Материалы по математике: подготовка к олимпиадам и ЕГЭ
Олимпиадные задания по математике с ответами
Математика. Разбор олимпиадных задач. Задача
В статье рассматривается актуальный вопрос, касающийся методики подготовки школьника к математической олимпиаде. Автор статьи дает рекомендации: Как эффективно подготовить учащихся к математической олимпиаде? Какие формы работы со школьниками выбрать? Умение решать задачи, особенно олимпиадные, всегда являлось одним из показателей математической одаренности ученика. Тем более что сегодня часто по итогам олимпиад оценивают итоги внеклассной и внешкольной работы по математике в школе, районе. Подготовка учащегося к участию в олимпиаде — труд не одного года. Нужно отметить, что успешно участвовать в предметной олимпиаде может учащийся, знакомый со стандартными приемами решения задач, выходящих за рамки школьного курса. Определенную роль играет и скорость мышления учащегося. Только при таком подходе учащийся, попавший на олимпиаду в классах, будет чувствовать себя уверенно: В ходе проведения занятий обращаю внимание на то, чтобы: Необходимо подчеркнуть, что подготовка и проведение занятий — творческий процесс. Даже в рамках одного занятия полезно сменить направление деятельности;. Это можно делать, предлагая задачи на данную тему в устных и письменных олимпиадах и других соревнованиях;. Также использую на занятиях развлекательные и шуточные задачи. При непосредственной подготовке учащихся к математическим конкурсам и олимпиадам необходимо акцентировать внимание учащихся на следующих моментах: Приведу несколько возможных тем занятий для учащихся разных классов: Геометрические построения с различными чертежными инструментами 7 — 8 кл. Проведение олимпиад и подготовка к ним через математические кружки, факультативные занятия и часы для дополнительной работы по математике должны привлекать детей своей индивидуальностью и интересными методами их проведения. Роль учителя в этом деле огромная. В первую очередь учитель обязан создать благоприятные условия для того, чтобы ученик смог постигать новое в интересующей его науке. С помощью знаний учителя, умением методически правильно поставить перед учеником задачу посильную ученику, он добьется успеха. Школа решения олимпиадных задач по математике. Математические кружки в школе. Айрис — пресс, Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт. Бесплатно Комплекты Олимпиады Вебинары Тесты Блиц Разработки Премиум—доступ. Подготовка учащихся к олимпиадам по математике В статье рассматривается актуальный вопрос, касающийся методики подготовки школьника к математической олимпиаде. Пойа Умение решать задачи, особенно олимпиадные, всегда являлось одним из показателей математической одаренности ученика. Из своего многолетнего опыта работы хочу предложить несколько советов: Даже в рамках одного занятия полезно сменить направление деятельности; - постоянно возвращаться к пройденному материалу. Рекомендации учителю по подготовке учащихся: Задачи, решаемые с конца 5 — 6 кл. Занимательные задачи на проценты 6 кл. Математические ребусы 5 — 7 кл. Геометрические задачи со спичками 5 — 6 кл. Задачи на разрезание и перекрашивания фигур 5 — 7 кл. Графы 6 — 9 кл. Упражнения на быстрый счет 5 — 8 кл. Четность 7 — 9 кл. Делимость и остатки 7 — 9 кл. Занимательные задачи на построения 7 — 8 кл. Взвешивания 5 — 7 кл. Логические задачи 5 — 8 кл. Уравнения в целых и натуральных числах 7 — 11 кл. Геометрические задачи на местности 8 — 9 кл. Метод математической индукции 8 — 11 кл. Принцип Дирихле 6 — 9 кл. Текстовые задачи 7 - 9 кл. Уравнения, неравенства и их системы 7 — 11 кл. Доказательства неравенств 9 — 11 кл. Занимательные комбинаторные задачи 7 — 9 кл. Построение графика сложной функции 9 — 11 кл. Тригонометрические преобразования 10 — 11 кл. Планиметрия 7 — 9 кл. Стереометрия 10 — 11 кл. Некоторые примеры решения уравнений высших степеней кл. Подготовка к ОГЭ по математике 9 класс. Скачать разработку Сохранить у себя:. Подготовка учащихся к олимпиадам по математике Похожие файлы Формы и методы внеклассной работы по математике и информатике Самоанализ работы учителя математики О развитии математических способностей Заочные школы по информатике, их место в системе образования Отчет по самообразованию учителя математики год. Комментарии 0 Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт. Свидетельство сразу Получите бесплатно свидетельство о публикации сразу после добавления разработки Подробнее. Рассылка для учителя Получайте бесплатно новые полезные материалы прямо на свой email Подробнее. Не забудьте поделиться материалом в социальных сетях с Вашими коллегами. Подготовка учащихся к олимпиадам по математике. Для учителя Разработки Видеоуроки Комплекты Олимпиады Блог Учительская. О проекте Обратная связь Друзьям. Политика конфиденциальности Лицензионный договор Рассылка. Такой пользователь уже существует, вы можете войти или восстановить пароль. Или войти с помощью аккаунта в соцсети. Введите вашу электронную почту, чтобы восстановить пароль!
