Принцип Дирихле. Правило крайнего. Подсчет двумя способами.
Летний тематический номер «Математический конструктор»
Раздел 6. Комбинаторика
Идея динамической геометрии зародилась более 20 лет назад, когда появились технические возможности для ее реализации. Пионерами в этой области стали Жан-Мари Лаборд Jean-Marie Laborde во Франции и Николас Джекив Nicholas Jackiw в США. На сегодня имеется уже несколько десятков программ этого типа, среди которых можно, прежде всего, отметить программы Cinderella и Zirkel und Lineal Германия , а также GeoGebra Австрия. Собственные варианты программ динамической геометрии выпустили и российские разработчики. Прежде, чем говорить конкретно о МК, кратко расскажем о программах динамической геометрии вообще. В своем изначальном виде эти программы предоставляют пользователю набор виртуальных чертежных инструментов, с помощью которых на экране, как на листе бумаги, можно выполнять классические геометрические построения. Современные программы динамической геометрии позволяют выполнять преобразования фигур, строить геометрические места точек и графики функций, динамически зависящие от параметров, широко использовать координаты. В дополнение к инструментам для создания собственно динамических чертежей эти программы содержат и инструменты для создания презентаций на их основе. Программы динамической геометрии позволяют с минимальными усилиями создавать высококачественные чертежи и добиваться требуемого расположения их элементов, не перерисовывая чертеж заново, и это, безусловно, очень ценно. Благодаря этому модель становится и инструментом для геометрических открытий, и замечательным педагогическим средством: Да и сам процесс построения гораздо более поучителен в его компьютерном варианте, так как требует от ученика полного понимания алгоритма построения и точности его исполнения — машину не обманешь. Некоторые из этих моделей используются ниже. В модели можно включить любой желаемый набор инструментов, за исключением команд сохранения построений. Новыми являются инструменты для автоматической проверки правильности построений, а также для создания и проверки контрольных вопросов на выбор и ввод ответа; специальные команды для построения графиков и работы с ними; дополнительные команды для оформления чертежей. Пользователь программы обнаружит в ней разнообразные подсказки, которые помогут ему правильно выполнить требуемые операции. Дело в том, что для обеспечения совместимости с различными операционными системами и интернетом приходится принести в жертву скорость загрузки и работы программы. В этом номере газеты представлено учебное пособие по работе с МК построено в форме шести занятий, в ходе которых мы вместе с вами будем по шагам строить геометрические фигуры и графики функций, создавать материалы для использования на уроках, проводить эксперименты на математических моделях и т. По ходу занятий мы изучим структуру нескольких конкретных моделей и приемы работы с ними и разберем по шагам процесс создания этих моделей. Конечно, желательно, чтобы при этом читатель повторял все описываемые операции, сверяя результат своих действий с приводимыми иллюстрациями; в большинстве занятий даны также упражнения для самостоятельного выполнения. На диске с программой вы найдете и набор из готовых моделей. Это задание по указаной выше ссылке откроется в окне вашего браузера например, Internet Explorer; рис. Подробнее об этой форме представления учебных материалов будем говорить в следующих разделах. Вверху окна задания расположена панель инструментов. В данном задании на ней расположены, слева направо, инструмент Стрелка , инструменты стандартных геометрических построений, назначение которых ясно из картинки на соответствующей кнопке и из всплывающей подсказки, появляющейся при наведении курсора на кнопку рис. Изначально нажата кнопка Стрелка , то есть выбран именно этот инструмент. В самом низу окна находится строка состояния, в которой появляются инструкции по применению выбранного инструмента, и текущие координаты курсора. Хотя это задание совсем простое, давайте для начала заглянем в подсказку — нажмем на кнопку Указание. Для нажатия на кнопки используется инструмент Стрелка , который нужно навести на кнопку так, чтобы курсор принял вид руки. Появляются построение и текст, напоминающие, как строится ось симметрии и симметричные точки рис. Попробуйте выполнить это построение самостоятельно, опираясь на собственную интуицию и разнообразные подсказки, а потом сверьтесь с нашим, на первый раз максимально подробным описанием всех действий, в котором мы привлекаем внимание к некоторым не вполне очевидным деталям и приемам. Выбираем на панели инструмент Отрезок , нажав на кнопку. Курсор приобретает вид , сигнализируя, что нужно указать конец один из концов отрезка. Одновременно в строке состояния появляется инструкция:. Сразу появляется отрезок, меняющийся по ходу движения. При этом изменились и курсор подсветился красным другой конец отрезка , и текст в строке состояния:. Укажите второй конец отрезка. Строить отрезок можно двумя способами: Оба эти приема работы подходят и для многих других инструментов построений. Середина появляется сразу вместе с ее обозначением C рис. При втором способе можно обойтись без самого отрезка, но в нашем построении он необходим для проведения серединного перпендикуляра к нему. Строим точку, симметричную B относительно этой оси. Как и раньше, предлагаем попробовать сделать это самостоятельно, а мы подробно опишем все действия. Проводим