ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЭКСПЕРИМЕНТА
Основные понятия и планирование эксперимента
Основные понятия теории планирования эксперимента.
Следующим этапом после создания математической модели и её программной реализации является постановка вычислительного эксперимента. В теории планирования эксперимента исследуемый объект рассматривается как черный ящик, имеющий входы Xи выходыY. Переменные Х принято называть факторами. Факторы в эксперименте могут быть — качественными и количественными. Качественные факторы можно квантифицировать или прописать им числовые обозначения, тем самым перейти к количественным значениям. В дальнейшем будем полагать, что все факторы являются количественными, представленными непрерывными величинами. Переменным Х можно сопоставить геометрическое понятие факторного пространства, то есть пространства, координатные оси которого соответствуют значениям факторов. Совокупность конкретных значений всех факторов образует точку в многомерном факторном пространстве. Но, к сожалению не все так хорошо. На объект воздействуют возмущающие факторы. Они являются случайными и не поддаются управлению. Область планирования задается интервалами возможного изменения фактора: Нормализация факторов — преобразование натуральных значений факторов в безразмерные кодированные величины. Переход i-ого значения задается следующей формулой: X i0 - натуральное значение основного уровня фактора, соответствующее нулю в безразмерной шкале. Совокупность основных уровней всех факторов представляет собой точку в пространстве параметров, называемой центральной точкой плана или центром эксперимента. С геометрической точки зрения нормализация факторов равноценна линейному преобразованию пространства факторов, при котором проводятся две операции. Перенос начала координат в точку соответствующую значениям основных уровней факторов. План эксперимента задаёт совокупность данных, определяющих количество, условия и порядок реализации опытов. Опыт составляет элементарную часть эксперимента и предусматривает воспроизведение исследуемого явления в конкретных условиях с последующей регистрацией результатов. В условиях случайности при одних и тех же условиях проводятся параллельные или повторные опыты, для получения статистически устойчивых результатов. Опыт U предполагает задание конкретных значений фактора Х: Совокупность значений факторов во всех N точках плана эксперимента образует матрицу плана:. Элемент матрицы задает значение i-ого фактора в j-ом опыте. Реализовав испытание N факторного пространства, определенным фактором эксперимента, получим вектор наблюдений, имеющий следующий вид:. Зависимость отклика от факторов носит название функции отклика , а геометрическое представление функции отклика - поверхностью отклика. Функция отклика рассматривается как показатель качества или эффективности объекта. Этот показатель является функцией от параметров, в качестве которых выступают факторы. Такое представление функции отклика соответствует линейной по параметрам модели регрессионного анализа, то есть функция отклика есть линейная комбинация базисных функций от фактора. Из-за влияния на результаты эксперимента случайных воздействий, истинное значение коэффициентов можно определить только приближенно. Оценку вектора находят по результатам экспериментов. В ходе, которых мы получаем значение при заданных значениях факторов. Эти оценки обычно оцениваются с помощью метода наименьших квадратов. Если не принимать специальных мер, то оценки коэффициентов станут взаимозависимыми и полученное выражение для функции отклика можно рассматривать как интерполяционную формулу, что затрудняет её физическую интерпретацию и последующие расчеты. Для этого нужно формировать специальным образом матрицу плана. И эти величины будут характеризовать вклад каждого фактора в значение функции отклика. Основная задача - определение основных формул функций отклика. В большинстве случаев вид этой функции, получаемой из теоретических соображений, является сложным для практического применения. Тогда системой базисной функции является совокупность степенных функций с целыми неотрицательными значениями показателя степени:. Такая функция отклика линейна относительно неизвестных коэффициентов и будет полностью определена, если задана степень полинома и коэффициенты. Степень полинома обычно задается исследователем априорно. На практике широкое распространение имеют полиномы первого и второго порядка. Коэффициенты полинома принято называть эффектами факторов. Поэтому первоначальной задачей при исследовании имитационной модели является отсеивание несущественных факторов, позволяющие упростить вычисления функции отклика. Одним из методов решения этой задачи является метод дисперсионного анализа. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Основные понятия теории планирования эксперимента. Совокупность значений факторов во всех N точках плана эксперимента образует матрицу плана: Строки матрицы соответствуют опытам, столбцы - фактором. Реализовав испытание N факторного пространства, определенным фактором эксперимента, получим вектор наблюдений, имеющий следующий вид: Функции принято обозначать в некотором универсальном виде - в виде полинома. Тогда системой базисной функции является совокупность степенных функций с целыми неотрицательными значениями показателя степени: Соседние файлы в папке лекции