Решение олимпиадных задач принципиально отличается от решения школьных, даже очень сложных, задач! Это обусловлено, прежде всего выбором разделов, традиционно рассматриваемых на олимпиадах. Теория игр, графы, уравнения в целых числах и т. Уже не говоря о принципе Дирихле, элементах теории чисел, четности, логических задачах. Ясно, что не каждого учащегося, имеющего по предмету отличную оценку, имеет смысл направлять на олимпиаду. Дело в том, что на выполнение олимпиадного задания отводится строго определенное время, в качестве задач предлагаются не задачи базового или повышенного уровня по школьным меркам , а задания нестандартные. Эти задания могут быть простыми по формулировке, но выходящими за рамки школьной программы. Мы разберем не самые трудные нетрадиционные разделы математики, рассматриваемые на олимпиадах. Следует отметить, что практически все разбираемые разделы могут быть с одинаковым успехом рассмотрены на факультативных занятиях как в 5, так и в 11 классах. Конечно, подача материала будет отличаться объемом и глубиной, перечнем рассматриваемых разделов математики они должны соответствовать изучаемому школьному курсу. Успешно участвовать в предметной олимпиаде может учащийся, знакомый со стандартными приемами решения задач, выходящих за рамки школьного курса. Определенную роль играет и скорость мышления учащегося. Только при таком подходе, учащийся, попавший на олимпиаду в классах, будет чувствовать себя уверенно: В заключение отметим, что работа с одаренными детьми - это не работа одного года. Подобная работа должна иметь программу желательно индивидуальную для каждого неординарного ребенка. Начиная свою работу с одарёнными детьми, всегда знакомлю их с основными, важными моментами, на которые нужно обратить внимание при решении олимпиадных задач. Для себя составила Памятку по решению олимпиадных задач, включающую в себя несколько основных пунктов, которые в данной главе привожу, сопровождая их примерами. Определите площадь треугольника со сторонами 27, 56 и 28 см. Ясно, что треугольника с такими сторонами не может существовать, поскольку не выполняется неравенство треугольника. Задача решения не имеет. Поскольку по условию задачи не сказано, какой именно треугольник имеется ввиду, без разбора случаев прямоугольного, остроугольного и тупоугольного треугольников задача не будет решена полностью. Автобус, в котором находились 38 пассажиров, сломался на трассе. Сколько раз водителю легковушки придется съездить туда и обратно, если в автомобиль кроме водителя могут сесть еще четыре пассажира. Эта задача интересна тем, что необходимо рассмотреть два случая: Если водитель едет из ближайшего населенного пункта, то после поездки с последней парой он вернется, т. Охотник, войдя в лес, видит на дереве белку. Белка выглядывает из-за ствола, смотрит на охотника, а сама охотнику не показывается. Охотник начинает медленно обходить дерево вокруг. Белка, цепляясь коготками за кору дерева, перемещается по стволу так, что все время, выглядывая из-за ствола, смотрит на охотника, но свою спинку и хвостик охотнику не показывает. Охотник три раза обошел вокруг дерева, сколько раз он обошел вокруг белки? Эта задача, как и задача 1, допускает два варианта подхода. Полный ответ на вопрос, поставленный в задаче, состоит в разборе двух рассмотренных вариантов. Необходима проверка правдоподобности полученных результатов. После написания олимпиадной работы внимательно ее прочитайте. Часто в олимпиадных задачах описывается определенная конструкция, которая может находиться в различных состояниях, и набор допустимых преобразований, меняющих эти состояния, и спрашивается, можно ли из одного данного состояния перейти в другое. Если ответ в такой задаче положителен, то для доказательства достаточно привести любой пример, показывающий, как можно осуществить такое преобразование. Если же ответ отрицательный, то необходимо доказать, что как бы мы ни производили допустимые преобразования, мы никогда не сможем получить требуемого состояния. Один из возможных способов доказательства этого состоит в нахождении такой величины, определенной для всех возможных состояний, которая не меняется при допустимых преобразованиях. Такая величина называется инвариантом. Если существует инвариант, который принимает различные значения для начального и конечного состояния, то, очевидно, что преобразовать начальное состояние в конечное с помощью допустимых преобразований невозможно. С такими инвариантами мы встретимся при рассмотрении, например, четности, делимости, остатков, графов и т. Смекалку можно воспитать и развить систематическими и постепенными упражнениями, в частности решением математических задач, как школьного курса, так и задач, возникающих из практики, связанных с наблюдениями окружающего нас мира вещей и событий. Рассматриваемые простые задания, не требующие долгих вычислений, не будут сопровождены ответами они во многих случаях очевидны. Если 5 кошкам нужно 5 минут, чтобы поймать 5 мышек, сколько требуется кошек, чтобы за минут поймать мышек? В стакане находятся бактерии. Через секунду каждая из бактерий делится пополам, затем каждая из получившихся бактерий через секунду делится пополам и так далее. Через минуту стакан полон. Через какое время стакан будет заполнен наполовину? На поверхности сферы наугад выбраны 3 точки. Какова вероятность того, что они окажутся в одном полушарии? Из старой толстой книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер , а номер последней записывается теми же цифрами, только в каком-то другом порядке. Сколько страниц в выпавшем куске? Его разрезают на 4 части, затем некоторые из полученных кусков или все снова разрезают на 4 части. Доказать, что при этом нельзя получить 50 листов бумаги. Каждые полчаса паром переплывает реку. Если в первый раз он отправится к другому берегу в утра, а в последний — в 8 вечера, то сколько раз паром переплывает реку за день? Водолаз работает на глубине 20 метров под водой. Расстояние от поверхности воды до палубы корабля составляет — длины троса, причем — его длины остались на катушке. Какова максимальная глубина, на которую может опуститься водолаз? Червяк ползет по столбу, начав путь от его основания. Каждый день он проползает вверх на 3 см, а за каждую ночь спускается вниз на 1 см. Когда он достигнет верхушки