перпендикуляр к оси из точки B , как в пункте 1. Заметим, что снова выбирать инструмент Перпендикуляр не понадобится: Строим точку пересечения перпендикуляра и оси. Выбираем инструмент Точка , помещаем курсор на пересечение прямых и нажимаем на левую кнопку мыши. Важно правильно расположить курсор, иначе точка будет создана на свободном месте или на одной из прямых. О том, что правильное положение достигнуто, сигнализирует подсветка обеих прямых рис. Иногда из-за нагромождения линий бывает сложно указать те две линии, которые нужно пересечь. В этом случае удобнее пользоваться инструментом Точка пересечения , который появляется, если нажать на стрелочку справа от Точки. Выбрав этот инструмент, нужно поочередно щелкнуть в любом месте на первой и второй из пересекаемых линий. Если линии имеют несколько точек пересечения например, если это окружности , то будут построены все эти точки. Остается отложить на продолжении отрезка BD равный ему отрезок. Это делается с помощью инструмента Окружность , который строит окружность по ее центру и принадлежащей ей точке. Два последних шага можно объединить: Наконец, снова взяв инструмент Точка , ставим искомую точку, симметричную точке B , на пересечении окружности и прямой BD 1 , отличном от точки B. Посмотрите на рисунок Почему приведенное на нем построение, которое как будто бы почти ничем не отличается от нашего, признается неправильным? Дело в том, что окружность на нем проведена не через точку B , а через точку E , произвольно взятую на свободном месте так, чтобы на глаз казалось, что окружность проходит через B. Мы сделали эту ошибку нарочно, но подобного рода ошибки нередко случаются и непреднамеренно: Преимущество динамических чертежей состоит в том, что такие ошибки, если уж они случились, будут немедленно выявлены при вариации данных. В примере на рисунке можно сдвинуть точку B и сразу увидеть, что окружность с ней не связана. Как же исправить ошибку? Если вы уверены, что какой-то элемент построен неправильно, его можно просто удалить, для чего нужно выделить его Стрелкой и нажать клавишу Delete или кнопку Удаление на панели инструментов. При обоих способах весь фрагмент конструкции, удаленный вместе с ошибочным элементом, придется построить заново. О них мы узнаем на занятии 6. Посмотрим, как можно пользоваться режимом команды в нашем примере. Для начала вернем задание в исходное состояние, нажав кнопку В начало в правом нижнем углу рис. Эта кнопка перезагружает постоение в его последнем сохраненном состоянии В моделях это всегда начальное состояние, так как сохранение изменений вообще не предусмотрено. Для выделения точки нужно щелкнуть по ней инструментом Стрелка. Но если после этого щелкнуть по второй точке, то с первой выделение снимется. Чтобы этого не произошло, при втором щелчке нужно держать нажатой клавишу Ctrl или Shift. Аналогично можно выделить любой набор объектов. Часто более удобным оказывается другой способ множественного выделения. Поместим Стрелку в любое свободное место чертежа, нажмем левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянем мышь по диагонали на другое свободное место. На чертеже возникнет затемненный прямоугольник, определяемый прочерченной диагональю рис. Все объекты, которые он задевает, выделяются. Выделение обозначается цветным ободком. Чтобы снять выделение с одного объекта, нужно щелкнуть по нему Стрелкой , удерживая клавишу Ctrl или Shift ; чтобы снять все выделения, щелкните в любом свободном месте. В программе имеется и специальный инструмент множественного выделения эта кнопка находится в одной группе с обычной Стрелкой. В данную модель он не включен. Существует множество вариантов выполнения того или иного построения. И дело здесь вовсе не только в разнообразии способов применения одного и того же инструмента. Сам алгоритм построения, как и набор используемых инструментов, может быть разным, так что в одной задаче может скрываться много задач, похожих лишь формулировками и использующих разные идеи. Мы используем некоторые из них, чтобы продолжить наше знакомство со средствами МК, в частности, с работой в режиме команды. В разобранном выше решении использовались такие стандартные построения, как нахождение середины отрезка и построение перпендикуляра. Оказывается, при этом можно найти даже более короткие построения, чем рассмотренные нами. При работе в режиме команды приходится часто переключаться на Стрелку , чтобы выделить аргументы очередной команды. Если в построении используется много дополнительных линий, загромождающих чертеж, то может возникнуть необходимость структурировать его оформление. Например, мы можем захотеть выделить искомую точку красным цветом, вспомогательные — белым, а вспомогательные линии, кроме оси симметрии, показать пунктиром рис. Для этого на панели имеются палитры стилей линий и цветов, которые раскрываются при нажатии на маленькие стрелки справа от кнопок выбора цвета рис. Команды присвоения того или иного цвета или стиля можно использовать, как и команды построений, в двух режимах. Бывает, что некоторые объекты нужно скрыть. Ей также можно пользоваться в режиме команды или инструмента, Каким же образом вернуть на чертеж спрятанный ранее объект? Если нажать на нее, то на чертеже появятся все ранее скрытые объекты в бледном изображении; рис. Отключив эту кнопку, мы снова спрячем все объекты, кроме тех, к которым была применена команда Показать. Выполним то же задание на построение симметричной точки в самой программе. Когда программа запустится, вы