Численные методы решения нелинейных уравнений
Метод половинного деления (метод дихотомии или метод бисекции)
Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию...
Решить уравнение это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2; Рассмотренные ниже численные методы решения нелинейных уравнений позволяют находить один корень на заданном интервале [a,b]. При этом на интервале должен существовать только один корень. Рассмотрим несколько методов решения нелинейных уравнений. Решить нелинейное уравнениеуказанными в табл. Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию Структограмма метода приведена на рисунке.
Министерство образования и науки российской федерации. Предназначено для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения, изучающих данный курс. Задача отыскания корней нелинейных уравнений вида. Все нелинейные уравнения можно разделить на два типа:. Алгебраическими называются уравнения, содержащие только алгебраические функции например, полином. Уравнения, содержащие функции тригонометрические, логарифмические и др. Как правило, встречающиеся на практике уравнения не удается решить точными методами, когда решение уравнения можно записать в виде конечной формулы. Так методы решения линейных и квадратных уравнений были известны ещё древним грекам. Решение алгебраических уравнений третьей и четвертой степеней было получено итальянскими математиками Ферро, Кардано, Феррари в XV веке. Однако, как доказал в ых годах XIX века норвежский математик Н. Абель, общее уравнение пятой и более высоких степеней неразрешимо в радикалах. Для трансцендентных уравнений задача поиска корней ещё более осложняется. Возьмем в качестве модельного очень простое уравнение. В тех случаях, когда не удается найти аналитическое решение уравнения, важное значение приобретают универсальные вычислительные методы отыскания корней. Обычно эти методы не накладывают ограничений на конкретный вид функции f x , а предполагают только, что она обладает некоторыми свойствами типа непрерывности, дифференцируемости и т. Такие методы называют, как правило, итерационными, то есть позволяющие получать лишь приближенное значение корня за некоторое число шагов. Большинство этих методов предполагают, что заранее известны достаточно малые окрестности, в каждой из которых имеется только один корень. Приближенное значение корня может быть найдено различными способами: Отметим, что уточняющие методы описываются для решения трансцендентных уравнений, однако все нижеописанные способы решения трансцендентных уравнений могут использоваться для отыскания действительных корней алгебраических уравнений. Для отделения корней полезна теорема о существовании корня. Теорема о существовании корня непрерывной функции. Обратим внимание на то, что, гарантируя существование решения уравнения, теорема не позволяет определить число его корней на отрезке. Требование непрерывности f x во всех точках интервала [a,b] существенно. При наличии хотя бы одной точки разрыва, утверждения теоремы становятся неверным. Таким образом, для отыскания интервала, содержащего корень уравнения необходимо отыскать интервал смена знака функции. Для обеспечения единственности корня, необходимо потребовать, чтобы функция была бы монотонна на [a,b]. В качестве примера решения задачи отделения корней модельного уравнения на рис. Формирование таблицы значений функции проводится с помощью программы, записанной на языке VBA. График оформлен с помощью точечной диаграммы. На построенном графике видно, что единственной корень находится на интервале [0. Алгебраическое уравнение n-ой степени. Задача отделения корней алгебраических уравнений изучена достаточно хорошо. Приведем ряд утверждений, доказываемых в курсах высшей алгебры, которые дают возможность найти область расположения корней и решить задачу их отделения. Для определения границ расположения действительных корней можно использовать следующую оценку:. Эту оценку можно использовать для границ построения графика функции. Э то один из простейших методов но и самый надёжный нахождения корней нелинейного уравнения. Он состоит в следующем. На концах отрезка функция имеет значения разных знаков. Если знак функции на левой границе f a и знак функции в средней точке f x совпадают, то на основании теоремы о существовании корня на интервале [a,x] корня быть не должно. В этом случае перенесем координату левой границы в среднюю точку и повторяем процедуру деления отрезка ещё раз. В том случае, когда знак функции на левой границе и в средней точке отличаются, отбрасываем под интервал [x,b], то есть переносим правую границу в среднюю точку. Таким образом, после каждого деления отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, так как после уточнений он сократится в 2 n раз. Если длина исходного интервала равна b — a, то после n шагов достигается точность. Процесс уточнения продолжается до тех пор, пока длина расчетного интервала не станет меньше заданной точности решения Е. При этом значение F a вычисляется всего один раз, так как для анализа нужен только один знак функции на левой границе. Требуемое обычно большое число итераций по сравнению с некоторыми другими методами не является существенным препятствием к применению этого метода на достаточно мощных современных ПЭВМ. Существуют и другие методы определения координаты пробной точки интервала [a,b]. С точки зрения расчета, в блок-схеме рис 2. Метод хорд секущих, линейной интерполяции. Метод хорд