Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно. Выбранный для просмотра документ Сборник задач по ТВ. Костанайский государственный университет им. Рыщанова Сания Мухамедияровна, старший преподаватель. Тастанов Мейрамбек Габдуалиевич - кандидат физико-математических наук, доцент. В данном сборнике даны задачи для самостоятельного решения, методы решения задач, приведены основные формулы и определения. Теоремы сложения и умножения,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Формула полной вероятности и формула Байеса,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Теория вероятностей применяется в различных отраслях техники и естествознания: Многие случайные величины, такие как ошибки при измерениях, величины износа деталей некоторых механизмов, отклонения размеров от номинальных подчиняются нормальному распределению. В теории надежности нормальное распределение применяется при оценке надежности элементов, подверженных действию старения и изнашивания, а также разрегулировки, то есть при оценке постепенных отказов. Теория вероятностей является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также элементом общей культуры. Испытание опыт, эксперимент - это выполнение определенного комплекса условий. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении комплекса условий может произойти, а может и не произойти. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно произойдет. Событие называется невозможным, если в результате испытания оно вообще не может произойти. Два события назовем несовместными, если их одновременное появление в опыте невозможно, то есть наступление одного из событий исключает наступление другого. Следовательно, если А и В несовместны, то их произведение - невозможное событие: Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными. Событие А называется благоприятствующим событию В, если в результате появления события А происходит и событие В. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания произойдет хотя бы одно из них. Частным случаем событий, образующих полную группу, являются противоположные события. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице. Вероятность любого события А удовлетворяет неравенству: Вероятность P случайного события А равна отношению m - числа благоприятных событию А исходов, к n - общему числу исходов для данного испытания: Относительной частотой события А называется величина , где n - число испытаний, а m - число появления события А в n испытаниях. Статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной и статистическое определение наиболее часто используется в практических целях. Геометрический способ определения вероятности. Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, то есть. Рассмотрим выборки объема m из совокупности n различных элементов. Размещениями из n элементов по m называются комбинации по m элементов, которые отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения. C очетаниями из n элементов по m называются комбинации по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Перестановками из n элементов называются комбинации, которые отличаются только порядком расположения элементов. Если в размещениях сочетаниях из n элементов по m некоторые из элементов или все могут быть одинаковыми, то такие размещения сочетания называют размещениями сочетаниями с повторениями из n элементов по m. Число размещений с повторениями: Набирая номер телефона, студент забыл последние три цифры и, помня, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. Общее число исходов испытания общее число случаев n равно числу размещений из 10 цифр по 3, то есть А 3 Число случаев, благоприятствующих событию С равно 1. Искомая вероятность находится по классической формуле: На книжной полке произвольно расставлены четыре книги по информатике и три книги по физике. Какова вероятность того, что книги по одному и тому же предмету окажутся рядом? Испытание состоит в том, что семь книг ставятся на полку. Так как они ставятся на полку произвольно, то все исходы испытания равновероятны, кроме того, они несовместны. Семь книг на полке могут быть упорядочены 7! Действительно, комплект книг по информатике может быть упорядочен 4! Кроме того, сами комплекты книг могут быть упорядочены 2 способами. Таким образом, вероятность события А равна. Из 5 спортсменов 3 имеют спортивные разряды по шахматам. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 2 студента — разрядники по шахматам? Обозначим событие А- 2 выбранных наудачу студента- разрядники по шахматам. Общее число случаев выбора 2 студентов из 5 найдем по формуле числа сочетаний: Число случаев, благоприятствующих событию А, подсчитаем по формуле числа сочетаний из трех элементов по два: Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: На восьми одинаковых карточках написаны соответственно числа 2,4,6,7,8,11,12, Наудачу берутся две карточки. Определить вероятность того, что образованная из двух полученных чисел дробь сократима. Расписание одного дня состоит из 5 занятий. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин. Ребенок, не умевший читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Устройство состоит из 5 элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы. Декан факультета вызвал через старосту 3 студентов из группы, состоящей из 6 человек, не сдавших экзамены в сессию. Староста забыл фамилии вызванных студентов и послал наудачу 3 студентов из указанной группы. Какова вероятность того, что к декану явятся вызванные им студенты? В ящике находится 5 стальных, 3 латунных и 2 медных заклепки. Определить вероятность того, что две наудачу взятые заклепки будут сделаны из одного материала. В первой подгруппе 16 человек, во второй Для дежурства случайным образом отбираются из этих подгрупп 6 человек. Вычислить вероятность того, что 4 человека из отобранных будут из первой подгруппы. Четыре тома математической энциклопедии расположены на полке в случайном порядке. Найти вероятность того, что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо. Партия из деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Слово УЧЕБНИК составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешивают и из них извлекают по очереди 6 карточек. Какова вероятность того, что эти шесть карточек в порядке выхода составят слово УЧЕНИК? На книжной полке произвольно расставлены четыре книги по теории вероятности и три книги по информатике. Представители торговых фирм 8 стран от каждой страны по одному человеку проводят совещание за круглым столом. Найти вероятность того, что представители торговых фирм Франции и Англии окажутся рядом. На шести карточках написаны цифры 1,2,3,4,5,6. Какова вероятность, что вынимая три карточки и укладывая их рядом, получим число ? Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 7,8 и 9 если цифра 7 повторяется 3 раза, а цифры 8 и 9 по 2 раза? Телефонный номер состоит из 5 цифр. Определить вероятность того, что все цифры различны. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 8 защитников и 12 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих? Сколькими способами можно разложить в два кармана 9 монет различного достоинства? В группе 15 юношей и 5 девушек. Нужно выбрать для дежурства 4 человека. Какова вероятность, что будут выбраны 2 юноши и 2 девушки? В распоряжении агрохимика есть шесть различных типов минеральных удобрений. Он изучает совместное влияние каждой тройки удобрений на опытном участке площадью 1 га. Какой должна быть площадь всего опытного поля, если все возможные эксперименты проводятся одновременно? В мешке лежат 33 жетона, помеченные буквами русского алфавита. Какова вероятность того, что при этом получится: Четыре мальчика и четыре девочки садятся на 8 расположенных подряд стульях. Какова вероятность того, что мальчики сядут на места с чётными номерами, а девочки на места с нечетными номерами. В газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Скольким способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии? Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом? Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6,7 , если цифры в числах не повторяются? Буквы азбуки Морзе образуются как последовательность точек и тире. Сколько различных букв можно образовать, если использовать коды, содержащие 5 символов? Сколькими способами в футбольной команде из 11 человек можно выбрать капитана и вратаря? Для дежурства нужно отобрать 10 человек из студентов Сколькими способами можно избрать состав для дежурства? В некоторой стране 10 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране? В лифт десятиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Определить вероятность того, что все пассажиры выйдут на разных этажах. В урне н а ходятся 6 белых и 4 черных шара. Из урны вынимаются наугад два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета? Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой. Какова вероятность того, что при случайной расстановке букв. Имеется партия товаров, состоящая из 50 предметов 1 сорта, 35 предметов 2 сорта, 10 предметов 3 сорта, а 5 предметов оказались браком. Какова вероятность того, что наудачу взятый один предмет будет доброкачественным то есть 1, 2 или 3 сорта? В цехе работают четыре женщины и трое мужчин. Наудачу отобрали 4 человека на дежурство. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц, окажется одна женщина. Числа 1,2,3,4,5 написаны на пяти карточках. Hаугад последовательно выбираются три карточки. Найти вероятность того, что последовательная запись их номеров показывает убывание. Бросаются две игральные кости. Hайти вероятность того, что выпадет одинаковое число очков на обоих костях. На карточках написаны цифры 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Наугад берем три карточки. Какова вероятность, что среди них окажется одна карточка с нечетной цифрой? Четыре стандартных и четыре нестандартных деталей кладут в 8 расположенных подряд и пронумерованных ящиков. Причем стандартные кладут в ящики с чётными номерами, а нестандартные — в ящики с нечетными номерами. Скольким способами это можно сделать? В коробке передач трактора работают 5 шестерен, из них 2 шестерни изношены. При включение коробки передач включаются 2 шестерни. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные шестерни. Из 10 проб молока, подлежащих химическому анализу, 4 пробы имеют повышенную кислотность. Какова вероятность, что из взятых наудачу 3 проб одна проба имеет повышенную кислотность? Какова частость рождения детей того и другого пола? Чему равна сумма частостей? Затем карточки с буквами перемешивают и из них извлекают по очереди 3 карточки. В ящике 25 шаров, из них 4 черных. Определить вероятность того, что извлеченные наудачу 3 шара будут не черные. Четыре человека вошли в лифт девятиэтажного дома на первом этаже. Определить вероятность того, что все пассажиры выйдут на пятом этаже. Какова вероятность того, что номер наудачу взятого билета будет кратным 3 и 5, если всего билетов и на них расставлены номера от 1 до ? Имеются 20 изделий первого сорта и 30 изделий второго сорта. Необходимо выбрать два изделия одного сорта. Сколько способов выбора двух изделий возможно в данной ситуации, если учитывается порядок выбора изделий? Грузовая машина, обслуживающая торговую базу один квартал 90 дней , перевозила в течение 20 дней по 18 т. Какова частость перевозки этой машиной более 15 т в день? В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу внутрь круга, окажется и внутри квадрата? При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0, Определить число попаданий, если было произведено выстрелов. Бросаются наудачу две игральные кости. Определить вероятность того, что на обеих костях сумма выпавших очков будет более 3 и не более 8. В группе студентов некоторой группы 3О человек. При записи фамилий членов группы оказалось, что начальной буквой у семи студентов была А, у восьми-И, у пяти-О, у двух-Ю, у остальных фамилия начиналась с согласной буквы. Найти вероятность того, что фамилия наудачу вызванного студента начинается с согласной буквы. Имеется 5 отрезков, длины которых равны 1,3,5,7,9 единиц. Берут наугад три отрезка. Какова вероятность, что из них можно построить треугольник? В книге страниц. Какова вероятность того, что порядковый номер наугад открытой страницы будет оканчиваться цифрой 3? Из разрезной азбуки, в которой имеется 30 карточек с различными буквами алфавита, вынимается 5 карточек. Два студента договорились встретиться между 13 и 14 часами дня. Первый пришедший ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Какова вероятность, что встреча состоится?. В группе 15 девушек и 10 юношей. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц, окажутся две девушки. В ящике находятся жетоны, на которых выбиты номера от 1 до Определить вероятность того, что номер наудачу вынутого жетона не будет содержать цифры 5 и 0. В бригаде 16 строительных рабочих 8-штукатуры, 5-маляры и 3-столяра. Наудачу отбирается 5 рабочих. Какова вероятность того, что среди них будет 2 маляра, 3 штукатура и 1 столяр? Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, то есть. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна единице. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А 1, А 2 , А n независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий: Если все события имеют одинаковую вероятноcть р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна: Произведением двух совместных событий А и В называется событие. Если события А и В независимы , то вероятность их совместного появления равна произведению их вероятностей. Если события А и В зависимы, то вероятность их совместного появления равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило. Причиной разрыва электрической цепи служит выход из строя хотя бы одного из трех элементов. Вероятность выхода из строя первого из элементов равна 0,2, для второго и третьего эта вероятность равна. Какова вероятность разрыва электрической цепи? Обозначим событие А - разрыв электрической цепи то есть хотя бы один элемент откажет. Хотя бы один элемент откажет означает, что откажут ровно один элемент , ровно два или ровно три элемента. Противоположным к событию, что хотя бы один элемент откажет будет то, что ни один элемент не откажет. В урне имеется 6 черных и 4 белых шара. Поочередно вынимаются 2 шара. Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми, если: Обозначим событие А —оба вынутых шара белые. Это событие состоит из произведения двух простых событий: В 1 - первый шар белый, В 2 —второй шар белый. Тогда соотношение белых и черных шаров в урне не меняется. Значит, события В 1 и В 2 независимы и. Тогда вероятность события В 2 будет различной в зависимости от того, наступило или нет событие В 1. Значит, события В 1 и В 2 , будут зависимыми. Найдем условную вероятность события В 2 при условии, что наступило событие В 1: Студент ищет формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в 1-м справочнике, равна 0,7, во 2-ом - 0,6 и в 3-ем -0,9. Какова вероятность того, что: Для определения вероятности события А применим теорему сложения для несовместных событий и теорему умножения для независимых событий, а также формулу вероятности противоположного события. Два программиста независимо друг от друга составляют программу для ЭВМ. Вероятность правильного составления программы первым программистом — 0,8, вторым — 0,9. Какова вероятность, что программа будет составлена? Обозначим событие А- программа будет составлена. Событие А произойдет, если программу составит первый программист, а второй нет, или только 2-ой, а 1-й нет, или оба вместе. Событие А можно представить в виде суммы произведений следующих событий: Событие А можно представить в виде суммы событий и: Причем и совместные события. По теореме сложения совместных, независимых событий имеем: А — программа не будет составлена. Причиной сбоя электронного устройства служит выход из строя элемента К 1 или одновременный выход из строя двух элементов К 2 и К 3. Элементы могут выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями, равными соответственно 0,1; 0,2; 0,3. Какова вероятность сбоя электронного устройства? При изготовлении деталей может быть брак как по форме, так и по размеру. Вероятность брака по форме равна 0,01, вероятность брака по размеру 0, Какова вероятность, что взятая наудачу деталь будет бракованной? Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 0,3; 0,4 и 0,6. Студент купил 10 различных книг, причем 5 книг стоят по тенге каждая, 3 книги по тенге и 2 книги по тенге. Найти вероятность того, что взятые наудачу 2 книги стоят тенге. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены потребует внимания первый станок, равна 0,7, второй — 0,75, третий — 0,8. Определить вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребует какие — либо два станка. Торговая фирма продает компакт диски и вкладывает приз в каждую десятую единицу товара. Куплено три компакт диска. Какова вероятность, что хотя бы в одном из них будет приз? Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обоих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определить вероятность поражения второй мишени. В начале учебного года в группе по списку было 30 студентов. Из них 20 получали стипендию. В середине семестра 2 студента взяли академический отпуск. Определить вероятность того, что случайно отобранные после этого 3 студента этой группы окажутся стипендиатами. Для производственной практики на группу в 30 человек выделено 10 мест в г. Астане, 15 мест в г. Алматы и 5 мест в г. Определить вероятность того, что два определенных студента попадут на практику в один город. Вероятность для данного спортсмена улучшить свой результат с одной попытки равна 0,4. Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать две попытки. Вероятность хотя бы одного попадания шайбы в ворота соперника при четырех забросах равна 0, Определить вероятность попадания шайбы при одном забросе. Определить вероятность того, что первый подошедший к остановке автобус будет нужного маршрута, если известно, что машин четвертого маршрута- 7, пятого-8, четырнадцатого-6, двадцать седьмого В коробке лежат 15 электролампочек одинаковой величины и формы, причем 10 из них рассчитаны на напряжение О В, а остальные на 22ОО В. Какова вероятность того, что из четырех взятых наудачу электроламп все окажутся с напряжением в В? На посадку заходят 4 воздушных судна. Вероятность приземления в зоне посадочного знака соответственно равна: Определить вероятность того, что приземление в зоне посадочного знака произведут не менее чем два самолета. В экзаменационный билет входят 3 вопроса программы, насчитывающей 50 вопросов. Абитуриент не знает 20 вопросов программы. Какова вероятность, что он вытянет билет, где все вопросы ему известны? Вероятность проработать без поломки в течение месяца для первого двигателя равна 0,6, для второго 0,7, для третьего 0,8. Найти вероятность того, что в течение месяца без поломки проработает только один двигатель. Для сообщения об аварии установлено два независимо работающих сигнализатора — автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй — 0,9. Определить вероятность того, что при аварии поступит сигнал хотя бы от одного сигнализатора. В читальном зале имеется 6 учебников, из которых 3 нового выпуска. Студент один за другим взял 2 учебника. Найти вероятность того, что обе взятые книги нового выпуска. Предприниматель вложил свои средства в два контракта. Какова вероятность того, что по истечении контрактов он по меньшей мере ничего не потеряет? На олимпиаде два участника одной команды отвечают по очереди на вопросы, причем каждый из них должен ответить на два вопроса. Вероятность правильного ответа каждым из двух участников равна 0,3. За каждый правильный ответ участник получает очко. Найти вероятность того, что команда заработает очко. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,8, второй — 0,7. Найти вероятность того, что студентом будет сдан только второй экзамен. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй — 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст хотя бы один экзамен. На ткацкой фабрике рабочий обслуживает одновременно четыре станка. Вероятность нарушения нормальной работы в течение часа для первого станка равна 0,02; для второго — 0,25; для третьего — 0,1; для четвертого — 0, Определить вероятность бесперебойной работы всех четырех станков в течение одного часа. В двух коробках лежат электрические лампочки одинаковой величины и формы, но рассчитанные на различные напряжения: Определить вероятность того, что обе лампочки, взятые из двух различных коробок, окажутся рассчитанными на в; на в. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что цифра 2 появится хотя бы на одной грани? Для первого станка вероятность того, что он в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,5, для второго — 0,5, для третьего — 0,4. Определить вероятность того, что ни один станок не потребует внимания рабочего. Буквенный замок содержит на общей оси 3 диска. Каждый диск разделен на пять секторов, отмеченных одинаковыми буквами. Замок может быть открыт в том случае, если буквы образуют определенную комбинацию. Какова вероятность открыть замок при произвольной комбинации букв? Три стрелка стреляют в одну и ту же мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,4, для второго — 0,5, для третьего — 0,7. Определить вероятность того, что при одном выстреле каждым из стрелков будет сделана одна пробоина. В студии телевидения имеются три телевизионные камеры. Вероятность того, что каждая камера в данный момент включена, равна 0,6. Определить вероятность того, что в данный момент включены хотя бы две камеры. У сборщика имеется 20 деталей: Наудачу взяты две детали. Определить вероятность того, что хотя бы одна из них изготовлена в Павлодаре. В коллективе 20 мужчин и 8 женщин. Наудачу выбирают трех человек по табельным номерам. Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна женщина? В мастерской стоят 4 токарных станка. Вероятность того, что в данный момент каждый из станков работает, равна 0,7. Определить вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одни станок. В мастерской 3 токарных станка. Для каждого станка вероятность того, что он работает в данный момент, равна 0,8. В цехе при резервных мотора. Для каждого мотора вероятность того, что он включен в данный момент, равна 0,2. Определить вероятность того, что в данный момент включен хотя бы один резервный мотор. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 0,03; 0,01 и 0, Определить вероятность того, что с двух выстрелов цель будет поражена, то есть будет одно или два попадания. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0,7. Определить вероятность поражения цели цель считается пораженной, если имеется хотя бы одно попадание. Два орудия стреляют одновременно в цель. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, из второго — 0, Определить вероятность того, что при одном залпе из обоих орудий цель будет поражена. В механизм входят две одинаковые детали. Механизм не будет работать, если обе поставленные детали будут уменьшенного размера. У сборщика 10 деталей, из них 3 — меньше стандарта. Определить вероятность того, что механизм будет работать нормально, если сборщик берет наугад две детали. В сосуде заключено 2 белых, 3 черных и 2 красных шара. Шары извлекаются наудачу один за другим, причем вынутые шары обратно в сосуд не возвращаются. Определить вероятность того, что белый шар появится ранее черного. Определить вероятность того, что по крайней мере один станок потребует внимания рабочего. Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми, если вынутый шар возвращается в урну. Вероятность поломки в течение смены каждого из трех тракторов равна соответственно 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что за смену хотя бы один трактор проработает без поломки. Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми, если вынутый шар не возвращается в урну. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах равна 0, Найти вероятность попадания при одном выстреле. Вероятность получения дохода по каждому из трех пакетов акций равна соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность, что владельцем будет получен доход от двух акций. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в августе равно шести. Найти вероятность того, что второго и третьего августа будет ясная погода. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0, Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле. В электронном устройстве 4 лампочки. Вероятности перегорания лампочек в течение года равна соответственно 0,3; 0,4; 0,6 и 0,7. Устройство не будет работать, если хотя бы одна лампочка перегорит. Найти вероятность, что в течение года устройство не будет работать. Для производственной практики выделено 25 мест. Из них 20 мест в г. Астане и 5 мест в г. Какова вероятность, что 3 друга поедут в г. Вероятность того, что студент сдаст экзамен по математике и информатике равна соответственно 0,8 и 0,7. Какова вероятность, что студент сдаст только один экзамен? Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна 0,3. Спортсмены выполняют упражнение по очереди, причем каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнение первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами. В электрическую сеть последовательно включены 3 элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,1; 0,15; 0,2. Найти вероятность, что тока в цепи не будет. В кассе театра было продано 21 билет из 25 оставшихся, имеющихся в количествах: Полагая, что вероятность быть проданным для каждого билета одна и та же, найти вероятность того, что остались нераспроданными билеты на бельэтаж и в партер. Следствием двух основных теорем теории вероятностей -теоремы сложения и теоремы умножения являются формула полной вероятности и формула Байеса. Если событие А может наступить только при условии появления одного из событий гипотез Н 1 , Н 2. События Н 1 , Н 2. Так как события гипотезы образуют полную группу, то они единственно возможные и несовместные.. Если в задаче известно, что событие А уже наступило, то вероятности гипотез Hi меняются в связи с появлением события А. Для переоценки гипотез служит формула Байеса , дающая условную вероятность каждой гипотезы при условии, что событие А уже наступило: Формула Байеса применяется когда нужно произвести количественную переоценку вероятностей гипотез, известных до испытания и нужно найти получаемые после проведения испытания условные вероятности гипотез. Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, то есть по мере поступления новой информации мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы например, корректировать управленческие решения в экономике. Из 10 студентов, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо —хорошо, двое —удовлетворительно, а один совсем не готовился —понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся студенты могут ответить на все 20 вопросов, хорошо- на 16 вопросов, удовлетворительно- на 10, и неподготовившийся - на 5 вопросов. Каждый студент получает наугад 3 вопроса из Приглашенный первым студент ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность того, что он отличник? То событие, которое мы обозначим через А , не должно упоминаться в формулировке гипотезы. В наших рассуждениях событие А мы совмещаем с другими событиями, то есть событие А происходит только совместно с событиями: H 1 -приглашен студент, который подготовился отлично,. H 3 -приглашен студент, который подготовился удовлетворительно,. События H 1 , H 2 , H 3 , H 4 попарно несовместны и образуют полную группу, следовательно, они являются гипотезами. На маршруте полета из г. Астана вероятность встречного ветра равна 0,5, попутного- 0,3 и штиля- 0,2. Самолет, своевременно вылетевший из г. Алматы, прибывает в г. Астана по расписанию с вероятностью 0,4 при встречном ветре; 0,8- при попутном и 0,9-при штиле. Известно, что в г. Астана самолет прибыл точно по расписанию. Вычислить вероятность того, что ветер был встречный. Вероятности того, что лампа не выйдет из строя в течение гарантийного срока, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что лампа не выйдет из строя в течение гарантийного срока. Из шести наладчиков один может налаживать все станки, три только типа А и С, а два только типа А и Б. Один из станков вышел из строя. Определить вероятность того, что станок будет налажен. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная. Половина поступивших на склад изделий изготовлена на первом заводе, третья часть — на втором заводе, остальные изделия — на третьем. Произвольно выбранное изделие оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что это изделие изготовлено на первом заводе. В первой урне содержится 8 белых и 2 черных шара. Во второй урне 4 белых и 16 черных шаров. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар. В среднем 8 из единиц продукции, произведенных машиной А, и 4 из , произведенных машиной В, оказываются бракованными. Какова вероятность того, что случайно выбранная единица продукции окажется бракованной? При некотором технологическом процессе вероятность получения бракованной детали принимается равной 0,8. Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью 0, можно было бы утверждать, что частость появления бракованных деталей отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01? В среднем 9 из единиц продукции, произведенных машиной А, и 1 из , произведенных машиной В, оказываются бракованными. В сборочный цех завода детали поступают из двух цехов: Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет бракованной. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 конькобежцев, 4 горнолыжника. Вероятность выполнения нормы мастера спорта для лыжника равна 0,9, для конькобежца — 0,8, для горнолыжника равна 0, Определить вероятность того, что наудачу вызванный спортсмен выполнит норму мастера спорта. В первой урне содержится 4 белых и 5 черных шара. Во второй урне 10 белых и 6 черных шаров. Имеется 5 партий радиоламп: Наудачу из этих пяти партий берется одна партия, и из этой партии выбирается одна деталь. Определить вероятность того, что взятая таким образом деталь будет стандартной. В трех одинаковых коробках лежат товары: Наудачу берется коробка и из нее изделие. Определить вероятность того, что это изделие первого сорта. Имеется две категории сосудов: Из первого попавшегося сосуда вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар будет красным. В ящике две категории сосудов; одна состоит из трех сосудов, причем в каждом из них по 5 белых и по 7 черных шаров; вторая — из пяти сосудов, содержащих каждый по 9 белых и по 3 черных шара. Сосуды той и другой категории перемешаны, и из наудачу взятого сосуда извлекается шар. Определить вероятность того, что этот шар будет белым. Наудачу выбирается сосуд, и из него берется один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар будет белым. В 6 одинаковых ящиках по 10 деталей, причем в трех ящиках по 8 деталей, в двух — по 6 деталей и в одном 5 деталей первого сорта. Наудачу выбираем одну деталь. Определить вероятность того, что эта деталь будет первого сорта. Стало известно, что вышел из строя один станок. Какова вероятность того, что это первый станок? После капитального ремонта карбюраторы проверяются ОТК на техническую исправность. Вероятность того, что карбюратор попадет к первому работнику ОТК равна 0,7;ко второму-0,3. Вероятность того, что отремонтированный карбюратор будет признан технически исправным первым работником равна 0,9;а вторым-0, Карбюратор был признан технически исправным. Какова вероятность того, что карбюратор был проверен вторы. Из 20 учеников, которые пришли на экзамен по математике, 5 подготовились отлично, 4-хорошо,удовлетворительно, а 1-совсем не готовился- понадеялся на то, что все помнит. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 вопросов, хорошо на 15 вопросов, удовлетворительно- на 10, и не подготовившийся на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из Приглашенный первым ученик ответил на все три вопроса. Какова вероятность того, что он отличник. Вероятность, что деталь, изготовленная первым рабочим стандартна, равна 0,9: Изготовленные детали поступают на сборку. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Какова вероятность, что она изготовлена первым рабочим. Фабрика получает станки-автоматы от трех заводов: Полученные станки до монтажа хранятся в общем складе. Наугад взятый для монтажа станок оказался бракованным. Какова вероятность того, что бракованный станок изготовлен на первом заводе? Студент может купить билет в одной из трех касс автовокзала. Вероятность того, что билетов уже нет в кассах примерно такие: Студент обратился в одну из касс и получил билет. Определить вероятность того, что он направился к первой кассе. Алматы вероятность встречного ветра равна 0,3; попутного 0,4; и штиля 0,3. Самолет, своевременно вылетающий из г. Костаная, прибывает в г. Алматы по расписанию с вероятностью: Алматы самолет прибыл точно по расписанию. Вычислить вероятность того, что при этом ветер был встречный. На склад поступила продукция трех заводов. Объемы продукции первой, второй и третьей фабрик относятся соответственно как 2: Взятая случайным образом деталь оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что она произведена на первом заводе. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,8;второго-0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что пробоина сделана первым стрелком. На животноводческом комплексе имеется пять автоматических кормораздатчика, 3-полуавтоматических и 2-механических. Вероятности того, что за время раздачи кормов кормораздатчик не выйдет из строя соответственно равны: Найти вероятность того, что до окончания раздачи кормов автоматический кормораздатчик не выйдет из строя. Количество полупроводниковых и ламповых деталей в телевизоре относится как 2: Вероятность поломки полупроводниковой детали равно 0,7; ламповой-0, С завода поступили три партии машин: Определить вероятность того, что на удачу выбранная машина не доукомплектована. Изготовленное изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью 0,9, второй — с вероятностью 0,8. Какова вероятность, что дефектное изделие будет обнаружено? На первой птицефабрике из каждых яиц 90 первой категории, на второй и на третьей яиц первой категории. Найти вероятность, что купленное яйцо будет первой категории. Обучающая машина-экзаменатор содержит два набора вопросов: Машина с заданной вероятностью выбирает набор, затем выбирает вопрос и предъявляет его экзаменующемуся. Как нужно задать вероятности выбора первого и второго наборов, чтобы использовать в среднем одинаковое число трудных и легких вопросов, то есть уравнять вероятности предъявления трудных и легких вопросов? На остановке из автобуса в случайном порядке последовательно