столба, если высота столба 75 см? Крокодил Гена с Чебурашкой плыли вверх по течению реки. Гена сидел на веслах, а Чебурашка, сидя на корме, ел апельсины. В момент, когда лодка проплывала под мостом, а Крокодил Гена был поглощен движением, Чебурашка заснул и нечаянно столкнул ящик с апельсинами в воду. Через полчаса Гена обнаружил пропажу ящика с апельсинами, развернул лодку по течению реки и стал догонять уплывающий ящик; еще через полчаса выловил его на расстоянии двух километров ниже моста по течению реки. Какова скорость течения реки? В январе некоторого года было четыре пятницы и четыре понедельника. Каким днем недели было е число этого месяца? На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга - с восьмью, Вера — с девятью, Найдите наименьшее число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4 и при делении на 6 дает в остатке 5. Может ли такое быть? Кот Васи перед дождем всегда чихает. Учитель рисует на листке бумаги несколько кружков и спрашивает одного ученика: Так сколько здесь кружков? Так сколько же кружков нарисовал учитель на листке? Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и тщательно размешивают смесь. Затем три ложки смеси переливают обратно в стакан с молоком. В кошельке лежат две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из монет не пятак. Что это за монеты? Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 магический квадрат, то есть разместите их в таблице 3x3 так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы. Из спичек сложена фигура, изображенная на рисунке. Как переложить две спички, чтобы получилось ровно четыре квадрата с длиной стороны, равной длине спички? Река шириной 4 метра делает поворот под прямым углом. Как переправиться через нее на другой берег, имея лишь две доски длиной 3 метра 90 сантиметров? Можно ли расположить 6 длинных круглых карандашей так, чтобы каждый из них касался любого другого? Вова, Петя и Коля сварили уху и съели ее поровну. Для ухи Вова дал 5 рыб, Петя — 3 рыбы. Коля рыбы не поймал и отдал за уху рублей. Как Вова и Петя должны разделить эти деньги, чтобы дележ был справедливым? Разговор об олимпиадных задачах мы начинали с решения занимательных задач. Начнем с рассмотрения забавного перевода одного шутливого английского стихотворения:. Гораздо проще задача может быть пояснена при помощи принципа Дирихле Дирихле Петер Лежен - немецкий математик, иностранный член многих иностранных академий наук. Представим этот принцип в такой шутливой форме: Доказательство самого принципа чрезвычайно просто, в нем используется тривиальный подсчет кроликов в клетках. Если бы в каждой клетке сидело не более одного кролика, то всего в наших N клетках сидело бы не более N кроликов, что противоречило бы условиям. В мешке лежат шарики двух цветов: Какое наименьшее число шариков нужно достать из мешка вслепую, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета? Достаем из мешка 3 шарика. Если среди этих шариков было не более одного шарика каждого из цветов - это очевидно, и противоречит тому, что мы достали три шарика. С другой стороны, понятно, что двух шариков может и не хватить. Ясно, что кроликами в этой задаче являются шарики, а клетками — цвета: При делении на п любое число дает в остатке одно из чисел 0, 1,2, 3, Разность этих чисел делится на п. В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок в каждом ящике яблоки только одного сорта. Доказать, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач. Несколько дуг окружности покрасили в синий цвет. Сумма длин окрашенных дуг меньше длины окружности. Докажите, что существует диаметр, оба конца которого не окрашены. На далекой планете, имеющей форму шара, суша занимает больше половины поверхности планеты. Докажите, что можно прорыть туннель, проходящий через центр планеты, который соединит сушу с сушей. Докажите, что среди любых шести человек есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых. На складе имеются по сапог 41, 42 и 43 размеров, причем среди этих сапог правых и левых. Докажите, что из них можно составить не менее годных пар обуви. Покрасим в желтый цвет дуги, симметричные синим относительно центра окружности. Так как сумма длин желтых дуг равна сумме длин дуг синих, то общая длина окрашенных дуг меньше длины окружности. Значит, найдется неокрашенная точка с такой же симметричной ей неокрашенной точкой. Покрасим сушу на планете в зеленый цвет, а поверхность планеты, симметричную суше, — в синий цвет. Так как суша занимает больше половины поверхности планеты, то найдется точка на планете, покрашенная в оба цвета. Через нее и надо рыть туннель. У данного человека среди остальных пяти есть либо не менее трех знакомых, либо не менее трех незнакомых ему. Разберем, например, первый случай. Среди этих трех людей есть либо двое знакомых - тогда они вместе с выбранным нами вначале человеком образуют нужную тройку, либо они все трое попарно незнакомы. В каждом размере каких-то сапог меньше: Выпишем эти типы сапог по размерам. Какой-то тип, например левый, повторится, по крайней мере дважды, например в 41 и 42 размерах. Но так как количество левых сапог в этих размерах суммарно не меньше 10 почему? В этой главе речь пойдет о замечательных математических объектах. Эти объекты как правило, различные картинки очень часто возникают в математических задачах и оказываются чрезвычайно полезными при решении многих, внешне не похожих друг на друга задач. Мы не будем давать строгого определения графа как математического объекта. Для нас вполне достаточно ограничиться несколькими определениями и теоремами и показать, как эти определения и теоремы работают при решении конкретных задач. Под графом мы будем понимать картинку, адекватно описывающую задачу. При этом элементы множеств, как правило, показываются точками. Желательно, чтобы при решении точки не лежали на одной или паре прямых. Точки при этом называются вершинами графа, а линии, соединяющие эти точки, — ребрами. Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля — Меркурий, Плутон — Венера, Земля — Плутон, Плутон - Меркурий, Меркурий - Венера, Уран - Нептун, Нептун - Сатурн, Сатурн — Юпитер, Юпитер — Марс и Марс — Уран. Можно ли добраться возможны пересадки с Земли до Марса? Сделав набросок рисунка маршрутов, мы нарисовали граф, соответствующий условию задачи. Видно, что все планеты Солнечной системы разделились на две не связанных между собой группы. Земля принадлежит одной группе, а Марс - второй. Долететь с Земли до Марса нельзя. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией тогда и только тогда, когда двузначное число, составленное из цифр-названий этих городов, делится на 3. Можно ли из города 1 добраться в город 9? Покажем возможные маршруты, нарисовав граф. И в этой задаче 1 и 9 попали в две разных части графа. Ясно, что в правой части графа сгруппировались города-цифры нацело делящиеся на 3, а в левой части графа ребра соединяют две цифры: Отметим, что один и тот же граф можно нарисовать по-разному. Если учащиеся одного класса нарисуют графы к одной задаче, то мы можем получить столько графов, сколько учащихся их рисовали. Нарисованные по-разному графы если они нарисованы без ошибок принято называть изоморфными. Любой читатель может нарисовать бесконечное множество изоморфных графов. Сколькими способами, двигаясь по указанным отрезкам, можно кратчайшим путем переместиться из точки А в точку В? Это классическая задача на минимальный путь и возможное количество путей. Начнем с того, что вычеркнем все отрезки, лежащие вне прямоугольника с вершинами А и В. Ясно, что они не могут давать минимальный путь:. Теперь последовательно будем убирать симметричные пути: Пройдем из точки А по периметру через верхний правый угол рис. Обратимся к рисунку 2: Теперь из точки В пройдем через точку D см. Ясно, что это можно сделать еще двумя способами. Пройдя из А через G и Е, мы получим еще два. Рассмотрим еще одну задачу, которая хорошо решается при оптимально выполненном чертеже. Искусство выполнения чертежей в задачах с графами требует отдельного разговора. В деревне есть 15 телефонов, а АТС отсутствует. Можно ли телефоны соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими? Предположим, что это возможно. Рассмотрим граф, вершины которого соответствуют телефонам, а ребра — соединяющим их проводам. В этом графе 15 вершин, степень каждой из которой равна пяти. Подсчитаем количество ребер в этом графе. Для этого сначала просуммируем степени всех его вершин. Ясно, что при таком подсчете каждое ребро учтено дважды оно ведь соединяет две вершины! Поэтому число ребер графа должно быть равно. Но это число нецелое! Следовательно, такого графа не. Для подсчета числа ребер графа необходимо просуммировать степени вершин и полученный результат разделить на два. Сумма степеней всех вершин графа должна быть четной иначе ее нельзя было бы разделить на 2 нацело. Вершина графа, имеющая нечетную степень, называется нечетной, а имеющая четную степень,— четной. Для доказательства этой теоремы остается заметить, что сумма нескольких целых чисел четна тогда и только тогда, когда количество нечетных слагаемых четно. Теорема о четности числа нечетных вершин - одно из центральных мест теории графов. Очень важно научиться применять ее при решении задач. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга в этом классе , 11 - по 4 друга, а 10 - по 5 друзей. Если бы это было возможно, то можно было бы нарисовать граф с 30 вершинами, 9 из которых имели бы степень 3; 11 — степень 4; 10 - степень 5. Однако у такого графа 19 нечетных вершин, что противоречит теореме. В стране Семерка 15 городов, каждый из которых соединен дорогами не менее, чем с 7 другими. Докажите, что из любого города можно добраться до любого другого возможно, проезжая через другие города. Рассмотрим два произвольных города и предположим, что они не соединены путем, то есть такой последовательностью дорог с этим мы уже сталкивались в примере 3 , в которой начало очередной дороги совпадает с концом предыдущей. Каждый из двух городов по условию задачи соединен не менее чем с 7 другими; при этом все упомянутые города различны - ведь если какие-то два из них совпадают, то есть путь, соединяющий исходные города. Граф называется связным, если две его вершины могут быть соединены путем, т. Каждая компонента несвязного графа является, конечно, связным графом. В примерах 1 и 2 мы имели дело с графами несвязными; во всех остальных примерах рассматривались графы связные. Замкнутый путь, то есть такой, начало и конец которого совпадают, называется циклом. В Тридевятом царстве лишь один вид транспорта — ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний — одна, а из всех остальных городов по Докажите, что из столицы можно долететь в Дальний возможно с пересадками. Рассмотрим компоненту связности графа ковро-линий, содержащую столицу. Нам нужно доказать, что она содержит также и город Дальний. Тогда в этой компоненте связности из одной вершины столицы выходит 21 ребро, а из всех остальных вершин — 20 ребер. Таким образом в этом графе компоненте связности ровно одна нечетная вершина. Мы пришли к противоречию! Можно ли нарисовать графы, изображенные на рисунках, не отрывая карандаша от бумаги? Подобные задачи достаточно часто встречаются в книжках по занимательной математике для младших школьников. Для того чтобы нарисовать любой граф не отрывая руки от бумаги, необходимо в каждую вершину графа, за исключением начальной и конечной, войти столько же раз, сколько и выйти. Поэтому степени всех вершин нарисованного графа, кроме начальной и конечной, должны быть четными - такой граф должен иметь не более двух нечетных вершин! Ясно, что левая фигура и конверт могут быть нарисованы, не отрывая руки от бумаги, при этом рисунок должен начинаться в любой нечетной вершине: Впервые графы, обладающие подобными свойствами, были исследованы великим русским математиком Леонардом Эйлером в году в связи со знаменитой задачей о Кенигсбергских мостах. Поэтому графы, которые можно нарисовать указанным способом, называются эйлеровыми. Леонард Эйлер, совершая прогулку по городу, в котором он жил, — Кенигсбергу ныне Калининград , поставил для себя задачу: Представим схему задачи Эйлера:. Ясно, что задача Эйлера при переводе на язык графов имеет 4 нечетных вершины и, следовательно, не решается. Все мы любим играть! Поэтому, особенно у школьников младших классов, большой интерес вызывают задачи-игры. С их помощью преподаватель может внести в занятие элемент развлечения: В то же время такие задачи содержательны. При изложении решения игровых задач школьники испытывают большие трудности. Ведь