можно рассматривать как дальнейшую модификацию метода половинного деления, так как в нем заложена исходная идея:. В методе секущих, вместо того, чтобы делить отрезок [a,b] пополам, более естественно разделить его в отношении. Точка пересечения прямой с осью абсцисс. Блок-схема метода хорд аналогична приведенной на рис 2. Кроме того, в блок-схему необходимо ввести действие запоминания значения функции на новом интервале. Для модельного уравнения для исходного интервала [0. Очевидно, что для данного уравнения метод хорд дает существенное ускорение сходимости. В этом методе заложена иная идея, по сравнению с методом половинного деления. Заменим исходное уравнение на равносильное. Отметим, что таких замен может быть бесконечное множество. Перенося функцию cos x в правую часть, получаем равносильное уравнение вида. Прибавляя к обеим частям исходного уравнения x, получаем уравнение. Наконец, взяв от обеих частей первого уравнения функцию arccos, получаем. Выберем приближенное значение корня x 0 и подставим в правую часть уравнения 3. В результате подстановки получим некоторое число. Например, для уравнения 3. Подставляя теперь в правую часть уравнения 3. Так для уравнения 3. Повторяя этот процесс неоднократно, получим последовательность значений. Если существует предел последовательности x i и он конечен и равен С. Геометрически метод простых итераций можно проиллюстрировать следующим образом рис 3. Вновь полученное значение x 1 используем для нахождения следующего приближения x 2. Каждое последующее приближение x i будет находиться все дальше и дальше от корня. Поэтому для практического использования метода простых итераций нужно определить условие сходимости. Для оценки условия погрешности используется теорема Лагранжа:. Отсюда следует условие сходимости метода простых итераций:. В данном алгоритме предполагается, что итерационный процесс сходится. Так для модельного уравнения, условие сходимости для преобразования 3. Скорость сходимости метода последовательных приближений зависит в первую очередь от величины первой производной. Так выполняя оценку скорости сходимости метода половинного деления. Метод Ньютона является одним из наиболее быстросходящихся методов решения нелинейного уравнения. Возьмем произвольную точку x 0 и запишем в ней уравнения касательной к графику функции f x. Д ля определения координаты точки пересечения касательной х с осью ординат имеем уравнения. Формально, формула Ньютона 4. Отсюда следует два важных вывода:. Если представить формулу Ньютона в виде. Анализ этой зависимости позволяет сделать следующие выводы:. Считается, что метод Ньютона обладает квадратичной сходимостью, то есть на каждой итерации погрешность возводится в квадрат, то есть число верных знаков удваивается. Однако скорость сходимости здесь значительно выше. Итерационную формулу можно получить также из разложения в ряд Тейлора функции f x с ограниченным линейным членом. Если в разложении оставить квадратные члены, получим формулу Чебышева третьего порядка:. Зачастую простота организации вычислительного процесса превуалирует над сложностью расчетной формулы. Чаще бывает проще использовать простой алгоритм метода половинного деления или хорд, чем использовать быстросходящиеся методы Ньютона, а тем более Чебышева. Выше был рассмотрен ряд методов решения нелинейных уравнений. Ситуация, когда одну и ту же математическую задачу можно решить с помощью разных методов, является довольно типичной. В таких случаях естественно возникает необходимость сравнения их между собой. При оценке эффективности численных методов их сравнение проводят по трем параметрам:. Рассмотрим с этой точки зрения на описанные выше методы решения уравнений. Наиболее универсальными являются методы серии половинного деления половинного деления, хорд: Методы итераций, Ньютона и Чебышева накладывают серьезные ограничения. Во многих случаях это может оказаться решающим. С точки зрения простоты организации вычислительного процесса все методы имеют одинаковый порядок сложности. В плане контроля за точностью методы серии половинного деления имеют значительное преимущество. В этих методах всегда присутствует двусторонняя оценка значения корня. В итерационных методах приближение к корню, как правило, одностороннее. К роме того, условие окончания итерационного процесса может оказаться ошибочным, что наглядно видно на рис. Кроме того, сходимость итерационных методов зависит от того насколько удачно выбрано начальное приближение. Обычно эффективным считается метод, получающий решение с минимальными затратами памяти и времени ЭВМ. Все вышеперечисленные методы не требуют затрат памяти ЭВМ. С точки зрения минимальности затрат времени расчета — ответ не однозначен. Самым медленным считается, метод половинного деления хотя при 0. В методах Ньютона и Чебышева решение находится за наименьшее число операций. Однако, если функция сложная, то её первая производная имеет ещё более сложный вид вторая производная ещё сложнее. Поэтому, суммарные временные затраты на одном итерационном шагу могут быть весьма существенными, так что время затраченное на 20 шагов метода простых итераций может быть меньше суммарных временных затрат шагов метода Ньютона. В том случае, когда необходимо получить решение за минимальное число шагов следует использовать методы Ньютона или Чебышева. Как уже отмечалось ранее, методы решения трансцендентных уравнений пригодны и для нахождения корней алгебраического уравнения. После