Метод Ньютона
Численные методы решения нелинейных уравнений
Численные методы: решение нелинейных уравнений
Метод был впервые предложен английским физиком , математиком и астрономом Исааком Ньютоном — Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Модификацией метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации , в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства. Основная идея метода заключается в следующем: Эта точка берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность. Пусть 1 вещественнозначная функция f x: Подчёркиванием отмечены верные значащие цифры. Видно, что их количество от шага к шагу растёт приблизительно удваиваясь с каждым шагом: Возьмём нуль в качестве начального приближения. Первая итерация даст в качестве приближения единицу. В свою очередь, вторая снова даст нуль. Метод зациклится и решение не будет найдено. В общем случае построение последовательности приближений может быть очень запутанным. Таким образом сходимость метода не квадратичная, а линейная, хотя функция всюду бесконечно дифференцируема. Ниже приведена формулировка основной теоремы, которая позволяет дать чёткие условия применимости. Она носит имя советского математика и экономиста Леонида Витальевича Канторовича — Тогда справедливы следующие утверждения: Из последнего из утверждений теоремы в частности следует квадратичная сходимость метода:. В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд , бесконечно малые и флюксии производные в нынешнем понимании. Указанные работы были изданы значительно позднее: Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Наконец, в году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента. Эта работа открыла путь к изучению теории фракталов. Значение производной в итерационной формуле заменяется её оценкой по двум предыдущим точкам итераций:. Этот метод схож с методом Ньютона, но имеет немного меньшую скорость сходимости. Порядок сходимости метода равен золотому сечению — 1, В целях уменьшения числа обращений к значениям производной функции применяют так называемый метод одной касательной. Этот метод является частным случаем метода простой итерации. Он имеет линейный порядок сходимости. Применим изложенный выше метод Ньютона:. Следует отметить, что в случае квадратичной функции метод Ньютона находит экстремум за одну итерацию. Нахождение матрицы Гессе связано с большими вычислительными затратами, и зачастую не представляется возможным. В таких случаях альтернативой могут служить квазиньютоновские методы , в которых приближение матрицы Гессе строится в процессе накопления информации о кривизне функции. Основное отличие заключается в том, что на очередной итерации каким-либо из методов одномерной оптимизации выбирается оптимальный шаг:. На практике часто встречаются задачи, в которых требуется произвести настройку свободных параметров объекта или подогнать математическую модель под реальные данные. В этих случаях появляются задачи о наименьших квадратах:. Эти задачи отличаются особым видом градиента и матрицы Гессе:. В противном случае можно записать:. Улучшением метода является алгоритм Левенберга — Марквардта , основанный на эвристических соображениях. До сих пор в описании метода использовались функции, осуществляющие отображения в пределах множества вещественных значений. Однако метод может быть применён и для нахождения нуля функции комплексного переменного. При этом процедура остаётся неизменной:. Ввиду того, что функция может иметь несколько нулей, в различных случаях метод может сходиться к различным значениям, и вполне естественно возникает желание выяснить, какие области обеспечат сходимость к тому или иному корню. Этот вопрос заинтересовал Артура Кейли ещё в году , однако разрешить его смогли лишь в 70 -х годах двадцатого столетия с появлением вычислительной техники. Ввиду того, что Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам , фракталы, образованные в результате такого применения, обрели название фракталов Ньютона или бассейнов Ньютона. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. У этого термина существуют и другие значения, см. Метод Гаусса — Ньютона нужна отдельная статья , Gauss—Newton algorithm на англ. Пусть дана функция вещественного переменного дважды непрерывно дифференцируемая в своей области определения , производная которой нигде не обращается в нуль: Численные методы решения уравнений Алгоритмы оптимизации Исаак Ньютон. Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. В других проектах Викисклад. Эта страница последний раз была отредактирована 4 мая в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия. Согласно способу практического определения скорость сходимости может быть оценена как тангенс угла наклона графика сходимости, то есть в данном случае равна двум.
Скачать игру память на планшет
Планы шмо на 2016 год
Веселые друзья стих
Горжусь мужем стихи
Норвежский крем для рук
Проблемы развития вексельного рынка