакете MathCAD используются массивы двух наиболее распространенных типов: Вывести шаблон матрицы или вектора можно одним из способов: В результате появится диалоговое окно, в котором задается необходимое число строк и столбцов: Rows — число строк Columns — число столбцов Если матрице вектору нужно присвоить имя, то вначале вводится имя матрицы вектора , затем оператор присвоения и после — шаблон матрицы. Матрица — двухмерный массив с именем Мn,m, состоящий из n строк и m столбцов. С матрицами можно выполнять различные математические операции. Способы вставки встроенной функции: Для того чтобы задать функцию пользователя необходимо: Форматирование чисел В MathCAD можно изменить формат вывода чисел. Появится окно форматирования чисел, открытое на вкладке Number Format Формат чисел со следующими форматами: Работа с текстом Текстовые фрагменты представляют собой куски текста, которые пользователь хотел бы видеть в своем документе. Работа с графикой При решении многих задач, где производится исследование функции, часто возникает необходимость в построении ее графика, где наглядно будет отражено поведение функции на определенном промежутке. Шаблон двухмерного графика щелкнуть мышью вне шаблона графика — график функции будет построен. Диапазон изменения аргумента состоит из 3-х значений: Значения переменной t задаются в виде диапазона следующим образом: Если после построения график не принимает нужный вид, можно: Уравнение окружности с центром в точке с координатами x 0, y 0 и радиусом R записывается в виде: Выразим из этого уравнения y: Диапазон значений аргумента вычисляется следующим образом: Построение окружности Параметрический график функции Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты x и y , рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат x и y в виде функций от некоторой переменной величины t параметра: Построение окружности Форматирование графиков Чтобы отформатировать график, необходимо дважды щелкнуть по области графика. Ниже перечислены вкладки окна форматирования графика: Установив нужные флажки можно: Для каждого графика в отдельности можно изменить: Пример построения полярного графика 5. Быстрое построение графика Для быстрого построения трехмерного графика функции необходимо: Пример быстрого построения поверхностного графика Построенным графиком можно управлять: Для изменения этих значений необходимо: Назначение вкладки Quick Plot Data было рассмотрено выше. Решение уравнения с помощью функции polyroots 6. Решение уравнения с помощью функции find Иногда возникает необходимость отметить на графике какие-либо точки например, точки пересечения функции с осью Ox. Решение данной системы уравнений матричным методом представлено на рисунке 4. Способ решения данной системы с использованием функции lsolve A,B приведен на рисунке 4. Для того чтобы решить систему линейных уравнений с помощью вычислительного блока Given — Find , необходимо: В результате расчетов выведется вектор решения системы. Решение системы линейных уравнений с помощью функции Find Приближенное решение системы линейных уравнений Решение системы линейных уравнений с помощью функцию Minerr аналогично решению с помощью функции Find используется тот же алгоритм , только функция Find дает точное решение, а Minerr — приближенное. Общие рекомендации по решению уравнений и систем уравнений Ниже перечислены некоторые рекомендации, которые следует выполнять, если MathCAD не может самостоятельно найти решение. Для решения системы уравнений с помощью блока Given — Find необходимо: Построение графика двух функций в одной системе координат Прямая и парабола пересекаются в двух точках, значит, система имеет два решения. Нахождение корней системы нелинейных уравнений Для того чтобы отметить на графике точки пересечения параболы и прямой, координаты точек, найденные при решении системы, введем по оси Ох значения х и по оси Оу значения у через запятую. Примеры использования основных возможностей MathCAD для решения некоторых математических задач В данном разделе приведены примеры решения задач, для решения которых необходимо решить уравнение или систему уравнений. Сначала построим график функции рис. Построение графика функции Определим по графику начальные приближения значений х , соответствующих локальным экстремумам функции f x. Нахождение локальных экстремумов Определим вид экстремумов первым способом , исследуя изменение знака производной в окрестности найденных значений рис. Определение вида экстремума Из таблицы значений производной и из графика видно, что знак производной в окрестности точки x 1 меняется с плюса на минус, поэтому в этой точке функция достигает максимума. Определим вид экстремумов вторым способом , вычисляя знак второй производной рис. Определение вида экстремума с помощью второй производной Видно, что в точке x 1 вторая производная меньше нуля, значит, точка х 1 соответствует максимуму функции. Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему: Построение прямой, проходящей через точки А —2,—4 и В 5,7. Подставим в уравнение прямой координаты данных точек и получим систему: Решение этой системы в MathCAD представлено на рисунке 6. Решение системы В результате решения системы получаем: Построение прямой Построение параболы, проходящей через три заданные точки Для построения параболы, проходящей через три точки А x 0, y 0 , B x 1, y 1 и C x 2, y 2 , алгоритм следующий: Построение параболы, проходящей через точки А —1,—4 , B 1,—2 и C 3, Подставляем в уравнение параболы заданные координаты точек и получаем систему: Решение этой системы уравнений в MathCAD представлено на рисунке 6. Решение системы уравнений В результате получены коэффициенты: Построение параболы Построение окружности, проходящей через три заданные точки Для построения окружности, проходящей через три точки А x 1, y 1 , B x 2, y 2 и C x 3, y 3 , можно воспользоваться следующим алгоритмом: Окружность задается уравнением , где x0,y0 — координаты центра окружности; R — радиус окружности. Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему: Построение окружности, проходящей через три точки А —2,0 , B 6,0 и C 2,4. Решение системы в MathCAD представлено на рисунке 6. Решение системы В результате решения системы получено: Построение окружности Информационная Библиотека для Вас! Архитектура География Геодезия Геология Геополитика Государство и право Гражданское право и процесс Делопроизводство Детали машин Дистанционное образование Другое Жилищное право Журналистика Компьютерные сети Конституционное право зарубежныйх стран Конституционное право России Краткое содержание произведений Криминалистика и криминология Культурология Литература языковедение Маркетинг реклама и торговля Математика Медицина Международные отношения и мировая экономика Менеджмент и трудовые отношения Музыка Налоги Начертательная геометрия Оккультизм и уфология Педагогика Полиграфия Политология Право Предпринимательство Программирование и комп-ры Психология - рефераты Религия - рефераты Социология - рефераты Физика - рефераты Философия - рефераты Финансы деньги и налоги Химия Экология и охрана природы Экономика и экономическая теория Экономико-математическое моделирование Этика и эстетика Эргономика Юриспруденция Языковедение Литература Литература зарубежная Литература русская Юридпсихология Историческая личность Иностранные языки Эргономика Языковедение Реклама Цифровые устройства История Компьютерные науки Управленческие науки Психология педагогика Промышленность производство Краеведение и этнография Религия и мифология Сексология Информатика программирование Биология Физкультура и спорт Английский язык Математика Безопасность жизнедеятельности Банковское дело Биржевое дело Бухгалтерский учет и аудит Валютные отношения Ветеринария Делопроизводство Кредитование. Панель векторов и матриц.
Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Однако такие уравнения могут решаться численными методами с заданной точностью не более значения заданного системной переменной TOL. Возвращает значение х 1 , принадлежащее отрезку [ a, b ] , при котором выражение или функция f х обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Выражение должно возвращать скалярные значения. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня. Приближенные значения корней начальные приближения могут быть: Известны из физического смысла задачи. Известны из решения аналогичной задачи при других исходных данных. Наиболее распространен графический способ определения начальных приближений. Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения 1 или определим его содержащий отрезок [2, 3]. Если после многих итераций Mathcad не находит подходящего приближения, то появится сообщение отсутствует сходимость. Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами: Уравнение не имеет корней. Корни уравнения расположены далеко от начального приближения. Выражение имеет локальные max и min между начальным приближением и корнями. Выражение имеет разрывы между начальными приближениями и корнями. Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным. Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график f x. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет root сходиться. Рекомендации по использованию функции root Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно изменить значение системной переменной TOL. Если значение TOL увеличивается, функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, то функция root будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен. Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего документа, используйте определение вида. Чтобы изменить значение TOL для всего рабочего документа, выберите команду Математика Ю Параметры… Ю Переменные Ю Допуск сходимости TOL. Если два корня расположены близко друг от друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их. Если функция f x имеет малый наклон около искомого корня, функция root f x , x может сходиться к значению r , отстоящему от корня достаточно далеко. В таких случаях для нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значение TOL. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные. Возвращает корни полинома степени n. Возвращает вектор длины n , состоящий из корней полинома. Вектор v удобно создавать использую команду Символы Ю Коэффициенты полинома. Рисунок 6 иллюстрирует определение корней полинома средствами Mathcad. MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно Результатом решения системы будет численное значение искомого корня. Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее: Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. Mathcad решает систему с помощью итерационных методов. Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений. Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Введите любое выражение, которое включает функцию Find , например: Возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных. Ключевое слово Given , уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое-либо выражение, содержащее функцию Find , называют блоком решения уравнений. Следующие выражения недопустимы внутри блока решения: Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме. Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find. Функция, которая завершает блок решения уравнений, может быть использована аналогично любой другой функции. Можно произвести с ней следующие три действия: Можно вывести найденное решение, напечатав выражение вида: Это удобно сделать, если требуется использовать решение системы уравнений в другом месте рабочего документа. Сообщение об ошибке Решение не найдено при решении уравнений появляется, когда: Поставленная задача может не иметь решения. Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального приближения взято вещественное число и наоборот. В процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки. Для поиска искомого решения нужно задать различные начальные приближения. Возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью. Попробуйте увеличить значение TOL. Пример 1 Рисунка 7 иллюстрирует решение системы уравнений в MathCAD. Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х 1 , х 2 , …, х n:. Матрица А , столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы ; матрица-столбец b , элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец х , элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы. Если матрица А - неособенная, то есть det A 0 то система 2 , или эквивалентное ей матричное уравнение 3 , имеет единственное решение. В самом деле, при условии det A 0 существует обратная матрица А Умножая обе части уравнения 3 на матрицу А -1 получим:. На Рисунке 8 показано решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных. Функция Minerr очень похожа на функцию Find использует тот же алгоритм. Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Правила использования функции Minerr такие же, как и функции Find. Возвращает приближенное решение системы уравнений. Если Minerr используется в блоке решения уравнений, необходимо всегда включать дополнительную проверку достоверности результатов. В Mathcad можно быстро и точно найти численное значение корня с помощью функции root. Но имеются некоторые задачи, для которых возможности Mathcad позволяют находить решения в символьном аналитическом виде. Решение уравнений в символьном виде позволяет найти точные или приближенные корни уравнения: Если решаемое уравнение имеет параметр, то решение в символьном виде может выразить искомый корень непосредственно через параметр. Поэтому вместо того, чтобы решать уравнение для каждого нового значения параметра, можно просто заменять его значение в найденном символьном решении. Если нужно найти все комплексные корни полинома со степенью меньше или равной 4, символьное решение даст их точные значения в одном векторе или в аналитическом или цифровом виде. Команда Символы Ю Переменные Ю Вычислить позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения. Чтобы решить уравнение символьно необходимо: Выделить переменную , относительно которой нужно решить уравнение, щелкнув на ней мышью. Выбрать пункт меню Символы Ю Переменные Ю Вычислить. Нет необходимости приравнивать выражение нулю. Если MathCAD не находит знака равенства, он предполагает, что требуется приравнять выражение нулю. Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо выполнить следующее: Напечатать уравнения в любом порядке ниже слова Given. Напечатать функцию Find , соответствующую системе уравнений. Щелкнуть мышью на функции Find. Пример 2 Рисунка 7 иллюстрирует символьное решение системы уравнений в MathCAD. Дата последнего обновления информации на сайте: Введение в систему Mathcad А. Графически отделить корни уравнения: Отсутствие сходимости функции root Если после многих итераций Mathcad не находит подходящего приближения, то появится сообщение отсутствует сходимость. Подобный прием полезен для нахождения корней, расположенных близко друг к другу. Polyroots v Возвращает корни полинома степени n. Определить переменную с помощью функции Find: Определить другую функцию с помощью Find f a, b, c, …: Решение матричных уравнений Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х 1 , х 2 , …, х n: Умножая обе части уравнения 3 на матрицу А -1 получим: Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve. А - квадратная, не сингулярная матрица. Приближенные решения Функция Minerr очень похожа на функцию Find использует тот же алгоритм. Научно-практический журнал "Exponenta Pro. Приглашаем преподавателей к участию в конкурсе ИТ-Прорыв!
Интрамуральная лейомиома лечение
Стих для девушек
Красивые штучкидля интерьерасвоими руками фото
Короткие истории для души
Нерюнгри на карте россии фото