выходят 4 женщины и 3 мужчин. Определить вероятность того, что вторым по порядку выйдет мужчина. Известно, что в четырех областях мозга, содержится примерно одинаковое количество клеток, клетки внимания нейроны, реагирующие на изменение сигнала имеют следующие удельные веса: Какова вероятность, заведомо находясь в пределах этих областей, попасть в клетку "внимания". Турист, заблудившись в лесу, вышел на поляну, от которой в разные стороны ведут пять дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение часа составляет около 0,6; если по второй-0,3; если по третьей-0,2; если по четвертой-0,1; если по пятой-0,1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса? Численность бактерий растет следующим образом: При этом плодовитость каждой бактерии нисколько не влияет на плодовитость остальных. Предположив, что в начале у нас имелась только одна бактерия, найти вероятность того, что в третьем поколении не будет ни одной живой бактерии. В бухгалтерию поступили документы. Вероятность того, что документ заполнен правильно по животноводству равна 0,7,по растениеводству и вспомогательному производству соответственно 0,6 и 0,3. Взятый наугад документ был заполнен правильно. Найти вероятность того, что этот документ заполнен по животноводству. Два экономиста дают экономическую оценку эффективности использования новой техники для уборки пшеницы. Вероятность того, что первый экономист допустит ошибку равна 0,05,для второго 0,1. При сверке оценок была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошибся первый экономист. Две бригады ремонтируют трактора. Производительность первой бригады вдвое больше производительности второй. Наудачу выбранный трактор оказался отремонтированным. Найти вероятность того, что трактор отремонтирован первой бригадой. В первом ящике содержится 18 деталей, из них 10 стандартных и 8 нестандартных; во втором ящике 20 деталей, из них 13 стандартных и 7 нестандартных. Слесарь из первого ящика наугад вынимает одну деталь и перекладывает во второй. Найти вероятность того, что деталь, извлеченная из второго ящика, будет стандартной. Имеется 5 партий ламп: Наудачу из этих пяти партий берется одна партия, и из этой партии выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что взятая таким образом лампа будет стандартной. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых, проезжающих по тому шоссе, как 3: Известно, что в среднем одна из 30 грузовых и 2 из 50 легковых машин подъезжают к бензоколонке для заправки. Чему равна вероятность того, что подъехавшая к бензоколонке машина будет заправляться? Для посева заготовлены семена пшеницы первого сорта, содержащие небольшое количество семян других сортов. Вероятность того, что наудачу взятое зерно будет первого сорта, равна 0,95; второго-0,03; третьего-0, Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен, равна для первого сорта 0,7; для второго-0,15;для третьего-0,2. Определить вероятность того, что колос будет иметь не менее 50 зерен. Одну и ту же операцию выполняют токари третьего, четвертого и пятого разрядов. При проверке деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что брак допустили токарь не пятого разряда. В середине семестра один студент взял академический отпуск. Определить вероятность того, что случайно отобранный после этого студент этой группы окажется стипендиатом. В овощехранилище поступает сахарная свекла с трех хозяйств. Определить вероятность того, что взятый корнеплод окажется поврежденным. Одинаковые детали обрабатываются тремя рабочими на трех станках. Вероятность брака равна для первого - 0,01;для второго-0,02;для третьего - 0, Обработанные детали складываются в один ящик. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь будет бракованной, если производительности станков относятся, как 2: В двух командах, участвующих в математической олимпиаде, 20 человек. В команде экономического факультета 7 первокурсников и 3 второкурсника, а в команде факультета механизации сельского хозяйства 6 первокурсников и 4 второкурсника. Сборная института, составленная из студентов двух команд, содержит 10 человек: Из сборной наудачу вызвали одного студента. Какова вероятность того, что он первокурсник? Найти вероятность того, что случайно взятая со склада лампочка окажется удовлетворяющей условиям стандарта. В коробке лежат 1О семян пшеницы, из них четыре- сорта "Саратовская", два- сорта "Безенчукская" и четыре -сорта "Мироновская 8О". Вероятность всхожести семян сорта "Саратовская " равна 0,9; сорта "Безенчукская" -0,89 и сорта "Мироновская 8О"-0, Посаженное зерно дало всходы. Объемы продукции первой, второй и третьей фабрик относятся соответственно как 3: В овощехранилище поступает картофель с трех хозяйств. У студента три варианта решения задачи. Если студент выберет первый вариант, то вероятность решения задачи в течение 10 минут равна около 0,4; если второй-0,5; если третий-0, Какова вероятность того, что студент выбрал первый вариант, если через 10 минут он решил задачу? В первой урне содержится 6 белых и 8 красных шара. Во второй урне 10 белых и 6 красных шара. Одинаковые детали обрабатываются двумя рабочими на двух станках. Вероятность брака равна для первого - 0,01;для второго-0, Наивероятнейшее число появлений события. Число m 0 , которому соответствует наибольшая вероятность Р n m 0 называется наивероятнейшим числом появлений события или модой. Наивероятнейшее число появлений события определяется из неравенства: Очевидно, что т 0 как число появлений события А может принимать только целые значения. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа n испытаний , причем произведение np стремится к постоянному числу , то вероятность того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, равна. Формулу Пуассона используем когда имеем дело с редко происходящими событиями. Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра- Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие произойдет, m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n приближенно равна. Если же число испытаний n велико, то используют интегральную теорему Муавра-Лапласа. Пусть вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 1 и 0. Тогда вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от m 1 до m 2 раз, приближенно равна. Значения функции Ф х находятся по таблице с учетом свойств этой функции: Функция является монотонно возрастающей. Это формула отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях. Рассматривается ряд независимых испытаний. Наступление события А не зависит от того, какие результаты были или будут в остальных испытаниях, причем в каждом из этих испытаний событие А может наступить, а может и не наступить. В магазин по продаже компьютеров вошли девять покупателей. Найти наивероятнейшее число покупателей, которые купят компьютер, если вероятность совершить покупку для каждого равна 0,5. Наивероятнейшее число найдем из неравенства 1: Число технически исправных компьютеров составляет 0,7 общего количества компьютеров данного предприятия. При каком общем количестве компьютеров наивероятнейшее число технически исправных будет равно 20? Составим неравенство для m 0: Распишем его на два неравенства: Вычислительное устройство состоит из независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента равна 0, Какова вероятность того, что откажут ровно 3 элемента? Обозначим событие А — включение электролампы днем. Вероятность Р найдем по локальной формуле Лапласа. Найти вероятность того, что событие появится от 10 до 20 раз, если вероятность появления события в каждом из испытаний равна 0,2. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов. Найти вероятность того, что из случайно отобранных студентов от 45 до 90 студентов будут из сельской местности. В банк отправлено пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0, Найти вероятность того, что при проверке будут обнаружено 4 ошибочно укомплектованных пакета. Вероятность получения дефектной детали с данного станка — автомата равна 0, Найти вероятность того, что среди деталей, изготовленных на этом станке, число качественных окажется от 80 до В лаборатории определяется механический состав образцов почв некоторой области. В пруд запустили мальков зеркального карпа. Вероятность выжить для каждого из них одинакова и равна 0,7. Какова вероятность, что выживут не менее мальков? Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0, Телефонная станция обслуживает абонентов. Какова вероятность, что в течении часа позвонят 3 абонента? Учебник издан тиражом экз. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,, Найти вероятность того, что тираж содержит хотя бы 2 бракованные книги. Найти вероятность того, что из дорожно- транспортных происшествий ровно 30 происходят из-за превышения скорости машин. На связке 5 ключей. К замку подходит только один ключ. Найти вероятность того, что потребуется не более двух попыток открыть замок, если опробованный ключ в дальнейших испытаниях не участвует. Вероятность того, что абонент правильно наберет телефонный номер, принимается для всех абонентов равной 0, Определить вероятность того, что среди произведенных независимо один от другого вызовов окажется менее двух ошибочных. Вероятность обращения в банк клиента за возвратом депозита равна 0,3. Найти вероятность того, что из клиентов, посетивших банк, ровно 30 потребует возврата депозита. Определить вероятность того, что из 4 наудачу взятых волокон три будут короче 50 мм. В мастерской 5 токарных станков. Вероятность, что в данный момент станок работает, равна 0,7. Определить вероятность того, что в данный момент работают 4 станка. В партии изделий двух форматов число крупных деталей вдвое больше, чем мелких. Детали сложены без всякого порядка. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 10 деталей окажется 6 крупных? Определить вероятность того, что число появлений этого события при 8-кратном повторении окажется больше шести. Вероятность того, что отобранная для проверки деталь будет стандартной, равна 0,9. Если из этих пяти деталей бывает более двух нестандартных, то вся партия задерживается. Определить вероятность того, что партия будет задержана. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки равна 0,3. Определить вероятность того, что не менее трех пуль попадет в цель. Вероятность появления некоторого события в одном отдельном испытании равна 0,7. Определить наивероятнейшее число появлений этого события при 16 испытаниях. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,2. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель и вероятность такого исхода стрельбы, если было сделано шесть выстрелов. При автоматической наводке орудия вероятность попадания принимается равной 0,7. Определить наиболее вероятное число попаданий при выстрелах. Число длинных волокон в партии хлопка составляет в среднем 0,7 от общего числа волокон. При каком общем количестве волокон наивероятнейшее число длинных волокон окажется равным 25? Сколько следует выполнить повторных независимых испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений некоторого события оказалось равным 23, если вероятность появления этого события в одном отдельно взятом испытании 0,85? Сколько нужно взять деталей, чтобы наиболее вероятное число годных деталей равнялось ? Два студента приобрели лотерейные билеты: Чему равна вероятность наступления события А в каждом испытании, если наивероятнейшее число наступления события А в отдельном испытании составляет 15, а всего испытаний было произведено 20? Произведено 35 независимых испытаний, причем установлено, что наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях оказалось равным Какова вероятность наступления события? Вероятность прорастания семян данного растения 0, Сколько следует взять семян, чтобы наибольшее число взошедших семян равнялось ? В институте обучается студентов. Определить наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 января. По данным многолетних наблюдений установлено, что в сентябре число ненастных дней для некоторой местности в среднем равно Определить наивероятнейшее число ясных дней в первой половине сентября. Прибор выходит из строя, если перегорит не менее пяти ламп I типа или не менее двух ламп II типа. Определить вероятность выхода из строя прибора, если известно, что перегорело пять ламп, а вероятность перегорания ламп I и II типов равны соответственно 0,2 и 0,1. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,8. Определить вероятность 18 попаданий при 25 выстрелах. Взято экземпляров этой продукции. Какое количество изделий второго сорта наиболее вероятно и какова вероятность того, что именно такое количество второго сорта окажется в отобранной группе? В сосуде находится 3 белых и 4 черных шара. Шары извлекаются таким образом, что каждый извлеченный шар возвращается обратно в сосуд. Определить вероятность того, что при извлечения белый шар появится раз. Вероятность бракованного изделия равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из изделий будет бракованных. Определить вероятность одновременной остановки 30 машин из работающих, если вероятность остановки одной машины равна 0,2. В партии из 50 деталей доля первого сорта составляет 0,4. Сколько деталей в партии будет первого сорта, если результат необходимо гарантировать с вероятностью 0,? Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец равна 0,3. Определить вероятность того, что из головок готовых колец число непригодных заключено между и Определить вероятность того, что в непроверенной партии из запчастей пригодных будет не менее и не более Определить вероятность наличия в партии из клемм от до клемм, не соответствующих стандарту. На каждые 20 штампованных изделий из пластмассы приходится в среднем 3 дефектных. Определить вероятность того, что из 50 взятых наудачу изделий более 42 будут без дефекта. Определить вероятность того, что при независимых испытаниях абсолютная величина отклонения частости наступления событии от его вероятности в каждом отдельном испытании окажется равной 0, Проведено независимых испытаний. Определить вероятность того, что отклонение частости от вероятности не будет превышать по абсолютному значению 0, Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,3. Сколько таких приборов нужно испытать, чтобы с вероятностью 0,99 получить один отказ? Определить с вероятностью 0,, в каких границах может заключаться частость количества студенток во всем коллективе, если численность выборки взять равной Определить с вероятностью 0,, в каких границах может заключаться частость бракованных радиоламп в партии из штук. Вероятность остановки токарного станка в результате некоторых технических неполадок в течение недели равна 0, Определить вероятность того, что из 25 станков, работающих в цехе, остановятся в течение недели два станка. В денежной лотерее на каждые билетов выигрывает Определить вероятность того, что из билетов выиграет 4 билета. При контролируемом производственном процессе доля брака не превышает 0, При обнаружении в партии из изделий более 5 бракованных изделий вся партия задерживается. Определить вероятность того, что партия будет принята. Контрольный тест состоит из 4 вопросов. На каждый вопрос предлагается 5 вариантов ответов, среди которых только один правильный. Найти вероятность правильного ответа на два вопроса теста для неподготовленного студента. Некоторое электронное устройство выходит из строя, если откажет определенная микросхема. Вероятность ее отказа в течении 1ч работы устройства равна 0, Какова вероятность того, что за ч работы устройства придется пять раз менять микросхему. Доверительный интервал для оценки математического ожидания при известном и неизвестном. Что называется эмпирическим статистическим распределением случайной величины? Теория вероятностей и математическая статистика. Введение в теорию случайных процессов, - М.: Теория вероятностей и математическая статистика, -М.: Основные понятия теории вероятностей. Курс высшей математики для экономических вузов. Основы надежности сельскохозяйственной техники- М.: Теория вероятностей и её инженерные приложения- М.: Основы теории вероятностей и математической статистики. Теория вероятностей с элементами математической статистики. Теория статистики с основами теории вероятностей. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Минск, Вышэйшая школа, Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Теория вероятностей и математическая. Выберите специальность, которую Вы хотите получить: Учитель английского языка Учитель биологии Учитель географии Учитель информатики Учитель испанского языка Учитель истории Учитель китайского языка Учитель математики Учитель мировой художественной культуры Учитель начальных классов Учитель немецкого языка Учитель обществознания Учитель основ безопасности жизнедеятельности Учитель основ религиозных культур и светской этики Учитель русского языка и литературы Учитель физики Учитель физической культуры Учитель французского языка Учитель химии Воспитатель детей дошкольного возраста Главный бухгалтер образовательного учреждения Менеджер образования Методист образовательной организации Педагог дополнительного образования детей и взрослых Педагог по обучению лиц с ограниченными возможностями здоровья Педагог среднего профессионального образования Педагог-библиотекарь Педагог-воспитатель группы продлённого дня Педагог-организатор Педагого-психолог Преподаватель бухгалтерского учета Преподаватель высшей школы Преподаватель маркетинга Преподаватель права Преподаватель экологии Преподаватель экономики Социальный педагог Специалист в области воспитания Специалист в области охраны труда Специалист в сфере закупок Специалист по безопасности и антитеррористической защищенности объектов территорий образовательной организации Специалист по организации и предоставлению туристских услуг Специалист по организационному и документационному обеспечению управления организацией Специалист по управлению персоналом и оформлению трудовых отношений. Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок". По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца. ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ. Профессиональной переподготовки 30 курсов от руб. Курсы для всех от руб. Повышение квалификации 36 курсов от руб. Лицензия на осуществление образовательной деятельности: Адрес редакции и издательства: Правообладатель товарного знака ИНФОУРОК: Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов. Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи. Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ Эл. Астрономия Биология Воспитательная работа География Директору, завучу Доп. Классному руководителю Логопедия Математика Музыка Начальные классы ОБЖ Обществознание Русский язык и литература Социальному педагогу Технология Украинский язык Физика Физкультура Химия Школьному психологу Языки народов РФ. Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца часов. Начало обучения новой группы: Подать заявку на курс. Сборник задач по теории вероятностей. Выберите документ из архива для просмотра: Учитель английского языка Учитель биологии Учитель географии Учитель информатики Учитель испанского языка Учитель истории Учитель китайского языка Учитель математики Учитель мировой художественной культуры Учитель начальных классов Учитель немецкого языка Учитель обществознания Учитель основ безопасности жизнедеятельности Учитель основ религиозных культур и светской этики Учитель русского языка и литературы Учитель физики Учитель физической культуры Учитель французского языка Учитель химии Воспитатель детей дошкольного возраста Главный бухгалтер образовательного учреждения Менеджер образования Методист образовательной организации Педагог дополнительного образования детей и взрослых Педагог по обучению лиц с ограниченными возможностями здоровья Педагог среднего профессионального образования Педагог-библиотекарь Педагог-воспитатель группы продлённого дня Педагог-организатор Педагого-психолог Преподаватель бухгалтерского учета Преподаватель высшей школы Преподаватель маркетинга Преподаватель права Преподаватель экологии Преподаватель экономики Социальный педагог Специалист в области воспитания Специалист в области охраны труда Специалист в сфере закупок Специалист по безопасности и антитеррористической защищенности объектов территорий образовательной организации Специалист по организации и предоставлению туристских услуг Специалист по организационному и документационному обеспечению управления организацией Специалист по управлению персоналом и оформлению трудовых отношений Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок". Теория вероятностей имеет широкое применение на практике. Чтобы добавить отзыв, войдите в Ваш кабинет или зарегистрируйтесь. Вы первый можете оставить свой комментарий. Эрдниева, основателя технологии УДЭ Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Рынки лондона на карте
Платье спицами схема для начинающих
Описание гор анды по плану