в 70 тысячах сколько единиц
Разряды и классы
повышенный уровень, время – 2 мин)
Ваш Урок Задать вопрос. Во сколько раз 54 больше, чем 9? На сколько 54 больше, чем 9? Во сколько раз 10 меньше, чем 70? На сколько единиц 10 меньше, чем 70? Учитесь хорошо вместе с Вашурок. При копировании материалов vashurok.
Нумерация и сравнение чисел в пределах Вначале повторяются некоторые вопросы нумерации чисел до Обращается внимание учащихся на то, что имена чисел от О до 9 не связаны друг с другом: Изучение устной нумерации чисел от 10 до 20 начинают с ознакомления учащихся с понятием Выполняя различные упражнения на счет предметов, ученики объединяют эти предметы в отдельные группы по 10 штук — пучки палочек, связки колечек и т. Затем вводится понятие десятка: Работу на уроке по введению чисел от 11 до 20 можно организовать так. На десять предметов — десяток — кладется еще один предмет. Подобным образом вводятся все числа до Имея один десяток предметов и еще 9 предметов, учитель добавляет к ним один предмет, затем объединяет новые десять предметов в новый десяток и спрашивает у учащихся, сколько получилось десятков. Затем изучается десятичный состав этих чисел. Первые упражнения выполняются с использованием дидактического материала, который в дальнейшем постепенно исключается. Решаются такие типы упражнений. Отсчитайте 16 предметов, отделите 10 предметов выделите десяток. Сколько десятков в числе 16? Сколько единиц в числе 16 сверх десяти? Сколько всего единиц в числе 16? Отсчитайте один десяток предметов, затем добавьте еще З предмета. Сколько всего предметов отсчитали? Сколько десятков и сколько единиц в числе 13? Сколько единиц в числе 13? Сколько десятков и сколько единиц в числе 17? Какое число составят 1 десяток и 8 единиц? После усвоения учащимися устной нумерации приступают к изучению письменной Нумерации. Ознакомление учащихся с позиционным принципом записи чисел второго десятка осуществляется с помощью абака, представляющего собой таблицу с двумя рядами карманов: В дальнейшем при изучении нумерации используют таблицу разрядов с надписями справа налево: Учащиеся сами изготавливают подобные пособия. Приступая к объяснению принципа записи чисел второго десятка, учитель подчеркивает, что при этом используются те же знаки, что и для обозначения чисел первого десятка цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Затем учитель называет некоторое число, например Вместе с учащимися выясняется десятичный состав этого числа: Затем в верхний ряд карманов вставляются слева десяток палочек, связанных пучком, а справа 4 палочки, в НИЖНИЙ ряд — цифры 1 и 4. Получается обозначение числа четырнадцать. Выполняются и такие упражнения: Учащиеся его читают называют число десятков и число единиц; 4 учитель называет число. Учащиеся записывают его и называют число десятков и число единиц. Могут быть использованы и упражнения другого характера: При изучении нумерации чисел второго десятка учащиеся знакомятся со случаями прибавления и вычитания числа 10, прибавления к 10 и вычитания из числа всех его разрядных единиц, закрепляют свойства числа О: Например, при решении упражнения 19—9 рассуждают следующим. Особое внимание уделяется введению понятий: Учащиеся видят, что для записи чисел, состоящих только из единиц, требуется одна цифра, а для записи чисел, состоящих из десятков или десятков и единиц,— две цифры. После этого вводятся термины: Записать их в порядке возрастания убывания ; 3 записать З однозначных числа. Увеличить каждое из них на Как можно их назвать? Уменьшить их на Что означает цифра 1 в записи числа II? Знакомство с числами от 21 до начинают с устной нумерации. Образование и называние чисел 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, объясняется в процессе счета десятками: Освоив счет десятками, учащиеся знакомятся с образованием итенами Любых чисел в пределах сотни: Упражнения на образование чисел чередуются с упражнениями на разложение чисел: При изучении письменной нумерации учащиеся знакомятся с понятиями разряда и разрядного числа. Поясняется, что, например, тридцать семь — это З десятка и 7 единиц, но можно сказать и по- Другому: З единицы второго разряда и 7 единиц первого разряда. Эти навыки затем используются при изучении Операций над натуральными числами. Изучая нумерацию в пределах , учащиеся выполняют упражнения на сложение и вычитание: Методика вычислений здесь та же, что и для Подобных случаев в пределах Итак, изучив нумерацию чисел в пределах , учащиеся должны усвоить: При изучении Операций сложения и вы- с ХiУ в. Эти приемы в дальнейшем используются при устном сложении и вычитании в пределах тысячи, миллиона. Целесообразность методики обучения вычислительным приемам можно оценить по следующим характеристикам: Рассмотрим методику обучения учащихся приемам устного сложения и вычитания, удовлетворяющую этим характеристикам. Выбор вычислительных приемов в начальной школе в значительной мере определяется возможностями наглядной иллюстрации их сущности. Основным наглядным пособием при изучении чисел от 10 до является абак. Удобен абак следующей конструкции: В каждом кармане можно разместить не более 10 квадратов одну полоску. Иллюстрация вычислительных приемов с помощью абака предполагает наличие у учащихся некоторого опыта работы с этим наглядным пособием. К началу обучения работе с абаком учащиеся должны уметь устанавливать взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств. Например, откладывать столько кружков, сколько яблок изображено на рис. Навыки работы с абаком могут отрабатываться при выполнении учащимися, например, следующих систем упражнений. Усл о в не. Учащимся предъявляется больше 10, но меньше 20 предметов. Демонстрируются рисунки с двумя тремя, четырьмя группами предметов разного вида, но одного рода в совокупности не более 10 , например 2 мяча, 1 матрешка и 4 игрушечных автомобиля. Школьникам предъявляются предметы разного вида не более 10 каждого , но одного рода, причем в совокупности их более Работа над заданием предметы трех видов представлены в следующих количествах—5, 7, Рассмотренные упражнения или некоторые из них могут выполняться как дидактические игры. Учащиеся должны усвоить правила укладки квадратов в карманы абака и удаления их из карманов, замены квадратов полосками и полосок квадратами. Воспользуемся им для определения целесообразной последовательности изучения приемов устного сложения чисел в пределах ста. Рассмотрим все возможные случаи сумм в зависимости от разрядного состава входящих в них слагаемых: Вторую группу составляют суммы, в которых одно слагаемое двузначное, а другое однозначное: Эта группа не является однородной. В третью группу входят суммы двузначных слагаемых. Очевидно, что и эта группа по уровню сложности входящих в нее сумм разделяется на подгруппы. Сложение круглых десятков интуитивно можно оценить как самый простой случай. В самом деле, опираясь только на интуицию, нельзя определённо сказать, чтоб вычислить проще: А между тем этот вопрос имеет принципиальное значение: Кроме того, поскольку учащиеся должны научиться складывать числа в пределах в уме, то ясно, что большое количество приемов сложения делало бы эту задачу трудно выполнимой. Поэтому желательно уменьшить число таких приемов, обобщив их. Исходя из особенностей абака как средства интерпретации, определим вычислительные приемы для случаев 1 — 8. Приведем примерный диалог между учителем и учеником при работе с абаком над приемом вычисления этой суммы. В кармане наборного полотна 9 квадратов. Можно ли в этот карман положить квадраты, соответствующие второму слагаемому? Заменим их полоской, 4 квадрата поместим в другой карман. Выполняются соответствующие математические записи: При знакомстве с нумерацией двузначных чисел учащиеся учились называть числа, состоящие из нескольких десятков и нескольких единиц: Учащиеся знают, как показать на абаке первое слагаемое. По правилу работы с абаком 5 квадратов второе слагаемое укладывается в кармашек с двумя единицами первого слагаемого. Математически это описывается так: Этот прием используется для получения ответа: Он будет изучаться после приема 6: Значит, случай сложения 4 должен изучаться после случая 6. Абак заполняется сначала двумя полосками, а затем в него кладут еще З полоски. Таким образом, прием сложения круглых десятков состоит в подсчете десятков: К двум пол9скам первому слагаемому , находящимся в абаке, укладываются еще З полоски второго слагаемого, а затем в отдельный карман еще 5 квадратов второго слагаемого:. Как и в предыдущем случае, второе слагаемое помещается в абак по частям — отдельно десятки и отдельно единицы:. Аналогично приемам 6 и 7 второе слагаемое в этой сумме укладывается в абак разрядными единицами — десятками и единицами:. Итак, определены приемы сложения чисел в пределах ста и выявлены связи между этими приемами. Схематически эти связи изображены на рис. Из схемы видно, что основными являются приемы 1 , 2 , 5. Остальные 5 представляют собой их комбинации. Таким образом, число вычислительных приемов минимизировано. Теперь определим последовательность изучения различных случаев сложения в пределах Эта задача решена лишь отчасти. Однако схема не содержит информации о том, какой случай сложения следует изучать раньше— 7 или 1? Таким образом, равно возможны различные варианты последовательности их изучения: Очевидно, что изучение операции сложения вычитания не может происходить в отрыве от усвоения учащимися нумерации натуральных чисел. Вспомним, что знакомство с числа ми первого десятка происходило одновременно с изучением операций сложения и вычитания: Как известно, нумерация двузначных чисел вводится в следующем порядке: При сложении однозначных чисел с переходом через десяток суммы вида 1 получаются числа второго десятка. Таким образом была бы достигнута преемственность в изучении таблицы сложения: Знакомство с остальными числами в пределах предполагает использование понятия разрядных слагаемых: Таким образом, изучение приема 2 происходит в неразрывной связи с изучением нумерации двузначных чисел с ненулевыми разрядами единиц. Известно, что при усвоении разрядного состава чисел учащиеся часто путают разряды десятков и единиц. При изучении приемов устного сложения учащиеся знакомятся с ассоциативным законом сложения. В начальной школе этот закон раскрывается