Решения краевой задачи для уравнения Лапласа внутри круга и вне его
Решения краевых задач для уравнения Лапласа в круге
Вы точно человек?
Уравнением Лапласа называется уравнение где — лапласиан, имеющий в декартовых, цилиндрических и сферических координатах соответственно следующий вид см. Уравнение Лапласа играет важную роль в приложениях. Например, ему должно удовлетворять всякое стационарное распределение температуры в теле см. Действительно, если температура не зависит от то и уравнение теплопроводности Применение уравнения Лапласа выходит далеко за рамки вопроса стационарного распределения температуры. Однако при изучении этого уравнения представление функции и как температуры очень удобно и наглядно. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. В каждой задаче, связанной с уравнением Лапласа, искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций определенным дополнительным условием, которое чаще всего является краевым. Таким образом, возникает следующая краевая задача: В задаче стационарного распределения температуры — температура внешней среды на границе тела. Наиболее важным является частный случай этой краевой задачи, соответствующий случаю т. Задача Дирихле в пространстве формулируется так: Найти функцию , удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности Г уравнению Лапласа и принимающую на границе Г заданные значения: То, что задача Дирихле всегда имеет решение при некоторых весьма общих предположениях относительно , можно считать очевидным по физическим соображениям. Действительно, если каждая точка границы тела постоянно поддерживается при определенной температуре которая может быть разной в разных точках границы , то в каждой точке тела установится в конце концов своя температура, которая и дает решение задачи Дирихле при данных граничных значениях. Кроме того, очевидно, что по тем же соображениям это решение будет единственным. Задача Дирихле может, конечно, интерпретироваться также и в терминах диффузии: Задача Дирихле может быть поставлена двух измерениях. Если и зависит только от двух пространственных координат, например или только от в полярной системе координат , то уравнение Лапласа Найти функцию , удовлетворяющую внутри замкнутой кривой Г уравнению Лапласа и принимающую на границе Г заданные значения: Эта задача тоже имеет единственное решение. Она может возникнуть в физических задачах двух типов, которые мы разъясним опять на примере тела, распределение температуры в котором стационарно. Первый тип задачи относится к стационарному распределению температуры в тонкой однородной пластинке, параллельной плоскости с теплоизолированными нижней и верхней поверхностями. Край пластинки Г поддерживается при определенной температуре. Пластинка должна быть настолько тонкой, чтобы можно было пренебречь изменением температуры по ее толщине. Тогда температура и будет функцией только Второй тип задачи возникает при рассмотрении стационарного распределения температуры в бесконечном однородном цилиндре, у которого образующие параллельны оси , направляющая Г лежит в плоскости а боковая поверхность поддерживается при определенной температуре см. Здесь и тоже остается постоянной на любой прямой, пареллельной оси , проходящей в цилиндре, так что Заметим, что задача Дирихле решается очень просто в одномерном случае, т. В случае декартовых координат одномерное уравнение Лапласа принимает вид и его решениями являются линейные функция стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью всегда линейно. Задача Дирихле имеет в этом случае решение где. В случае задач с осеней симметрией запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах считая, что и не зависит: Отсюда , где А и В — произвольные постоянные. Задача Дирихле имеет, как это легко проверить, решение Эта формула дает решение задачи о стационарном распределении тепла в пространстве между двумя цилиндрами с общей осью при условии, что на поверхпоаях цилиндров поддерживается постоянная температура. Ясно, что если то Заметим, что полученное решение теряет смысл при Наконец, если гармоническая функция и зависит только от расстояния точки до начала координат, то, воспользовавшись сферическими координатами см. Дифференциальные уравнения с частными производными. Однородные линейные дифференциальные уравнения с частными производными и свойства их решений. Оператор Лапласа в полярных, цилиндрических и сферических координатах. Уравнение колебаний струны 5. Постановка начальных и краевых условий. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Вынужденные колебания и колебания струны в среде с сопротивлением Колебания струны в среде с сопротивлением. Продольные колебания стержня Крутильные колебания вала Крутильные колебания вала с диском на одном конце. Электрические колебания в длинных однородных линиях Уравнение колебаний мембраны Уачальные и краевые условия. Колебания прямоугольной мембраны Стоячие волны прямоугольной мембраны. Вторая часть метода Фурье. Стоячие волны с одинаковой частотой. Уравнение и функции Бесселя Условие ортогональности функций Бесселя нулевого порядка. Функции Бесселя первого порядка. Колебания круглой мембраны Стоячие волны круглой мембраны. Уравнение линейной теплопроводности Начальное и краевые условия. Теплопроводность в стержне при наличии теплообмена через боковую поверхность. Теплопроводность в бесконечном стержне Преобразование решения уравнения теплопроводности. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и его физический смысл. Теплопроводность в конечном стержне Распространение тепла в стержне в случаях постоянной температуры на концах или теплоизоляции концов. Общий случай краевых условий. Теплопроводность в полубесконечном стержне Некоторые пространственные задачи теплопроводности Распространение тепла в однородном цилиндре Распространение тепла в однородном шаре. Уравнения теплопроводности и диффузии с краевым условием, зависящим от времени. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Метод функции Грина Метод функции Грина для задачи Дирихле трехмерный случай. Метод функции Грина для задачи Дирихле двумерный случай. Решение задачи Дирихле для шара и полупространства Задача Дирихле для шара. Задача Дирихле для внешности шара. Задача Дирихле для полупространства. Решение задачи Дирихле для круга и полуплоскости Задача Дирихле для внешности круга. Задача Дирихле для полуплоскости. Метод Фурье для уравнения Лапласа Разделение переменных в трехмерном уравнении Лапласа в сферических координатах. Решение задачи Дирихле для шара в осесимметричном случае разложением по многочленам Лежандра. Корректность постановки задач математической физики. Здесь и тоже остается постоянной на любой прямой, пареллельной оси , проходящей в цилиндре, так что. Заметим, что задача Дирихле решается очень просто в одномерном случае, т. Ясно, что если то Заметим, что полученное решение теряет смысл при. Наконец, если гармоническая функция и зависит только от расстояния точки до начала координат, то, воспользовавшись сферическими координатами см. Мы сейчас изложим основы общего метода решения задачи Дирихле, называемого методом функции Грина.
