Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные или дифференциалы различных порядков. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём. Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными , т. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово "обыкновенные". Уравнение 1 - четвёртого порядка, уравнение 2 - третьего порядка, уравнения 3 и 4 - второго порядка, уравнение 5 - первого порядка. Дифференциальное уравнение n -го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n -го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная. Например, в уравнении 1 явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении 2 - производной второго порядка и функции; в уравнении 4 - независимой переменной; в уравнении 5 - функции. Только в уравнении 3 содержатся явно все производные, функция и независимая переменная. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием. Найти решение дифференциального уравнения. Запишем данное уравнение в виде. Решение состоит в нахождении функции по её производной. Искомая функция, как известно из интегрального исчисления , есть первообразная для , т. Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C , будем получать различные решения. Таким образом, имеется бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка. Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения. Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим. Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C , а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии. Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:. При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных , в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере. Найти общее решение дифференциального уравнения. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части. Применяем метод интегрирования заменой переменной подстановкой. Требуется взять dx и теперь - внимание - делаем это по правилам дифференцирования сложной функции , так как x и есть сложная функция "яблоко" - извлечение квадратного корня или, что то же самое - возведение в степень "одна вторая", а "фарш" - самое выражение под корнем:. Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые впрочем, у кого как со школьной скамьи знания о пропорции. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального исчисления , что производная может быть записана также в виде. Таким образом, уравнение приобретает вид. Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений. Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши. Таким образом, получили общее решение - данного дифференциального уравнения третьего порядка. Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка: Требуется взять dx и теперь - внимание - делаем это по правилам дифференцирования сложной функции , так как x и есть сложная функция "яблоко" - извлечение квадратного корня или, что то же самое - возведение в степень "одна вторая", а "фарш" - самое выражение под корнем: Возвращаясь к переменной x , получаем: Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени. Таким образом, уравнение приобретает вид , то есть, в нём в некотором виде появился x. Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду , после чего интегрируем обе части уравнения: Оба интеграла - табличные, находим их: Нет времени вникать в решение? Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные или дифференциалы различных порядков. Таким образом, решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.
5 цветов значение
Асия значение имени характери судьба
Примеры решений задач по дифференциальным уравнениям
Сколько калорий в сушеной клюкве
Гигиеническое значение углеводов
Мониторинг качества образовательных результатов
Сообщение на тему история информатики
Как прорезываются верхние зубы у детей фото
Лестница из бревна своими руками фото
Бразилия достопримечательности презентация
Поздравления с днем матери крестной
Каббала для чайников
6.13. Задача Коши для дифференциальных уравнений второго порядка
Сколько материнский капитал екатеринбург
Как пишется коллективная жалоба образец
Сколько добавлять жидкого стекла
Кто правил после екатерины первой
Узоры на ногтях иголкой
6.13. Задача Коши для дифференциальных уравнений второго порядка
Блесны акара troutss каталог
Самара мега адрес
Как сделать ссылку на стене
Штатные нормативы лаборатории