Такими формулами можно называть формулы, обладающие разными свойствами, и здесь очень важно понять, что нам требуется на самом деле. Самая простая формула для простых чисел выглядит, по-видимому, так:. Чем же эта формула не устраивает нас? Это, так сказать, программа-максимум. Ради простоты формулы можно отказаться от требования явной зависимости от номера n и искать формулы, дающие простые числа, быть может, не по порядку. Далее, можно отказаться от желания задать одной формулой сразу все простые числа и требовать только того, чтобы формула давала бесконечно много простых чисел. Можно, наконец, допустить, чтобы эта формула давала наряду с бесконечно многими простыми числами и некоторые составные числа. Формулы, кажущиеся очень простыми, на деле могут оказаться не лучше формулы 1. Именно к таким примерам мы сейчас и переходим. В году В. Миллс опубликовал следующий результат: Впоследствии появился ещё ряд формул такого же типа. Однако все это были результаты, формулировка которых выглядит заманчивой и многообещающей, но доказательство разочаровывает. Тому, кто хочет понять, почему это так, мы предлагаем разобраться в доказательстве следующей теоремы Е. Ключевым пунктом в доказательстве теоремы Райта является так называемый постулат Бертрана. Эту гипотезу впервые высказал французский математик Бертран: Доказательство гипотезы Бертрана было найдено впоследствии выдающимся русским математиком П. Обозначим для краткости число 2 Согласно определению целой части числа равенство 5 эквивалентно неравенству. Прологарифмировав его n раз по основанию 2, получим ещё одно двойное неравенство, эквивалентное 5: Таким образом, формулы 2 и 3 в некотором смысле являются всего лишь замаскированными и ухудшенными вариантами формулы 1. Кроме того, вид формул 2 и 3 на самом деле почти ничего не говорит именно о множестве простых чисел. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь формулы, в которые входят только целочисленные коэффициенты. Такие формулы обладают важным преимуществом: Формулы Миллса, Райта и другие подобные формулы остались изолированными фактами, не приведшими к новым результатам. Однако в других случаях возможность представить некоторые простые числа в том или ином специальном виде имеет неожиданные и глубокие следствия. Рассмотрим сейчас две формулы, имеющие совсем простой вид:. Но и при простом n получающееся по формуле 8 число может оказаться составным:. Однако Мерсенн не дал доказательства; впоследствии выяснилось, что его предсказание было частично ошибочным. Спустя несколько столетий Леонард Эйлер доказал попробуйте и здесь свои силы , что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом. Таким образом, вопрос, конечно или бесконечно множество чётных совершенных чисел, свёлся к вопросу, конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна, то есть к вопросу, реализует ли формула 8 нашу программу-минимум. Таким образом, вместо n в формулу 9 имеет смысл подставлять только 0 и степени числа 2. В настоящее время известно несколько значений n вида 2 k , при которых по формуле 9 получаются составные числа, но не найдено ни одного нового простого числа Ферма, отличного от указанных выше. Простые числа Ферма обнаруживают неожиданную связь с геометрией. Более общий результат таков: Формулы 8 и 9 содержат возведение в степень. А нельзя ли для задания бесконечно многих простых чисел обойтись лишь сложением, вычитанием и умножением? Поищем ответ на этот вопрос. Начнём с рассмотрения многочленов от одной переменной с натуральными коэффициентами; посмотрим, какие многочлены будут своими значениями иметь простые числа и в каком количестве. Возьмём вначале многочлены первой степени то есть линейные многочлены. Очевидно, что тривиальный многочлен x задаёт бесконечно много простых чисел, более того, все простые числа, но это неинтересный случай. Случай же, когда a и b взаимно просты, гораздо менее очевиден. Эта гипотеза была доказана лишь в XIX столетии немецким математиком Леженом Дирихле. Перейдём теперь к квадратным многочленам. Доказано, что никакой многочлен отличный, разумеется, от константы не может иметь в качестве значений только простые числа, но до сих пор не известно, существует ли многочлен кроме линейного , среди значений которого встречается бесконечно много простых чисел. Интерес к представлению простых чисел в виде значений квадратных многочленов недавно возродился в связи