Уравнением Лапласа описываются различные физические процессы и в каждой задаче искомое решение должно удовлетворять уравнению в некоторой области D , а также некоторому дополнительному условию на границе S этой области D. Краевые задачи могут быть внутренними или внешними. Они различаются в зависимости от того, в какой области внутренней или внешней относительно поверхности S ищется решение. Внутренняя задача Дирихле формулируется следующим образом: Найти непрерывную в замкнутой области функцию и М , которая удовлетворяла бы в области D уравнению Лапласа и принимала бы на поверхности S заданные значения F P. Математически это можно записать следующим образом:. Внутренняя задача Неймана формулируется так: Рассмотрим теперь краевые задачи для уравнения Лапласа внутри круга и вне его. Пусть существует область, представляющая собой круг радиуса R. Запишем двухмерное уравнение Лапласа в полярных координатах, полагая, что , а. Для нахождения частных решений уравнения используем метод Фурье и представим эти решения в виде. После подстановки решения в исходное уравнение для каждой функции и получим два уравнения. Рассмотрим сначала уравнение для функции. Если , то решение этого уравнения имеет вид. Уравнение в случае, когда представляет собой уравнение Эйлера, которое можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами путем замены , тогда. Если в уравнении , то это уравнение принимает вид. Это уравнение также является уравнением Эйлера, поэтому, производя замену , приходим к уравнению. Исходя из выражений , , и можно утверждать, что частные решения уравнения Лапласа в круге можно записать в виде:. Эти решения ограничены при и неограниченны на бесконечности. Функция как функция от является периодической функцией с периодом , так как для однозначной функции величины и совпадают. Поэтому из равенства следует, что коэффициент В в решении равен нулю и может принимать одно из значений 1,2,3,…. Следовательно, мы получили бесчисленное множество частных решений уравнения , непрерывных в круге, которые несколько изменив обозначения можно записать в виде. Используя принцип суперпозиции, а также вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа можно утверждать, что сумма частных решений Решение можно получить немного иначе. Запишем решение задачи , в виде. Подставляя в граничное условие , получаем. Следовательно, являются коэффициентами Фурье функции по системе тригонометрических функций , которые можно вычислить по следующим формулам:. Подставляя коэффициенты в и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим. Так как при имеет место разложение. Эта формула Пуассона, которая при непрерывной функции дает классическое решение задачи Дирихле в круге. Коэффициенты определяются из граничного условия и вычисляются по формулам. Коэффициенты в решениях - являются коэффициентами Фурье функции , и определяются по формулам Найти решение уравнения Лапласа для внутренней части круга радиуса R , удовлетворяющее краевому условию. Решение ищется в круге , значит выписывать решение будем по Найдем в этой формуле коэффициенты. Для этого подставим само решение в левую часть граничного условия Теперь сравним коэффициенты при синусах и косинусах с одинаковыми аргументами и при свободном члене в левой и правой частях полученного равенства Подставим ненулевые в решение и получим ответ, то есть найдем функцию. Найти решение уравнения Лапласа во внешности круга радиуса R , удовлетворяющее на границе условию Неймана. Так как уравнение Лапласа надо решить вне круга , то будем использовать формулу Теперь сравним коэффициенты при синусах и косинусах с одинаковыми аргументами в левой и правой частях полученного равенства Подставим полученные ненулевые коэффициенты в решение и получим ответ, то есть найдем функцию. Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. Cитуационные задачи I этап. Задачи с рекурсивной формулировкой I. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ВНЕШНЕЙ ПОЛИТИКИ I. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ВНЕШНЕЙ ПОЛИТИКИ. По обеспечению информационно-образовательной и воспитательной задачи учебных занятий I. Получение и уяснение задачи I. Пример решения задачи I. Укажите задачи криминалистики I. Цели и задачи изучения учебной дисциплины II. Задачи, из постановки которых II. Постановка учебной задачи, сообщение темы урока. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? В зависимости от вида граничного условия различают следующие основные виды граничных задач: Математически это можно записать следующим образом: Запишем двухмерное уравнение Лапласа в полярных координатах, полагая, что , а или. Следовательно, уравнение принимает вид. Решение этого однородного линейного уравнения второго порядка имеет вид и возвращаясь к переменной r , получим. Таким образом, можно построить частные решения уравнения Лапласа в круге и вне его: Исходя из выражений , , и можно утверждать, что частные решения уравнения Лапласа в круге можно записать в виде:
Реализация плана противодействия коррупции
Удлиненный боб на кудрявые волосы
Статья 28 фз об образовании
Интернет контроллер для ноутбука леново
Статьи 169 и 170 жилищного кодекса