Алгебраические структуры
Основные алгебраические структуры и операции
Алгебраическая система
Этот раздел обширен, но прост, так как содержит исключительно определения. Основных алгебраических структур, которые рассматриваются как множества с одной или несколькими операциями, много. Порой требуется так называемый третий закон внешней композиции а иногда и больше , но мы рассмотрим только простейшие случаи. Нейтральный элемент в этом случае обозначается 0. Нейтральный элемент в этом случае обозначается 1. Кольцо — это коммутативная группа, на которой определена еще одна операция обладающая свойством ассоциативности:. Многочлены также образуют кольца. Идеал — особое подкольцо: Идеалы можно складывать и перемножать. Результатами сложения и умножения идеалов также будут идеалы. Понятие идеала возникло как обобщение понятия числа. Пересечение всех идеалов, содержащих подобные произведения, называется порожденным идеалом. В этом случае кольцо А является коммутативным и содержит единичный элемент, то есть для операции определен нейтральный элемент, играющий роль единицы:. Не стоит пугаться подобных сложностей: Если кольцо А бесконечно, то наступает раздолье для алгебраистов. Рассмотрим А-модули — редчайший вид современного алгебраического мира. Чтобы определить левый А-модуль, нам потребуются кольцо с единицей А и коммутативная группа М. Если А — поле, то A-модуль называется векторным пространством. На этом мы остановимся. Хотя приведенные нами определения элементарны, вполне возможно, что читатель не назовет элементарным этот раздел. Операции о и связаны друг с другом свойством дистрибутивности относительно: Кольцо — это коммутативная группа, на которой определена еще одна операция обладающая свойством ассоциативности: В этом случае кольцо А является коммутативным и содержит единичный элемент, то есть для операции определен нейтральный элемент, играющий роль единицы:
Полугруппой называется алгебра вида с одной ассоциативной бинарной операцией. Как правило, в качестве такой операции используется умножение. Поэтому результат её применения к двум различным элементам записывают в виде или , а результат неоднократного применения к одному элементу записывают в виде и так далее. Такая запись называется мультипликативной. Полугруппу часто обозначают записью. Не следует понимать сказанное выше в том смысле, что полугруппа всегда включает в себя именно арифметическую операцию умножения. В общем случае, как, например, произведение матриц , то есть данная операция некоммутативна. Если же умножение коммутативно, то полугруппа называется коммутативной или абелевой полугруппой. Если множество-носитель полугруппы содержит такой элемент , что для любого выполняется , то этот элемент называется единицей нейтральным элементом , а такая полугруппа называется моноидом. Легко показать, что если полугруппа содержит единицу, то она единственна. Действительно, допустим, существуют две единицы и. Тогда и , следовательно. Однако, очевидно, она не имеет единицы. Причём эта полугруппа является моноидом, а роль единицы в ней выполняет единичная матрица. Если любой элемент полугруппы можно представить в виде произведения конечного числа элементов множества , то множество называется порождающим множеством или системой образующих полугруппы, а его элементы называются образующими. Например, в полугруппе порождающим множеством служит бесконечное множество простых чисел. Полугруппа, которая имеет только одну образующую, называется циклической. Можно показать, что в циклической полугруппе все элементы являются степенями в смысле имеющейся операции этой образующей. Например, циклической полугруппой является полугруппа , поскольку любое натуральное число — это сумма некоторого количества единиц. Пусть полугруппа имеет конечное число образующих. Если в записи опустить обозначение операции как это обычно делается для умножения , то все элементы полугруппы можно рассматривать как слова в алфавите. Причём некоторые различные слова могут оказаться равными, как элементы равные элементы записаны различными словами. В коммутативной полугруппе для двух любых элементов выполняется равенство , позволяющее устанавливать равенство элементов, в том числе, записанных различными словами. Подобные равенства называются определяющими соотношениями. Полугруппа, в которой нет определяющих соотношений, и любые два различных слова обозначают различные элементы группы, называется свободной. Доказано, что каждую полугруппу можно получить