Überlegungen zur Veränderung der Wärmekapazität unter mechanischer Belastung

Waermekapazitaet.ipynb

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      "Vermutung: W\u00e4rmekapazit\u00e4t eines Festk\u00f6rpers ist von mechanischer Belastung abh\u00e4ngig"
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      "Gedankenexperiment: ein einseitig befestigter homogener Stab der L\u00e4nge $l_0$ wird von der Temeperatur $T_0$ auf $T_1$ erw\u00e4rmt. Dabei nimmt er die W\u00e4rmemenge\n",
      "\n",
      "$$Q_1 = l_0 \\beta C_1 \\underbrace{(T_1-T_0)}_{=: \\Delta T}$$\n",
      "auf. Es gilt: $\\beta := \\frac{m}{l_0}$ (auf die L\u00e4nge bezogene Dichte des Stabes) und $c_1:=$ W\u00e4rmekapazit\u00e4t des Stab-Materials im unbelasteten Zustand. Durch das Erw\u00e4rmen wird der Stab um\n",
      "$$\\Delta l_T = \\underbrace{\\beta \\Delta T}_{\\varepsilon_T} l_0$$\n",
      "l\u00e4nger."
     ]
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      "Der warme Stab wird jetzt an seinem freien Ende mit einer L\u00e4ngskraft $F$ beaufschlagt. Dadurch wird er nochmal l\u00e4nger. Annahme: E-Modul unabh\u00e4ngig von der Temperatur. F\u00fcr die L\u00e4ngen\u00e4nderung erh\u00e4lt man dann\n",
      "$$\\Delta l_F = \\underbrace{\\frac{F}{E A}}_{\\varepsilon_F} l_0.$$\n",
      "Danach wird er wieder auf die Ausgangstemperatur $T_0$ abgek\u00fchlt. Die L\u00e4ngen\u00e4nderung $\\Delta l_T$ geht also vollst\u00e4ndig zur\u00fcck.\n",
      "Der Endpunkt, an dem die Kraft angreift bewegt sich also um $\\Delta l_T$. Dabei wird die mechanische Arbeit\n",
      "$$\n",
      "W = F \\cdot \\Delta l_T = F \\cdot \\alpha \\Delta T l_0 \n",
      "$$\n",
      "verrichtet, $\\alpha$ ist der W\u00e4rmeausdehnugskoeffizient.\n",
      "(Der Stab ist aufgrund der L\u00e4ngsbelastung noch um $\\Delta l_F$ l\u00e4nger als $l_0$. Aber trotdem wurde Arbeit verrichtet)."
     ]
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      "Annahme: Themermische Verluste ausgeschlossen (perfekte Isolation bzw. perfekte W\u00e4rme\u00fcbertragung w\u00e4hrend der Temperatur\u00e4nderung). Damit die Energiebilanz erhalten bleibt, muss die W\u00e4rmemenge $Q_2$ die dem Material beim Abk\u00fchlen entzogen wird, gegen\u00fcber $Q_1$ entsprechend gemindert sein:\n",
      "$$Q_2 = Q_1 - W$$\n",
      "Mit $C_2$ als W\u00e4rmekapazit\u00e4t unter Zugbelastung folgt:\n",
      "$$Q_1 - Q_2 = W \\quad \\mathrm{bzw.} \\quad \\beta l_0 \\Delta T (C_1 -C_2) = \\alpha l_0 \\Delta T F$$\n",
      "und mithin erh\u00e4lt man ein Ma\u00df, wie sehr sich die W\u00e4rmekapazit\u00e4t unter dem Einfluss einer Kraft \u00e4ndert:\n",
      "$$\\Delta C := C_1 - C_2 = \\frac{\\alpha}{\\beta}F.$$\n",
      "Mit den gew\u00e4hlten Vorzeichendefinitionen beschreibt $\\Delta C$ die Abnahme der WK durch Zugbelastung."
     ]
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      "Jetzt kann man noch folgende Ersetzungen f\u00fcr die Spannung und die Dichte vornehmen:\n",
      "$$\\sigma := \\frac{F}{A} \\Rightarrow \\quad F = A \\sigma, $$\n",
      "$$\\rho: = \\frac{\\beta}{A} \\Rightarrow \\quad \\beta = A \\rho. $$\n",
      "Man erh\u00e4lt dann\n",
      "$$\\Delta C := \\frac{\\alpha}{\\rho}\\sigma,$$\n",
      "d.h. die \u00c4nderung der W\u00e4rmekapazit\u00e4t ergibt sich aus dem Quotienten des W\u00e4rmeausdehnugnskoeffizienten mit der Dichte, multipliziert mit der mechanischen Spannung."
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      "# Beispielrechnung f\u00fcr Stahl:\n",
      "C1 = 452 # in J / (Kg*K)\n",
      "alpha = 11.8e-6 # in 1/K\n",
      "rho = 7874 # in kg/m**3\n",
      "sigma = 500e6 # in N/m**2 (= 500 MPa)Streckgrenze eines Mittelklasse-Stahls"
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      "dC = alpha/rho * sigma\n",
      "print dC\n"
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      "# relative \u00c4nderung:\n",
      "dC/C1"
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      "D.h. ca $1.6$ promille \u00c4nderung bei maximaler Belastung."
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      "Weitere \u00dcberlegungen"
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      "1. Schubbelastung w\u00fcrde in Richtung der L\u00e4ngen\u00e4nderung wirken. Dann m\u00fcsste man oben das Vorzeichen von $\\sigma$ \u00e4ndern. D.h. unter Druck wird die W\u00e4rmekapazit\u00e4t gr\u00f6\u00dfer.\n",
      "2. Annahme perfekte Isolation, kein W\u00e4rmeaustausch mit der Umgebung. Dann folgt aus der Energieerhaltung: Belastungs\u00e4nderung $\\rightarrow$ WK-\u00c4nderung $\\rightarrow$ Temperatur\u00e4nderung. Unter Zug wird das Material w\u00e4rmer (weil WK kleiner wird, die im Material gespeicherte W\u00e4rmemenge aber sich aufgrund der Isolation nicht \u00e4ndern kann), unter Druck wird es k\u00e4lter. Das ist gerade anders herum als bei Gasen."
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      "Fragen:"
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      "Ergeben diese \u00dcberlegungen Sinn? Wo sind eventuelle Denkfehler?"
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