Второй способ решения диофантова уравнения
Линейное диофантово уравнение и 4 способа его решения
Диофантовы уравнения
Данная работа посвящена одному из наиболее интересных разделов теории чисел -. Целью настоящей работы является углубление и систематизация знаний, полученных. Многие задания, изложенные в данной работе, могут. Красноярский Государственный Педагогический Университет. Данная работа посвящена одному из наиболее интересных разделов теории чисел - решение диофантовых уравнений ДУ. Свойства делимости и диофантовы уравнения. Диофантовы уравнения, допускающие разложение на множители. Метод подстановки в решении диофантовых уравнений: Сравнения и диофантовы уравнения. Задача о нахождении всех решений диофантовых уравнений второй степени. Это утверждение называется последней или великой теоремой Ферма. Жил Диофант, по-видимому, в 3 в. Двенадцатая часть протекла еще жизни -пухом покрылся тогда подбородок. И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,. Скажи, скольких лет жизни достигнув, Смерть воспринял Диофант? Без сомнения мы слышали про изотопы, изобары, изотермы. Решение в целых числах уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним переменным представляет собой одну из трудных проблем теории чисел. Ими занимались классики математики: Ферма , Л. Эйлер , Ж. Лагранж , К. Гаусс , П. Чебышев и др. Сначала он подсчитал головы, их оказалось Потом он подсчитал ноги, их было Пусть X-число кроликов, а Y-число фазанов. В задаче о фазанах и кроликах есть повод задуматься над таким вопросом: Попробуем решить задачу, составив уравнение обычным путем. Всего выдано кг, отсюда уравнение: Получается, что ящики по 40кг нам вовсе не нужны. Если задача имеет решение, то комбинировать придется ящики только по 16 и 17 кг. Это решение единственное, то есть других вариантов нет. Можно было бы, увидев, что ящики по 40 кг для решения задачи не нужны, пойти дальше иным путем. Если взять 6 ящиков по 16 кг, то есть подобрать такое число, делящееся на 16 , которое ближе всего к ,то окажется, что до не хватает 4 кг, значит 4 ящика из этих 6 надо заменить четырьмя ящиками по 17 кг, и получим тот же результат. Задач, похожих на эту, очень много, и многие из них имеют практическое значение. Да и вопросы, вытекающие из дополнительных условий, могут оказаться самыми разнообразными. И опять приходим к новому разделу математики. Этому разделу положил начало Диофант. Он рассматривал уравнения, которые сегодня мы записали бы, например, так: Мы будем рассматривать эти методы, но об этом далее…. В киоске имелись марки по 4 коп. Помогите мальчику и киоскеру выйти из создавшегося положения. Эта задача, в отличие от предыдущей, имеет не одно, а несколько решений. Аналогично рассуждая, получим, что задача имеет 4 различных решения: Вот, например, еще одна частная задача на неопределенные уравнения - теперь уже второй степени, возникшая примерно за две тысячи лет до Диофанта в Древнем Египте известно, что Диофант хорошо ее знал и часто использовал: Если стороны треугольника пропорциональны числам 3,4 и 5, то этот треугольник — прямоугольный. На веревке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы см. Безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора: Говоря иначе, числа 3,4,5-корни уравнения: Сразу же возникает вопрос: А есть ли еще такие тройки чисел? И нельзя ли, взяв произвольно одно из чисел, указать остальные два? Например, необходимо, чтобы меньший катет треугольника равнялся 4 см. Может ли в этом случае длина другого катета и гипотенузы выражаться целым числом сантиметров? Такие вопросы интересовали еще мудрецов Древнего Вавилона. Они нашли ответы на них. Знал это и Пифагор. Есть ли в нижней строке квадратные числа? Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствует и , отсюда находим вторую известную нам тройку: Это уже третья тройка. Она была известна еще в Древнем Египте. Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов. Составлять такие строки последовательности — довольно скучное и трудоемкое занятие. По формулам находить такие тройки чисел проще и быстрее. Эти формулы-правила были известны уже лет назад. По этому правилу можно получить уже известные нам тройки: Других мы пока не знаем, но следующее. Сделаем этот шаг и мы. Перепишем уравнение Пифагора следующим образом: Почему написаны коэффициенты 2 и почему написаны квадраты, а не просто числа a и b? Решив эту систему, получим: А теперь составим таблицу табл,1: Длины сторон целочисленные прямоугольных треугольников: Подчеркнем главное- уравнение решено, мы знаем способ вычисления всех возможных целочисленных значений длин сторон прямоугольных треугольников. При этом используются свойства: Рассмотрим уравнения, которые решаются с помощью указанного метода: Решить в целых числах уравнения: Поэтому данное уравнение в целых числах неразрешимо. Уравнение в цнлых числах неразрешимо, так как квадрат целого числа Y 2 при делении на 5 может давать остатки 0,1,4,но не 2,3, как этого требует уравнение. Уравнение в целых числах решения не имеет, так как квадрат целого числа при делении на 7 может давать остатки 0,1,2,4, но не 3,5,6, как этого требует уравнение. Число при делении на 8 дает остаток 7. Целых решений уравнения не имеют. Уравнения целых ненулевых решений не имеют, так как в левую часть простое число 7; P входит в четной степени, а в правую - в нечетной. Так как 44Y-1 не делится на 11, то правая часть делится на 11 лишь в первой степени, в то время как левая часть уравнения делится на четную степень числа Отсюда следует, что числа X-1,Y-1 оба равны либо 1, либо Уравнение имеет два решения: Приравнивая числа X-P,Y-P, возможным делителям числаP 2 ,произведение которых равно P 2 , найдем множество решений: Некоторые диофантовы уравнения могут быть решены в рациональных числах при помощи подстановки. Если в диофантовом уравнении второй степени с двумя переменными одно из переменных входит лишь во второй степени, то для нахождения целых решений таких уравнений могут быть применены подстановки Эйлера. К кубическому уравнению вида: Применим первую подстановку Эйлера: Ясно, что x 3 имеем: Применим свойства сравнений к решению некоторых уравнений. Многие уравнения, решаемые с помощью свойств делимости, могут быть решены при помощи сравнений. Неопределенные уравнения с двумя неизвестными: Подставим вместо xx 0 ,. Если в результате получим c ,то все доказано. Так как x 0 ;y 0 -решение D и пара x;y тоже берется как решение, тогда: Вычтем из а -б: По определению делимости следует, что существует t[-Z , такое что. Найти все целые решения: Школьники решают D методом спуска. Систематическое изучение диофантовых уравнений в средней школе способствует привитию навыков самостоятельной работы в математике и играет большую роль в повышении уровня математической подготовки школьников. Аналогично предыдущему примеру1 , из уравнения имеем: Подставив в уравнение, получим: Это возможно лишь при. Теперь уравнение 1 можно. Таким образом, при решении уравнения 1 можно ограничиться случаем, когда x и y взаимно просты. Тогда хотя бы одна из величин x и y. Так как числа a и b не имеют. Найдем теперь y и z из равенств 3. Сложение этих равенств дает: Вычитая второе из равенств 3 из первого, получим: Числа U и V связаны со взаимно простыми числами a и b равенствами: Как уже было сказано, формулы 7 дают только те решения уравнения. Все остальные целые положительные решения этого уравнения получаются домножением решений, содержащихся в формулах 7 , на произвольный общий множитель d. Тем же путем, каким мы получили все решения уравнения 1 , могут быть получены и все решения других уравнений того же типа. Найдем все решения уравнения 1: То же самое будет, если x и y или y и z делятся на p. Действительно, если х четно, то левая часть уравнения 1 будет четным числом и, значит, z также будет четным. Значит, если х четно, то все числа x, y, z должны быть четными. Итак, в решении без общего, отличного от 1 делителя х должно быть нечетным. Отсюда уже следует, что и z должно быть тоже нечетным. Решая эти две системы уравнений относительно x и z и находя y, мы получаем: Объединяя эти две формы представления решения x, y, z, мы получаем общую формулу: Но, для того, чтобы z, x [-Z, необходимо, чтобы n было четным. Ее автор, Пьер Ферма , еще при жизни был признан одним из величайших математиков Европы. Сегодня имя Ферма неотделимо от теории чисел , однако его теоретико-числовые работы были настолько революционны и так опережали свое время, что их значение не было понято современниками и слава Ферма основывалось главным образом на его достижениях в других областях математики: Свои научные результаты Ферма не публиковал. Диофанта, великого классического произведения древнегреческой математики, в году переведенного на латинский язык, Ферма оставил. Доказательства Ферма до нас не дошли, однако в тех случаях, когда он утверждал ту или иную теорему, впоследствии эту теорему удавалось доказать. Единственным исключением является следующие утверждение: Этот текст, сопровождаемый указанием: Таким образом, в переводе на современный математический