отыскания ряда действительных корней уравнения, можно понизить его порядок путем последовательного деления многочлена на линейные множители. Например, для уравнения пятого порядка было найдено три действительных корня. Тогда, проводя последовательное деление исходного многочлена и его частных на линейные множители x-x 1 , x-x 2 , x-x 3 , получим уравнение второго порядка для решения которого можно использовать классические формулы. Приведем известные формулы для решения алгебраических уравнений. Уравнение приводится к неполному виду с помощью подстановки. Корни уравнения y 1 , y 2 , y 3 "неполного" уравнения равны:. Кубическое уравнение имеет или один действительный корень и два сопряженных комплексных корня, или три действительных корня, по крайней мере, два из которых равны, или три различных действительных корня в зависимости от того, будет ли Q соответственно положительно, равно нулю, или отрицательно. Во всех случаях берется действительное значение кубического корня. Корни y 1 , y 2 , y 3 , y 4 "неполного" уравнения равны одному из выражений. Причем z 1 , z 2 , z 3 — корни кубического уравнения. Если y 1 — произвольный корень кубического уравнения. Лобачевский предложил в году метод нахождения корней алгебраического уравнения. В дальнейшем он был усовершенствован Графе и Дандленом, и поэтому в литературе его часто связывают с их именами. Метод Лобачевского не предполагает знания начального приближения корней — это его основное достоинство. Он хорошо работает, если уравнение имеет только действительные корни и не имеет корней, равных или близких по модулю. В методе Лобачевского предварительно выполняют процесс квадрирования корней. При квадрировании каждый коэффициент преобразованного уравнения равен квадрату прежнего коэффициента, минус удвоенное произведение соседних с ним коэффициентов в порядке близости к исходному коэффициенту и т. Однако, метод не является универсальным, так как имеются корни, для отыскания корней которых он неприемлем. Но и в условиях его применимости при наличии комплексных корней его реализация на ЭВМ сильно затруднена. Из-за сложной логики практически достаточно сложно составить универсальную программу решения широкого класса алгебраических уравнений. Наиболее универсальным методом нахождения всех корней алгебраических уравнений является способ выделения квадратного трехчлена. Пусть требуется найти частное и остаток от деления многочлена. Если p,q определяют корни исходного многочлена, остаток от деления R x равен 0. Раскрывая скобки в 6. Решая систему нелинейных уравнений 6. Поиск корней квадратного уравнения проводится по классической схеме. Полученный от деления остаток можно вновь подвергнуть процессу выделения квадратного трехчлена с целью понижения порядка уравнения и поиска двух очередных корней. Проблема поиска корней методом выделения квадратного трехчлена заключается в решении системы нелинейных уравнений 6. В методе Лина для поиска решения системы уравнений используется метод простых итераций. Задаваясь начальными значениями p 0 ,q 0 , последовательно определяя значения b n -3 0 ,b n -2 0 , Выбирая значения p,q, в качестве следующих приближений для p,q повторяем процедуру поиска b,p,q вплоть до сходимости. Следует помнить, что метод простых итераций является условно-сходящимся, однако практически приемлемых критериев сходимости этого метода в общем случае нет. Приведем лишь один результат:. При практической реализации метода Лина необходимо следить за числом итераций. Если число итераций выходит за разумный предел — следует полагать, что метод расходится для выбранного уравнения. Например, для алгебраического уравнения. При отсутствии сходимости метода Лина можно применить следующий прием. Как показывают дополнительные исследования, наихудшей сходимостью обладает сходимость по p и q. Для улучшения сходимости можно применить модифицированную формулу простых итераций по p и q:. Расчёты показывают, что при практического использовании модифицированного метода Лина достаточно взять L равным Введение коэффициента L несколько уменьшает скорость сходимости, однако позволяют получить конечный результат. В методе Хичкока для решения системы нелинейных уравнений 6. Использование метода Ньютона для решения системы уравнений 6. Поэтому в методе Хичкока применяется последовательное двукратное выделение квадратного трехчлена с укрощения расчетной схемы. Уточнение значение p и q проводится по формулам:. Значения производных находятся по формулам:. Величины P p k ,q k и Q p k ,q k определяются из тождества. Блок-схема вычислительного процесса приведена на рис. Отметим, что численная реализация метода Хичкока существенно сложнее, чем метод Лина, поэтому для практического отыскания корней алгебраического уравнения удобнее применять метод Лина или его модификацию. Для тестирования программы ниже приведены контрольные параметры. Практикум по вычислительной математике. Численное решение нелинейных уравнений и систем уравнений. Методы простой итерации и Ньютона. Численное решение нелинейных уравнений и систем уравнений Этапы Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Итак, численные методы решения нелинейного уравнения состоят из трех этапов: Применение таких численных методов позволяет Такие компоненты в решениях могут
30 причин почемутымоя лучшая подруга
Александр солженицын стихи
Как выбрать люстру в гостиную
Сколько стоит создать сервер в майнкрафт
Сколько стоит обучение в автошколе в москве