увидите окно, похожее на окно апплета рис. Меню содержит все имеющиеся в МК команды, сгруппированные по их предназначению. Теоретически любая команда или группа команд может быть вынесена в виде кнопки на инструментальную панель, откуда открывается более удобный доступ к командам. Конечно, на панель выносятся наиболее часто используемые команды. Используем его для выполнения нашего задания. Будем строить точку, симметричную C относительно оси симметрии точек A и B. Чтобы построить ось симметрии, выберем из меню Серединный перпендикуляр и щелкнем поочередно на точках A и B рис. Заметим, что, как и любой другой инструмент, Серединный перпендикуляр можно использовать и в режиме команды, причем в качестве ее аргументов можно использовать как пару точек концы отрезка , так и сам отрезок. Более того, можно не строить точки A и B заранее, а просто два раза щелкнуть инструментом по пустому месту: Такое поведение характерно для всех инструментов, аргументами которых являются одна или несколько точек: Группа команд Преобразования расположена внизу меню Построения под значком обозначающим также параллельный перенос. Такая же кнопка изначально находится на панели в нижнем ряду справа; список преобразований открывается при нажатии маленькой стрелки справа от этой кнопки рис. Они требуют задания двух наборов аргументов: А само преобразование может задаваться объектами разных типов: Правда, в случае осевой симметрии такого разнообразия нет: Вернемся к нашему построению. Выделим точку C , выберем команду Осевая симметрия рис. Этот объект можно использовать в дальнейшем, например, чтобы повторить ту же симметрию для других фигур или изменить ее ось. При применении в режиме команды за центр принимается точка, выделенная последней. Здесь мы кратко расскажем о некоторых дополнительных возможностях МК, обращаться к которым в рассмотренных нами примерах не понадобилось. Все имеющиеся комбинации клавиш можно найти в Кратком справочнике , который вызывается из меню Cправка. Отметим, что для выполнения этого задания как такового сопровождающий аппарат не нужен. Можно просто сформулировать задачу на словах; а учащиеся сами поставят три исходные точки на рабочем листе в окне основной программы и приступят к построению с помощью тех инструментов, которые укажет учитель. Но на практике учителя предпочитают использовать заранее подготовленные модели с инструкциями, текстовыми и визуальными указаниями и пояснениями и т. Выберем инструмент Текст кнопка в верхнем ряду инструментальной панели или в меню Вид и щелкнем вверху рабочего поля. Появится рамка с курсором ввода текста и панель форматирования текста с обычным для текстовых редакторов набором команд, в том числе окном выбора шрифта, его размера, стиля и цвета, выравнивания и т. Щелкнем вне рамки, чтобы закончить ввод текста, и перейдем к Стрелке напомним, что для этого проще всего щелкнуть правой кнопкой мыши на пустом месте. Выделим ее и растянем, удерживая нажатой левую кнопку мыши, до нужного размера, а затем поместим курсор на ее край рис. Вызвать окно свойств поля также можно, нажав клавишу Enter , когда поле выделено, или через контекстное меню, которое открывается щелчком правой кнопкой мыши по полю. Сейчас нас интересует вкладка Свойства блока. Не закрывая диалог свойств, перейдем на вкладку Содержимое. Здесь можно закончить форматирование текста; выделим его и зададим белый цвет шрифта и выравнивание по центру. Теперь можно нажать кнопку ОК. Заголовок примет вид, показанный на рис. Создайте самостоятельно поле с текстом условия нашего задания; обратите внимание на форматирование см. Кнопка Указание в нашей модели показывает пояснительный рисунок рис. Несколько таких построений, то есть, по сути дела, решений представленной в этой модели задачи, было описано на занятии 1. От способа построения чертежа зависит его поведение при перетаскивании его элементов. Этим и определяется тот способ, который мы выбираем. Проверять действие этих средств мы будем на чертеже, построенном при выполнении упражнения 2. Они вынесены на правую панель окна программы; также их можно найти в меню Вид. Имеется и команда для изменения стиля точек в меню Вид или в контекстном меню точки. Отметим, что иногда бывает удобно использовать команды, которые циклически меняют заданный набор характеристик объекта при повторном нажатии на соответствующую кнопку. Равенство двух отрезков принято показывать на чертеже одинаковым числом штрихов. В МК для отметки отрезков используется кнопка на панели инструментов и в меню Вид: Чтобы отметить угол ABC дужкой, нужно выбрать инструмент на панели или в меню Вид и поочередно щелкнуть на точках A , B и C. При этом вместе с дужкой появляется ограниченный ей сектор. Изменить эту отметку можно из диалога ее свойств. Чтобы открыть диалог свойств объекта, дважды щелкните по нему, или выделите и нажмите клавишу Enter , или используйте команду Свойства объекта , которая находится в меню Вид , а также в контекстном меню, выпадающем при щелчке по объекту правой кнопкой мыши. Поэтому на первых занятиях мы стараемся избегать подробного рассказа о работе с ним. В то же время использование диалога свойств предоставляет знатокам широкие возможности форматирования и редактирования любых объектов. Например, в свойствах точки можно задать не только ее стиль, но и размер, цвет ее заливки и границы, обозначение, а также уточнить ее положение, управляя координатами. В нашей модели рис. Как сделать чертеж более аккуратным. Нередко возникает необходимость