с неожиданным наблюдением С. Начав на спирали из всех натуральных чисел рис. Докажите, что числа, расположенные вдоль какой-либо диагонали в пределах, ограниченных на рис. Узор, изображённый на рис. Чтобы отмеченная закономерность проявилась, не обязательно начинать спираль с единицы. Феномен со стремлением простых чисел располагаться в цепочки вдоль диагоналей был обнаружен сравнительно недавно и ещё не получил какого-либо математического объяснения. О представлении простых чисел с помощью многочленов от многих переменных мы скажем в конце статьи. Экспоненциальные многочлены отличаются от обычных тем, что в них показателями степени могут быть не только конкретные натуральные числа, но и линейные многочлены от переменных с натуральными коэффициентами, то есть многочлены вида. Простейшими примерами экспоненциальных многочленов от переменной n являются правые части формул 8 и 9. В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что все встречающиеся у нас переменные принимают целые положительные значения. Существует экспоненциальный многочлен R x 0 , Эта формула замечательна вот чем. Во-первых, в неё входят только целые числа, и потому, в отличие от формул Миллса, Райта и им подобных, формула Джулии Робинсон может быть выписана явно. Во-вторых, она задаёт все простые числа, а не только какие-то избранные из них, в отличие от всех рассмотренных выше формул. Доказательство Джулии Робинсон совершенно элементарно. Ниже излагаются его основные идеи; доведение же доказательства до формальной строгости мы оставляем читателям: Как мы увидим, из этих лемм следует не только существование экспоненциального многочлена R , но и его явный вид. Чтобы доказать теорему Джулии Робинсон, мы, очевидно, должны указать экспоненциальный многочлен R такой, что уравнение 10 разрешимо в натуральных числах относительно переменных x 0 , Приведём ещё несколько примеров условий на набор переменных. Мы не станем точно определять, условия какого вида являются для нас допустимыми. Приведённое описание примеров условий достаточно для оправдания того способа действий, которым мы в дальнейшем будем пользоваться. В последующем изложении мы будем различать переменные, называя некоторые из них параметрами , так что деление переменных на параметры и неизвестные у нас является чисто условным. Уравнение 10 является примером экспоненциально диофантова уравнения относительно переменных p , x 0 , Мы будем говорить, что две системы условий, имеющие одни и те же параметры, эквивалентны друг другу относительно этих параметров, если множество тех значений параметров, при которых имеет решение одна из этих систем, совпадает со множеством тех значений параметров, при котором имеет решение и другая система. В этой терминологии наша цель формулируется так: Однако требование, чтобы параметр p стоял только в левой части равенства 10 , является, как мы сейчас увидим, излишне жёстким. Нам достаточно даже найти не уравнение, а хотя бы систему экспоненциально диофантовых уравнений. Именно поиском системы экспоненциально диофантовых уравнений, эквивалентной условию 11 , мы и будем заниматься. Для наших же целей больше подходит следующее определение: Первое из этих условий имеет искомый вид экспоненциально диофантова более того, диофантова уравнения, а третье легко приводится к такому же виду за счёт введения двух новых неизвестных: Так как уравнение 18 экспоненциально диофантово, то нам осталось лишь найти систему экспоненциально диофантовых уравнений, эквивалентную относительно параметров r и s условию В условие 16 входит r! Многочлен, стоящий в числителе, имеет довольно сложную структуру. Но мы и не будем переходить к пределу, а воспользуемся целочисленностью r! Лемма 4 позволяет преобразовать условие 16 в эквивалентную ему относительно параметров r и s систему проверьте эквивалентность! Только что мы использовали выражение биномиальных коэффициентов через факториал; но биномиальные коэффициенты имеют много и других определений. Но нам нужно, чтобы u было неизвестной , принимающей в каждом конкретном решении искомой системы лишь одно значение. Условие 23 эквивалентно относительно параметров r , t , c системе условий. Здесь все условия уже имеют необходимый нам вид. Чтобы получить требуемый экспоненциальный многочлен, осталось переименовать переменные r , s , t , c и u в x 10 , x 11 , x 12 , x 13 , x 14 , объединить по лемме 2 все уравнения в