Описание ООП по направлению подготовки 010101.65 "Алгебра"
Разностные схемы для уравнения гиперболического типа
69. Разностные схемы решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа.
Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы. Проект создан для помощи студентам. Рефераты, курсовые работы, лекции и доклады. Одномерным волновым уравнением называется следующее гиперболическое уравнение в частных производных:. Это уравнение описывает распространение звуковых волн в однородной среде со скоростью с. Существует уравнение первого порядка, свойства решений которого близки к свойствам решения уравнения Это уравнение называют одномерным линейным уравнение переноса, описывающим распространение волны со скоростью С вдоль оси X. Рассмотрим конечно-разностные схемы для решения одномерного линейного волнового уравнения первого порядка. O t, h и O t, h 2 соответственно. Разностные схемы явные, так как в каждое разностное уравнение входит лишь одно неизвестное. Анализ устойчивости разностных схем с помощью спектрального признака приводит к тому, что они обе абсолютнонеустойчивы и, следовательно, для численного решения волнового уравнения непригодны. Простую явную схему Эйлера можно сделать устойчивой, если при аппроксимации производной по пространственной переменной использовать не разности вперед, а разности назад в тех случаях, когда скорость волны сположительна. Если скорость волны сотрицательна , то устойчивость схемы обеспечивается при использовании разностей вперед. Эта разностная схема имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации O t, h. Схема устойчива при — число Куранта. Отметим, что эта схема не всегда обладает условием согласованности, так как может не стремится к нулю при. Однако если число Куранта , то при условие согласованности выполняется. Согласованной называется разностная схема, аппроксимирующая данное уравнение в частных производных, т. Схема абсолютно устойчива, при использовании этой схемы приходится решать систему линейных алгебраических уравнений на каждом шаге по времени. При использовании неявных схем на каждом шаге по t приходится проводить больше вычислений, чем при использовании явных схем, но зато можно проводить расчеты с существенно большим шагом Dt. Заменив и на центральные разности 2-го порядка, получим:. Явная одношаговая схема 2-го порядка с погрешностью аппроксимации , устойчивая при. Широко применяется для решения уравнений газовой динамики нелинейных уравнения в частных производных. Отметим, что в предикторе — разность вперед , в корректоре — разность назад. Можно поступить и наоборот, что бывает полезно при решении некоторых задач, например, задачи с движущимися разрывами. Такое выражение для разностной производной называется конечно-разностной аппроксимацией по Кранку — Николсону. Подставляя вместо членов с производной по x — замену центральной разностью, получаем. Это схема имеет погрешность порядка , абсолютно устойчива, решается методом прогонки. При использовании методов повышенного порядка точности 3-го, 4-го за увеличение точности приходится платить увеличением времени счета и усложнением разностной схемы. Это необходимо учитывать при выборе разностной схемы. Обычно, для большинства приложений достаточную точность позволяют получить методы 2-го порядка точности. При решении одномерного волнового линейного уравнения явные методы предпочтительнее, чем неявные, так как решение нестационарное нас интересуют значения величин через небольшие промежутки времени. Перейти к содержимому Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы Проект создан для помощи студентам. Выйти на главную страницу if! Системы, развитие которых можно представить с помощью Универсальной Схемы Эволюции Автотрансформаторы, схемы включения обмоток, энергетическая эффективность. Блокировки схемы данных Брокерская фирма. Будем искать частное решение уравнения В настоящее время применяют одноступенчатый способ охлаждения, который можно использовать только в вакуум-охладителях, закрытого типа. Виды, способы и схемы намагничивания Влияние схемы соединения обмоток на работу трехфазных трансформаторов в режиме холостого хода Вопрос Соединение резисторов треугольником и звездой. Преобразование треугольников сопротивлений в эквивалентную звезду и наоборот. Существует уравнение первого порядка, свойства решений которого близки к свойствам решения уравнения 1: Разностные схемы явные, так как в каждое разностное уравнение входит лишь одно неизвестное Анализ устойчивости разностных схем с помощью спектрального признака приводит к тому, что они обе абсолютнонеустойчивы и, следовательно, для численного решения волнового уравнения непригодны. Метод использования разностей против потока. Разностную схему Эйлера можно сделать устойчивой, если заменить на пространственное среднее В результате получим широко известную схему Лакса: Множитель перехода равен Схема устойчива при — число Куранта Отметим, что эта схема не всегда обладает условием согласованности, так как может не стремится к нулю при. Метод с перешагиванием чехарда Перейдем к схемам 2-го порядка точности. Это трехслойная схема по времени, погрешность аппроксимации равна. Метод устойчив при Недостатки: Метод Лакса-Вендроффа Схему Лакса-Вендроффа можно построить исходя из разложения в ряд Тейлора: Из волнового уравнения следует Заменив и на центральные разности 2-го порядка, получим: Явная одношаговая схема 2-го порядка с погрешностью аппроксимации , устойчивая при Множитель перехода: Центрированная по времени неявная схема. Для построения неявной разностной схемы 2-го порядка вычтем 2 ряда Тейлора: Для линейного волнового уравнения имеем: Подставляя вместо членов с производной по x — замену центральной разностью, получаем Это схема имеет погрешность порядка , абсолютно устойчива, решается методом прогонки. Множитель перехода равен При использовании методов повышенного порядка точности 3-го, 4-го за увеличение точности приходится платить увеличением времени счета и усложнением разностной схемы. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа.