с помощью правил прибавления числа к сумме и суммы к числу. Поэтому сразу перейдем к раскрытию содержания методики обучения учащихся названным правилам. Усвоение учащимися этих правил не вызывает трудностей, если их математическое содержание будет раскрываться с опорой на интуитивные представления детей, их житейский опыт. Сколько всего грибов нашел мальчик? Сколько всего фруктов в вазе? Работа над этими задачами ведется по следующему плану. Условие первой задачи конкретизируется: Затем читается другой вариант этой же задачи: В соответствии с текстом задачи заполняется следующий карман наборного полотна рис. Составляется соответствующая математическая запись: Интуиции детей достаточно для того, чтобы они увидели справедливость данных равенств, не прибегая к вычислениям. Сюжеты к этим выражениям по данной задаче предлагается составить самим учащимся. В заключение формулируется правило: Такие формулировки создают опасность формального усвоения сути правила. Гораздо важнее выработать у учащихся привычку обращаться к задачам, если правило ими забыто. Правило закрепляется в процессе решения соответствующих числовых примеров. Так как учащиеся еще не изучали прием сложения однозначных чисел с переходом через десяток, последовательность вычислений определяется однозначно. Выполним логико-дидактический анализ вычитания в пределах Основным наглядным пособием при изучении вычитания также является абак. Разность 40—30 рассматривается как разность однозначных именовннь1х чисел: Эти приемы рассматриваются при знакомстве учащихся с нумерацией двузначных чисел типа 21, 22, 23 и т. Они, так же как и при-. Этим обусловлена воз ЖНОСТЬ одновременного изучения данных приемов сложения и 1читания. Приемы 1 и 2 не требуют средств наглядности. На а не изображено уменьшаемое. Согласно правилу работы с абаком, 1 из 4 полосок заменяется 10 квадратами и 5 из них удаляются. Математически это записывается так:. В абаке находятся 4 ПОЛОСКИ и 5 квадратов. Сначала из него играют 5 квадратов. Остальные 4 квадрата удаляются так же, как в случае 40— На абаке изображено уменьшаемое Очевидно, что нужно удалить З ПОЛОСКИ. Это выражается следующей записью:. Числу 45 в абаке соответствуют 4 полоски и 5 квадратов, а числу 23—2 полоски и З квадрата. Поэтому из абака удаляются 2 полоски и З квадрата:. В абаке находятся 4 полоски и 5 квадратов. Исходя из разрядного состава вычитаемого, удаляют 2 полоски и 8 квадратов. Теперь можно построить схему, отражающую связи между рассмотренными приемами рис. Схема позволяет определить разные варианты порядка изучения. Выше было установлено, что целесообразно рассмотреть с учащимися сначала прием 1 , а затем прием 2 , причем в связи с соответствующими приемами сложения. Методически целесообразно также изучать приемы вычитания 3 и б одновременно с нумерацией двузначных чисел вида 21, 22, Это позволит закрепить знания учащихся о позиционном значении цифр в двузначном числе. Труднее обосновать порядок изучения приемов 4 , 5 , 7 и 8. Возможны варианты — 4, 5, 7, 8 , 7, 4, 5, 8 , 4, 5, 8, 7. Остановимся на такой последовательности: Итак, с помощью логико-дидактического анализа обоснован следующий порядок изучения сложения и вычитания в связи с изучением нумерации чисел в пределах В приемах вычитания используются правила вычитания числа из суммы см. Они изучаются по такому же плану, что и правила прибавления числа к сумме и суммы к числу. Например, для обоснования правила вычитания числа из суммы может быть предложена такая задача: Он отдал сестре 4 шара. Сколько шаров осталось у мальчика? Он отдал сестре 4 синих шара. Он отдал сестре 4 красных шара. С помощью иллюстрации на наборном полотне легко показать, что ответ не изменяется, т. Последнее особенно важно, если иметь в виду опасность заучивания этих правил учащимися. Наконец, правило отрабатывается на системе целесообразных упражнений. Рассмотрим методику обучения учащихся вычислительным приемам в пределах Изучение каждого приема осуществляется по следующему плану. На демонстрационном абаке выполняются действия, раскрывающие суть приема. Под руководством учителя учащиеся дают пояснения действиям с абаком, которые позволяют сформулировать их на математическом языке — записать на доске в виде числовых выражений. Рассматривается аналогичная сумма разность. Учитель на демонстрационном абаке, а учащиеся на индивидуальных абаках одновременно выполняют преобразования. Математические выражения записываются на доске и в тетрадях. Приведем ВОЗМОЖНЫЙ диалог учителя с учеником при Изучении приема Вычитания однозначного числа ИЗ круглых десятков. На доске Записано число Как Изобразить ЧИСЛО ЗО на наборном Полотне? В З Кармашка нужно ПОЛОЖИТЬ ПОЛОСКИ, Обозначающие десятки. Из числа ЗО нужно вычесть 4. Как изобразить на наборном Полотне, что вычитается 4? Вычесть 4 единицы — это значит убрать 4 Квадрата. Но ведь в кармашках Содержатся ТОЛЬКО ПОЛОСКИ. Каждую Полоску МОЖНО заменить 1О Квадратами. Нужно ли все ПОЛОСКИ заменять квадратами? Быстро с такой задачей не справиться Убирается всего 4 квадрата, значит, достаточно заменить Квадратами ТОЛЬКО Одну полоску. Учащиеся проговаривают выполняемые действия, учитель с помощью учащихся выполняет на доске соответствующие записи. В Заключение сделаем два Замечания 1. Изучая приемы устного сложения двузначных чисел, учащиеся должны прийти к выводу, что СЛОЖИТЬ два двузначных Числа легче, если к десяткам первого прибавить число Десятков Второго, единицы обоих слагаемых сложить и прибавить к сумме Десятков. Кроме рассмотренных ОСНОВНЫХ Приемов, полезно показать учащимся некоторые частные приемы, Основанные на связи между компонентами и результатами операций. Пусть, например, складываются числа 39 и Замечают, что 39— это 40 без одного. К 40 прибавить 46 легко, получается Но одно из слагаемых было увеличено на единицу, поэтому Сумму нужно на единицу уменьшить: Аналогично поступают, если, например, к 58 прибавляется К первому слагаемому добавляют 2 единицы, а от полученной суммы 97 вычитают 2. Более сложные рассуждения используются для объяснения аналогичных приемов вычитания, например 65— Но от этого разность уменьшается на единицу, поэтому к 25 нужно прибавить 1з. Усвоение учащимися нумерации чисел в пределах 1оо открывает возможности для обучения их табличному умножению и делению. Кроме того, ученики должны усвоить приемы устного Умножения и деления в случаях, не являющихся табличными. Табличное умножение и деление. Изучение этой темы осуществляет по следующему плану: Из вузовского курса математики известны два подхода к определению произведения натуральных чисел — через декартово произведение множеств и аксиоматическое определение через сложение. В начальной школе ни один из этих подходов невозможно осуществить в полном объеме. Однако возможно использование их некоторых элементов. Так, умножение в начальных классах определяется через сложение деление — через умножение. Главным же средством наглядности при изучении умножения является таблица, иллюстрирующая декартово произведение двух множеств. Масса 1 пакета картофеля —З кг. Хозяйка купила З таких пакета. Сколько килограммов картофеля она купила? Особенность таких задач состоит в том, что учащиеся могут легко обнаружить в условии одинаковые слагаемые. Встречающиеся в них величины должны быть хорошо знакомы учащимся и допускать наглядную иллюстрацию. Уже при изучении таблицы сложения учащиеся встречались с суммами, имеющими более двух слагаемых, два или более одинаковых слагаемых. Поэтому данное задание не должно вызывать у них затруднений. Первый множитель показывает, чему равно каждое слагаемое в сумме, а второй — сколько слагаемых в сумме. Выражение вида 4 3 называется произведением. Таким образом, решение приведенных выше задач можно записать в виде. Целесообразно предложить учащимся самим придумать задачи, решаемые умножением, либо составить задачи по данным выражениям: При работе над задачами выполняются различного рода иллюстрации. Ряды и столбцы таблицы нумеруются. Задача может быть решена умножением, если заполненная часть таблицы имеет вид прямоугольника. После содержательных задач учащимся предлагаются числовые выражения суммы, которые необходимо представить в виде произведения. Так как учащиеся при вычислении произведений пользуются сложением, слагаемые в этих суммах могут быть и двузначными: Выполняются также задания другого рода: Таким образом, роль содержательных задач, наглядных пособий при введении деления еще более значительна, чем при умножении. Сейчас же покажем возможности использования демонстрационной таблицы для раскрытия смысла деления. Сколько автомобилей было выделено для перевозки? Масса 1 пакета картофеля составляет З кг. Хозяйка купила 9 кг картофеля. Сколько пакетов она купила? Решаются эти задачи с использованием наглядных пособий. Так, 12 кружков, которые соответствуют количеству пассажиров из 4, раскладываются группами по 4, а затем подсчитывается количество групп; 10 квадратов задача 5 раскладываются по 5 и подсчитывается, сколько групп квадратов получилось, и т. Этими же геометрическими фигурами заполняется демонстрационная таблица. Например, 12 отобранных для задачи 4 кружков располагаются в строках таблицы: Учитель сообщает, что, решая задачу 4, число 12 разделили на 4 и получили в результате число З. Число 12 называется делимым, 4 — делителем, З - частным. Сравниваются условия задач 1—З и 4—6. Похожи не только они, схожи и иллюстрации, выполненные с помощью демонстрационной таблицы. Анализ этого сходства позволяет учащимся осознать связь между умножением и делением: На практике это может быть достигнуто следующим образом. К празднику Октября родители купили сыну 4 воздушных шарика. Каждый шарик стоит З к. Сколько денег заплатили родители за шарики? Кратко записывается условие задачи:. Выясняется, чем вторая задача отличается от первой. Вторая задача называется обратной первой. Чтобы подготовить учащихся к изучению таблицы умножения и соответствующих случаев деления, необходимо ознакомить их с переместительным законом умножения и особыми случаями умножения и деления. Иллюстрируем на ней произведения З. Здесь же нужно показать, что наученное свойство можно использовать при вычислении значений произведений. Например, до знакомства с этим свойством при вычислении произведения 2. Переместительный закон