Языки программирования Паскаль Си Ассемблер Java Matlab Php Html JavaScript CSS C Delphi Турбо Пролог 1С. Компьютерные сети Системное программное обеспечение Информационные технологии Программирование. Машинный эксперимент проводится с целью получения информации о характеристиках процесса функционирования рассматриваемого объекта. Эта информация может быть получена как для анализа характеристик, так и для синтеза структуры, алгоритмов и параметров системы S. В зависимости от поставленных целей моделирования системы S на ЭВМ имеются различные подходы к организации имитационного эксперимента. Эффективность машинных экспериментов с моделями М м существенно зависит от выбора плана эксперимента, так как именно план определяет объем и порядок проведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистической обработки результатов моделирования системы S. Планирование эксперимента — это постановка опытов по некоторой заранее составленной схеме; средство построения математической модели реального процесса; и способ сокращения средств и времени. Основная задача планирования машинных экспериментов с моделью М м формулируется следующим образом: К числу частных задач, решаемых при планировании машинных экспериментов, относятся задачи уменьшения затрат машинного времени на моделирование, увеличения точности и достоверности результатов моделирования, проверки адекватности модели и т. Таким образом, при машинном моделировании целесообразно планировать и проектировать не только саму модель М м системы S , но и процесс ее использования, т. Несмотря на то что цели экспериментального моделирования на ЭВМ и проведения натурных экспериментов совпадают, между ними существуют различия, поэтому для планирования эксперимента наиболее важное значение имеет следующее:. Преимуществом машинных экспериментов перед натурными является возможность полного воспроизведения условий эксперимента с моделью исследуемой системы S. Простота прерывания и возобновления машинного эксперимента позволяет применять последовательные и эвристические приемы планирования, которые могут оказаться нереализуемыми в экспериментах с реальными объектами. Недостатком машинных экспериментов является то, что часто возникают трудности, связанные с наличием корреляции в выходных последовательностях, т. Так как в большинстве существующих методов планирования экспериментов предполагается независимость наблюдений, то многие из этих методов нельзя применять непосредственно для машинных экспериментов. При таком кибернетическом подходе различают входные и выходные переменные: Модели динамических систем делятся на детерминированные и статистические. Статистической моделью системы управления является и детерминированная модель с добавлением к выходной величине случайной ошибки. Эти модели бывают стационарные и нестационарные. В свою очередь стационарные модели могут быть эргодические и неэргодические. Для эргодического процесса , если взять достаточно большой интервал времени, то по одной реализации можно создать представление о случайном процессе в целом. Для неэргодического процесса среднее значение для каждой реализации своё и здесь нельзя с помощью одной реализации описать процесс. B зависимости от того, какую роль играет каждая переменная в проводимом эксперименте, она может являться либо фактором, либо реакцией. В экспериментах с машинными моделями М м системы S фактор является независимая или управляемой входной переменной, а реакция — зависимой выходной переменной. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний рассматриваемой системы. Одновременно этот набор представляет собой условия проведения одного из возможных экспериментов. Каждому фиксированному набору уровней факторов соответствует определенная точка в многомерном пространстве, называемом факторным пространством. Функцию, связывающую реакцию с факторами, называют функцией реакции, а геометрический образ, соответствующий функции реакции,— поверхностью реакции. Факторы могут быть управляемыми и неуправляемыми, наблюдаемыми и ненаблюдаемыми, изучаемыми и неизучаемыми, количественными и качественными, фиксированными и случайными. Фактор называется управляемым, если его уровни целенаправленно выбираются исследователем в процессе эксперимента. Фактор называется наблюдаемым, если его значения наблюдаются и регистрируются. Неуправляемый фактор также можно наблюдать. Наблюдаемые неуправляемые факторы называются сопутствующими. Фактор относится к изучаемым, если он включен в модель М м для изучения свойств системы S , а не для вспомогательных целей. Фактор будет количественным, если его значения — числовые величины, влияющие на реакцию, а в противном случае фактор называется качественным. Фактор называется фиксированным, если в эксперименте исследуются все интересующие экспериментатора значения фактора, а если экспериментатор исследует только некоторую случайную выборку из совокупности интересующих значений факторов, то фактор называется случайным. Под управляемостью фактора понимается возможность установки и поддержания выбранного нужного уровня фактора постоянным в течение всего испытания или изменяющимся в соответствии с заданной программой. Требование непосредственного воздействия на объект имеет значение в связи с тем, что трудно управлять фактором, который является функцией других факторов. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы, а независимость соответствует возможности установления фактора на любом уровне независимо от уровней других. Эксперименты могут быть реализованы лишь в тех точках факторного пространства, которые принадлежат допустимой области. Выбор экспериментальной области факторного пространства связан с тщательным анализом априорной информации, так как в этой области находят локальную подобласть для планирования эксперимента. Интервалом варьирования факторов называют некоторое число, прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание - нижний уровни факторов. После этого выбирают основной уровень. За основной уровень принимаются те значения факторов, при которых выходная величина принимает лучшее значение, причем эта точка не должна лежать близко к границам области. Через эту точку проводят новые оси координат, параллельно осям натуральных значений факторов. Затем для каждого фактора выбирают масштабы по новым осям. На выбор интервала варьирования накладываются естественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше ошибки, которая допускается при фиксации уровня фактора, так как в этом случае верхний и нижний уровни будут неразличимы. И, с другой стороны, интервал варьирования ограничен сверху пределами области определения. Например, температура принципиально не может быть ниже абсолютного нуля и выше температуры плавления материала, из которого изготовлена термобарокамера. Уровни, записанные в таких обозначениях, называются кодированными:. После определения интервалов варьирования выбирают значения факторов, то есть число уровней для каждого фактора. Это число не может быть меньше двух, то есть если сделать один уровень, то фактор окажется постоянным во всех опытах. Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом ПФЭ. При двух уровнях факторов получают полный факторный эксперимент типа 2 К. Число опытов для данного случая будет равно. Условия эксперимента записываются в виде таблицы. Ее строки соответствуют различным опытам вектор-строка , а столбцы — значениям факторов в кодированном виде вектор-столбцы. Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента МПЭ. План эксперимента можно представить геометрически рис. Для плана 2 2 каждая комбинация факторов представляет собой вершину квадрата. К свойствам МПЭ типа относятся те, которые определяют качество модели, то есть эти свойства дают наилучшие оценки коэффициентов модели. Первые два свойства вытекают из построения матрицы. Симметричность относительно центра эксперимента. Алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равно нулю , где j - номер фактора, N - число опытов. Сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов. Сумма почленных произведений любых двух векторов-столбцов матрицы равна нулю , где. Ортогональные планы делают эксперимент более эффективным. Ортогональность плана позволяет получить оценки для коэффициентов уравнения регрессии независимые друг от друга. Иными словами ортогональность характеризует отсутствие корреляции между факторами. Однако, если имеет место нелинейность, то столбцы взаимодействий окажутся неразличимы, закоррелироваными с некоторыми столбцами линейных эффектов. Это приводит к тому, что по результатам данного эксперимента становится невозможным разделить коэффициенты регрессии между линейными и нелинейными факторами. Это такие планы, для которых дисперсия одинакова для всех точек пространства переменных x , лежащих на одинаковых расстояниях от центра. Достаточно часто имеет место взаимодействие факторов, тогда в таблице эксперимента перемножают соответствующие столбы. Экспериментально-статистические методы в основном базируются на использовании пассивного и активного эксперимента. При пассивном эксперименте исследователь находится в роли пассивного наблюдателя. Эксперимент ведет сама природа. Экспериментатору приходится только фиксировать значения входных и выходных величин. Модели, полученные методом пассивного эксперимента, почти не удается проверить на адекватность. При активном эксперименте исследователь вмешивается в процесс эксперимента путем варьирования уровней входных величин. В рамках активного эксперимента построение модели проходит следующие этапы:. На практике экспериментатору приходится чаще планировать не один, а несколько экспериментов, выполняя и анализируя каждый и, в соответствии с результатами, изменять план эксперимента. Стратегия такого эксперимента показана на рис. Применяя системный подход к планированию машинных экспериментов, можно выделить две составляющие планирования: Стратегическое планирование ставит своей целью решение задачи получения необходимой информации о системе S с помощью модели М м , реализованной на ЭВМ. По своей сути стратегическое планирование аналогично внешнему проектированию при создании системы S , только здесь в качестве объекта выступает процесс моделирования системы. При стратегическом планировании машинных экспериментов возникает ряд проблем, взаимно связанных с особенностями функционирования моделируемого объекта системы S , с особенностями машинной реализации модели М м и обработки результатов эксперимента. В первую очередь к таким проблемам относятся: Основная проблема стратегического планирования машинных экспериментов — это наличие большого количества факторов. Когда при моделировании требуется полный факторный анализ, то проблема большого количества факторов может не иметь решения. Достоинством полных факторных планов является то, что они дают возможность отобразить всю поверхность реакции системы, если количество факторов невелико. Эффективность