провести строго горизонтальную или вертикальную прямую. Они позволяют не только более аккуратно чертить и располагать различные фигуры, но и, например, разбить экран на области с разным предназначением. Для построения таких прямых в МК имеются специальные команды кнопки , расположенные в группе инструментов Прямые ; обе применяются к точкам, через которые мы хотим провести прямые. Команда Выровнять в меню Вид располагает несколько выделенных объектов строго один под другим — равняет по левым краям. В нашей модели укорочена ось симметрии на чертеже к Указанию. Она выглядит как отрезок рис. Рекомендуем вам сделать то же самое и в модели, которую вы строите. Для этого в диалоге свойств прямой нужно поставить отметку Рисовать укороченной ; величину выступа можно отрегулировать в том же диалоге. Если построить на укороченной прямой новую точку, то прямая соответственно вытянется. При изменении порядка точек на прямой выступы будут откладываться от тех точек, которые окажутся крайними. Если прямую обозначить то есть показать ее обозначение , то позиция обозначения будет учитываться наравне с позициями точек прямой. На геометрических чертежах принято обозначать точки, линии и другие фигуры. Это особенно нужно, когда чертеж служит иллюстрацией к объяснению. В МК обозначения расставляются с помощью уже знакомого нам инструмента Текст. Если щелкнуть им по каким-то объектам либо выделить их и выбрать этот инструмент, то при всех этих объектах появятся обозначения. Центры окружностей обозначаются буквой O с индексами. При этом буквы пишутся курсивом а цифры автоматически переводятся в индексы. Правила автоматической простановки обозначений, как и другие свойства вновь создаваемых объектов например, цвет прямых , можно изменить с помощью команды Предварительные настройки объектов , в меню Файл. При выбранной Стрелке обозначения можно передвигать вокруг обозначаемого объекта в наиболее удобное положение. Более тонкая настройка обозначений производится через диалог свойств объекта. В частности, из него можно открыть окно текстового редактора, в котором можно форматировать не только текст, но и обозначения. Также в диалоге свойств можно отрегулировать расстояние от фигуры до ее обозначения, указать, по какую сторону относительно линии должно располагаться ее обозначение. Оформите ранее построенный чертеж для указания, пользуясь командами, с которыми мы познакомились на этом занятии. Кроме геометрических чертежей и текстов в нашей модели имеются три кнопки. Внешне они выглядят как надписи в рамках или нет , но отличаются от текстовых полей тем, что при нажатии на них производится некоторое действие. С тем, как эти три кнопки работают, мы уже познакомились на занятии 1. Кнопка Указание показывает первоначально скрытую подсказку; кнопками такого типа чаще всего оформляются материалы, предназначенные для иллюстрации объяснений теории, решений задач и т. Кнопка Проверить ответ выполняет автоматическую проверку правильности выполненных построений, точнее, привели ли они к нужному результату. Такие кнопки нужны в основном в интерактивных заданиях. Познакомимся с тем, как им пользоваться. Нужно зайти в указанное меню, выбрать в нем второй пункт Перезагрузить ; рис. Для изменения текста на появившейся кнопке, нужно зайти в диалог ее свойств одним из описанных выше способов, например через контекстное меню, и ввести новый текст в поле Текст на кнопке рис. Обратим внимание, что при вводе нового текста он сразу же появляется и на самой кнопке. Такую моментальную реакцию на изменение свойств демонстрируют объекты всех типов. В нашей модели-образце кнопка перезапуска выглядит как простая надпись. Придать такой вид вновь созданной кнопке можно, сняв отметки Заливка фона и Граница на вкладке Свойства кнопки диалога свойств. При открытии модели содержание Указания картинка и подпись к ней скрыто. Чтобы его показать, нужно нажать на кнопку Указание. Создается кнопка этого типа так: Изменить внешний вид кнопки можно с помощью диалога ее свойств. Похожим образом создается и кнопка Проверки ответа. Итак, на рабочем поле мы строим эту точку. Дело в том, что конструкции, использующие инструменты построения окружности, как вы могли убедиться при выполнении упражнения 2, не совсем корректно ведут себя при произвольных перемещениях исходных точек. Эту проблему, как и другие более тонкие вопросы, мы обсудим на занятии 6. Аналогично создаются кнопки Проверки ответа , состоящего из нескольких геометрических фигур, причем, как обычно, можно действовать и в режиме инструмента: Поясним различие между двумя вариантами проверки. При проверке построенных фигур на совпадение с заданными фигурами обычно можно обойтись командой первого типа. Диалог свойств любой кнопки содержит вкладку Поведение скрипт. Открыв ее, вы увидите текст скрипт той маленькой программки, которая запускается при нажатии этой кнопки. Например, скрипт кнопки Указание нашей модели будет выглядеть примерно так:. Скрипт можно редактировать непосредственно в текстовом режиме, удаляя или добавляя идентификаторы. Добавить объект в список аргументов можно и с помощью выпадающего списка всех объектов чертежа, расположенного на той же вкладке рис. Если же какой-то объект удаляется с чертежа, то его идентификатор в скрипте выделяется цветом, подсказывая, что его тоже нужно стереть. Мы описали самый простой пример редактирования скрипта. По умолчанию он выглядит так:. Все несохраненные изменения будут потеряны. Эта кнопка открывает окно с приведенным в скрипте