Список интегралов элементарных функций
Таблица и правила нахождения первообразных
Таблица первообразных ("интегралов"). Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Данная статья завершает тему неопределенных интегралов, и в неё включены интегралы, которые я считаю достаточно сложными. Урок создан по неоднократным просьбам посетителей, которые высказывали пожелания, чтобы на сайте были разобраны и более трудные примеры. Предполагается, что читатель сего текста хорошо подготовлен и умеет применять основные приемы интегрирования. Чайникам и людям, которые не очень уверенно разбираются в интегралах, следует обратиться к самому первому уроку — Неопределенный интеграл. Примеры решений , где можно освоить тему практически с нуля. Более опытные студенты могут ознакомиться с приемами и методами интегрирования, которые в моих статьях еще не встречались. Сначала мы рассмотрим интегралы с корнями, для решения которых последовательно используется замена переменной и интегрирование по частям. То есть, в одном примере комбинируются сразу два приёма. Затем мы познакомимся с интересным и оригинальным методом сведения интеграла к самому себе. Данным способом решается не так уж мало интегралов. Третьим номером программы пойдут интегралы от дробей, которые пролетели мимо кассы в предыдущих статьях. В-четвертых, будут разобраны дополнительные интегралы от тригонометрических функций. В частности, существуют методы, которые позволяют избежать трудоемкой универсальной тригонометрической подстановки. И в заключении рассмотрим интеграл от корня, под которым находится дробь, в числителе и знаменателе дроби — линейные функции. Конечно, название урока не совсем точно, будут и не сказать, что сильно сложные интегралы. Тем не менее, крепких орешков предостаточно. Запланировано довольно много примеров, поэтому поехали. Подынтегральная функция представляет собой арктангенс, под которым находится кубический корень. Первая же мысль, которая приходит в голову — избавиться бы от этого корня. Данный вопрос решается путем замены переменной, сама техника замены специфична, и она подробно рассмотрена на уроке Интегралы от иррациональных функций. После такой замены у нас получится вполне симпатичная вещь: Осталось выяснить, во что превратится. Навешиваем дифференциалы на обе части нашей замены: И само собой раскрываем дифференциалы: На чистовике решение кратко записывается примерно так: В результате замены получен знакомый тип интеграла, который интегрируется по частям: К оставшемуся интегралу применяем прием, который рассмотрен в первых примерах урока статьи Интегрирование некоторых дробей. В последнем интеграле сразу подводим функцию под знак дифференциала. Обратите внимание, что в логарифме можно использовать скобки, а не модуль, так как. Студенты-мазохисты могут продифференцировать ответ и получить исходную подынтегральную функцию, как только что это сделал я. Как видите, в ходе решения пришлось использовать даже больше двух приемов решения, таким образом, для расправы с подобными интегралами нужны уверенные навыки интегрирования и не самый маленький опыт. На практике, конечно же, чаще встречается квадратный корень, вот три примера для самостоятельного решения:. Данные примеры однотипны, поэтому полное решение в конце статьи будет только для Примера 2, в Примерах — одни ответы. Какую замену применять в начале решений, думаю, очевидно. Почему я подобрал однотипные примеры? Часто встречаются в своем амплуа. Чаще, пожалуй, только что-нибудь вроде. Но не всегда, когда под арктангенсом, синусом, косинусом, экспонентой и др. Самым легким из предложенных выше заданий является Пример 4, в нём после замены получается относительно несложный интеграл. Под корнем находится квадратный двучлен, и при попытке проинтегрировать данный пример чайник может мучаться часами. Такой интеграл берётся по частям и сводится к самому себе. В принципе не сложно. Возможно, не всем понятно, распишу подробнее: Теперь смотрим на самое начало решения: Приравниваем начало и конец: А двойку сносим в правую часть. Константу , строго говоря, надо было добавить ранее, но приписал её в конце. Настоятельно рекомендую прочитать, в чём тут строгость:. Более строго заключительный этап решения выглядит так: Подобный трюк с переобозначением константы широко используется в дифференциальных уравнениях. И там я буду строг. А здесь такая вольность допускается мной только для того, чтобы не путать вас лишними вещами и акцентировать внимание именно на самом методе интегрирования. Еще один типовой интеграл для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Разница с ответом предыдущего примера будет! Если под квадратным корнем находится квадратный трехчлен, то решение в любом случае сводится к двум разобранным примерам. Всё, что нужно сделать — предварительно выделить полный квадрат: Или такой пример, с квадратным двучленом: И, после линейной замены , получаем интеграл , который также решается по уже рассмотренному алгоритму. Рассмотрим еще два типовых примера на приём сведения интеграла к самому себе: Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе: В результате двукратного интегрирования по частям интеграл свёлся к самому себе. Приравниваем начало и концовку решения: Теперь вернемся к началу примера, а точнее — к интегрированию по частям: Возникает вопрос, именно экспоненту всегда нужно обозначать за? На самом деле в рассмотренном интеграле принципиально без разницы , что обозначать за , можно было пойти другим путём: Потому что экспонента превращается сама в себя и при дифференцировании, и при интегрировании , синус с косинусом взаимно превращаются друг в друга опять же — и при дифференцировании, и при интегрировании. Но, в рассмотренном примере это менее рационально, поскольку появятся дроби. При желании можете попытаться решить данный пример вторым способом, ответы обязательно должны совпасть. Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как решать, подумайте, что выгоднее в данном случае обозначить за , экспоненту или тригонометрическую функцию? И, конечно, не забывайте, что большинство ответов данного урока достаточно легко проверить дифференцированием! Примеры были рассмотрены не самые сложные. На практике чаще встречаются интегралы, где константа есть и в показателе экспоненты и в аргументе тригонометрической функции, например: Попутаться в подобном интеграле придется многим, частенько путаюсь и я сам. Дело в том, что в решении велика вероятность появления дробей, и очень просто что-нибудь по невнимательности потерять. На завершающем этапе часто получается примерно следующее: Даже в конце решения следует быть предельно внимательным и грамотно разобраться с дробями: Потихоньку подбираемся к экватору урока и начинаем рассматривать интегралы от дробей. Интеграл такого вида решается с помощью стандартной замены. Смотрим на жизнь после замены: Заодно под корнем я переставил слагаемые в удобном порядке. Если изначально , то обратно: Иногда в таком интеграле под корнем может находиться квадратный двучлен, это не меняет способ решения, оно будет даже еще проще. Краткие решения и ответы в конце урока. Следует отметить, что Пример 11 является в точности биномиальным интегралом , метод решения которого рассматривался на уроке Интегралы от иррациональных функций. В знаменателе подынтегральной функции находится неразложимый на множители квадратный двучлен. Подчеркиваю, что неразложимость на множители является существенной особенностью. Если многочлен раскладывается на множители, то всё намного понятнее, например: Но вернёмся к примеру со счастливым номером 13 честное слово, не подгадал. Этот интеграл тоже из разряда тех, с которыми можно изрядно промучиться, если не знаешь, как решать. Решение начинается с искусственного преобразования: Полученный интеграл берётся по частям: Убедимся в справедливости данной формулы для прорешанного интеграла. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула. Если под степенью находится неразложимый на множители квадратный трехчлен, то решение сводится к двучлену путем выделения полного квадрата, например: Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Но в моей практике такого примера не встречалось ни разу , поэтому я пропустил данный случай в статье Интегралы от дробно-рациональной функции , пропущу и сейчас. Если такой интеграл все-таки встретится, смотрите учебник — там всё просто. Не считаю целесообразным включать материал даже несложный , вероятность встречи с которым стремится к нулю. Начнем с тангенсов и котангенсов в высоких степенях. С точки зрения используемых методов решения тангенс и котангенс — почти одно и тоже, поэтому я больше буду говорить о тангенсе, подразумевая, что продемонстрированный прием решения интеграла справедлив и для котангенса тоже. На уроке Интегралы от тригонометрических функций мы разобрали интеграл от тангенса в квадрате. На уроке Как вычислить площадь фигуры? В том примере для нахождения интеграла от тангенса в кубе мы применяли тригонометрическую формулу. Интеграл от тангенса в четвертой, пятой степени редко в более высоких степенях решается с помощью этой же формулы! Во втором интеграле еще раз используем формулу , в данном случае. Для котангенса существует аналогичная формула: Если возникли затруднения или недопонимание, следует вернуться к уроку Интегралы от тригонометрических функций. На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций. Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями. И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать! Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Я приведу полное решение с комментами к каждому шагу:. В знаменателе делим и умножаем на. Думаю, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами: В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью преобразований, тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса. То есть, речь идет о замене: В Примерах мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием — подведением функции под знак дифференциала. Сумма степеней синуса и косинуса: Более опытные студенты замену могут и не проводить, но все-таки лучше заменить тангенс одной буквой — меньше риск запутаться. Искусственное преобразование в самом начале и остальные шаги оставлю без комментариев, поскольку обо всем уже говорилось выше. Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока. У многих читателей могло сложиться впечатления, что я немного подустал. За окном февральский ветер — самая атмосфера для лекций. Естественно, данная страничка создана не за один день, я успел несколько раз побриться, регулярно кушаю и так далее. На самом деле моя миссия — разгружать посетителей сайта. Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет. Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Руководствуясь законом подлости, считаем, что все эти числа коэффициенты не равны нулю. Это уже не смешно, так обычно и бывает. В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем — дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции. Метод стар — необходимо избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить непростую замену. Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, такова: Я вывел готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида! Это было ни в коем случае не хвастовство, просто я не смог быстро найти эти формулы в близлежащей литературе и Сети — оказалось проще вывести. Да и может быть кто-нибудь для реферата возьмет. Еще куда ни шло, могло всё оказаться значительно хуже. Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере Иногда встречаются интегралы вида , , но это нужно быть либо слишком умным либо попасть под раздачу. Дважды используем рекуррентную формулу. Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Дважды используем рекуррентную формулу Пример Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Где находится датчик маслана калине
Игровые автоматы бизнес план
Поликлиника 108 смольная расписание врачей
Письмо отказ в гарантийном ремонте образец
Где в мобильном стиме вводить ключи
Какая зарплата у учителя в 2017 году