из некоторой свободной полугруппы введением некоторых определяющих соотношений. Элементы заданной так полугруппы — это слова в алфавите образующих, причём некоторые слова равны то есть задают один элемент в силу определяющих соотношений. Они позволяют из любого слова получить любые эквивалентные ему слова. Отношение равенства слов есть отношение эквивалентности. Кстати, намного сложнее выяснить для двух данных слов, можно ли получить одно из другого с помощью определяющих соотношений. Исследование этой проблемы оказало значительное влияние на теорию алгоритмов. Группой называется полугруппа с единицей, в которой для каждого элемента существует элемент , называемый обратным к элементу и удовлетворяющий условию. Если не использовать в определении понятие полугруппы, то определить понятие группы можно следующим образом. Множество А с определенной на нем алгебраической операцией например, умножением называется группой , если выполнены следующие условия:. Различные множества могут образовывать группу относительно какой-либо операции и не являться группой относительно другой операции. Число элементов в множестве-носителе называется порядком группы. Группа, в которой операция коммутативна, называется коммутативной или абелевой. Группа, в которой все элементы являются степенями одного элемента, называется циклической. Для абелевых групп часто применяется аддитивная форма записи: Обратным к элементу является. Нахождение элемента, обратного данному, в общем случае, есть унарная операция. Поэтому тип любой группы. Иногда, при записи конкретной группы указывают в скобках кроме бинарной операции ещё и эту унарную операцию, либо чаще нейтральный элемент группы. Например, для группы из примера 2. Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом. Из определения следует, что любое кольцо имеет две бинарные и одну унарную см. Другими словами, для любой пары элементов и уравнение имеет единственный корень. Практически это определяет в поле существование операции деления. Она, однако, не является полем, поскольку, например, уравнение в ней неразрешимо. До сих пор нами рассматривались алгебры, то есть множества, на которых заданы операции. Множества, на которых кроме операций, заданы отношения, называются алгебраическими системами. Таким образом, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем, у которых множество алгебраических отношений пусто. Другим частным случаем алгебраических систем являются модели — множества, на которых заданы только отношения. Рассмотрим здесь лишь один пример алгебраической системы, который наиболее часто встречается в теоретической алгебре и её приложениях - решётки. Решёткой называется множество , частично упорядоченное отношением нестрогого порядка , с двумя бинарными операциями и , такое что выполнены следующие условия аксиомы решётки:. Решётка называется дистрибутивной, если выполняются два следующих условия и. Если в решётке существует элемент 0, такой что для любого выполняется , то он называется нижней гранью нулём решётки. Если в решётке существует элемент 1, такой что для любого выполняется , то он называется верхней гранью единицей решётки. Решётка, имеющая верхнюю и нижнюю грани, называется ограниченной. Если нижняя верхняя грань решётки существует, то она единственная. В ограниченной решётке элемент называется дополнением элемента , если и. Тогда есть наименьшее общее кратное этих чисел, а их наибольший общий делитель. Решётка, в которой пересечение и объединение существуют для любого подмножества её элементов, называется полной. Конечная решётка всегда полна. Студент - человек, постоянно откладывающий неизбежность Различные аспекты социального взаимодействия Вводная лекция по дисциплине Вопрос 5 Различные положения прямой относительно плоскостей проекций Все различные виды жертвоприношений одобрены Ведами, и каждое из них является результатом определенной деятельности. Обладая этим знанием, ты непременно достигнешь освобождения. ЧЕЛОВЕК И РАЗЛИЧНЫЕ СФЕРЫ ЕГО ЖИЗНИ Действуют ли различные виды и категории бесов в согласии? Ладят ли бесы друг с другом? Делятся ли бесы на различные классы и категории? ЗАДАНИЯ К ЛЕКЦИЯМ И различные виды уравнений. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Различные виды алгебраических структур.
Главная мысль рассказа на катке осеева
Фильм о маньяке на реальных событиях русские
Унипол сбэ 111 марки б технические характеристики
Хостинг серверов hurtworld
Картофелекопалка своими руками для т 25