позволяет упростить вычисления: После изучения переместительного закона становится естественным, что оба выражения — 2. Причем найти значение 5. В ответе же исходя из здравого смысла получают 10 к. Таким образом, наряду с записью 2 к. Особые случаи умножения и деления. Таблица умножения состоит, как известно, из отдельных таблиц умножения числа 2 на однозначные числа, умножения числа З и т. Случаи умножения единицы и десяти в таблицу не включаются, так как соответствующие результаты не высчитываются — они находятся по достаточно простым правилам. Умножение единицы и на единицу, десяти и на десять, нуля и на нуль, а также соответствующие случаи деления рассматриваются особо. В этом же курсе правило умножения нуля и на нуль доказывается исходя из определения нуля и свойств операции умножения. В начальной школе такой подход к разъяснению особых случаев умножения и деления невозможен. Правила умножения единицы и нуля объясняются через сложение: На первых порах с помощью этих прямоугольников подсчитываются значения произведений и частных. Они используются также для иллюстрации переместительного закона умножения, при изучении таблиц умножения трех, четырех и т. Заучить таблицу умножения двух можно в результате многократного вычисления произведений и соответствующих частных. С одной стороны, они вносят разнообразие в работу, предупреждают зазубривание таблицы, с другой — учащиеся видят практическую значимость таблицы, необходимость ее запоминания. Таким образом, таблица умножения девяти содержит только один новый случай—9. Уменьшение количества новых случаев от таблицы к таблице позволяет, с одной стороны, увеличить время на изучение новых таблиц и на закрепление уже изученных. С другой стороны, больше внимание уделяется решению задач, требующих знания таблицы умножения. Внетабличное умножение и деление. Случаи умножения однозначного числа н однозначное являются табличными. Таким образом, к внетабличным случаям относится умножение двузначного числа на однозначное. Прием устного умножения должен основываться на знании учащимися таблицы умножения. Поэтому двузначные множители необходимо привести к такому виду, который допускал бы использование таблицы умножения. При сложении и вычитании круглых десятков использовался прием замены круглых десятков однозначными именованными числами. Таким же образом умножение и деление круглых десятков на однозначное число может быть сведено к умножению однозначного именованного числа на однозначное: Умножение двузначного числа на однозначное выполняется так:. Операцию разложения числа на разрядные слагаемые учащиеся выполняют устно. К этому времени они умеют устно находить произведение однозначных чисел, сумму двузначных чисел. Поэтому для того чтобы сформировать у учащихся умение устно умножить двузначные числа на однозначные, необходимо ознакомить их еще с двумя операциями: Методика изучения последней операции, как было показано выше, весьма проста, поэтому остановимся подробно на методике обучения умножению суммы на число. Умножение суммы на число. Методика изучения этой темы как и изучение всех математических понятий в начальной школе основывается на использовании системы целесообразных задач, наглядных интерпретациях их содержания. Чтобы выяснить их особенности, воспользуемся определением умножения через сумму для случая, когда один из множителей представлен суммой:. Правую часть этого равенства графически можно представить в виде с рядов объектов одного рода, причем в каждом ряду содержится а объектов одного вида и Ь объектов другого. В качестве таких объектов можно взять кружки двух видов светлые и темные рис. В соответствии с таким рисунком легко составить содержательные задачи, являющиеся средством формирования правила умножения суммы на число. В каждом звене 5 девочек и 4 мальчика. Сколько всего пионеров в отряде? Сколько всего деревьев должны были посадить 5 отрядов? Соответствие двух разных выражений одной и той же конкретной ситуации делает факт равенства этих выражений очевидным. В заключение прием умножения суммы на число отрабатывается на числовых выражениях. Упражнения подбираются так, чтобы ученики могли выбрать наиболее удобный способ вычислений. Правило умножения числа на сумму особо можно не рассматривать. Если же учитель найдет нужным подробно остановиться на содержании этого правила, то методика его изучения аналогична методике, рассмотренной выше. Алгоритм умножения двузначного числа на однозначное можно представить в виде последовательности операций: На первых порах от учащихся можно требовать комментирования отдельных шагов алгоритма. При изучении деления в пределах ученики должны овладеть приемами деления двузначных чисел на однозначные в случаях, не являющихся табличными: И двузначных и двузначные. Частные, в которых делитель однозначное число, с методической точки зрения не оноронь1. Например, при делении 42 на 2 может быть использован прием, похожий на прием устного умножения: Однако для случаев Таким образом, нужен такой прием устного деления, который был бы пригоден для всех случаев, когда делимое двузначное, а делитель — однозначное число. Очевидно, что в основе такого приема должно лежать разложение делимого на слагаемые, каждое из которых делится на делитель. В связи с этим учащихся необходимо предварительно ознакомить с правилом деления суммы на число: Деление суммы на число. Вначале изучения данной темы учащимся предлагается система целесообразных содержательных задач, например таких: Эти сливы разделили поровну между двумя мальчиками. Сколько слив получил каждый мальчик? За тетради в линейку он уплатил 12 к. Сколько тетрадей всего купил ученик? В один ларек привезли 12 кг черешни, а в другой — 24 кг. Сколько ящиков с черешней привезли в оба ларька? Под руководством учителя иллюстрируются два способа решения каждой задачи: Так как каждое из двух выражений соответствует одной и той же реальной ситуации, то равенство их значений не вызывает сомнений. Обобщение двух способов решения разных по содержанию задач подводит к формулировке правила: При этом школьники могут проговаривать правило, однако требовать его запоминания, очевидно, не стоит. Вначале предлагается самый простой вид внетабличных частных: Школьники могут самостоятельно прийти к выводу, что деление в данных случаях можно выполнить с помощью приема, очень похожего на прием устного умножения: Затем ученикам предлагаются частные, для которых этот прием неприменим: Одновременно учитель приводит доказательство того, что в каждом из этих случаев значение частного существует: На конкретных примерах демонстрируется трудоемкость этого приема. Возможно, что делимое было представлено не лучшим образом. Было бы легче, если бы оно было заменено суммой, в которой первое слагаемое являлось круглыми десятками, делящимися на делитель, например 60 или Затем рассматривается частное, в котором делимое представлено суммой, одно из слагаемых которой круглые десятки, делящиеся на делитель. Причем замена делимого суммой выполняется различными способами: Очевидно, что самый простой случай — третий. Его особенность состоит в том, что одно из слагаемых не просто круглые десятки, делящиеся на делитель, а наибольшее количество десятков, делящихся на делитель. На конкретных примерах доказывается действенность разработанного приема в числе примеров встречаются и частные вида При делении учащиеся могут проговаривать отдельные операции алгоритма: Деление двузначного числа на двузначное. В начальных классах значение частного двузначных чисел определяется При этом используются знания учащихся о связи между умножением и делением: Отметим, что вопрос о том, сколько цифр должно иметь частное, с учащимися не обсуждается. Приступая к изучению приема деления двузначного числа на двузначное, учитель предлагает учащимся достаточно простые частные, значения которых учащиеся в состоянии угадать, например Затем учащимся предлагается доказать, что угаданное значение Здесь возможен, например, такой диалог учителя с учеником, Уч и т ел ь: Угадай, чему равно частное 20 и 10? Мне, кажется, частное равно 2. Как убедиться в правильности твоей догадки? Нужно выполнить проверку с помощью умножения. Частное умножается на делитель. Если получится делимое, частное угадано правильно; 2 умножить на 10— получим Аналогично выполняются и другие упражнения типа В случаях, когда угадать значение частного трудно, ученикам предлагается находить его подбором, перебирая однозначные числа по порядку, начиная, например, с двух. Когда у учащихся будет накоплен опыт, методика подбора может быть усовершенствована. Подбор например, можно начинать с числа 5, а затем, в зависимости от результата умножения 5 на делитель, следующее пробное число выбирать большим или меньшим 5. Например, при делении 98 на 14 предполагают, что частное равно. Можно подсказать учащимся, что при подборе значения частного следует обращать внимание на последние цифры делимого и делите- - ля. Так как делимое оканчивается цифрой 8, а делитель — цифрой 4, то достаточно вспомнить, какое число нужно умножить на 4, чтобы произведение оканчивалось цифрой 8. Таких чисел два — 2 и 7. Число 2 не подходит, так как слишком мало. Значит, частное равно 7. Наиболее полно результаты изучения темы деления двузначного числа на двузначное могут быть использованы при обучении учащихся письменному делению. А оно изучается в концентре Многозначные числа. Эта тема используется при изучении алгоритма письменного деления. Изучая деление, необходимо рассмотреть с учащимися и случаи, когда одно число не делится на другое нацело. Тему Деление с остатком целесообразно изучать в два приема. В теме внетабличные случаи деления можно показать учащимся, что значит разделить с остатком, некоторые свойства такого деления. Компоненты при этом подбираются таким образом, чтобы для деления было достаточно знания табличных случаев например, Обратиться к теме деления с остатком в самом начале изучения операции деления важно еще и потому, что деление с остатком встречается в реальной жизни значительно чаще, чем удобное табличное деление. Вначале рассматриваются задачи такого содержания: У мальчика 20 к. Сколько тетрадей по цене З к. Их разделили поровну между б детьми. Сколько конфет получил каждый из них? Сколько парт должно быть в этом классе? При решении задач используются наглядные