вопросом; перезагрузка производится, если нажать на кнопку ОК в этом окне. Аналогично можно отредактировать и сообщения, выводимые на экран кнопками проверки. Здесь мы ограничимся только приведенными простыми примерами, но для тех, кто владеет навыками программирования, редактирование скриптов открывает очень большие возможности. Например, команду Проверить выделенный ответ можно запрограммировать так, чтобы она проверяла, удовлетворяет ли построенная фигура тому или иному условию, скажем, выполняется ли заданная зависимость между элементами построенного треугольника. Именно для такого рода проверок эта команда и предназначается. Помимо рассмотренных нами видов кнопок в меню Кнопки вы найдете еще такие:. Ответы в такой форме тоже можно проверить с помощью описанных выше кнопок; подробнее см. Итак, мы завершили создание всех элементов нашего интерактивного задания: После того, как желаемый чертеж построен, его нужно превратить в рисунок, который можно было бы вставить в документы других программ, например, текстовых редакторов. Для этого в меню Файл имеется команда Экспортировать как изображение. Если вас интересует только часть чертежа как в нашем примере, где нам нужен только чертеж к Указанию , то можно перед экспортом спрятать всё, кроме этой части, а после экспорта, не сохраняя чертежа, перезагрузить его. Впрочем, можно экспортировать и чертеж целиком, а нужный фрагмент выделить при обработке рисунка. Итак, сформируем на рабочем листе нужное изображение и выполним указанную команду. Откроется диалог экспорта со стандартным списком файлов, где можно выбрать каталог, в который будет сохранен рисунок, дать ему имя и выбрать формат рис. О формате экспортируемых рисунков следует сказать подробнее. В файле точечного рисунка изображение разбивается на множество мелких точек, и цвет каждой точки запоминается. Чем мельче точки, тем выше качество рисунка. При экспорте в точечный формат, по сути дела, делается снимок экрана. Изменить размер рисунка можно уже после его вставки, перемещая уголок образовавшейся вокруг него рамки подробности см. Это один из минусов точечных рисунков. Если, например, вам потребуется поменять цвет какой-то линии, то придется делать это на исходном чертеже МК, а затем снова экспортировать. Делать это с помощью графических редакторов возможно, но существенно более трудоемко. Это позволяет, в частности, редактировать каждый такой объект индивидуально, масштабировать рисунок без потери качества, выделять из него фрагменты, состоящие из какого-то подмножества набора объектов. Таким образом, эти форматы более всего подходят для геометрических чертежей. Рисунок, сохраненный в формате eps , можно вставить в документ так же, как и точечный рисунок. Современные текстовые редакторы обычно включают и графические редакторы, с помощью которых вставленный векторный рисунок можно отредактировать. Для редактирования в Microsoft Word к такому рисунку нужно сначала несколько раз применить операцию разгруппирования, пока он не распадется на элементарные объекты, обработать эти объекты индивидуально, а затем опять сгруппировать. Поэтому может оказаться удобнее до или после экспорта отделить конструкцию от всех надписей и обозначений, а затем воссоздать их средствами текстового редактора. В частности, она позволяет конвертировать такие рисунки в другие векторные форматы, например, в форматы wmf и emf , более подходящие для обработки редактором Word. Печатные рисунки можно назвать своего рода побочным продуктом МК. Как уже отмечено, для работы с апплетами сам МК не нужен. Ученики смогут выполнять присланные учителем задания, даже если МК у них не установлен. Правда, для работы апплетов требуется свободно распространяемая программная среда Java; при запуске апплета проверяется ее наличие на компьютере и предлагается установить ее с сайта разработчика, если ее нет. Модели можно свободно распространять и использовать. Еще одно преимущество моделей связано с механизмом проверки. Чтобы создать кнопку, проверяющую правильность построения, автор задания должен сначала сам выполнить это построение. Стоит ли говорить о том, что этого лучше избежать! В модель можно поместить любые команды из меню МК, относящиеся к работе с объектами чертежа. Но команды сохранения файлов, в форме ли динамических чертежей или рисунков, по понятным причинам отсутствуют. Однако даже при дистантном обучении ученик может предъявить учителю отчет о своей работе в виде снимка экрана с выполненным построением кнопка Print Screen на клавиатуре. Еще раз отметим возможность регистрации действий ученика и итоговой отметки в электронном журнале при условии, что модель включена в обучающую систему, поддерживающую стандарт SCORM. Для сохранения созданного задания в форме модели предназначены три команды меню Файл рис. Команда Настроить интерфейс модели вызывает диалог рис. Назначение параметров вверху диалогового окна и кнопок внизу интуитивно понятно. Остановимся на процедуре выбора инструментов. Оба списка устроены как всем знакомое дерево каталогов в Проводнике Windows. Папки в списке команд модели соответствуют раскрывающимся группам кнопок. Порядок команд в списках отвечает порядку команд на инструментальной панели. Если выделить в обоих списках по команде и нажать стрелку между списками, то команда из левого списка, появится вслед за командой, выделенной в правом списке. Кнопки вдоль правого края окна работают так: Аналогичную процедуру можно повторить и на вкладке Мои экспортируемые инструменты. После