Знаки графика функции - Подготовка к ГИА. Нахождение знаков коэффициентов квадратичной функции по графику
Графики функций – ГИА В3
Знаки коэффициентов квадратного трехчлена
Обозначение функций
Знаки коэффициентов квадратного трехчлена
Знаки коэффициентов квадратного трехчлена
Графики функций – ГИА В3
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Данный методический материал носит справочный характер и относится к широкому кругу тем. В статье приведен обзор графиков основных элементарных функций и рассмотрен важнейший вопрос — как правильно и БЫСТРО построить график. В ходе изучения высшей математики без знания графиков основных элементарных функций придётся тяжело, поэтому очень важно вспомнить, как выглядят графики параболы, гиперболы, синуса, косинуса и т. Также речь пойдет о некоторых свойствах основных функций. Я не претендую на полноту и научную основательность материалов, упор будет сделан, прежде всего, на практике — тех вещах, с которыми приходится сталкиваться буквально на каждом шагу, в любой теме высшей математики. Можно сказать и так. На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей. Ось называется осью абсцисс , а ось — осью ординат. Чертить их всегда стараемся аккуратно и не криво. Стрелочки тоже не должны напоминать бороду Папы Карло. Не забываем подписывать оси. При выполнении чертежа самый удобный и часто встречающийся масштаб: Однако время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист — тогда масштаб уменьшаем: Редко, но бывает, что масштаб чертежа приходится уменьшать или увеличивать еще больше. Ибо координатная плоскость — не памятник Декарту, а студент — не голубь. Ставим ноль и две единицы по осям. Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить еще ДО построения чертежа. Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Если честно, в такие моменты начинаешь задумываться о правоте товарища Сталина, который отправлял в лагеря за халтуру на производстве, не говоря уже об отечественном автомобилестроении, падающих самолетах или взрывающихся электростанциях. К слову о качестве, или краткая рекомендация по канцтоварам. На сегодняшний день большинство тетрадей в продаже, плохих слов не говоря, полное гомно. По той причине, что они промокают, причём не только от гелевых, но и от шариковых ручек! Ручку желательно выбрать гелевую, даже самый дешевый китайский гелевый стержень намного лучше, чем шариковая ручка, которая то мажет, то дерёт бумагу. Она пишет чётко, красиво и стабильно — что с полным стержнем, что с практически пустым. Базис векторов , подробную информацию о координатных четвертях можно найти во втором параграфе урока Линейные неравенства. Для чего нужны все эти правила? Правила существуют для того, чтобы их нарушать. Чем я сейчас и займусь. Дело в том, что последующие чертежи статьи будут выполнены мной в Экселе, и, координатные оси будут выглядеть некорректно с точки зрения правильного оформления. Я бы мог начертить все графики от руки, но чертить их на самом деле жуть как неохота Эксель их начертит гораздо точнее. Линейная функция задается уравнением. График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль. А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе. При оформлении чертежа всегда подписываем графики. Обратите внимание, как я расположил подписи, подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа. График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается — достаточно найти всего одну точку. График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. График функции также строится сразу. Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости. Вспоминаем некоторые свойства функции. Математически это записывается так: Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси. Это очень полезное свойство, которое заметно упрощает построение графика, в чём мы скоро убедимся. Аналитически чётность функции выражается условием. Как проверить любую функцию на чётность? В случае с параболой проверка выглядит так: Аналитически свойство записывается так: Вот вам, кстати, и пример геометрического смысла предела функции: При изучении пределов функций желательно понимать геометрический смысл предела. Я не случайно так подробно расписал свойства функции, все вышеперечисленные вещи полезно знать и помнить при построении графиков функций, а также при исследовании графиков функций. В этом примере мы рассмотрим важный технический вопрос: Как быстро построить параболу? В практических заданиях необходимость начертить параболу возникает очень часто, в частности, при вычислении площади фигуры с помощью определенного интеграла. Поэтому чертеж желательно научиться выполнять быстро, с минимальной потерей времени. Я предлагаю следующий алгоритм построения. Если с производными плохо, следует ознакомиться с уроком Как найти производную? Итак, решение нашего уравнения: Почему это так, можно узнать из теоретической статьи о производной и урока об экстремумах функции. Таким образом, вершина находится в точке. Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:. Если , то ветви параболы направлены вверх. Если , то ветви параболы направлены вниз. Углублённые знания о кривой можно получить на уроке Гипербола и парабола. Кубическая парабола задается функцией. Вот знакомый со школы чертеж:. Перечислим основные свойства функции. Область определения — любое действительное число: Область значений — любое действительное число: Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат. Аналитически нечётность функции выражается условием. На языке пределов функции это можно записать так: Наверняка, вы заметили, в чем ещё проявляется нечетность функции. Эта особенность справедлива для любой нечетной функции. А теперь поговорим о графиках функций-многочленов высоких степеней чуть более подробно. Принципиально такой же вид имеют графики функций-многочленов 5-й, 7-й, 9-й и других нечетных степеней. Функции-многочлены 4-й, 6-й и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида:. Эти знания полезны при исследовании графиков функций. Он представляет собой одну из ветвей параболы. Или с помощью предела: На самом деле хочется разобрать еще примеры с корнями, например, , но они встречаются значительно реже. Однако унывать не нужно, в других статьях я рассмотрю самые разнообразные функции и их графики, корни в том числе. Или с помощью односторонних пределов: Немного поговорим об односторонних пределах. Как при этом ведёт себя график? Он уходит вниз на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси. Именно этот факт и записывается пределом. При этом ветвь гиперболы уходит вверх на плюс бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси. Такая прямая к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции называется асимптотой. Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой. Исследуем функцию на бесконечности: Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях см. Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях. Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков. Построить правую ветвь гиперболы. Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь. Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статье Гипербола и парабола. Трёх точек, пожалуй, хватит:. Обратите внимание, что ноль не включается в область значений. Функция не ограничена сверху: Исследуем поведение функции на минус бесконечности: Обратите внимание, что во всех случаях графики проходят через точку , то есть. Теперь рассмотрим случай, когда основание. Об этой метаморфозе можно получить подробную информацию в статье Построение графиков с помощью геометрических преобразований. Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью. Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом. Исследуем поведение функции вблизи нуля справа: Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма: Принципиально так же выглядит график логарифма при основании: При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график. В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это — та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому. Данная функция является периодической с периодом. Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика. Синус — это функция нечетная , синусоида симметричная относительно начала координат, и справедлив следующий факт: Таким образом, если в вычислениях встретится, например, , то минус терять здесь ни в коем случае нельзя! Как ведет себя синус на бесконечности? Попробуем провести исследование с помощью пределов: Запомните, данных пределов не существует. По вполне понятным причинам, график синуса болтается как как неприкаянный, то дойдет единицы, то уйдет к минус единице и так до бесконечности. Вот вам пример, когда предела не существует. В практических вычислениях желательно и даже обязательно знать и помнить следующие значения синуса: Другие значения синуса а также остальных тригонометрических функций можно найти в методическом материале Тригонометрические таблицы. Поэтому почти все свойства синуса справедливы и для косинуса. За некоторым, но существенным исключением. То есть, минус перед аргументом косинуса можно безболезненно убирать или наоборот, ставить. Для решения практических задач нужно знать и помнить следующие значения косинуса: То есть, достаточно рассмотреть отрезок , слева и справа от него ситуация будет бесконечно повторяться. Множество целых чисел … -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … в высшей математике обозначают жирной буквой Z. В этом легко убедиться и аналитически: Тангенс — функция нечетная , как и в случае с синусом, минус из-под тангенса не теряется , а выносится: В практических вычислениях полезно помнить следующие значения тангенса: График котангенса — это почти тот же самый тангенс, функции связаны тригонометрическим соотношением. Свойства попробуйте сформулировать самостоятельно, они практически такие же, как и у тангенса. Перечислим основные свойства функции:. Арксинус — функция нечетная , здесь минус опять же выносится: В практических вычислениях полезно помнить следующие значения арксинуса: Очень похоже на арксинус, свойства функции сформулируйте самостоятельно. Остановлюсь на единственном моменте. В общем случае, это, конечно, не так. Всего лишь перевернутая ветка тангенса. У рассматриваемой функции есть две асимптоты: Арктангенс — функция нечетная: Свойства арккотангенса вы вполне сможете сформулировать самостоятельно. Пожалуй, для начала хватит. К этой странице придется частенько обращаться в ходе изучения самых различных разделов курса высшей математики. Тогда надеваем парашюты и готовимся к преобразованиям графиков. Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Образец исковых заявлений
Градуированное каре как стричь схема
Аератор своими руками для крана
Подтягивающие маски для лица рецепты
Расписание орел брянск
Ультрабук 13 дюймов