средства. Например, первая из задач может быть проиллюстрирована с помощью кружков однокопеечных монет рис. I1ллюстраиия не только позво. Практическое решение задачи математизируется: В результате решения еще нескольких подобных задач учащиеся могут прийти к выводу, что для получения ответа совсем не обязательно представлять содержание задачи в наглядной форме. Таким образом, учащиеся приходят к выводу: Не обязательно заучивать это правило наизусть. Важно, чтобы ученики умели применять его на практике. В качестве тренировочных упражнений полезно рассмотреть такую систему частных, которая позволяет учащимся увидеть закономерность,, связывающую делитель и остаток:. Итак рассмотренная задача решается выражением Табличное ли это деление? А сколько единиц можно было бы взять из 25 для деления на 4, чтобы не делить на единицы по частям? Если бы пришлось делить 37 на 4, то сколько единиц из этого числа нужно было бы сразу взять, чтобы получить самый маленький остаток? Из всех чисел, которые делятся на 4, нужно было бы взять самое большое число, но чтобы оно было меньше Анализ результатов деления позволяет сделать вывод, что остаток при делении не может быть больше делителя при условии, что максимальное число единиц делимого разделено на делитель. Чтобы помочь ему заметить ошибку, нужно обратить его внимание на то, все ли единицы делимостью разделены? Это объясняется тем, что при изучении трехзначных чисел учащиеся усваивают качественно новые сведения из области нумерации чисел и очень важные алгоритмы выполнения арифметических операций. Изучая нумерацию трехзначных чисел, ученики знакомятся с новым разрядом — сотен. Тем самым завершается формирование класса единиц. Это позволяет в дальнейшем делать более крупные шаги в изучении нумерации: Они усваивают приемы письменного сложения и вычитания, которые впоследствии используются и на множестве многозначных чисел. Нумерация и сравнение чисел. При изучении нумерации чисел в пределах десяти естественными наглядными пособиями были множества реальных предметов, более абстрактные множества палочек, геометрических фигур. Изучение нумерации в пределах ста потребовало более сложных пособий, например, таких, как абак. Однако для того чтобы изобразить, например, число , потребовался бы абак с 50 карманами. Поэтому при изучении нумерации сложения и вычитания в пределах тысячи используется позиционный абак. Особенность его состоит в том, что наглядный материал, изображающий единицы, десятки и сотни, имеет один и тот же вид это или косточки счетов, или квадраты, или палочки. Зато карманы абака — их всего три — выполняют разные функции. Палочка, находящаяся в крайнем левом кармане рис. Если палочку положить в средний карман, она будет означать десяток, а если в крайний правый,—. Заметим, что принцип изображения чисел на непозиционном абаке был другим: Роль единиц играют квадраты, десятков полоски, состоящие из 10 квадратов. Эти материалы могут быть изготовлены из плотной бумаги или картона. Нумерация чисел от 10 до изучалась в три приема: Названия трехзначных чисел образуются либо из названия круглы сотен, либо из названия круглых сотен и двузначных или однозначны чисел в сочетании. Поэтому знакомство учащихся с нумерации трехзначных чисел осуществляется в два приема. Сначала школьники учатся называть и записывать трехзначные числа, оканчивающиеся нулями, а потом остальные трехзначные чи сл а. Вначале учащиеся подсчитывают количество квадратов, укладываемы по одному в наборное полотно: По мере заполнения полотна учащиеся считают: Рассматривается модель новой счетной единицы — больший квадрат пластинка , состоящий из 10 полосок. Так как каждая полоска содержит 10 квадратов-единиц, то констатируется, что пластинка содержит таких квадратов. Поэтому, когда в наборное полотно пластинки укладываются по одной, школьники считают: Учитель говорит, что- число квадратов в каждом из этих случаев можно назвать: Обращается внимание учащихся на особенности и сходство в названиях сотен: Одновременно с названием круглых сотен выполняются операции сложения и вычитания: С помощью наглядных пособий учащиеся учатся отвечать на вопросы: Устная нумерация трехзначных чисел. Параллельно с заучиванием учащимися названий круглых сотен начинается работ над устной нумерацией остальных трехзначных чисел. Это связан с тем, что при счете сотнями у учащихся может сложиться впечатление, что за числом сто, например, непосредственно следует двести, за двести - триста и т. Затем предлагаются более сложные упражнения: По возможности эти упражнения выполняются без использования наглядных пособий. Одновременно учащимся предлагаются упражнения другого рода. Они отвечают на вопросы: Назови по порядку числа от девяносто семи до ста четырех, от ста девяносто девяти до двухсот трех и т. Назови число, следующее за числом триста девяносто девять; число, меньшее на единицу, чем пятьсот; большее на два, чем восемьсот девяносто девять, и т. Назови числа, которые находятся между числом триста двадцать шесть и триста тридцать один, и т. Письменная нумерация трехзначных чисел. Работа над устной нумерацией проводится с опорой на арифметический ящик его модификации. При изучении письменной нумерации используется позиционный абак. Прежде чем приступить к изучению записи трехзначных чисел, учащиеся учатся изображать на абаке число элементов некоторого множества, и наоборот, определять число элементов множеств по изображению на абаке. В качестве множеств могут использоваться множества квадратов, представленных отдельными квадратами, полосками и пластинками. Обучение работе с абаком сводится к формированию у учащихся достаточно простого алгоритма. В абаке есть спицы. Крайняя справа предназначена для изображения количества единиц, т. На нее нанизывается столько косточек, сколько отдельных квадратов изображено. На вторую спицу нанизываются косточки, которые показывают, сколько полосок десятков , содержит данное число. Затем, в соответствии с числом единиц квадратов , десятков полосок , сотен пластинок , заполняются спицы абака рис. Полезны упражнения и другого вида: Операции рассмотренного алгоритма выполняются в обратном порядке: Рядом с соответствующими спицами абака записываются цифры. Учащимся предлагается записывать в тетради цифры, соответствующие показаниям абака, в таком же порядке слева направо ,. Поясним последнее на примере. На доске записывается число Требуется объяснить, что означает эта запись. С помощью абака рассматривается запись трехзначных чисел особого вида: Например, ставится задача изобразить на абаке и записать число двести. В этом числе 2 сотни, значит, на спице сотен абака откладываются две косточки. Нужно ли откладывать косточки на спице десятков? Очевидно, что нет, так как свободных десятков в числе двести нет. Все они заключены в двух сотнях — двадцать полосок объединены в две пластинки. Такое объяснение позволяет избежать неверной формулировки: Аналогично объясняется отсутствие единиц в разряде единиц числа. В дальнейшем, когда учащиеся смогут записывать и читать трехзначные числа без опоры на абак, они учатся представлять такие числа в виде суммы разрядных слагаемых. Рассматриваются и более сложные случаи: Одновременно изучаются и случаи вычитания, основанные на знании разрядного состава трехзначного числа: При выполнении упражнений такого рода учащиеся, с одной стороны, закрепляют знание разрядного состава и поместного значения цифр в трехзначном числе, с другой,— готовятся к изучению операций сложения и вычитания на множестве трехзначных чисел. Важную роль в изучении нумерации трехзначных чисел играют составные именованные числа, выраженные в мерах длины, стоимости. Использование таких чисел возможно на любом этапе знакомства учащихся с позиционным принципом нумерации. В частности, использование мер длины может помочь учащимся представлять некоторые трехзначные числа в виде двузначных именованных чисел. Такой прием в дальнейшем используется для вычисления значения сумм и разностей определенного вида. Например, чтобы показать, что число содержит 49 десятков и может быть представлено в виде 49 десятков, рассматривается следующая система упражнений: Сравнение чисел в пределах 1 осуществляется аналогично сравнению чисел в пределах Прежде всего необходимо установить, что всякое трехзначное число, даже самое маленькое, больше любого, даже самого большого, двузначного числа Этим самым сравнение чисел в пределах сводится к сравнению трехзначных чисел. Если же цифры сотен двух сравниваемых чисел равны, то сравниваются цифры десятков, и то число больше, у которого цифра десятков больше , з и т. Если же и цифры десятков равны, то сравниваются цифры единиц, и то число больше, у которого цифра единиц больше , и т. Описанный алгоритм можно представить для учителя, конечно в виде схемы рис. Пусть необходимо сравнить два трехзначных числа: Однако эта схема алгоритма построена нерационально, хотя по дидактическим соображениям более понятна. Циклический характер процесса сравнения отражается в более простой схеме рис. Этот алгоритм легко обобщается для сравнения двух многозначных чисел: Сложение и вычитание устные вычисления. Вместе с тем раскрываются широкие возможности для упражнения школьников в устном счете в новых условиях — на множестве трехзначных чисел. Учитель должен Использовать эти возможности. Во-вторых, такой счет полезен при усвоении нумерации Трехзна4ных чисел, принципа позиционного счисления. В-третьих, у учеников вырабатывается привычка обращаться к письменным вычислениям лишь тогда, когда ВЫПОЛНИТЬ вычисления устно трудно. К первой группе относятся суммы и разности, значения которых определяются в буквальном смысле слова без вычислений. Для этого используется знание разрядного состава чисел, позиционного принципа записи чисел. Эти суммы и разности имеют вид: Значения подобных выражений вычисляются еще в период учащимися нумерации трехзначных чисел. Затруднения в такого рода вычислениях свидетельствуют о том, что ученик плохо усвоил нумерацию. В этих случаях необходимо обратиться к помощи абака. Вторая группа включает следующие выражения: Их значения определяются на основе знания учащимися табличных случаев сложения и вычитания или приемов устного сложей1ВБТЯiВТЯ в пределах ста. Однако эти знания нельзя применить к данным выражениям непосредственно. Выражения приводятся