формирования инструментария можно с помощью команды Предпросмотр модели посмотреть, как будет выглядеть и работать готовая модель, и внести коррективы. Поправки могут касаться не только состава инструментальной панели, но и поведения объектов в модели, задаваемого для каждого объекта на вкладке Общие свойства диалога его свойств отметками в разделе Поведение в апплете рис. Выбор этих опций регулирует уровень доступности объекта пользователю. Например, вряд ли от ученика потребуется что бы то ни было делать с заголовком модели, поэтому в его свойствах ничего не нужно отмечать. В некоторых задачах нужно зафиксировать положения данных точек, но при этом разрешить их выделять, так как иначе их нельзя использовать при построениях. Наконец, когда вид и поведение модели вас полностью устроят, можно осуществить экспорт. Выберем в меню Файл соответствующую команду. В открывшемся окне рис. Кнопка Настройки экспорта вызывает рассмотренный выше диалог, а кнопка Экспорт завершает операцию. Для запуска вашей модели надо открыть в браузере файл Название модели. Создайте на основе построенной вами модели задания на построение симметричной точки с помощью: Попробуйте использовать разные шаблоны экспорта. Начнем с изучения еще одной готовой модели. Она иллюстрирует известную задачу на геометрические места точек. К стене приставлена лестница рис. На лестнице сидит котенок. Вдруг лестница начинает соскальзывать. Какую траекторию опишет котенок? Сначала посмотрим, как устроена эта модель. На инструментальной панели всего пять кнопок. В отличие от большинства остальных, они работают только в режиме команды: Вторая кнопка удаляет с чертежа все имеющиеся на нем следы. Отсутствие инструментов для построений говорит о том, что это готовая модель, предназначенная для экспериментального исследования. Отрезок построен так, что его верхний конец можно перемещать по вертикальной стороне угла. Точка нарисует некоторую кривую. Наконец, повторим все еще раз, поместив точку в середину отрезка для этого можно нажать кнопку В середину! Получим примерно такую картинку, как на рисунке Разумеется, это только гипотезы и их еще нужно доказать. С серединой лестницы все понятно: Математические подробности мы опускаем. Вернемся к нашей модели. Заметим, что кнопка, включающая следы, может выглядеть по-разному и сигнализирует нам о состоянии объектов чертежа. Если ни один из них не выделен, то кнопка неактивна серая, как на рисунке Выделяя любой объект, мы ее активизируем. Кнопка удаления следов активна, если на чертеже есть хотя бы один след. В программе есть еще три команды для работы со следами эта группа команд находится на стандартной инструментальной панели и в меню Построения:. Кнопки Уронить лестницу и В середину! Чтобы создать кнопку передвижения в режиме команды , выберите точку, которая будет двигаться, затем точку-цель, к которой первая точка должна переместиться, а потом одну из двух команд меню Кнопки: Переместить для мгновенного скачка и Двигать для плавного движения. Переименовать кнопки можно в окне диалога свойств. На вкладке Поведение скрипт диалога свойств кнопки Двигать можно отрегулировать скорость движения. В этом случае скрипт выглядит примерно так:. Отключим рисование следов на нашей модели, а нарисованные следы удалим. Но разница между ними и построенными ранее следами тех же точек отнюдь не сводится к их внешнему виду. Во-первых, мы можем менять цвет и стиль этих линий. Далее, на них можно ставить точки, можно строить их пересечения с другими линиями в том числе с другими гмт и их образы при преобразованиях. Чтобы научиться строить гмт и продолжить наши эксперименты, воспроизведем построение этой модели. Проведем через произвольную точку A горизонтальную и вертикальную прямые с помощью уже знакомых нам инструментов. Отметим на вертикальной прямой точки B и C , равноудаленные от точки A , и соединим их отрезком рис. Выберем инструмент Окружность по центру и радиусу и последовательно укажем точки A , B и D. Появится окружность радиуса AB с центром D. Соединим ее центр с одной из точек ее пересечения с горизонтальной прямой точка E на рисунке Возьмем на проведенном радиусе DE точку K. Теперь можно построить геометрическое место точки K. Точка-водитель всегда должна строиться как точка на линии. Можно сначала выбрать две точки в указанном порядке, а потом нажать на ту же кнопку режим команды. Как всегда, о порядке выполнения команды напомнят вид курсора и подсказки в строке состояния. Достроим вторую половину эллипса. Это можно сделать разными способами. Можно повторить построение, взяв на радиусе, проведенном во вторую точку пересечения горизонтальной прямой и окружности D , точку K R на расстоянии DK от D. И наконец, можно просто отразить первую половину эллипса относительно этой прямой. Для окончательного оформления картинки спрячем ненужные точки и линии и раскрасим нужные рис. Теперь можно наблюдать за изменением полученной кривой при перемещении точки B то есть изменении длины лестницы и точки K. Отрезок BC можно было и не строить, взяв точку D непосредственно на вертикальной прямой. Но поскольку точка-водитель не может пробегать всю бесконечную прямую, диапазон ее изменения как-то ограничивается, и мы получим лишь некоторый участок искомого гмт. Расширить его можно прямым вводом значений в разделе Диапазон параметра диалога свойств гмт; этот диапазон задает область изменения точки-водителя. Нужные значения границ диапазона можно найти подбором — каждое изменение немедленно отражается на