Справочник химика 21
СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ это:
Московский государственный университет печати
Справочник химика 21 Химия и химическая технология Статьи Рисунки Таблицы О сайте Реклама. Пусть х , х Систематическая ошибка зависит от постоянных причин и повторяется при повторных измерениях она связана с постоян ными методическими ошибками анализа , например, с загрязнениями применяемых реактивов, с потерями осадка вследствие его некоторой растворимости и т. Все это может быть учтено при анализе. Величина систематической ошибки характеризует правильность метода. Случайные ошибки анализа вызваны неопределенными причинами и изменяются при повторных измерениях или при повторных анализах в ту или другую сторону. Если повторить измерение несколько раз, и вгл-числить среднее арифметическое значение из полученных данных , то средний результат будет точнее, чем отдельные измерения. Отклонение отдельных результатов измерений от среднего значения измеряемой величины характеризует воспроизводимость точность метода. Для вычисления Me результаты располагают в порядке возрастания, т. Если число измерений нечетное, то значение медианы равно значению среднего члена ряда. Если же число четное , значение Me равно полусумме значений двух средних результатов. При малых объемах выборки вместо среднего арифметического для оценки центра совокупности предпочтительнее пользоваться медианой. Это небольшое количество наблюденных величин можно рассматривать как случайную выборку из некоторого гипотетического бесконечного множества — генеральной совокупности , которая является математической моделью реально наблюдаемых величин. Задача свертывания информации с математической точки зрения сводится в этом случае к тому, что по выборке определяют некоторые величины выборочную дисперсию и среднее арифметическое значение случайной величины , которые являются оценкой неизвестных параметров соответственно дисперсии и математического ожидания функции распределения этой генеральной совокупности. При оценке определении параметров генеральной совокупности по выборке, естественно, вносится известный элемент неопределенности, который можно учесть методами математической статистики. Среди экспериментаторов распространено совершенно неправильное мнение о том, что математическая статистика применима только к большому цифровому материалу. Современная математическая статистика дает возможность оценивать параметры генеральных совокупностей и устанавливать для них доверительные пределы даже по весьма малым выборкам ,—в некоторых случаях всего по двум измерениям. Но при этом, естественно, что чем меньше экспериментальный материал , тем менее точно может быть произведена оценка параметров генеральной совокупности по их выборочным значениям. Таким образом , математическая статистика , с одной стороны, дает возможность компактным образом представить результаты эксперимента , а с другой стороны, позволяет количественно оценить тот элемент сомнения, который сопутствует каждому эксперименту при малом числе опытов. Отличие от I [последнее определено соотношением 1. Пусть Х2, Х обозначают п результатов измерений величины, истинное значение которой Предполагается, что все измерения проведены одним методом и с одинаковой тщательностью. Такие измерения называют равноточными. Случайную ошибку , имеющую размерность измеряемой величины, называют абсолютной ошибкой определения. Среднее арифметическое значение абсолютных ошибок всех отдельных измерений называют абсолютной ошибкой метода анализа. Поэтому им приходится оценивать характеристики на основании опытных данных. Ввиду ограниченности экспериментальных данных такие оценки являются приближенными и их называют выборочными оценками -, выборочная дисперсия 2, выборочное математическое ожидание и т. Выборочное математическое ожидание для набора параллельных определений вычисляют как среднее арифметическое. Весь набор значений случайной величины называют генеральной совокупностью. Часть генеральной совокупности , получаемую исследователями из экспериментов, называют выборкой. В предельном случае, когда выбранная ширина промежутков равна естественному пределу точности метода анализа, а объем выборки хотя и конечен, но достаточно велик,, все результаты разбиваются на группы дискретных значений, и неравномерность распределения результатов анализа ста-ловится очевидной. Выборочную совокупность результатов такого анализа можно представить двояким образом 1 в виде набора отдельных, отличных друг от друга значений случайной величины, характеризующихся неравномерным распределением в силу своей разнократности 2 как выборочную равномерно распределенную совокупность отдельных результатов, часть. Очевидно, что математическое ожидание такой выборочной совокупности совпадает со средним арифметическим всех результатов. Следовательно, среднее арифметическое ряда параллельных анализов наилучшим образом характеризует центр рассеяния полученных результатов и отягощено минимальной случайной ошибкой. Естественно, что конечный результат химического анализа , по данным ряда параллельных определений, должен в качестве оптимальной оценки содержать именно среднее арифметическое. Вполне очевидно также, что единицы измерения этой величины совпадают с единицами измерения результатов отдельных анализов. Для того чтобы компактным образом представить множество значений случайной величины, полученной в том или ином измерительном процессе, обычно пользуются средним арифметическим значением результатов отдельных измерений. Среднее