Философия математики
Философия и проблема обоснования математики
Философские проблемы математики
НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - : Философские проблемы математики
Философские проблемы математики
НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - : Философские проблемы математики
О философских проблемах математики. Это дипломная работа, написанная по окончании годичного обучения в Университете марксизма-ленинизма при Минском горкоме КП Белоруссии. В те времена я был зав. Я с пониманием к этому замыслу отнесся, и постарался, учась на философском отделении пропагандистского факультета, сделать все, чтобы из меня партийного пропагандиста не получилось. Для чего избрал тему дипломной, прямо скажем, не слишком близкую массам КПСС и КПБ. Тем более что альтернативная математика, названная мной индефинитно-финитной, была тогда моим главным научным интересом. Основной вопрос философии математики. Он всегда был в поле зрения многих философов и самих математиков. Но на рубеже XIX—XX вв. Эти парадоксы не разрешены убедительным образом до сих пор, и это одна из причин неостывающего интереса к основному вопросу философии. Другая, еще более важная, связана со стремительным проникновением М. Ведь в других науках есть свои трудности, и физикам, скажем, или биологам хочется быть уверенными, что в их проблемах неповинен применяемый математический аппарат. Еще в древнегреческой философии были сформулированы два принципиально различных взгляда на соотношение М. Аристотель считал, что математические понятия являются отвлеченными от реальых объектов. Эти линии в философии М. О корнях стихийного платонизма в М. Геометрия имеет дело с точными окружностями, но ни один чувственный объект не является точно круглым; как бы мы тщательно ни применяли циркуль, окружности всегда будут до некоторой степени несовершенными и неправильными. По представлениям пифагорейской школы, число, напрмер, не только самостоятельная сущность, но и нечто мистическое, имеющее власть над людьми: В средние века борьба материализма и идеализма в математике и логике приняла форму спора между номиналистами и реалистами, спора, имевшего большое значение для становления логики классов, а позднее — теории множеств. Канта берет свое начало линия субъективного идеализма в философии М. Кант считал, что вся М. Его первичная интуиция праинтуиция пространства закрепляла за евклидовой геометрией статус абсолютности, единственности. Удар по априоризму Канта был нанесен Н. Лобачевским, открывшим одновременно и независимо от Я. Существенно, что материалистический взгляд Лобачевского был руководящей нитью в его математическом творчестве, хотя и был наивно-материалистическим ведь Н. Он вполне выражается его творческим кредо: По Канту, математические понятия — конструкции нашего ума. Эти идеи явились руководящими для большой группы математиков Брауэр, Гейтинг, Г. Это течение в основаниях М. Субъективно-идеалистические идеи неоднократно публично высказывал франц. По мнению Луи де Бройля, эти конвенционалистские философские установки Пуанкаре помешали ему стать создателем теории относительности, хотя он вплотную подошел к ее основным идеям. Ведь он считал, что может быть сколько угодно эквивалетных теорий, которые выбираются всего лишь из соображений удобства. Эйнштейн же искал теорию не наиболее удобную, а наиболее близкую к физической реальности, и его усилия, как мы знаем, увенчались успехом. По-видимому, математики XIX в. Вот их точка зрения в изложении Ш. Объективно-идеалистические идеи отстаивал чешский математик и философ Б. До тех пор, пока сущность и польза математических абстракций не были поняты, эта разновидность догматизма играла положительную роль, охраняя математические понятия и объекты от скепсиса здравого смысла, склонного считать их чистыми иллюзиями. Интересно, как близки по мысли высказывания трех выдающихся западных ученых ХХ в. Конечно, нельзя воспринимать эти высказывания целиком всерьез: Напр,, парадокс Рассела, с которого, в сущности, начались все неприятности в канторовой теории множеств и, соответственно, 3-й кризис в основаниях М. А кто бреет самого брадобрея? Потому, даже забыв о выдающемся вкладе этих ученых в развитие науки, нельзя на основании этих высказываний обвинить их в агностицизме. Мысли Рассела и Гильберта о М. И в негативной, самокритичной оценке этих своих представлений они Рассел и Гильберт сходятся, так же, как сходятся последовательные логицизм и формализм в своем отрыве от действительности. Автор — классик теории относительности угадывается по тому, что его мысли глубока, парадоксальна и… отдает релятивизмом. И в этом-то последнем ее слабость: Сумма углов идеального математического треугольника равна двум прямым. А в реальном треугольнике, склеенном из трех линеек, разве не так? Да еще не забыть бы об электромагнитных полях, ими создаваемых… И тогда нет никакого треугольника, и не к чему применять теорему о сумме углов. А если все-таки применяем, то неоправданно? Разобраться в этой запутанной ситуации может помочь марксов тезис о практике как критерии истины. Ведь треугольник из линеек создан исходя из потребностей практики и удовлетворяет им. Атомная структура его для практики несущественна, и ею можно пренебречь. В другой ситуации учет этой структуры может стать необходимым напр. Другая практика — другой подход. Для нас в данном случае важно, что и М. Немало сторонников среди современных зарубежных математиков находят идеи Дж. Милля, сходившихся первый со стороны материализма, второй — идеализма в общности позитивистских взглядов. По Локку, в мышлении нет