необходимо, во-первых, грамотно сформулировать стратегию, а во-вторых, доказать, что она действительно ведет к выигрышу. Во всех встречающихся играх предполагается, что играют двое, ходы делаются по очереди игрок не может пропускать ход. Ответить всегда нужно на один и тот же вопрос — кто побеждает: В дальнейшем это оговариваться не будет. Первый класс игр, о которых пойдет речь, — игры-шутки. Это игры, исход которых не зависит от того, как играют соперники. Поэтому для решения такой игры-задачи не нужно указывать выигрышную стратегию. Достаточно лишь доказать, что выигрывает тот или иной игрок независимо от того, как будет играть! Двое ломают шоколадку 6х 8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из имеющихся кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Проигравший игрок покупает сопернику шоколадку. После каждого хода число кусков шоколадки увеличивается на единицу. Ломая шоколадку 6x8, мы из одного куска после некоторого числа ходов получим 48 кусочков. Всего будет сделано 47 ходов, это говорит о том, что последний ход нечетный сделает начавший игру. Ломая шоколадку 5x7, мы из одного куска после некоторого числа ходов получим 35 кусочков. Всего будет сделано 34 хода, это говорит о том, что последний ход четный сделает второй игрок. Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били друг друга. После каждого хода и количество вертикалей, и количество горизонталей, на которые можно поставить ладей, уменьшается на единицу. Поэтому игра будет продолжаться ровно 8 ходов. Последний, выигрышный, ход будет сделан вторым игроком. На доске написано 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными — единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра - единица, то выиграл первый игрок, если двойка - то второй. Четность числа единиц на доске после каждого хода не меняется. Поскольку сначала единиц было четное число, то после последнего хода на доске не может оставаться одна нечетное число! Поэтому выигрывает второй игрок. Двое по очереди кладут пятирублевые монеты на стол симметричной формы, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. В этой игре выигрывает первый игрок, независимо от размеров и формы стола! Первым ходом он кладет монету так, чтобы ее центр и центр симметрии стола совпали. После этого на каждый ход своего противника отвечает симметрично относительно центра стола. Отметим, что при такой стратегии после каждого хода первого игрока позиция симметрична. Поэтому если возможен очередной ход второго игрока, то возможен и симметричный ему ответный ход первого. В случае, когда симметричность многовариантна, для решения задачи нужно правильно выбрать центр или ось симметрии. При доказательстве правильности симметричной стратегии нельзя забывать о том, что очередному симметричному ходу может помешать ход, только что сделанный противником. Чтобы решить игру-задачу при помощи симметричной стратегии необходимо найти симметрию, при которой только что сделанный противником ход не препятствует осуществлению избранного плана. Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг друга. Цвет слонов значения не имеет. Но на этот раз первым ходом нельзя поставить слона в центр доски симметрию может поддерживать второй игрок. Казалось бы, по аналогии с предыдущей задачей, это и есть выигрышная стратегия. Однако, следуя ей, второму игроку не удастся сделать даже свой первый ход! Слон, только что поставленный первым игроком, может бить центрально-симметричное поле. За ось симметрии можно взять прямую, разделяющую, например, четвертую и пятую горизонтали. Симметричные относительно нее поля имеют разный цвет, и, тем самым, слон, поставленный на одно из них, не препятствует ходу на другое. Итак, в этой игре выигрывает все-таки второй игрок. Имеется две кучки камней — по 7 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать. В этой игре при помощи симметричной стратегии побеждает второй игрок: Таким образом, у второго игрока всегда есть ход. Симметрия в этой задаче состоит в равенстве числа камней в кучках. Ладья стоит на поле al. За ход разрешается сдвинуть ее на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8. В этой игре побеждает второй игрок. Его стратегия очень проста: Объясним, почему, играя так, второй игрок выигрывает. Дело в том, что первый игрок любым своим ходом вынужден будет уводить ладью с этой диагонали, а. Так как поле h8 принадлежит диагонали, то на него сумеет встать именно второй игрок. Нам удалось выделить класс выигрышных позиций ладья стоит на одной из клеток диагонали al-h8 , обладающих следующими свойствами:. Нахождение такого класса выигрышных позиций для игры равносильно ее решению. Действительно, к победе ведет стратегия — ходи в выигрышную позицию. Если исходная позиция выигрышная, то, как в разобранной задаче, выигрывает второй. В противном случае выигрывает начинающий. Понятие четности возникает при рассмотрении самых различных математических задач. Если элементы произвольного множества. Для простоты понимания вопроса будем рассматривать конкретные задачи и принципы, приводящие к их решению. На плоскости расположены 7 шестеренок, соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки цепочки вращаться? Предположим, что первая шестеренка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая - против часовой стрелки. Третья - снова по часовой стрелке, четвертая - против и т. Но тогда 1-я и 7-я шестеренки должны вращаться по часовой стрелке. Мы пришли к противоречию: Цепочка шестеренок не может вращаться. Главной идеей решения этой задачи было чередование направлений вращения. Эта идея будет присутствовать еще не в одной задаче. Напомню, что она представляет собой квадрат размером 8x8 клеток с чередующимися цветами. Предполагается, что читателю известны правила перемещения каждой шахматной фигуры. Конь вышел с поля al и через несколько ходов вернулся на это поле. Докажите, что он сделал четное число ходов. Может ли конь пройти с поля al на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз? Две предложенные задачи объединены одной идеей. Любой шахматист знает, что конь при перемещении по полю переходит с клетки одного цвета, на клетку другого цвета. Так, если клетка al имеет белый цвет, то третий, пятый и все нечетные ходы конь сделает на клетку черного цвета. Вернувшись на ту же самую