Для статистической выборки можно определить ряд числовых параметров, аналогичных тем, что были введены в рассмотрение для случайных величин в теории вероятностей. Часто в качестве характеристик вариационного ряда x i используются также понятия моды и медианы. При изучении случайной величины Х с законом распределения, зависящим от одного или нескольких параметров, требуется по известной выборке. Статистической оценкой п параметра теоретического распределения выборки называют его приближенное значение, зависящее от этого выбора. Очевидно, оценка является значением некоторой функции результатов наблюдений над случайной величиной, а сама функция при этом называется статистикой. К оценке любого статистического параметра предъявляется на практике ряд требований, которым она должна удовлетворять, чтобы быть близкой к своему истинному значению и максимально соответствовать реальности. Качества оценки определяют, проверяя, обладает ли она свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности. Оценка параметра называется несмещенной , если , то есть математическое ожидание случайной величины должно быть равно значению параметра. Оценка п называется состоятельной, если сходится по вероятности к оцениваемому параметру: Это означает, что с увеличением объема выборки мы все ближе к истинному достоверному значению. Несмещенная оценка п называется эффективной , если ее дисперсия минимальна. Статистическая оценка, используемая в качестве приближенного значения неизвестного параметра генеральной совокупности, называется ее точечной оценкой. Точечные оценки хороши в качествепервоначальных результатов обработки наблюдений, однако заранее неизвестно с какой точностью они представляют оцениваемый параметр. В результате возникает задача о приближении параметра не одним числом, а целым интервалом значений в частности концами интервала , при этом оценка неизвестного параметра будет называться интервальной , а интервал 1 ; 2 , накрывающий с вероятностью истинное значение параметра , - доверительным интервалом и вероятность - надежностью оценки или доверительной вероятностью. Одна из часто встречающихся на практике задач, связанных с применением статистических методов, состоит в решении вопроса о том, должно ли на основании данной выборки быть принято или отвергнуто предположение гипотеза относительно некоторого свойства генеральной совокупности случайной величины. Например, новое лекарство испытано на определенном числе людей. Можно ли сделать обоснованный вывод о том, что это лекарство более эффективно, чем применявшееся ранее. Сопоставление высказанного предположения с имеющимися выборочными данными называется проверкой гипотез. В частности, под статистической гипотезой понимают всякое высказывание предположение о генеральной совокупности, проверяемое по выборке. Правило, по которому принимается решение о принятии или отклонении гипотезы называется статистическим критерием или критерием проверки гипотезы , например известные критерии согласия Пирсона, Колмогорова, Фишмана и др. В ящике 15 шаров, из которых 5 голубых и 10 красных. Наугад выбирают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров. Число благоприятных исходов равно произведению. В квадрат вписана окружность радиуса R, а в окружность вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в квадрат, попадет в треугольник. Вероятность попадания точки в треугольник равна отношению площади треугольника к площади квадрата:. В цилиндр радиус основания равен R, высота равна R вписан конус, основание которого совпадает с основанием цилиндра. Найти вероятность того, что точка, выбранная наугад внутри цилиндра, окажется внутри конуса. Объем цилиндра, высота которого равна H , а радиус основания R , определяется по формуле , а так как , то. Объем конуса, высота которого равна H , а радиус основания R , вычисляется по формуле. Вероятность попадания в цель для каждого из трех орудий равна соответственно 0,5; 0,8; 0,6. Найти вероятность того, что при залпе из трех орудий. Тогда вероятности этих событий по условию равны:. Три попадания будут тогда и только тогда, когда попадание наступит при каждом выстреле, то есть. Тогда по теореме умножения. Три промаха будут тогда и только тогда, когда промах явится результатом каждого выстрела, то есть события осуществляются все вместе: При трех выстрелах возможны следующие варианты: Поскольку события несовместны, то по теореме сложения. Больница специализируется на лечении заболеваний А, Б и В. Количества больных, поступающих в эту больницу с заболеваниями А, Б, В, находятся в отношении 5: Вероятность полного излечения болезни А равна 0,7, для болезней Б и В эти вероятности равны соответственно 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что поступающий в больницу больной будет выписан здоровым. Обозначим через , , соответственно следующие события: Поскольку , , составляют полную группу попарно несовместных событий, то для определения вероятности события С применим формулу полной вероятности:. По условию , ,. Кроме того, поскольку количество больных, А, Б и В, находятся в отношении 5: Решить предыдущую задачу при условии, что требуется найти вероятность того, что выписанный здоровым больной страдал заболеванием В. Сохраним обозначения, использованные при решении предыдущей задачи. Дано распределение дискретной случайной величины Х. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение. Плотность вероятности случайной величины Х равна ,. Согласно свойству плотности непрерывной случайной величины. Найти функцию распределения случайной величины Х и вероятность попадания Х в промежуток. Поскольку все значения случайной величины Х сосредоточены на промежутке , то при верно , а при верно , где - функция распределения случайной величины Х. Тогда по определению функции распределения непрерывной случайной величины имеем:. Вычислить математическое ожидание случайной величины Х, плотность вероятности которой равна. Вначале найдем первообразную функции методом интегрирования по частям:. Книга издана тиражом экземпляров. Вероятность того, что книга сброшюрована неправильно, равна 0, Найти вероятность того, что тираж содержит. Пусть случайная величина Х выражает число бракованных книг в тираже. Тогда случайная величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами ,. Тогда искомая вероятность будет равна. Эта формула хоть и точная, но трудновычислима. Воспользуемся тем, что поскольку число n велико, а вероятность p мала, случайную величину Х приближенно можно считать распределенной по закону Пуассона с параметром np , то есть. Поэтому искомая вероятность будет приближенно равна. Длительность Т телефонного разговора является случайной величиной, распределенной по показательному закону. Известно, что средняя длительность телефонного разговора равна 3 минутам. Найти вероятность того, что разговор будет длиться. По условию задачи параметр показательного распределения длительности Т равен. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 20 мм и математическим ожиданием, равным нулю. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 4 мм. Известно, что для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами и , , где - функция распределения стандартного закона. В нашем случае , ,. Поэтому вероятность того, что при одном измерении ошибка не превзойдет 4 мм, будет равна , где значение берется из таблицы, приведенной выше. Таким образом, вероятность того, что в каждом из трех независимых измерений ошибка превзойдет по абсолютной величине 4 мм, будет равна. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами 10 математическое ожидание и 2 среднеквадратическое отклонение. Найти вероятность того, что в результате испытания она примет значение из промежутка 12, Известно, что для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами и ,. В нашем случае , , , , откуда искомая вероятность будет равна:. Случайная величина Х распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания этой случайной величины, в который она попадет с вероятностью 0, в результате одного испытания. Обозначим через длину искомого интервала, а через а — математическое ожидание случайной величины Х. Следовательно, , откуда - квантиль уровня 0, стандартного закона. Воспользовавшись таблицей, приведенной выше, получим:. В страховой компании клиентов. В случае наступления страхового случая страховое возмещение равно ден. Вероятность наступления страхового случая, по оценкам экспертов, равна 0, Найти вероятность того, что компания окажется в убытке к концу года, если страховой взнос равен 3,5 ден. Пусть случайная величина Y выражает число наступлений страховых случаев в течение года. Тогда общая сумма страхового возмещения составит Y ден. Обозначим через x минимальную стоимость страхового взноса каждого клиента. Тогда x — суммарный страховой взнос. Компания будет в убытке, если величина Y превзойдет x. Отсюда ввиду монотонности функции , где - квантиль уровня 0, стандартного закона. По таблице определяем, что. Поэтому , или , то есть минимальный страховой взнос должен составить 4 ден. Вероятность приема каждого из передаваемых сигналов равна 0,8. Найти вероятность того, что будет принято: Из условия следует, что. Согласно формуле получаем искомую вероятность. На основании анализа производительности труда 20 человек, выбранных из достаточно большой генеральной совокупности, было установлено, что среднее квадратическое отклонение суточной выработки составляет 15 кг в час, а выборочная средняя производительность — кг в час. Предполагая, что производительность имеет нормальное распределение, найти границы, в которых с надежностью 0,9 заключены соответственно средняя суточная производительность всей генеральной совокупности и ее дисперсия. Поскольку объем генеральной совокупности достаточно большой это сказано в условии , то выборку из 20 человек можно считать повторной. В нашем случае , , , ,. Поэтому искомые доверительные интервалы для генеральных средней и дисперсии соответственно равны ,05; ,95 , ,5; ,5. При обследовании выработки рабочих большого завода по схеме собственно-случайной повторной выборки было отобрано рабочих и по этой выборке получены следующие данные: Известно, что для выборок большого объема доверительный интервал с надежностью для генеральной средней приближенно равен. В нашем случае , , ,. Поэтому искомый доверительный интервал равен ,67; , В следующей таблице приводятся данные по расходу сырья на единицу продукции в зависимости от использования новой и старой технологий:. Полагая, что расходы сырья по каждой технологии имеют нормальные распределения с одинаковыми дисперсиями, на уровне значимости 0,05 выяснить, дает ли новая технология экономию в среднем расходе сырья. Проверяется нулевая гипотеза Н 0 о равенстве генеральных средних. В качестве альтернативной берется гипотеза о преимуществе новой технологии над старой. Для проверки нулевой гипотезы используется статистика. В данном примере , , , , ,. Поэтому выборочное значение статистики будет равно. В следующей таблице приводятся выборочные данные опроса студентов государственных и негосударственных вузов г. Минска о вредном влиянии курения на учебу:. Подтверждают ли эти данные предположение о том, что отношение к курению студентов государственных и негосударственных вузов различно? Принять уровень значимости равным 0,1. Проверяется гипотеза о равенстве генеральных долей. В качестве альтернативной гипотезы берется гипотеза о различии генеральных долей. В данном примере , , ,. При этом неизвестная величина p заменяется смешанной выборочной долей. Итак, выборочное значение статистики приближенно равно. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное двумя окружностями? Найти вероятность того, что точка, выбранная наугад внутри куба, окажется внутри шара. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,9 для первого сигнализатора, 0,8 для второго и 0,6 для третьего. Найти вероятность того, что при аварии:. На монетном дворе имеется три группы станков, на которых печатаются деньги. Производительность станков одинаковая, но качество производства на них разное: Количество станков в группах равны соответственно 5, 6 и 3. Все деньги складываются в хранилище. Какова вероятность того, что. Дана плотность распределения случайной величины. Устройство состоит из элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0, Найти вероятность того, что за время t откажут. Какую точность длины детали можно гарантировать с вероятностью 0,95? Последнее изменение этой страницы: Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии. Числовые характеристики выборки 1 2 3.
Основные характеристики выборки
Салон бизнес центр
Королек птичка певчая сериал описание
Украсить бутылку своими руками пошагово