к удобному виду с помощью уже известного приема замены двузначного числа однозначным именованным числом. Умножение и деление устные вычисления. Прием сведения новых случаев сложения и вычитания к ранее изученным может быть использован и для некоторых случаев умножения и деления в пределах тысячи. Так, произведения и частные вида Для их вычисления достаточно знать таблицу умножения и соответствующие случаи деления. Произведения и частные вида Для их вычисления используются приемы устного умножения и деления. Письменные приемы сложения и вычитания. Алгоритмы сложения и вычитания в столбик, усвоенные учащимися в начальных классах, используются на протяжении всех лет обучения математике в средней школе. Качество усвоения этих алгоритмов в значительной степени зависит от того, насколько ясно они представлены ученикам. Важную роль при этом играют средства наглядности и главным образом позиционный абак. К уже имеющимся на абаке КОСТОЧКАМ показывающим Первое слагаемое , Последовательно присоединяют. З КОСТОЧКИ на СПИЦУ СОТЕН, ИЛИ 4 КОСТОЧКИ на спицу Десятков, или одну на спицу единиц. Затем ЭТИ случаи обобщаются - к числу. Очевидно, Правило прибавления суммы к сумме МОЖНО было бы ввести через задачи. С помощью Системы Целесообразных задач. Однако все ЭТО Оказывается ИЗЛИШНИМ, если Использовать абак. С его помощью прием Письменного сложения МОЖНО представить очень наглядно. Аналогичная Запись появляется на тетрадях учащихся. Запись в тетрадях учитель сопровождает объяснением, как следуетподпц Сложение в столбик гораздо удобнее и нагляднее, чем сложение в строчку. Навыки записи Слагаемых и значения Суммы в столбик закрепляются при вычислении сумм аналогичного вида сумма единиц одноименного разряда слагаемых меньше Следующим ПО СЛОЖНОСТИ ВИДОМ сумм является сумма, в Которой При сложении единиц какого-либо разряда - Образуется единица старшего Разряда: Учащимся следует напомнить, ЧТО при сложении однозначных Чисел, Например 5 и 8, получается Двузначное число, т. Ученики знают также, как найти сумму, например, чисел 25 и 8. При сложении 5 и 8 также получается новый десяток, который приплюсовывается к уже имеющимся двум десяткам. Все ЭТО позволяет упростить объяснение приема вычисления сумм нового вида. И все же на первых порах не стоит запрещать учащимся записывать промежуточные результаты сложения. Необходимо также побуждать учащихся использовать индивидуальные абаки. На демонстрационном абаке рис. Но десяток изображается на абаке одной косточкой на спице десятков. Значит, к тем косточкам, которые, находятся на спице десятков—их 8, нанизываем еще одну косточку, а со спицы единиц все косточки снимаем. Для нескольких примеров такого рода учащиеся могут делать подробную запись, фиксируя промежуточную сумму рис. Выполняемые операции комментируются ими, например, следующим образом: В разряде единиц записываю ноль, а один десяток запоминаю. К 5 прибавить 3, получится 8, и еще один десяток — получится 9. В разряде десятков записываю. В дальнейшем они проговаривают промежуточные операции более кратко: К 5 прибавить 3—8, и еще один — 9. К З прибавить 2—5. При вычислении сумм, в которых при сложении десятков образуется сотня, полезно обратиться к абаку. Так же как и в предыдущем случае, несколько примеров можно выполнить с записью промежуточной суммы рис. Наконец, рассматривается самый сложный случай сложения трехзначных чисел, когда при сложении разрядных единиц образуется и десяток и сотня: Сначала сложение выполняется на абаке рис. Последовательно объясняется замена 10 единиц десятком рис. В записи действия в столбик каждая из ситуаций, представленных на абаке рис. Эти записи подробно комментируются. После детального рассмотрения еще одного-двух примеров промежуточные суммы не записываются, а запоминаются. При необходимости учащиеся дают краткие пояснения. Один пишу, один запоминаю. К З прибавить 2—5 и еще 1—6. Не исключено, что в некоторых из этих случаев ученикам снова придется обратиться к абаку. В заключение учитель на конкретном примере объясняет, почему сложение в столбик начинается с единиц младшего разряда. Если начать складывать числа и с разряда сотен, то в сумму придется дважды вносить поправки: При изучении приема письменного вычитания, так же как и при сложении, последовательно рассматриваются разные по сложности случаи. Самый простой случай, например —, —, учащиеся в основном могут объяснить самостоятельно. Операции, выполняемые на абаке, естественны, и смысл их очевиден. По аналогии со сложением в столбик видно, что записывать операцию вычитания экономнее столбиком. Учащиеся, вероятно, способны объяснить, как записывается вычитаемое под уменьшаемым. Вычитание, подобно сложению, начинается с разряда единиц. Рассматриваются более сложные случаи вычитания, когда в одном из разрядов уменьшаемого меньше единиц, чем в соответствующем разряде вычитаемого: Объяснить особенность вычислений в этих случаях можно проще, если связать их с уже изученным приемом сложения в столбик с образованием дополнительных разрядных единиц. К б прибавить 7—получим На спице единиц оставляем З косточки, а снятые 10 косточек заменяем 1 косточкой, которую нанизываем на спицу десятка, и т. Затем на абаке выполняется обратное действие: Из З вычесть 7 нельзя. Выход — в использовании правила замены 10 единиц десятком в обратном порядке. Теперь десяток заменяется 10 единицами. На спице единиц становится 13 косточек, зато на спице десятков — на 1 косточку меньше рис. Вначале промежуточное преобразование уменьшаемого можно записать. В дальнейшем оно выполняется в уме. Чтобы не забыть, что в старшем разряде была занята единица, над этим разрядом ставят точку. Затем изучается случай, когда в уменьшаемом занимается единица из разряда сотен. Решая первые примеры, учащиеся подробно комментируют выполняемые операции: От б отнять 4, получится 2, 2 записываю в разряд единиц. От З отнять 5 нельзя. Занимаю от 8 одну сотню. Ставлю над 8 точку это значит, что осталось 7 сотен. Сотню дроблю на 10 десятков. От 13 десятков отнять 5, получится 8. Записываю 8 в разряд десятков. От 7 сотен отнять 3, получится 4 сотни. Записываю 4 в разряд сотен. В дальнейшем ученики лишь изредка, в случае затруднений, комментируют применение алгоритма, да и то в краткой форме:. От б отнять 4, получу 2. От З отнять 5 нельзя, занимаю сотню. От 13 отнять 5—8. Подробно рассматривается случай, когда в двух разрядах уменьшаемого меньше единиц, чем в соответствующих разрядах вычитаемого: Операции алгоритма иллюстрируются на демонстрационном абаке, на доске выполняются соответствующие математические записи рис. Используя опыт, приобретенный при изучении предыдущих случаев вычитания в столбик, учащиеся могут самостоятельно пояснить сущность и последовательность операций алгоритма. Содержание этих пояснений может, например, быть таким:. От 4 отнять 7 нельзя. Займем один десяток и раздробим его на 10 единиц. Всего стало 14 единиц. От 14 отнять 7, получится 7. От 5 отнять б нельзя. Займем одну сотню и раздробим ее на 10 десятков. Всего стало 15 десятков. От 15 отнять б, получим 9. От 4 сотен отнять 2 сотни, получим 2 сотни. Если возникают затруднения, от учащихся можно потребовать прокомментировать выполняемые вычисления с помощью абака. Учителю необходимо подробно остановиться еще на одном случае вычитания, когда недостающие в уменьшаемом единицы нельзя. После выяснения особенностей этого приема следует особо оговорить оформление записи в столбик, когда промежуточные действия выполняются в уме. По мере усвоения школьниками новых случаев упражнения на письменное сложение и вычитание разнообразятся. Так, ученикам предлагается выполнять проверку вычисленного результата с по- мощью обратного действия. Вычисляются значения выражений, содержащих несколько действий сложения и вычитания. Операции над именованными числами выполняются после перевода обоих компонентов в более мелкие единицы. Однако нужно практиковать сложение и вычитание в столбик и без перевода. Так, в данном случае единицы разряда единиц — это сантиметры, единицы разряда десятков дециметры, единицы разряда сотен метры:. Учащиеся незаметно для себя получили число больше тысячи. Это, конечно, полезно, если иметь в виду изучение в дальнейшем операций над многозначными числами. Одновременно с совершенствованием навыков письменного сложения и вычитания ученики должны закреплять вычислительные навыки, приобретенные при изучении предыдущих концентров. Это относится к приемам устного сложения и вычитания. Выше было показано, как организовать такую работу при изучении трехзначных чисел. Учащихся полезно побуждать к использованию правил прибавления числа к сумме и суммы к числу, вычитания числа из суммы и суммы из числа, облегчающих вычисления. Такие упражнения могут выполняться устно. Сейчас же им предстоит усвоить понятие классов чисел. Это понятие позволяет перейти к нумерации сколь угодно больших натуральных чисел. Здесь же ученики овладевают алгоритмами письменного умножения и деления самыми сложными в конце математики начальной. При изучении нумерации многозначных чисел удобно использовать нумерационную таблицу, которая заполняется карточками с цифрами табл. Отметим, что в соответствии с программой г. Нужно показать учащимся, что без использования таких больших чисел, как миллион, сотни тысяч, невозможно выразить количество той или иной прОдуКi-1ии, выпускаемой нашими заводами, производимой в колхозах и совхоза х. Переходя к изучению нумерации, необходимо вспомнить некоторые свойства позиционной системы счисления:. Что означает цифра 3 5, 7 в числах ; ; ? Сколько единиц каждого разряда в числах ; , и т. Какое число содержит б сотен; 8 десятков; 54 десятка; 2 сотни, б десятков и 4 единицы; 2 сотни и 8 единиц и т. Как по-другому можно выразить его длину? Как можно выразить длину отрезка в см; 29 дм; см; дм и т. К 9 единицам прибавили единицу; к 8 десяткам прибавили 2 десятка; к 4 сотням прибавили б сотен и Т 1 Как наТяют При изучении нумерации многозначных чисел можно выделить два Сначала учащиеся учатся называть и записывать многотичные числа, не имеющие единиц в разрядах класса единиц, т. Вспомним, как начиналось знакомство учащихся с нумерацией чисел в пределах , Первые числа класса тысяч образуются в результате счета тысячами: Одновременно заполняется косточками спица тысяч абака. При