виде кривой. На шаге 2 построения мы выбирали точку на отрезке BC. Можно было бы этот шаг сократить: Когда возникает такая неопределенность, программа выдает список объектов рис. Постройте след падающей лестницы в сделанной вами модели. Выполняя это упражнение, вы получите более хорошую картинку, если будете двигать конец D лестницы не вручную, а с помощью анимации. Создается кнопка анимации так: При нажатии на созданную кнопку точка будет двигаться по линии, на которой она лежит; второе нажатие на кнопку останавливает движение. Есть три типа анимации: В частности, для упражнения 1 подходят параметры, показанные на рисунке. На рисунке показан построенный с помощью анимации след отрезка постоянной длины, скользящего концами по двум прямым. Часть этого рисунка внутри одного прямого угла образует решение упражнения. Мы видим, что отрезок все время касается четырехконечной кривой астроиды. Кривая, касающаяся всех прямых из некоторого множества, называется огибающей этих прямых. Постройте динамический след отрезка в нашей модели рис. Измените длину отрезка, перемещая точку B , и посмотрите, как будет изменяться построенная фигура. Как и в случае гмт, мы можем изменять цвет и стиль линий, составляющих динамический след, а также изменять его, варьируя исходные данные. Частоту линий, от которой прежде всего зависит его вид, можно устанавливать, изменяя параметр Количество точек в окне диалога свойств рис. Одно и то же семейство линий можно построить разными способами, и, конечно, способ построения тоже сильно влияет на результат. Попробуйте получить семейство отрезков из нашей задачи в виде, показанном на рисунке Постройте семейство серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим данную точку F с точкой P , пробегающей данную окружность. Какая кривая будет огибающей этих прямых? Как она изменяется при передвижении точки F? В заключение отметим, что динамический след можно строить не только для отрезков и прямых, но и для окружностей, многоугольников и вообще для любых геометрических фигур, в том числе даже для геометрических мест точек. Но следует иметь в виду, что в последнем случае получаются весьма ресурсоемкие конструкции и работа программы может сильно замедлиться. Постройте сечение куба, проходящее через точки M , N и P. Сама по себе эта задача несложная и мы не будем останавливаться на ее решении; отметим только, что для построения сечений многогранников по трем точкам достаточно одной линейки, что и отражается в наборе инструментов на панели. Само построение выполняется так же, как и на бумаге. Разница в том, что в любой момент можно повернуть фигуру так, чтобы выбрать наиболее удобный ракурс, и продолжить построение на новом изображении. С помощью управляющих движков поверните куб так, чтобы убедиться, что данные точки M , N и P действительно лежат на указанных гранях. Для этого нужно посмотреть на грань сбоку так, чтобы она превратилась в отрезок. План нашего построения будет таким: Попутно мы познакомимся с использованием выражений и преобразований в геометрических построениях. Сначала мы построили горизонтальную прямую, которая в дальнейшем сыграет роль одной из осей вращения, потом окружность, потом квадрат, начав с произвольно взятой на окружности точки P. Стороны квадрата удобно строить с помощью команды Ломаная. Выбрав этот инструмент, нужно последовательно щелкнуть по всем вершинам квадрата, закончив двойным щелчком на первой вершине или одинарным щелчком и нажатием Enter. Когда квадрат будет построен, скройте диагональные прямые и создайте кнопку анимации точки P кнопка Вращать. О кнопках этого типа рассказывалось на занятии 3. Что произойдет с ее изображением, если повернуть ее плоскость на угол a, как показано на рисунке? Изображение любой ее точки в результате этого поворота подвергнется тому же сжатию. Теперь понятно, как смоделировать поворот плоскости квадрата вокруг горизонтальной оси наклон. Создадим числовой параметр, который будет задавать коэффициент сжатия. Для этого нужно выбрать кнопку на панели инструментов или в меню Вычисления и щелкнуть на листе там, где мы хотим этот параметр поместить. Немедленно откроется диалог его свойств рис. С этой целью рис. Также можно задать частоту делений на шкале, но это уже дело вкуса. В результате наш чертеж примет вид, показанный на рисунке Изменять значение параметра можно или непосредственно с клавиатуры, или с помощью маленьких кнопок со стрелками справа от этого значения, или перемещая ползунок по шкале. Чтобы применить к точке P сжатие в k раз, нужно построить ее проекцию P 0 на горизонтальную прямую, а затем образ P R точки P при гомотетии с центром P 0 и коэффициентом k. Проекцию находим как основание перпендикуляра, а на построении образа при гомотетии, с которым мы сталкиваемся впервые, остановимся подробнее. По шагам оно выполняется так:. Щелкаем по нашему параметру k — он подставляется в соответствующее поле. Аналогично строятся образы трех других вершин квадрата рис. На рисунке для наглядности мы сделали еще некоторые построения. Во-первых, мы соединили изображения вершин наклоненного квадрата. Во-вторых, построили геометрическое место точки P R при движении точки P по окружности, то есть результат сжатия исходной окружности. Получается изображение нашей окружности, а именно, эллипс. Эллипс, согласно одному из его определений, и есть сжатая окружность. Теперь можно подвигать точку P и ползунок и посмотреть, как вращаются и наклоняются наш квадрат и окружность, в которую он вписан. Всё выглядит