В прямоугольнике будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения второго порядка гиперболического типа где Как обычно предполагаем, что эта задача имеет единственное решение, непрерывное в замкнутой области и обладающее требуемыми по ходу изложения производными. Допускается, что коэффициент может иметь разрывы первого рода на конечном числе прямых, параллельных оси координат неподвижные разрывы. Проведем изложение для случая одной линии разрыва которой выполняется условие сопряжения непрерывность функций и Пусть произвольная неравномерная сетка на отрезке — равномерная сетка на отрезке — сетка в прямоугольнике Построение однородной схемы для задачи начнем с аппроксимации разностным оператором при фиксированном Заменяя где получаем однородную трехслойную схему с весами Коэффициент а берем на среднем слое Подставляя в ту где получим после чего запишем схему 5 в виде: При получаем симметричную схему изучением которой и ограничимся. Краевые условия и первое начальное условие удовлетворяются точно: Второе начальное условие можно аппроксимировать двумя способами. Один из способов указан в гл. Он имеет второй порядок аппроксимации по Второй способ состоит в что для определения пишется разностное уравнение В результате задаче 1 — 3 ставим в соответствие однородную разностную схему, определяемую условиями 7 — 9 или 7 , 8 , 9. Эта схема является трехслойной. Для вычисления значения на новом слое надо знать значения на двух предыдущих слоях. На каждом новом слое решается методом прогонки краевая задача относительно 2. Пусть - решение задачи решение разностной задачи 7 — 9. Напишем, как обычно, уравнение для погрешности Подставляя и в 7 — 9 , получаем где погрешности аппроксимации на решении задачи 1 — 3 уравнения 1 и второго начального условия соответственно. Если имеют конечное число неподвижных разрывов, то сетку выбираем так, чтобы линии разрыва проходили через узлы этой сетки ср. Чтобы не завышать требований гладкости коэффициентов и решения при оценке порядка точности схемы 7 — 9 , используем различные априорные оценки для операторно-разностной трехслойной схемы Здесь линейные операторы, заданные на гильбертовом пространстве см. VI , абстрактные функции со значениями в элемент. В нашем случае множество сеточных функций, заданных на и обращающихся в нуль на границе, при Скалярные произведения имеют вид Будем использовать следующие нормы: В нашем случае операторы как показывает сравнение 7 и 20 , равны Оператор А — самосопряженный и положительно определенный, для его нормы верна оценка см. Пусть имеют разрывы первого рода на конечном числе прямых параллельных оси координат а в областях коэффициенты и решение являются столь гладкими функциями, что выполнены условия 19 и Тогда, если выполнено условие 22 , то схема 7 — 9 на специальных последовательностях неравномерных сеток равномерно сходится со скоростью так что для решения задачи 11 имеет место оценка Для доказательства теоремы достаточно воспользоваться априорными оценками 21 и 22 для и учесть соотношения 15 и Теорема 1 сохраняет силу, если вместо 7 взять схему где постоянный оператор регуляризатор, см. В этом случае Достаточное условие устойчивости 21 будет выполнено, если При оценке погрешности аппроксимации для этой схемы изменится лишь формула 14 для вместо надо написать где о есть Сетки и сеточные функции. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Погрешность аппроксимации на сетке. О сходимости и точности схем. Метод аппроксимации краевых и начальных условий. Примеры устойчивых и неустойчивых разностных схем. О понятии корректности разностной задачи. Решение разностных уравнений методом прогонки. Некоторые сведения о математическом аппарате теории разностных схем 2. Отыскание собственных функций и собственных значений на примере простейшей разностной задачи. Разностные аналоги теорем вложения. Некоторые сведения из функционального анализа 2. Линейные ограниченные операторы в вещественном гильбертовом пространстве. Линейные операторы в пространстве конечного числа измерений. Разностные схемы для уравнения колебаний струны Глава III. Однородные схемы для стационарного уравнения с переменными коэффициентами 4. Пример схемы, расходящейся в случае разрывных коэффициентов. Интегро-интерполяционный метод метод баланса построения однородных разностных схем. Исходный класс консервативных схем. Погрешность аппроксимации в классе непрерывных коэффициентов. Погрешность аппроксимации в классе разрывных коэффициентов. О сходимости и точности. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках. Схема любого порядка точности. Монотонные схемы для уравнения общего вида. Коэффициентная устойчивость разностных схем. Однородные схемы для уравнения в цилиндрической и сферической системах координат. Задача с условиями периодичности. Разностная задача Штурма — Лиувилля. Постановка задачи и основные свойства. Однородные разностные схемы для уравнений гиперболического типа Глава IV. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона 2. Разностная задача Дирихле в прямоугольнике. Разностная задача Дирихле в области сложной формы. Запись разностного уравнения в канонической форме. Оценка решения неоднородного уравнения. Оценка решения разностной задачи Дирихле. Равномерная сходимость и порядок точности разностной задачи Дирихле. Схема повышенного порядка точности для уравнения Пуассона. Некоторые оценки для разностных операторов, аппроксимирующих дифференциальные операторы эллиптического типа 2. Оператор Лапласа в области, составленной из прямоугольников. Операторы с переменными коэффициентами. Оператор со смешанной производной. Схема повышенного порядка точности для эллиптического уравнения со смешанными производными. Каноническая форма двухслойных схем. Канонические формы трехслойных схем. Достаточные условия устойчивости двухслойных схем в линейных нормированных пространствах. Классы устойчивых трехслойных схем Глава VII. Экономичные факторизованные схемы 3. Построение экономичных факторизованных схем. Схемы расщепления как факторизованные схемы. Схема повышенного порядка точности для уравнения параболического типа с эллиптическим оператором, содержащим смешанные производные. Экономичные схемы для систем уравнений параболического и гиперболического типов. Метод суммарной аппроксимации 2. Методы построения аддитивных схем. Методы оценки сходимости аддитивной схемы. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности в произвольной области. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы. Равномерная сходимость локально-одномерной схемы. Локально-одномерная схема для уравнений с переменными коэффициентами. Продольно-поперечная схема как аддитивная схема. Локально-одномерные схемы для многомерного гиперболического уравнения второго порядка. Аддитивные схемы для систем уравнений. Двухслойные итерационные схемы для разностной задачи Дирихле 5. Итерационная схема для разностной задачи Дирихле повышенного порядка точности. Метод переменных направлений для трехмерной задачи Дирихле. Однородные разностные схемы для уравнений гиперболического типа 1. Проведем изложение для случая одной линии разрыва которой выполняется условие сопряжения непрерывность функций и Пусть произвольная неравномерная сетка на отрезке — равномерная сетка на отрезке — сетка в прямоугольнике Построение однородной схемы для задачи начнем с аппроксимации разностным оператором при фиксированном Заменяя где. На каждом новом слое решается методом прогонки краевая задача относительно. В нашем случае операторы как показывает сравнение 7 и 20 , равны. Оператор А — самосопряженный и положительно определенный, для его нормы верна оценка см. Представим решение z задачи 11 - 13 в виде где удовлетворяют условиям Из следуют оценки для где Теорема 1.
Как сжать файл 2 раза
Малые стихи есенина
Друг сделал куни
Эротические рассказы банные девочки
Проблема выбора человека