получении 10 тысяч, согласно правилу работы с абаком, десять косточек на спице. Далее счет продолжается уже десятками тысяч: На соответствующую спицу абака последовательно нанизываются косточки. Когда их оказывается десять, они заменяются одной косточкой, которая нанизывается на спицу более старшего разряда —- сотен тысяч. Затем учащиеся считают сотнями тысяч. Одновременно заполняется соответствующая спица абака. Как только на ней появляется 10 косточек, все они заменяются одной косточкой на следующей спице. Число, которое эта косточка обозначает, называется миллионом. Таким образом, ученики знакомятся с названиями новых разрядов единиц тысяч, десятков и сотен тысяч и учатся заполнять соответствующие спицы абака. Далее учащиеся учатся называть числа вида 11 тысяч, 24 тысячи, тысяч и т. Для этого используются следующие упражнения. На спицы единиц, десятков и. Спрашивается, какое число изображено на абаке. Учитель объявляет, что такое число называется семьсот тридцать пять тысяч. Одновременно учащиеся работают над упражнениями другого рода: В процессе такой работы школьники должны увидеть сходство в образовании названий чисел первого и второго класса: Вместе с тем важно показать различие между одноименными разрядами классов единиц и тысяч. Для этого на абаке откладываются, например, числа: Обсуждается сходство и различие в изображении этих чисел. Сходство состоит в том, что на спицах соответствующих разрядов класса единиц и тысяч отложены одинаковые количества косточек. Однако 8 косточек для числа означает количество единиц в разряде единиц, а для числа тысяч количество тысяч в разряде единиц тысяч. Далее учащиеся записывают многозначные числа, оканчивающиеся тремя нулями. В изображении числа 5 тысяч на абаке в младших разрядах отсутствуют косточки. Это означает, что в этих разрядах О единиц. Обозначение этого числа цифрами выполняется в нумерационной таблице. После заполнения абака и таблицы учащиеся записывают данное число в тетрадях. Для удобства записи многозначного числа между группами цифр разных классов оставляется промежуток например, клетка тетради. Аналогично приходят к записи чисел вида тысяч, тысяч, тысяч, тысяч и т. Основным средством наглядности при этом является нумерационная таблица. Эти приемы основаны на знании учащимися разрядного состава многозначных чисел и применимы лишь в случаях следующего вида: Вычисления при необходимости легко иллюстрируются с помощью абака и нумерационной таблицы. Устное вычисление значений таких выражений способствует усвоению нумерации и подготавливает учащихся к выполнению письменного сложения и вычитания многозначных чисел. Умножение и деление вида Вместе с тем эпизодическое решение таких примеров облегчает усвоение нумерации, изучение последующих тем, связанных с умножением многозначных чисел. С нумерацией остальных многозначных чисел учащихся можно ознакомить в процессе прибавления к многозначным числам, оканчивающимся тремя нулями, чисёл первого класса. На абаке откладывается многозначное число уже известного учащимся вида, например На спицы разрядов первого класса нанизываются косточки, соответствующие числу, например см. Учитель спра4iiивае, как записать число, получившееся в результате сложения и Подобны числа демонстрируются на нумерационной таблице. Учащиеся учатся называть подобные числа: Таким образом, число читается так: Предлагаются и обратные упражнения: В связи с введением понятия класса в систему упражнений по отработке навыков устной и письменной нумерации целесообразно включать упражнения, требующие использования этого понятия. Это могут быть, например, такие Задания: Наряду с такими упражнениями предлагаются и обратные: Изучая нумерацию, учащиеся продолжают упражняться в устных вычислениях сложении и вычитании на множестве многозначных чисел: Для расширенного множества чисел устанавливается справедливость отношения порядка. Учащиеся считают в прямом и обратном порядке, начиная с определенного числа; определяют числа, следующие непосредственно до и после данного числа. Например, им предлагается продолжить счет с до , с 7 до 7 ; присчитывать по единице к числам 99 , ; отсчитывать по одному от чисел , , , ; назвать число, которое на 2 меньше, чем 40 , и т. Школьники должны научиться сравнивать многозначные числа. С помощью позиционной таблицы легко показать, что начинать сравнивать два многозначных числа нужно с единиц второго класса. То число больше, у которого больше единиц второго класса. Если их число одинаково, то сравнивается число единиц первого класса. Увеличение и уменьшение числавi0, IОО и IООО раз. Расширяя знания учащихся о десятичной системе счисления, можно ознакомить их с простым способом увеличения или уменьшения числа в 10, и 1 раз, кратного сравнения чисел особого вида. Это необходимо для прочного усвоения ими позиционного принципа нумерации. Изложим методику изучения этого материала. Учащимся предлагают рассмотреть ряд чисел и рассказать об их особенностях. Пусть этот ряд имеет вид: В числе обнаруженных особенностей могут быть такие: ЗОн 10 раз больше, чем З, так как Вывод о том, что 3 в 1 раз больше, чем 3, делается по индукции. Этот вывод распространяется и на другие пары чисел. На основании этого вывода делается заключение, что если у числа на один. Выполняются упражнения на закрепление: Эти правила без каких-либо пояснений можно использовать для. С целью подготовки учащихся к изучению алгоритмов письменного умножения и деления полезно научить их определять, сколько полных десятков, сотен,. Ученики обладают некоторым опытом выполнения заданий такого рода: Это и используется в работе с многозначными числами. Школьникам предлагается определить, сколько десятков в числе 3 Это число представляетсй в виде суммы разрядных слагаемых. Например, учащиеся рассуждают так; в —10 сотен или десятков, значит, в З00 десятков. В числе 3 — десятков. Аналогично устанавливается, что в этом числе 35 сотен. Если рассмотреть столь же. Большую помощь при изучении и усвоении нумерации многозначных чисел оказывают упражнения с составными именованными числами, выраженными в десятичных мерах. Эти числа дают возможность наглядно представить понятия разряда тысяч, десятков и сотен тысяч. Такие упражнения должны использоваться на всех этапах изучения нумерации. Например, когда учащиеся учатся определять состав многозначного числа, целесообразно выполнить такие упражнения: Сколько километров составляют 3 м? Сколько килограммов в 12 г? Сколько рублей составляют 67 к? Основные положения методики обучения нумерации в пределах миллиона могут быть использованы и для знакомства учащихся с числами класса миллионов. Сложение и вычитание письменные вычисления. При изучении многозначных чисел учащиеся устно складывают и вычитают числа особого вида, используя знание разрядного состава чисел, т. Перед тем как обратиться к приемам письменного сложения и вычитания, ученикам целесообразно поупражняться в решении таких примеров. Алгоритмы письменного сложения и вычитания одинаковы и когда компоненты являются трехзначными числами, и когда они — многозначные числа. Правда, если уменьшаемое и вычитаемое — трехзначные числа, то приходится образовывать или дробить разрядные единицы не более двух раз. Если же компоненты — многозначные числа, то эти операции могут использоваться большее число раз. Поэтому задача учителя состоит в том, чтобы показать учащимся, что известные алгоритмы письменного сложения и вычитания применимы к числам нового вида. Это можно сделать по-разному. Объяснить учащимся, как вычисляются эти примеры, легко, поскольку в каждом случае компоненты можно представить как трехзначные именованные числа, например тыс. Затем ученики складывают и вычитают числа, которые не оканчиваются нулями, но без перехода через десяток и без дробления разрядных единиц. Перед тем как приступить к изучению более сложных случаев с образованием новых разрядных единиц и дроблением разрядных единиц на более мелкие , полезно упражнение учащихся в многократном выполнении этих операций. Например, рассматривается случай прибавления единицы к числу 99 Учащиеся знают, что за этим числом следует число Однако на абаке или нумерационной таблице подробно рассматривается механизм образования суммы: Так же подробно можно проследить процесс вычитания единицы из числа При этом в записи используются обычные обозначения заема и распределения разрядных единиц точки и девятки:. При вычислении суммы или разности более высокого уровня сложности от учащихся следует требовать подробных пояснений к выполняемым промежуточным операциям. Например, вычисление разности одного из самых сложных видов — — учащихся сопровождают следующими объяснениями: Занять единицы можно только в разряде сотен тысяч. Возьмем одну сотню тысяч поставим над б точку и раздробим ее на 10 десятков тысяч. Возьмем десяток тысяч над разрядом единиц тысяч запишем 9 и раздробим ее на 10 сотен Соответствующая запись имеет вид:. Приемы письменного выполнения действий с многозначными числами в основном не отличаются от приемов выполнения этих действий над трехзначными числами. Однако учитель должен иметь в виду, что обилие промежуточных операций может на первых порах вызвать у учеников затруднения. Поэтому при необходимости эти приемы следует проиллюстрировать на абаке. Сложение и вычитание именованных чисел. Отметим только, что в дальнейшем особую роль могут играть упражнения с составными именованными числами, выраженными в единицах времени. Они позволят проверить уровень понимания учащимися сути приемов письменного сложения и вычитания. В самом деле, эти приемы будут использоваться в принципиально новых условиях компоненты выражены в недесятичной системе счисления:. На практике письменное умножение и деление изучаются во взаимосвязи. В самом деле, изучение алгоритма письменного умножения на однозначное число открывает возможности для изучения приема письменного деления на однозначный делитель. То же можно сказать и об умножении и делении на двузначные и трехзначные числа. Здесь для удобства методика письменного умножения будет рассматриваться отдельно. Прежде чем обратиться непосредственно к методике обучения учащихся умножению в столбик, выполним дидактический анализ соответствующего алгоритма. Начнем с конечного результата изучения умножения: На конкретном примере вспомним, в чем состоит это