язык Ферма утверждал, что уравнение: В настоящие время все специалисты твердо уверены в том, что Ферма не обладал доказательством этой теоремы и, сверх того, что элементарными методами ее нельзя доказать. Если для уравнений с двумя неизвестными мы можем дать ответ на вопрос о существовании конечного или бесконечного числа решений на множестве Z, то для уравнений с более чем двумя неизвестными выше второй степени дать ответ на этот вопрос можно только для весьма частных классов уравнений. В качестве примера остановимся на великой теореме Ферма. Замечательный французский математик Пьер Ферма высказал утверждение, что уравнение: Несмотря на то, что П. Ферма утверждал, что он имеет доказательство по-видимому, методом с пуска, о котором будет речь ниже этого утверждения, его доказательство впоследствии не было найдено. Обычные же целые числа разлагаются на простые множители единственным образом. Рассмотрим совокупность всех целых алгебраических чисел вида , где m и n — обычные целые числа. Легко видеть, что сумма и произведение двух таких чисел опять будут числом той же совокупности. Совокупность чисел, обладающая тем свойством, что она содержит любые суммы и произведения чисел, в неё входящих, называется кольцом. По определению, в нашем кольце содержатся числа 2, 3,. Каждая из этих чисел в этом кольце, как легко можно установить, будет простым, то есть не будет представляться в виде произведения двух не равных единице целых чисел нашего кольца. Для преодоления трудностей, связанных с не единственностью разложения на множители, Куммером была построена теория идеалов, которая играет в настоящие время исключительно большую роль в алгебре и теории чисел. Но даже с помощью этой теории полностью доказать великую теорему Ферма Куммер не смог и доказал ее только для n, делящихся хотя бы на одно из так называемых регулярных простых чисел. Не останавливаясь на расшифровке понятия регулярного простого числа, мы можем указать только, что до настоящего времени неизвестно, существует ли только конечное число таких простых чисел или их бесконечное множество. В настоящее время великая теорема Ферма доказана для многих n, в частности для любого n, делящегося на простое число, меньшее Великая теорема Ферма сыграла большую роль в развитии математики благодаря связанному с попытками ее доказательства открытию теорий идеалов. Но при этом следует отметить, что совсем другим путем и по другому поводу эта теория была построена замечательным русским математиком Е. Золотаревым, умершим в расцвете своей научной деятельности. В настоящее время доказательство великой теоремы Ферма, особенно доказательство, построенное на соображениях теории чисел, может иметь только спортивный интерес. Конечно, если это доказательство будет получено новым и плодотворным методом, то значение его, связанное со значением самого метода, может быть и очень большим. Следует отметить, что попытки, делающиеся любителями математики и в наше время, доказать теорему Ферма совсем элементарными средствами обречены на неудачу. Элементарные соображения, опирающиеся на теорию делимости чисел, были использованы еще Куммером и дальнейшая их разработка самыми выдающимися математиками пока ничего существенного не дала. Мы докажем даже более сильную теорему, именно, что уравнение. Из этой теоремы уже следует непосредственно отсутствие решений у уравнения 1. Если уравнение 2 имеет решение в целых, отличных от нуля числах x, y, z, то можно предполагать, что эти числа попарно взаимно просты. Разделив обе части уравнения 2 на d 4 , мы будем иметь, что. Итак, мы доказали, что если существует решение уравнения 2 в целых, отличных от нуля числах, то существует также решения в целых, отличных от нуля и взаимно простых числах. Поэтому нам достаточно доказать, что уравнение два не имеет решений в целых, отличных от нуля и попарно взаимно простых числах. В дальнейшем ходе доказательства мы, говоря, что уравнение 2 имеет решение, будем предполагать, что оно имеет решение в целых, положительных и попарно взаимно простых числах. Придадим несколько другой вид формулам 5 , определяющим все решения уравнения 4. Так как u и v - нечетные числа, то, положив. Поэтому, сделав в 5 замену u и v на а и b, мы получим, что все тройки целых положительных и попарно взаимно простых чисел x,y,z х — нечетное , являющиеся решениями уравнения 4 , определяются по формулам. Эти формулы показывают, что x и y разной четности. В противном случае левая часть этого равенства при делении на 4 давала бы в остатке 1, а правая, так как мы предположили