арифметическое обладает тем свойством, что сумма квадратов отклонений от него отдельных измерений имеет минимальное значение. Это чрезвычайно важное для метрологии утверждение легко доказать. Ее называют математическим ожиданием , или иногда просто средним значением. Математическое ожидание М и , как нетрудно показать, является обобщением понятия среднее арифметическое. В различных вариантах расчетов число 2 принималось равным 10 20 30 при этом d— з всегда оставалось равным Генеральной совокупностью называют гипотетическую идеализированную систему 6 бесконечно большом числе измерений и всех мыслимых наблюдений над измеряемой величиной а при данных условиях эксперимента. Из генеральной совокупности выводят закономерности для процессов, кажущихся наблюдателю чисто случайными. В этом случае принимают х за приближенное значение р. Наиболее вероятной оценкой определяемого параметра а является среднее арифметическое значение результатов измерений. Но х, выраженное одним числом, представляет точечную оценку измеряемой величины, тогда как при решении практических задач X вычисляют на основании опытных данных — случайных величин , следовательно, среднее арифметическое значение также является случайной величиной. Отдельные наблюдения эксперимента разбросаны относительно среднего арифметического значения, но это не значит, что х ближе к истинному значению , чем результаты каждого отдельного наблюдения. Выделить эти результаты из общего числа наблюдений невозможно, поэтому более правильной оценкой истинного значения определяемой величины является доверительный интервал. В отличие от расчета по предельным отклонениям при вероятностном методе определения погрешности массы дозы оперируют средними арифметическими значениями размеров и средними квадратическими их отклонениями. Необходимо помнить , что систематические погрешности , выявленные при меньшей выборке, на фоне большей могут стать случайными и что математические ожидания X для различных по объему выборок также не совпадают. Действительно, разобьем результаты измерений см. Поэтому, как и в случае отдельных измерений , можно рассматривать доверительный интервал и доверительную вероятность для средних арифметических. Это достигается рациональным выбором масштаба, размеров графика и способов нанесения на него числовых значений исследуемых величин. Числовое значение функции, отвечающее данному значению аргумента, часто обозначают на графике кружком. Диаметр этого кружка должен соответствовать значению систематической погрешности функции. Если при каждом значении аргумента измерено несколько значений функции, можно вычислить не только систематическую, но и случайную погрешность. При этом для каждой пары заданных значений температуры и давления по всем уравнениям состояния , описывающим опытные данные с приемлемой точностью, вычисляется множество значений плотности, энтальпии, энтропии, изохорной и изобарной теплоемкостей и других свойств. Для каждого из таких множеств находится среднее арифметическое центр множества , дисперсия мера рассеяния значений случайной величины относительно среднего , среднее квадратическое отклонение и другие характеристики. Такое определение величины 5 основано на анализе кривой распределения ошибок, показанной выше, и, следовательно, на более реалистическом подходе к установлению меры точыссти результатов измерений. Исследования профиля поперечных сечений обечаек разных размеров , изготовленных по установившемуся технологическому процессу , показали, что составляющие спектра амплитуд являются случайными величинами как у одного экземпляра, так и у партии обечаек. Характеристика профиля поперечного сечения партии обечаек среднее арифметическое значение.
Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины:. Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим. Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. В таком случае мы можем записать результат измерений в виде. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью 3. Сам этот интервал называется доверительным интервалом. В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой. Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки 2. Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение арифметическое. Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины. Результат записывается в виде:. Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты с надежностью 0. В году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом Стьюдента t. Измерялся микрометром диаметр d стержня систематическая ошибка измерения равна 0. Абсолютная ошибка найдется по формуле Сравним случайную и систематическую ошибки: Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице 2. Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, так как конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического. Обработка результатов прямого измерения Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. В результате проведенных измерений мы получили значений величины: Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики. Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина. Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина. Результат записывается в виде: Таблица 2 Коэффициенты Стьюдента n.
Среднее арифметическое значение, средняя квадратичная и средняя арифметическая погрешности измеряемой величины
Ситуационные задачи по фармакологии для фармацевтов
Английский бульдог храпит
Как сделать пасту самому
Как запустить акронис через биос
Большое болдино на карте нижегородской области
Шпунтованная доска своими руками