умение. Вначале оба множителя правильно записываются друг под другом. Затем число, стоящее в разряде единиц второго множителя, умножается на многозначный множитель,. Полученный результат правильно записывается под чертой, отделяющей множители от произведения. На многозначный множитель умножаются единицы разряда десятков второго множителя. Результат правильно записывается под первым неполным произведением. Наконец, на многозначное число умножаются единицы разряда сотен второго множителя, а результат правильно записывается под вторым неполным произведением. Полученные неполные произведения складываются. Сумма и есть значение произведения 4 и Пока оставим вопрос о том, что значит правильно выполнять записи при умножении в столбик. Очевидно, что расположение записей сказывается на правильности получаемого результата. Выделим только те операции алгоритма, которые связаны с выполнением арифметических действий:. Остановимся подробнее на их содерж а нии. Умножение многозначного числа на однозначное имеет много общего с приемом умножения двузначного числа на однозначное:. Вместе с тем между этими приемами есть и различие. Так, при умножении многозначных чисел сумма разрядных слагаемых может иметь 3, 4, 5 и даже б слагаемых; на однозначное число умножаются круглые сотни, тысячи, десятки и сотни тысяч; полученные многозначные неполные произведения нелегко сложить в уме. Итак, для усвоения операции 1 учащиеся должны научиться умножать на число сумму, состоящую из 3,4, 5 и б слагаемых, и умножать на однозначное число многозначные разрядные числа. Чтобы научить учащихся выполнять операцию 2, нужно либо придумать наглядную иллюстрацию умножения числа на круглые десятки, либо свести этот случай к ранее изученным с помощью специального приема. В самом деле, при изучении нумерации многозначных чисел было показано, как увеличить уменьшить число в 10, и 1 раз. Круглые десятки сотни можно представить в виде произведения однозначного числа на Таким образом, выражение Для того чтобы учащиеся могли выполнить такое ум ножение, им нужно показать, что умножить число на произведение можно разными способами в частности, 3. Для умножения на З используется операция 1. Аналогично можно обучить учащихся выполнению операции 3. Итак, разработана стратегия обучения учащихся алгоритму умножения в столбик. Она состоит в последовательном изучении следующих тем. Обобщение правила умножения суммы на число для случаев, когда сумма имеет более двух слагаемых. Правило умножения суммы на число. Учащимся предлагается следующая задача: В каждый набор входила линейка ценой 25 к. Сколько стоили купленные наборы? По задаче составляется выражение: Обсуждаются способы вычисления этого произведения: Ответ можно найти и по-другому:. Значит, нужно найти значение выражения: При решении такой задачи у учащихся не должно возникнуть вопроса о правомерности умножения суммы четырех слагаемых на число почленно. Рассматриваемая в задаче ситуация проста и естественна. При необходимости можно рассмотреть аналогичную задачу, в которой на число умножается сумма, состоящая из З или 5 слагаемых. В заключение можно сформулировать правило умножения числа на сумму, однако требовать от учеников его запоминания не следует. Прием умножения суммы на число закрепляется при выполнении следующих упражнений: Умножение разрядных чисел на однозначное число двузначные и трехзначные разрядные числа в пределах тысячи учащиеся умножать умеют. В более сложных случаях — умножение многозначного разрядного числа используется прием замены многозначного множителя однозначным именованным числом. Вначале школьники вспоминают, как, например, ЗОО умножается на З: Этот прием обобщается для случаев 3 3, 5 В случае, например, 20 Рас- суждения выполняются учащимися устно, результат записывается. Умножение многозначного числа на однозначное. Учащиеся могут самостоятельно определить способ умножения многозначного числа на однозначное. Задача учителя состоит в том, чтобы подобрать систему произведений, расположенных по возрастающей сложности. При решении уже второго, третьего примеров такого рода учащимся предлагается выполнять промежуточные действия в уме и записывать сразу ответ. В более сложных случаях 3, Особенность этих примеров в том, что неполные произведения учащиеся в состоянии сложить в уме. Сумма этих произведений вычисляется в столбик. Возможно, достаточно рассмотреть одно-два таких произведения, чтобы учащиеся почувствовали трудоемкость такого алгоритма умножения. Так создается психологическая предпосылка к изучению алгоритма умножения в столбик. Умно жен и е в столбик. При этом учитель на конкретных примерах показывает, в чем состоит новый прием, акцентирует внимание учащихся на основных его операциях пояснениями или графически. Учащиеся под наблюдением учителя воспроизводят этот прием. Обучение по образцу не исключает, конечно, элементов проблемного обучения. Рассматривается умножение трехзначного числа на однозначное, которое вычислить устно трудно, например 7. Учитель записывает множители в столбик, подчеркивая, что однозначный множитель располагается под разрядом единиц первого множителя. На первых порах на доске в тетрадях колонки клеток, в которых записаны цифры сомножителей, можно подписывать буквами, обозначающими названия разрядов рис. Проводится черта, отделяющая сомножители. Затем учитель выполняет на доске умножение в столбик, поясняя свои действия: Записываем цифры этого числа в соответствующие клетки. Умножаем б десятков первого множителя на 7. Получаем 42 десятка 4 — число сотен, 2—-число десятков. Записываем 42 в следующую строчку, располагая цифры в соответствующих клетках; 4 сотни умножаем на 7, получаем 28 сотен 2—число тысяч, а 8 — число сотен в этом неполном. Записываем его в следующую строчку так, чтобы цифры располагались в соответствующих клетках. Полученные неполные произведения сложим: После этого учитель убеждает учащихся, что выполненное таким образом умножение отличается от ранее рассмотренного способа лишь формой. Поэтому произведение этих же чисел — Если необходимо, рассматривается еще один пример, однако подробные пояснения при этом в основном дают учащиеся. Учитель предлагает сократить запись умножения в столбик. Это можно сделать, если запоминать некоторые промежуточные результаты, подобно тому как это делалось при сложении и вычитание в столбик. Образец краткой записи уместно показать на уже рассмотренном примере:. В дальнейшем учащиеся все с большей самостоятельностью работают над подобными вычислениями. Особо следует рассмотреть случаи умножения, когда первый множитель имеет вид: При записи этих множителей в столбик приходится умножать однозначный множитель на нуль, причем иногда неоднократно. С помощью уже известного приема показывается, что однозначный множитель умножается не на все разрядные слагаемые, а только на нулевые. Например, вычисляя произведение 4, на 4 достаточно умножить число и к полученному результату приписать справа три нуля:. В процессе отработки алгоритма умножения на однозначное число используются упражнения с составными именованными числами. Так же как и письменные операции сложения и вычитания, умножение в таких случаях выполняется двумя способами: Первый способ используется для придания конкретного смысла промежуточным операциям алгоритма умножения. Например, при умножении 5 мм на 8 получается 40 мм, что составляет 4 сн; умножение 7 см на 8 дает 56 см, или 5 дм и б см и т. Письменное умножение не должно использоваться учащимися бездумно, применительно к любому произведению многозначного и однозначного чисел. Параллельно с работой над сложными произведениями, которые нельзя вычислить устно, необходимо предусмотреть возможность для упражнения учащихся в устном счете. Для этого в систему упражнений могут включаться, например, такие произведения: Умножение числа на произведение. При изложении методики обучения учащихся правилам прибавления числа к сумме, суммы к числу и других подчеркивалось, что не следует их побуждать к заучиванию формулировок этих правил. Смысл правил раскрывается через текстовые задачи. Этого же принципа следует придерживаться при обучении учащихся умножению числа на произведение. В качестве исходной может быть рассмотрена, например, такая содержательная задача, предполагающая практическую деятельность учащихся: Какую длину будет иметь полученный отрезок? Выясняется, что требуемый отрезок можно построить разными способами рис. Констатируется, что результат выполнения задания разными способами одинаков. Делается вывод, что 2. Это правило иллюстрируется на примерах: Умножение многозначного числа на разрядные ч и с л а. Прежде всего с учащимися нужно вспомнить во время устного счета, например , как умножить число на 10, и Затем в порядке возрастающей трудности предлагаются произведения, в которых один из множителей разрядное число круглые десятки, сотни, единицы тысяч. Вначале алгоритм умножения таких чисел рассматривается подробно. Пусть нужно умножить 17 на 30; 30 это З десятка, т. Значит, 17 можно умножить на произведение Такое умножение можно выполнить разными способами. Если 17 сначала умножить на 10, то число на З умно. Лучше умножить 17 на 3, получим Это число легче умножается на 10, получаем Находятся еще несколько произведений, для которых вычисления производятся устно 26 20, 13 60, 17 40 и т. Аналогично выполняются устные вычисления в случаях, когда один из множителей — круглые сотни или единицы тысяч:. Далее рассматриваются сложные случаи, когда устно умножить трудно 80, Один из таких примеров решается в строчку:. Более удобно такие числа умножать сразу в столбик. Так как умножение на 10, , 1 состоит в приписывании к числу справа. Выполняются упражнения на закрепление этого приема умножения. Умножение многозначного числа на двузначное. Алгоритм умножения на двузначное число состоит из следующих операций: Если сравнить алгоритмы умножения на круглые десятки и на двузначные числа, можно заметить между ними сходство:. Поэтому можно предположить, что использование правила умножения числа на сумму для объяснения приема умножения на двузначные и трехзначные числа может вызвать у учащихся затруднения. Возможно, целесообразнее другой подход. Пусть, например, объяснение умножения на двузначное число начинается с рассмотрения произведения По определению это произведение означает