одно и преобразовать по лемме 1 это уравнение к искомому виду Формула 10 не содержит явно номера задаваемого ею простого числа. Описанный выше способ построения экспоненциального многочлена R не даёт прямого пути для включения номера простого числа в формулу В году автору этой статьи удалось, используя другие результаты Джулии Робинсон, построить такое диофантово уравнение:. Об этом, однако, мы поговорим в другой раз. Каково множество тех многочленов, значения которых лежат вдоль диагонали, если спираль см. Как можно использовать этот результат, чтобы уменьшить число неизвестных в экспоненциальном многочлене R , задающем простые числа? Постройте экспоненциальный многочлен S x 0 , Прочитать об этом доказательстве можно в статье М. Об истории и современном состоянии исследований по совершенным числам и простым числам Мерсенна вы можете прочитать в статье И. Подробнее об этом открытии тогда ещё совсем молодого Гаусса рассказано в статье С. Как было сделано это наблюдение, красочно рассказывает М. Вот этот кусочек с. В зависимости от расположения целых чисел простые числа могут образовывать тот или иной узор. Однажды математику Станиславу М. Уламу пришлось присутствовать на одном очень длинном и очень скучном, по его словам, докладе. Чтобы как-то развлечься, он начертил на листке бумаги вертикальные и горизонтальные линии и хотел было заняться составлением шахматных этюдов, но потом передумал и начал нумеровать пересечения, поставив в центре 1 и двигаясь по спирали против часовой стрелки. Без всякой задней мысли он обводил все простые числа кружками. Вскоре, к его удивлению, кружки с поразительным упорством стали выстраиваться вдоль прямых. Вблизи центра выстраивания простых чисел вдоль прямых ещё можно было ожидать, поскольку плотность простых чисел вначале велика и все они, кроме числа 2, нечётны. Если клетки шахматной доски перенумеровать по спирали, то все нечётные числа попадут на клетки одного и того же цвета. Взяв 17 пешек соответствующих 17 простым числам, не превосходящим числа 64 и расставив их наугад на клетки одного цвета, вы обнаружите, что пешки выстроились вдоль диагональных прямых. Однако не было оснований ожидать, что и в области больших чисел, где плотность простых чисел значительно меньше, те также будут выстраиваться вдоль прямых. Улама заинтересовало, как же будет выглядеть его спираль, если её продолжить до нескольких тысяч простых чисел. В вычислительном отделе Лос-Аламосской лаборатории, где работал Улам, имелась магнитная лента, на которой было записано 90 млн. Улам вместе с Майроном Л. Стейном и Марком Б. Например, последовательность простых чисел 5, 19, 41, 71, стоящих на одной из диагоналей на рис. Начав спираль не с 1, а с какого-нибудь другого числа, мы получим другие квадратичные выражения для простых чисел, выстраивающихся вдоль прямых. Рассмотрим спираль, начинающуюся с числа 17 рис. При x , принимающем значения от 0 до 15, она даёт только простые числа. Давно известно, что из первых значений, принимаемых этим трёхчленом, ровно половина простые. Математикам очень бы хотелось открыть формулу, позволяющую получать при каждом целом x различные простые числа, но пока такой формулы обнаружить не удалось. Может быть, её и не существует. Спираль Улама подняла много новых вопросов, относящихся к закономерностям и случайностям в распределении простых чисел. Существуют ли прямые, на которых лежит бесконечно много простых чисел? Какова максимальная плотность распределения простых чисел вдоль прямых? Точнее, Робинсон получила чуть более слабый результат, а эту изящную форму придал результату Робинсон впоследствии X.
Куклы вязанные крючком со схемами для начинающих
Сопли стали белыми
Простое число
Сколько раз в неделю надо поливать лук
Правила поведения в театре презентация
Как пользоваться облаком майл ру на телефоне
Itunes предупреждение 1946 не удалось задать свойство
Манипулятор на газ 53 своими руками
Желтые пятна на помидорах что делать
Дастер где стартер
Тестодля пиццы без дрожжей форум
Карта тверской г
Список простых чисел
Расписание городского транспорта иваново
Правила определенного и неопределенного артикля
Сколько стоит гель актиферт
Стар и млад сити парк град расписание
Сонник подбирать ключи к замку
Значение чисел в нумерологии
Как всегда выигрывать в игре дурак
История рф кратко
Можно ли в петров пост зачать ребенка
Тест по химии первоначальные химические понятия