этого метода существенно зависит от природы поверхности реакции. Следующей проблемой стратегического планирования является многокомпонентность функция реакции. В имитационном эксперименте с вариантами модели системы S на этапе ее проектирования часто возникает задача, связанная с необходимостью изучения большого числа переменных реакции. Эту трудность в ряде случаев можно обойти, если разделить имитационный эксперимент на несколько имитационных экспериментов, в каждом из которых исследуется наблюдается только одна реакция. Проблема стохастической сходимости результатов машинного эксперимента возникает вследствие того, что целью проведения конкретного эксперимента при исследовании и проектировании системы S является получение на ЭВМ количественных характеристик процесса функционирования системы S с помощью машинной модели М м. В качестве таких характеристик наиболее часто выступают средние значения, находящиеся путем многократных прогонов модели на ЭВМ, причем, чем больше выборка, тем больше вероятность того, что выборочные средние приближаются к истинным средним. Сходимость выборочных средних с ростом объема выборки называется стохастической сходимостью. Следовательно, необходимо большое количество экспериментов. Структурная модель выбирается исходя из того, что должно быть сделано, а функциональная — из того, что может быть сделано. Структурная модель плана эксперимента характеризуется числом факторов и числом уровней для каждого фактора. Число элементов эксперимента равно. При этом под элементом понимается структурный блок эксперимента, определяемый как простейший эксперимент в случае одного фактора и одного уровня. Функциональная модель плана эксперимента определяет количество элементов структурной модели N ф , т. При этом функциональная модель может быть полной и неполной. Функциональная модель называется полной, если в оценке реакции участвуют все элементы, т. Таким образом, использование при стратегическом планировании машинных экспериментов структурных и функциональных моделей плана позволяет решить вопрос о практической реализуемости модели на ЭВМ исходя из допустимых затрат ресурсов на моделирование системы S. Тактическое планирование представляет собой определение способа проведения каждой серии испытаний машинной модели, предусмотренных планом эксперимента, и оно связано с вопросами эффективного использования выделенных для эксперимента машинных ресурсов. Тактическое планирование машинного эксперимента связано, прежде всего, с решением следующих проблем:. Первая проблема при проведении машинного эксперимента возникает вследствие искусственного характера процесса функционирования модели М м , которая в отличие от реальной системы S работает эпизодически. Решение второй проблемы тактического планирования связано с оценкой точности и достоверности результатов моделирования при конкретном методе реализации модели, например, методе статистического моделирования на ЭВМ при заданном числе реализаций объеме выборки , и с оценкой необходимого числа реализаций при заданных точности и достоверности результатов моделирования системы S. С выбором количества реализаций при обеспечении необходимой точности и достоверности результатов тесно связана проблема уменьшения дисперсии. В настоящее время существуют методы, позволяющие при заданном числе реализаций увеличить точность оценок, полученных на машинной модели М м , и, наоборот, при заданной точности оценок сократить необходимое число реализаций при статистическом моделировании. Эти методы используют априорную информацию о структуре и поведении моделируемой системы S и называются методами уменьшения дисперсии. Простейший способ решения проблемы автоматической остановки имитационного эксперимента — задание требуемого количества реализаций N, или длины интервала моделирования Т. Однако такой подход неэффективен, так как в его основе лежат достаточно грубые предположения о распределении выходных переменных, которые на этапе планирования являются неизвестными. Другой способ — задание доверительных интервалов для выходных переменных и остановка прогона машинной модели М м при достижении заданного доверительного интервала, что позволяет теоретически приблизить время прогона к оптимальному. Однако, введение в модель М м правил остановки и операций вычисления доверительных интервалов увеличивает машинное время, необходимое для получения одной точки. Таким образом, чем сложнее машинная модель М м , тем важнее этап тактического планирования машинного эксперимента. Процесс планирования машинных экспериментов с моделью М м носит итерационный характер, т. Не нашли то, что искали? Google вам в помощь! Основные понятия планирования эксперимента. Стратегическое и тактическое планирование. Рассмотрим основные понятия теории планирования экспериментов. Основными требованиями, предъявляемыми к факторам, являются: Уровни, записанные в таких обозначениях, называются кодированными: В рамках активного эксперимента построение модели проходит следующие этапы: В стратегическом планировании машинных экспериментов можно выделить следующие этапы: Тактическое планирование машинного эксперимента связано, прежде всего, с решением следующих проблем: Правила автоматической остановки могут быть включены в машинную модель следующими способами:
Описание структуры вычислительных сетей
Оформить ипотеку в бинбанке
20 бит сколько байт
Сколько стоит поездка в сочи на поезде
Тошнит по утрам причины мужчина