клетку, конь сделает четное число ходов. Поля al и h8 находятся на одной из главных диагоналей доски и, следовательно, имеют одинаковый цвет. Шахматная доска имеет 64 клетки, при перемещении с поля al на поле h8 конь должен обойти все клетки, при этом будет сделано 63 хода в одной клетке конь уже стоит! Маша и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка — одного пола. Мальчиков среди Машиных друзей семь. Очевидно, что в чередующейся замкнутой цепочке объектов одного вида мальчиков столько же, сколько и объектов другого вида девочек. У Маши шесть подруг. Можно ли нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев? Если бы такое было возможно, то все звенья ломаной разбились бы на пары пересекающихся, однако такое число звеньев должно быть четным. В задаче 6 любое количество костяшек домино накрывает четное число клеток доски, которая имеет 25 клеток. Задача 7 проста только на первый взгляд: Даже ученик третьего класса может на вопрос задачи дать отрицательный ответ и его обосновать: Задача имеет очевидное положительное решение только в случае, когда имеется более 32 костяшек домино. Можно ли разменять купюру достоинством 50 рублей с помощью 15 монет по 1 и 5 рублей? Основываться будем на простом наблюдении: Четность суммы нескольких чисел зависит отчетности числа нечетных слагаемых: Всегда ли их можно расставить по росту, если за один ход разрешается переставлять людей, стоящих через одного? При перестановке сохраняется четность номера места. Самый высокий по росту, стоящий, например, вторым, никогда не станет первым. На столе стоят 9 стаканов все вверх дном. Разрешается за один раз перевернуть любые четыре стакана. Можно ли после нескольких переворотов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно? Вы, конечно, хорошо знаете, что среди натуральных чисел есть простые и составные. В противном случае число если оно, кроме того, отлично от единицы называется простым. Единица не является ни простым, ни составным числом! Оно, без сомнения, составное. Каждое из чисел 42 и 10 также составное: Мы получили разложение нашего числа на простые множители. Каждое натуральное число, за исключением единицы, раскладывается в произведение простых сомножителей, причем. Нет, так как в разложение данного числа на простые множители тройка входит лишь один раз, а в разложение 9 — дважды. Да, поскольку в разложение на простые множители числа, делящегося на 4, двойка входит по крайней мере 2 раза; а так как число делится и на 3, то в его разложение входит и тройка. Поэтому оно делится на Нет, например число Дело в том, что если число делится на 4, то в его разложение на простые множители, по крайней мере, дважды входит число 2; из делимости числа на 6 следует, что в его разложение входят 2 и 3. Таким образом, заведомо в его разложение входит две не три! Число А не делится на 3. Может ли на 3 делиться число 2А? Нет, поскольку тройка не входит в разложение на простые множители числа 2А. Число А — четно. Верно ли, что ЗА делится на 6? Да, так как 2 и 3 входят в разложение числа ЗА на простые множители. Тройка, входящая в разложение числа 6, входит и в разложение числа Поэтому можно утверждать лишь то, что в разложении числа А обязательно есть двойка. Два числа называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, отличных от единицы. Если некоторое число делится на два взаимно простых числа n и m, то оно делится и на их произведение nm. Наибольшим общим делителем для краткости НОД двух чисел называется наибольший из общих делителей этих чисел. Наименьшим общим кратным НОК двух чисел называется наименьшее число, делящееся на каждое из них. Сколько существует натуральных чисел а меньших Р и взаимно простых с ним; б меньших Р2 и взаимно простых с ним? Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры на буквы, причем, одинаковые цифры — на одинаковые буквы, а разные - на разные. Докажите, что он где-то ошибся. Общие и частные утверждения. Индукция как переход от частных утверждений к общим. Метод полной математической индукции в настоящее время не находит своего места в школьных учебниках. Между тем этот метод играет существенную роль в высшей математике, являясь сильным орудием в математических доказательствах. Именно этот метод позволяет коротко и абсолютно строго доказывать многие теоремы. Требование полноты доказательства является одним из ведущих в современной математике. Более того, оно и неверно: Из квадрата 16x16 клеток вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на уголки из трех клеток. Что делать, если не хочется рассматривать кучу разных случаев вырезания клетки из квадрата 16x16 как ни сокращай, но 36 принципиально разных случаев там есть? Давайте посмотрим на квадраты поменьше но тоже со стороной, равной степени двойки: Для 2x2 доказывать нечего: А вот теперь посмотрим на квадрат 4x4 - он составлен из 4-х квадратов 2x2 см. В один из них попадет вырезанная клетка черная на рис. Что же делать с тремя другими? А давайте возьмем в этих трех квадратах уголок, прилежащий к центру большого квадрата - и отрежем его серые клетки на рис. Тогда у нас останется три квадратика 2x2 с вырезанной клеткой - а их мы уже умеем разрезать на уголки. Теперь перейдем от 4x4 к 8x8: В одном из них есть вырезанная клетка, а в остальных трех мы вырежем по клетке, отрезав прилежащий к центру уголок аналогично предыдущему. Теперь образуется 4 квадратика 4x4, в каждом из которых вырезана клетка. Каждый из них мы умеем разрезать на уголки - значит, разрежем и весь квадрат 8x8. А от квадрата 8x8 можно точно так же перейти к квадрату 16x16, составив его из четырех частей - получаем ч. На самом деле, здесь спрятан бесконечный ряд утверждений: Квадрат 2x2 с одной вырезанной клеткой можно разрезать на уголки. В одном из них вырезана клетка, а в остальных трех квадратах вырежем по клетке, отрезав уголок, прилежащий к центру исходного квадрата. Тогда каждый из этих четырех квадратов можно будет разрезать на уголки по предположению индукции, значит, можно разрезать и исходный квадрат, ч. Логические задачи стоят несколько особняком среди математических задач: Однако решение логических задач является обязательным компонентом подготовки к решению олимпиадных задач. Главной задачей преподавателя при рассмотрении этого раздела является формирование культуры мышления. Очень