сумму из 12 слагаемых, каждое из которых. Как вычислить значение такой суммы? Могут быть рассмотрены различные способы: Очевидно, что в приведенных случаях нужно дважды выполнить умножение в столбик и полученные результаты сложить. Только при вычислении суммы Этот вывод закрепляется при рассмотрении более сложного случая. Констатируется, что для умножения данного числа на двузначное нужно умножить данное число на десятки двузначного множителя, а затем на единицы. Вычисляя такие произведения в три приема, учащиеся убеждаются в трудоемкости работы:. Учитель записывает на доске более короткий вариант умножения на двузначное число. Умножаем 68 на 5, получаем первое неполное произведение Умножаем 68 на 30, т. Чтобы не забыть об этом, будем записывать второе неполное произведение, начиная с разряда десятков, т. Второе неполное произведение равно Вычисление произведений, в которых первый множитель трехзначное или многозначное число, производится аналогично. Поэтому соответствующие примеры включаются в систему упражнений по данной теме без каких-либо разъяснений. Особо рассматривается только случай, когда многозначный мно- житель оканчивается одним или несколькими нулями 6 В случае возникновения у учащихся затруднений учитель напоминает им правила записи таких множителей в столбик и снесения нулей в произведение. Умножение многозначного числа на трехзначное. Знакомство учащихся с этим алгоритмом также происходит с опорой на определение умножения. Что значит, например, умножить на ? Это значит, что нужно найти сумму слагаемых, каждое из которых Эту сумму легче вычислить так: Учащиеся убеждаются, что значения каждого произведения они умеют вычислять в столбик, так же можно найти и сумму многозначных неполных произведений. Как и при изучении умножения на дву. При успешном изучении темы можно рассмотреть частные приемы устного умножения: Умножение таких чисел основано на определении умножения. Первый множитель был увеличен на единицу. Умножение на 31 можно мысленно представить как сумму, состоящую из 31 слагаемого. Если к 9 прибавить тридцать первое слагаемое —. Определим, из каких операций состоит алгоритм. Рассмотрим хорошо известный процесс деления углом на конкретном примере — Сначала выделяем неполное делимое Возможно, придется опробовать несколько цифр, прежде чем установим, что. Щей цифрой делимого, получаем неполное делимое Подбираем следующую цифру частного — 3. Умножаем делитель на З и полученное произведение вычитаем из Это неполное делимое не делится на , поэтому в частном записываем нуль. Сносим еще одну цифру делимого Отметим, что операция определения первого неполного делимого отличается от операции получения последующих неполных делимых. Если оно существует, выполняется третья и следующие за ней операции алгоритма. Если неполного делимого нет, деление окончено. Приведенный алгоритм получен в результате анализа модели деятельности человека, хорошо знакомого с делением углом. Поэтому, возможно, здесь не отражены в явном виде операции, которые выполняются неосознанно. Поскольку этот алгоритм усваивается младшими школьниками, он нуждается в уточнении. Уточнять и дополнять этот алгоритм будем по мере усложнения случаев деления многозначных чисел. Заметим, что не все выделенные операции требуют специального изучения. Обучение делению многозначных чисел на однозначные начинается с самых простых случаев, когда каждое разрядное число делимого делится на делитель нацело: Чтобы вычислить такое частное, не требуется алгоритма деления углом. Устно, начиная со старшего разряда, делятся разряд- ные числа, а получаемые промежуточные результаты записываются в соответствующие разряды частного. Например, чтобы разделить 9 на 3, 9 тысяч делят на 3, получается З тысячи; б сотен делят на 3, получается 2 сотни; О десятков делят на 3, получается О десятков, З единицы делят на 3, получается единица. Таким образом, в частном З тысячи, 2 сотни, О десятков и одна единица. Значит, частное равно Методика обучения этому приему следующая. Учащимся хорошо известен прием деления двузначных чисел на однозначные. Этот прием учитель иллюстрирует на позиционном абаке, например, для частного Затем наглядно можно представить прием деления в более сложном случае — Этот процесс комментируется и описывается: Правильность выполнения операции проверяется умножением. Подобные примеры учащиеся в состоянии выполнить без абака и промежуточных записей. Излишним было бы и введение здесь специальной терминологии: При изучении операции определения первого неполного делимого использует общий прием деления двузначного числа на однозначное. Чтобы вспомнить его, учащимся предлагается найти следующие частные: Комментируя операцию деления, ученики воспроизводят содержание приема деления двузначного числа на однозначное: Затем рассматриваются более сложные частные. Эта работа сопровождается, например, такими комментариями:. Правильность деления проверяется умножением. Чтобы вспомнить его, учащимся предагается найти следующие частные: Приведем вариант пояснений к вычислению первого частного цифра в скобках указывает порядковый номер операции алгоритма. В таком случае им предлагается, не выполняя деления, ответить, сколько нулей будет во втором частном Учитель объясняет, что для того чтобы не допускать ошибок при делении — не забывать записывать нули в частном и не записывать в частном лишние нули,— нужно заранее определять, сколько цифр имеет частное. Раскрывается содержание этой операции. Например, для того чтобы узнать, сколько цифр в значении частного Число 22 означает в делимом десятки тысяч. При делении десятков тысяч в частном получаются десятки тысяч. Такие числа записываются с помощью пяти цифр. Значит, в частном будет пятизначное число. Можно посоветовать учащимся помечать места для цифр частного точками еще до начала деления. На конкретных примерах ученики убеждаются в том, что определение количества цифр в частном полезно при любом делимом, а не только когда оно оканчивается нулями. Можно рассмотреть следующие частные: Значения этих частных выражаются числом с одним или несколькими нулями в середине. Так как количество сотен записывается с помощью трех цифр, то значение частного будет трехзначным. Следующее неполное делимое — 5 десятков. Число 5 на 8 не делится, значит, в частном в разряде десятков нужно записать О иначе. В дальнейшем при делении углом после выделения первого неполного делимого всегда выполняется операция определения количества цифр в частном. Итак, в результате изучения письменного деления многозначного числа на однозначное учащиеся должны усвоить следующий алгоритм деления. Определяется первое неполное делимое. В делимом, начиная со старшего разряда, выбирается такое наименьшее число, которое делится на делитель. Определяется количество цифр в частном. Выясняется, какими разрядными единицами выражено первое неполное делимое. В частном получаются соответствующие разрядные единицы. В нем столько цифр, сколько необходимо для записи числа с данным количеством разрядов. В неполном делимом выбирается наибольшее число, которое делится на делитель. Вычисляется, сколько единиц осталось после деления предыдущего неполного делимого. К ним прибавляются единицы следующего разряда. После операции 4 снова выполняется операция 3, и так до тех пор, пока можно будет образовывать неполные делимые. Основой обучения математике в начальных классах являются текстовые задачи. Поэтому и при изучении алгоритма письменного деления учащимся часто приходится встречаться с частными, в которых компоненты представлены именованными и составными именованными числами. Наиболее часто деление в таких случаях выполняется так: Учащимся можно было бы предложить найти значение этого частного без предварительного перевода единиц. В таком случае операции алгоритма деления выполняются в несколько необычной ситуации, что, безусловно, полезно. Это же требование распространяется и на систему упражнений по совершенствованию навыков деления углом. Умение выполнять деление с остатком полезно еще в одном отношении. Известно, что при делении на двузначные и трехзначные числа особое значение имеет оценка промежуточных остатков. Если при делении неполного делимого остаток больше делителя, то соответствующая цифра частного подобрана неверно. Так, если при делении числа на 7 получился остаток 18, учащихся легко убедить, что деление выполнено неверно: Школьникам напоминается, что остатки при делении на число меньше делителя. Поэтому ошибку, допущенную при делении, можно обнаружить исходя из полученного остатка: Упражнение учащихся в делении с остатком целесообразно и для обобщения приема деления на 10 и Этот прием будет использоваться в дальнейшем, при делении на двузначные и трехзначные числа. Умение делить на круглые десятки и сотни используется при подборе цифр частного при двузначном и трехзначном делителе. Деление многозначного числа на разрядное число. Перейдем к рассмотрению методики обучения учащихся алгоритму деления многозначного числа на двузначное. Алгоритм деления на двузначные числа изучается в два приема. Сначала учащиеся учатся делить многозначное число на круглые десятки и сотни. Учащиеся уже знакомы с приемом деления на 10, и 1 , знают алгоритм деления на однозначное число. Таким образом, деление на круглые десятки и сотни должно быть сведено к последовательному делению многозначного числа на 10 и на однозначное число. Например, чтобы разделить 4 на 50, достаточно разделить 4 на 10, а заем—на5. Для того чтобы учащиеся могли сознательно использовать этот прием, необходимо им показать, что деление числа на произведение можно выполнить различными способами: Отметим, что учитель не должен требовать от учащихся заучивания этого правила — это повлекло бы за собой многочисленные ошибки, связанные с заменой действия умножения делением. Учащиеся выполняют это задание тремя способами: Сложнее в практическом отношении следующая задача: Какой вид будут иметь полученные части? Сначала рассматриваются частные, значения которых учащиеся находят устно: Один из примеров можно решить подробно, с записью промежуточных операций: Затем рассматриваются случаи деления на круглые десятки с остатком:
Результаты огэпо русскому сайт
Xiaomi redmi 3 pro antutu результаты
In the mood for love pure перевод
Салфетка doily схема
Правила чтения испанский