а—четным, b—нечетным, Этот процесс получения решений уравнения 2 можно получать неограниченно, и мы получим последовательность решений. Этим доказано, что уравнение 2 не имеет решений. Следовательно, и уравнение 1 не имеет решений в целых положительных числах [x,y,z], так как в противном случае, если [x,y,z]- решение 1 , то [x,y,z 2 ]- решение 2. Метод доказательства, которым мы пользовались, заключавшийся в построении с помощью одного решения бесчисленной последовательности решений с неограниченно убывающими положительными z, называется методом спуска. Заметим, что мы доказали отсутствие целых решений не только у уравнения 2 , но и у уравнения. Допустим, что уравнение 15 имеет решение в целых положительных числах. Наличие общего делителя у двух из них влекло бы за собой существование общего делителя у всех трех. Так как [x 0 ,y 0 ,z 0 ] —решение уравнения 15 , то [x 0 2 ,y 0 2 ,z] будут решением уравнения. Мы уже видели, что квадрат нечетного числа при делении на 4 дает в остатке 1. Поэтому левая часть 18 при делении на 4 дает в остатке 1. Значит, в равенстве 18 скобка в правой части может входить только с плюсом. Теперь равенство 18 можно записать уже в форме. Отсюда окончательно следует соотношение. Но из вышеполученных равенств. Итак, имея решение [x 0 , y 0 , z 0 ], мы нашли другое решение. Таким образом, мы пришли к противоречию, допустив существование решения у уравнения 15 , и доказали, что это уравнение неразрешимо в целых, отличных от нуля числах. Более трехсот лет теорема Ферма привлекала внимание многих поколений математиков и служила беспрецедентным стимулом для развития математики. При попытках ее доказать были разработаны мощные средства, приведшие к созданию обширного раздела математики- теории алгебраических чисел. С помощью теоретико —числовой техники теорема Ферма была проверена для всех n. Найти целочисленные решения следующих уравнений: Элективный курс "Виды уравнений и приемы их решения" рассчитан на учащихся 10 классов. Предлагаемая программа курса позволит учителю повторить и систематизировать знания по решению простых уравнений, Уравнение — одно из ва Многие математические задачи сводятся к решению уравнений и неравенств. За время обучения математике школьникам приходится решать достаточно много уравнений и неравенств: Работа на уроке проводится в группах, на которые делится класс перед уроком. Социальная сеть работников образования ns portal. Детский сад Начальная школа Школа НПО и СПО ВУЗ. Главная Группы Мой мини-сайт Ответы на часто задаваемые вопросы Поиск по сайту Сайты классов, групп, кружков Сайты образовательных учреждений Сайты пользователей Форумы. Поиск по библиотеке Алгебра Астрономия Биология География Геометрия Дополнительное образование Естествознание Изобразительное искусство Иностранные языки Информатика и ИКТ История Коррекционная педагогика Краеведение Литература Материалы для родителей МХК Музыка ОБЖ Обществознание Право Природоведение Психология Родной язык и литература Русский язык Технология Физика Физкультура и спорт Химия Экология Экономика Администрирование школы Внеклассная работа Классное руководство Материалы МО Материалы для родителей Материалы к аттестации Междисциплинарное обобщение Общепедагогические технологии Работа с родителями Социальная педагогика Сценарии праздников Аудиозаписи Видеозаписи Разное. Историческая справка Жил Диофант, по-видимому, в 3 в. Седьмую в бездетном браке Диофант. Гвозди Гвозди Гвозди По 17 кг. Кстати, мы имеем право сформулировать такую теорему: Отсюда следует, что z 2: Теперь уравнение 1 можно записать в виде: Складывая и вычитая эти равенства, будем иметь: Нет ни одной математической проблемы, которая была бы столь популярна, как знаменитая последняя теорема Ферма. Будучи по профессии юристом, он посвящал математике свободное время и не рассматривал ее как главное дело своей жизни. Допустим, что уравнение 15 имеет решение в целых положительных числах [x 0 , y 0 , z 0 ]. Итак, имея решение [x 0 , y 0 , z 0 ], мы нашли другое решение [s, r, m], причем 0 0.
Как доставить мужчине огромное удовольствие
Датыпо истории проверка
Как стать дорогой содержанкой
Проблемы младенческого возраста
Расписание ночных автобусов в москве н3
Служебный контракти трудовой договор
Куры породы сассо фото описание
Как снять историю в контакте
Герои меча и магии моды
Координаты городов россии широта и долгота
Погрузчик 40814 технические характеристики
Технологическая карта полы скачать
Карта мира с рельефом местности
Где встать на квоту
Постоянно красное горло что делать