ничего, чего раньше не было бы в ощущениях. Такое представление обедняет мышление и неудовлетворительно с гносеологической точки зрения. Ведь в результате чувственного созерцания постигается лишь внешняя сторона явлений; разум же, пользуясь своими способностями к абстрагированию и идеализации, способен постигнуть их сущность, внутреннюю сторону явлений. Опыт новейшей истории М. Наоборот, имеет большие перспективы развития неклассическое направление в М. Диалектико-материалистическое объяснение возникновения основных понятий М. Это направление получило в дальнейшем широкое развитие в работах советских и зарубежных марксистов. Оно является достоянием материалистической гносеологии. Правильность ее подтверждается практикой — все более расширяющимся и углубляющимся процессом математизации знания, захватывающим все новые науки. Ведь идеалистам нечего ответить на ехидный вопрос Аристотеля: Предмет и структура математики. В понимании предмета М. И суть дела здесь вовсе не в том, что М. Ведь к современному пониманию М. Аристотель, Демокрит , чем мысли философов и математиков XIX в. Фактически этот период еще больше, потому что есть высказывания и о М. Эта мысль Лейбница сыграла важную роль в становлении логицизма как направления в М. А вот высказывание праотца интуиционизма -- И. С оценкой математики Г. Это могло бы послужить оправданием для математической логики, изобретенной Булем, если бы она в нем нуждалась; но ирония истории: А вот заочный спор двух писателей — немецкого и русского: Теперь же, в противоречии со своим же тезисом, высказанным ранее, приведу пример конъюнктурной правки в дефиниции М.: А в предисловии И. Яглома к книге Дж. Что и говорить, на каждый тезис находится антитезис. Может быть, правы поэтому М. Но ведь их довод основывался на том, что, давая определение М. Тогда становится ясным, что речь идет об определении М. И такое определение не столь уж это радикальная мысль действительно невозможно. Современный этап в развитии М. Правда, это не единственный объект М. Колмлгорова, определение Энгельса нуждвается лишь в незначительной модернизации, чтобы оно охватило и современную М.: Однако проблема предмета М. Ведь в ней речь идет лишь о чистой М. По современным представлениям, кроме собственно М. При этом прикладная М. Это видно хотя бы из того, что в конце XIX — начале XX в. Метаматематика — это вольно выражаясь, рефлексия самой М. По более строгому определению, это теория, изучающая синтаксические формальные , семантические содержательные и логические свойства теорий чистой М. И вновь возникает задача — как определить М. Поскольку нам не известны высказывания о современной М. Суммируя вышесказанное и вычитая неприемлемое, можно сказать так: Последнее замечание в заключение этого параграфа. Сегодняшний математик часто вовсе не интересуется, соответствует ли его построение чему-то уже познанному в окружающем мире. Он совершенствует аппарат не для описания чего-то, а аппарат вообще. Он ищет возможности для выявления новых связей между математическими объектами, стремясь придать теории большую компактность, общности и простоту. Он рассчитывает и эти расчеты оправдываюися! И эта особенность М. Вигнера туманит умственный взор многих математиков и философов еще и теперь, мешая им разглядеть гносеологические корни М. Проблема истинности в математике. Рассмотрим проблему истинности различного рода математических теорий и утверждений. Теории чистой содержательной М. Посмотрим, что можно считать истинной в содержательной математической теории, что-то утверждающей о системах математических объектов числах, точках, множествах, функциях и т. Будем считать, что теория достаточно развита и ее аксиоматическое упорядочение уже произведено. Тогда проблема истинности теории сведется к проблеме истинности ее собственных оснований — аксиом. В самом деле, ведь всякая теорема аксиоматической теории представляет собой утверждение типа А 1 , А 2 , …,А k влечет В, то есть из истинности k аксиом следует истинность утверждания В. В XX веке было понято, что заключение об истинности аксиом зависит также и от используемых логических средств. Раньше же считали, что М. Пирс, американский математик, говорил так: Требуется доказать, что из совокупности аксиом А выводится некоторое суждение теорема S. Предположим, что верно не-S. Тогда проводят доказательство, что из оснований теории и не-S выводится некоторое положение U, которое заведомо ложно. По закону исключенного третьего, это означает, что S истинно. Но в интуиционистской М. Математические же объекты существуют в силу соответствия их определений условиям существования объектов. Здесь существенно то, что возможно разное понимание этих условий. Отсюда видна очень сильная зависимость проблемы истинности в М. Этот же вывод справедлив и в отношении метаматематики как формальной теории. Гильберт предпринял грандиозную попытку доказать истинность чистой М. Но на этом уровне принцип внешнего дополнения не сработал: Гедель установил 2 теоремы о неполноте формальных систем, показавшие невыполнимость программы Гильберта. По 1-й теореме нельзя формализовать не только всю содержательную М. По 2-й теореме недоказуема абсолютная непротиворечивость формальной арифметики. На математическом и метаматематическом уровнях проблема обоснования М. Это означает, что нужно идти дальше и рассмотреть эту проблему в более широком контексте. В данном случае это уровень диалектико-материалистической гносеологии. Возможно, решение удастся найти на пути генетического анализа основных математических объектов при соотнесении его с нейрофизиологическими особенностями