важно, чтобы даже младшие школьники не путали причину со следствием, тщательно проводили перебор вариантов, правильно строили цепочку рассуждений. Не останавливаясь на задачах, в которых, явно, перепутаны местами причина и следствие, хочу обратить внимание на задачу 18 раздела II. Как правило у логической задачи имеется единственный ответ. В задачах подобного типа необходимо очень точно описывать логику своих рассуждений. На столе лежат четыре карточки, на которых сверху написано: А, Б, 4, 5. Какое наименьшее количество карточек и какие именно нужно перевернуть, чтобы проверить, верно ли утверждение: В данной задаче в явном виде сказано: Если на карточке написано четное число 4 , то для верности. Проверим обратное утверждение у нас обе стороны карточки равноценны и перевернем карточку с гласной буквой А. Ясно, что необходимо перевернуть именно две указанные карточки. Петя, Вася, Коля и Миша играли в футбол. Один из них разбил мячом стекло. Потом оказалось, что двое из мальчишек сказали правду, а двое — неправду. Знает ли Миша, кто разбил стекло? Начнем с ответов Пети, Васи и Коли. Поскольку стекло разбил кто-то один, среди ответов Пети, Васи и Коли может быть только один ложный, иначе при двух ложных ответах получается, что стекло разбили двое. Тогда вторым ложным ответом будет ответ Миши, так как всего ложных ответов два. Поэтому Миша знал, кто разбил стекло. Пять школьников приехали из пяти разных городов в Ставрополь на краевую олимпиаду по математике. Хозяева удивились противоречивости ответов приехавших гостей. Ребята объяснили им, что каждый из них высказал одно утверждение правильное, а второе ложное. При этом по их ответам вполне можно установить, откуда приехал каждый из участников олимпиады. Откуда приехал каждый школьник? Пусть у Андреева первое утверждение верное, то есть он из Невинномысска. Тогда Григорьев живет не в Кисловодске. Поэтому второе утверждение Данилова ложное, значит, он из Пятигорска. Тогда первое утверждение Григорьева ложно. Так как Андреев из Невинномысска, то первое утверждение Васильева ложно, поэтому Борисов из Буденновска. Поскольку Григорьев не из Кисловодска, то остается, что он из Светлограда, а Васильев из Кисловодска. Рассмотрим второй возможный вариант. Пусть у Андреева второе утверждение является верным, тогда Григорьев приехал из Кисловодска. Значит, Данилов приехал не из Пятигорска, а Андреев не из Невинномысска. Тогда у Борисова первое утверждение ложно в Кисловодске живет Григорьев, а не Васильев , значит, Борисов прибыл из Светлограда. Поэтому Андреев не из Светлограда и получается, что Данилов из Пятигорска. Данилов одновременно и живет, и не живет в. Андреев из Невинномысска, Борисов из Буденновска, Васильев из Кисловодска, Григорьев из Светлограда, а Данилов из Пятигорска. Сын отца профессора разговаривает с отцом сына профессора, причем сам профессор в разговоре не участвует. В этой задаче при решении основная масса решающих невольно полагает, что профессором должен быть мужчина, хотя это ниоткуда не следует по условию задачи. Попытаемся отвлечься от навязываемого условием стереотипа. Получается ясное решение задачи. Рассмотрим логическую задачу, в которой требуется упорядочить множество. В семье четверо детей. Им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Галя, Коля, Валя и Таня. Сколько лет каждому ребенку, если известно, что одна девочка ходит в детский сад, Галя старше Коли и сумма лет Гали и Вали делится на три? Сначала найдем возраст мальчика. Поскольку в детский сад ходит девочка, то это не Коля. Тогда Коле больше 5 лет. Так как Галя старше Коли, то Коле не может быть 15 лет. Если сумма лет Гали и Вали делится на три, то, учитывая возраст детей в семье, это возможно в следующих случаях:. В обоих случаях одной из девочек 13 лет, следовательно, Коле не может быть 13 лет. Зная, что Коле не 5, не 15 и не 13 лет, приходим к выводу, что мальчику 8 лет. Теперь установим возраст каждой девочки. Поскольку сумма лет Гали и Вали делится на три, а Коле 8 лет, этим двум девочкам 5 и 13 лет. А так как по условию Галя старше Коли, то Гале 13 лет. Тогда Вале должно быть 5 лет, а Тане 15 лет. Приведем пример классической задачи на схему действий. Она встречается еще в изданиях конца XIX века. Как перевезти в лодке с одного берега реки на другой волка, козу и капусту, если волк может съесть козу, а коза любит капусту. Лодочник может взять в лодку или одно из животных, или капусту. Первым рейсом лодочник перевозит козу, привязав на берегу волка рядом с капустой. Привязывает козу на противоположном берегу и возвращается. Вторым рейсом лодочник перевозит волка, оставляя на берегу. Привязывает волка на противоположном берегу и возвращается в исходную точку с козой. Третьим рейсом лодочник перевозит капусту, привязав козу в исходной точке, оставляет капусту с волком на противоположном берегу и возвращается за козой. Четвертым рейсом перевозится коза. К логическим задачам относятся и задачи, в которых необходимо выяснить итоги проводимого турнира. В кафе встретились три друга: Определите цвет волос художника. Ясно, что в решении будет рассматриваться только взаимное соответствие фамилий и цветов волос друзей, профессии в рассуждении не участвуют. Поэтому в задаче нужно ответить на вопрос, какого цвета волосы у Рыжова. По условию задачи Белов не русый, Чернов не брюнет, а у Рыжова не рыжий цвет волос: Ясно, что Белов может быть только рыжим, отразим этот результат в таблице. Отсюда получаем, что Чернов не может быть рыжим, цвет его волос — русый. Далее ясно, что Рыжов не может быть с русыми волосами, он — брюнет. Поскольку Рыжов у нас является художником, художник — брюнет. Решение задач, в которых фигурируют более двух множеств, требует составления нескольких таблиц, хотя идея решения задачи остается той же. Четыре соседа Миша, Леня, Женя и Костя ходят в спортивные секции: Они же владеют различными иностранными языками английским, французским, немецким и испанским ,. Поскольку Леня не занимается гимнастикой, не ходит в секцию бокса и не владеет английским языком, поставим минусы в соответствующих клетках. Аналогично поступаем с Мишей: Так как Женя знает французский язык, но не занимается. Так как три мальчика не занимаются гимнастикой, ясно, что гимнастикой занимается Костя; тогда Женя занимается боксом. Так как Женя третий из соседей не знает английского, то английским владеет Костя. Итак, Костя занимается гимнастикой и говорит на английском языке, Женя занимается боксом и владеет французским. Обратимся к первой таблице. Ясно, что для Миши и Лени возможны два варианта:. Учитывая данные второй таблицы и первое условие задачи мальчик, который играет в баскетбол, говорит по-испански , получаем, что:. Пожалуй, самыми интересными и сложными среди олимпиадных задач являются задачи по геометрии. Мы не будем разбирать сложные задачи, ограничившись только отдельными подходами к решению геометрических задач. Даже их классификация представляет затруднения. Некоторые из задач можно назвать задачами геометрическими условно, ведь они сводятся. Сложение углов при помощи циркуля и линейки является стандартной, хорошо решаемой задачей. Нарисовать треугольник, который можно разделить на 5 равных треугольников. Очевидно, что треугольник можно разделить на 4 равные части. Это возможно только в том случае, когда треугольник является прямоугольным, ведь только тогда сумма двух прямых углов даст развернутый угол отрезок, который является. Покажем на рисунке решение задачи. Необходимо нарисовать прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза длиннее. Необходимо, не используя теорему Пифагора, при помощи линейки определить длину наибольшей диагонали кирпича. Необходимо сложить три кирпича и измерить расстояние между точками А и В. Это диагональ несуществующего кирпича. Отдельного разговора требуют геометрические задачи с неравенствами. Неравенство треугольника — самое фундаментальное геометрическое неравенство, недаром его учат в школе. Именно поэтому полезно выяснить у школьников, знают ли они его, решали ли задачи на его применение. Конечно, необходимо напомнить о том, что кратчайшим путем между двумя. Сформулируем необходимые для нас теоремы. Сформулировав теорему, дадим ее очевидное геометрическое истолкование: Один из самых распространенных способов доказательства геометрических неравенств состоит в том, что применяется неравенство треугольника, возможно, с использованием некоторых дополнительных соображений. Найти внутри выпуклого четырехугольника такую точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна. Поскольку четырехугольник выпуклый, его диагонали пересекаются в точке О. Обозначим вершины четырехугольника через А, В, С и D. Тогда сумма расстояний от О до вершин равна сумме длин диагоналей АС и BD. На плоскости дан квадрат ABCD и точка О. Докажите, что расстояние от точки О до одной из вершин квадрата не превосходит суммы расстояний от О до трех других вершин квадрата. Зачастую на рисунке, изображающем условие задачи, не видно треугольника, применение неравенства для которого дало бы решение. Грибник выходит из леса в заданной точке. Ему необходимо дойти до шоссе, которое представляет собой прямую линию, где у него собранные грибы заберет сын, приехавший на машине; а далее зайти в лес в другой точке, в которой ожидает его жена. Как ему это сделать, пройдя по самому короткому пути? Эта задача имеет много видоизменений: Пусть грибник выходит из леса в точке А, а должен зайти в лес в точке В. Для решения задачи симметрично прямой — шоссе отобразим точку В, получив точку В1. Далее, проведя прямую АВ1, получим точку D, которая и является искомой в задаче точкой. Полуостров имеет форму острого угла, внутри которого находится дом лесника. Как леснику, выйдя из дома, добраться до одного из берегов полуострова, затем до другого и вернуться домой, пройдя при этом по самому короткому пути? Осевая симметрия не меняет расстояний. Общая идея при решении всех рассматриваемых задач: Важное условие, которое необходимо проверить: Отметим, что во многих задачах, в которых действие происходит в пространстве, подобный подход может быть применим, если решение задачи производится методом развертки. Постараемся развить такой навык, решая следующую серию задач. Продолжим отрезок АО до пересечения со стороной треугольника D. В данной работе рассмотрен далеко не полный круг элементарных олимпиадных задач. Ведь мы только начинаем подготовку к решению олимпиадных задач. По большому счету, эта работа предназначена для учеников 5—7 классов, хотя она может оказаться полезной и для школьников возрастом постарше. ГУПИ МП РСФСР, 19с. Санкт-Петербургский городской дворец творчества юных,. Фомин, ленинградских математических олимпиад: Ленинградский городской институт усовершенствования учителей, 19с. Основные методы и приёмы решения олимпиадных математических задач. Математика Инструментальные и математические методы Олимпиады Решения задач Методы. О чем необходимо помнить при решении олимпиадных задач? Начинаем думать ……………………………………7 III. Делимость и остатки ………………………………………………………25 VIII. Метод математической индукции ………………………………………27 IX. Логические задачи …………………………………………………………29 X. Подготовка учащегося к участию в олимпиаде — труд не одного года. Внимательно прочитайте условие задачи. Проверьте условие задачи на правдоподобность. При решении задачи должны быть рассмотрены все возможные варианты постановки задачи. Подписаться на рассылку Pandia. Интересные новости Важные темы Обзоры сервисов Pandia. Основные порталы, построенные редакторами. Бизнес и финансы Бизнес: Каталог авторов частные аккаунты. Все права защищены Мнение редакции может не совпадать с мнениями авторов. Минимальная ширина экрана монитора для комфортного просмотра сайта: Мы признательны за найденные неточности в материалах, опечатки, некорректное отображение элементов на странице - отправляйте на support pandia. Вычисление это получение из входных данных нового знания. Как люди считали в старину и как считали цифры - часть 1 Математическое моделирование, численные методы Хорошо ли вы считаете? О проекте Справка О проекте Сообщить о нарушении Форма обратной связи. Авторам Открыть сайт Войти Пожаловаться. Архивы Все категории Архивные категории Все статьи Фотоархивы. Лента обновлений Педагогические программы. Правила пользования Сайтом Правила публикации материалов Политика конфиденциальности и обработки персональных данных При перепечатке материалов ссылка на pandia.
Карта райффайзен банка с кэшбэком
Обидчивый парень что делать
Конъюнктивит у кроликов лечение
Сколько хранится замороженное грудное
Боюсь разлюбить девушку