человека как познающего субъекта. Ведь человек все более активно воздействует на природу, все чаще включается во всякого рода технические системы как их элемент. К математику это относится не в меньшей степени: Ведь основные ее объекты порождены внешним миром, другие возникли из потребностей практики; М. К тому же вся М. Проблема противоречия в математике. Причем многочисленные попытки доказательства гипотезы оказываются безуспешными. На каком-то этапе постановка проблемы может тогда радикально измениться: Если его ложность будет доказана, это будет означать, что гипотетическое положение не выводится из собственных оснований теории и потому не принадлежит ей. Если бы оно принадлежало теории, то она была бы семантически противоречива, так как в ней выводились бы как истинные, так и ложные суждения. Правда, на всю проблему противоречивости можно посмотреть шире. В силу парадоксальности свойства материальной импликации, в противоречивой теории с помощью правил формальной логики любое предложение выводимо по Ф. Дедуктивная ценность теории, не способной отличать истинные и ложные предложения, резко снижается. Однако логические средства теории не заданы однозначно: Итак, на уровне методологических обоснований М. По принципу внешнего дополнения С. Бира, являющемуся обобщением теоремы Геделя о неполноте формальных систем, недостаточность любой системы управления низшего порядка может быть преодолена переходом к метасистеме — системе управления высшего порядка. Такой метасистемой в случае М. По диалектико-материалистическому принципу соотношения объективной действительности и познания, всякая теория должна адекватно отображать какие-то стороны объективной действительности. Поскольку в реальном мире нет предметов, обладающих каким-то свойством и в то же время и в том же смысле им не обладающих, то отсюда вытекает, что теория не может включать одновременно истинные и ложные суждения. Итак, теория, в которой обнаружено формально-логическое противоречие, должна быть, казалось бы, немедленно отброшена и отбракована. А как же тогда быть с М.? Ведь противоречия обнаружены в самой ее основе — в теории множеств. Но и в этом можно увидеть второй полюс противоречия — уже диалектического М. Надежность его многократно проверена и представляется не-математикам чуть ли не абсолютной. Скажем, физик-теоретик, придя в результате математических выкладок к сомнительному результату, не станет на этом основании подвергать сомнению применявшиеся при выводе математические методы, а прибегнет к пересмотру физических принципов своей теории. Диалектическое противоречие между логическим несовершенством оснований М. Проводится аксиоматическое упорядочение теорий общепризнанным образцом здесь служит гильбертова аксиоматизации евклидовой геометрии , вскрываются те неявные предположения, которые использовались в доаксиоматический теории, препарируется логическая структура теории, -- словом, ведется многообразная и интенсивная работа, имеющая целью устранение противоречия. Точности ради заметим, что такой характер деятельностьи математиков проявлялся преимущественно в первые годы после обнаружения противоречий в основаниях М. Это убеждение закреплено даже терминологически: Следующий этап развития М. Ибо нет еще такой теории, удовлетворяющей диалектически противоположным требованиям: Это обстоятельство, а также то, что ни для одного из вариантов теорий не доказана абсолютная непротиворечивость А. Пуанкаре говорил по этому поводу: Заде, основанная на на понятии лингвистической переменной, теория пространств толерантности Зимана—Бьюнемана, систематически учитывающая нетранзитивность перцептивного равенства напр. Большие перспективы имеют и исследования по разработке принципов новых математик, идейно восходящие к Дж. Фон Нейману не исключено, что М. Эйнштейну вспомните его высказывание о необходимости изучения мышления и Н. Бору имеется в виду его принцип дополнительности, который в широком понимании приводит к констатации важной роли пространственно-временных структур сознания в познавательной деятельности. Если противоречия в М. Они имели и положительное значение. Они стимулировали критические и новаторские исследования по основаниям М. Кроме того, они привели многих, даже идеалистическит мыслящих математиков, к выводу, что М. Проблема интуиции в философии математики. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. Проблемы прерывности и непрерывности пространства и времени. Жар холодных числ и бесстрастная логика мысли. Очерки по истории математики. Толерантные пространства и мозг, в кн.: На пути к теоретической биологии, М. Лекции по конструктивному математическому анализу. Открытие множественности математик и его философское значение. Очерки по философским вопросам математики. Математика и правдоподобные рассуждения. О природе математического знания. О догмате натурального ряда. Наук, , 28 4. Конструктивные процессы в математике. О философских проблемах математики В. Третьяков Минск, г. Основной вопрос философии математики -- это вопрос об отношении математики М. Предмет и структура математики В понимании предмета М. Проблема истинности в математике Рассмотрим проблему истинности различного рода математических теорий и утверждений. Проблема противоречия в математике Для М. Настоящая информация является интеллектуальной собственностью автора сайта, которому было бы интересно знать о любом использовании его материалов.
Внутреннее ухо болезни
Сколько после родов идут кровянистые
Сколько стоит канистра 20 литров металлическая
Уволили прошла полиграф
10 10 на часах значение
Крыса ручная сонник