весьма правдоподобно! Список преобразований можно открывать из панели инструментов не заходя в меню. Изначально это параллельный перенос кнопка. В дальнейшем на этом месте будет находиться кнопка последнего выполненного преобразования. Можно выполнять преобразования и в режиме инструмента: Аналогично гомотетии выполняются повороты: При построении изображений вершин квадрата можно было применить сжатие только к двум соседним вершинам, а две другие достроить по симметрии. Об использовании объекта Преобразование и о создании новых инструментов мы расскажем на последнем занятии. Представим, что наш квадрат является сечением куба, проведенным через его центр параллельно двум граням рис. Чтобы построить эти грани, нужно сдвинуть квадрат перпендикулярно его плоскости на половину длины его стороны то есть половину ребра куба в обоих направлениях. Построим изображение отрезка OM , задающего вектор сдвига. Еще раз посмотрим на нашу конструкцию сбоку. На рисунке показан вид куба сбоку в исходном положении, когда квадрат расположен в плоскости чертежа параллельно горизонтальной прямой ср. Нажмем на инструментальной панели или в меню Вычисления кнопку Создать произвольное выражение и щелкнем на любом месте листа. Одновременно откроется окно свойств выражения, в котором нужно будет набрать нужную нам формулу в специальном редакторе рис. Математические функции можно вводить непосредственно: Проведем вертикальный радиус ON рис. Теперь, чтобы получить изображение этой грани и грани, ей параллельной, нужно параллельно перенести изображение квадрата на векторы рис. У нас получилась модель, показанная на рисунке Этим и завершается построение. Для этого нужно создать кнопку Анимация параметра. Делается это так же, как и для точек: На экране появится кнопка, при нажатии на которую параметр будет меняться. Характер изменения можно уточнить с помощью диалога свойств этой кнопки. Теперь можно отметить некоторые недостатки нашей модели. Во-первых, вращающая куб точка P попадает прямо на его изображение, что неудобно. В-третьих, для большей наглядности хотелось бы изображать невидимые при каждом данном положении куба ребра пунктиром; проблема в том, что при вращении куба невидимые ребра становятся видимыми и наоборот. Первые два замечания, в принципе, учесть несложно. Например, мы могли бы с самого начала построить круговой движок как в модели, с которой мы начали это занятие и передавать его вращение на точку P. Аналогичный движок можно было использовать и для наклона. Оказывается, что такие движки можно встроить в наш чертеж, не переделывая его весь, с самого начала. Обо всем этом будет рассказано на последнем занятии. Обратим внимание на три команды этого меню; остальные либо стандартные для любых программ Открыть , Создать и т. Импортировать … МК позволяет импортировать два типа объектов. Во-первых, можно вставить в чертеж рисунок. Например, можно вставить фотографию, на которой запечатлена траектория какого-либо движения, и средствами МК подобрать задающую ее функцию. Вверху окна находится поле выбора типа объектов. Для каждого типа открывается диалог, в котором настраиваются свойства всех вновь создаваемых объектов данного типа, например, цвет прямых, стиль точек, точность и единицы измерения углов и т. Как обычно, начнем с примера см. При изменении параметра соответственно изменяются и графики функций поэкспериментируйте! Однако нетрудно угадать два! Увидеть их можно, установив значение в этой модели. Обратим внимание на некоторые новые для нас объекты МК, появившиеся в этой модели рис. Чтобы эти инструменты работали, в диалоге свойств фрейма должны быть поставлены соответствующие разрешающие отметки. При наличии таких же отметок в свойствах основного листа его тоже можно аналогичным образом сдвигать и растягивать. Инструменты растяжения и сдвига позволяют лучше показать и рассмотреть интересующие нас объекты. Так, на рисунке они использованы, чтобы укрупнить область, в которой находятся корни уравнения. Познакомимся с процедурой построения графика функции, заданной аналитически формулой. Мы построим графики из рассмотренного выше примера. По умолчанию панель инструментов настроена на геометрические построения. Поэтому нажмем кнопку , чтобы вывести на панель инструменты, относящиеся к построению графиков и различных связанных с ними объектов рис. Нажмем кнопку на панели и щелкнем на листе там, где будет располагаться параметр. В модели используется и сопровождающий параметр горизонтальный ползунок. Нажмем кнопку на панели и щелкнем на листе там, где будет располагаться функция. Одновременно откроется окно свойств этого объекта на вкладке Функция с уже знакомым нам редактором выражений, в котором, для заполнения пустого места, стоит буква x ; советуем ее удалить, пока вы не освоитесь с работой в этом редакторе. Можно задать ту же функцию и в виде e x ln a , что в редакторе выражений выглядит так: Последнее выражение можно набрать непосредственно с клавиатуры за исключением параметра, конечно или используя список Функции вычисления. Строка состояния и вид курсора подскажут, что теперь нужно указать функцию. Щелкнем по нашей функции — на экране возникнет фрейм с ее графиком. Кроме того, рядом с формулой функции появится линия того же цвета, что и график рис. Для этого помещаем мышь на край фрейма так, чтобы рамка подсветилась. Если при этом курсор находится в углах или серединах сторон рамки принимая форму двойной стрелки , то, удерживая нажатой левую кнопку мыши, рамку можно растягивать в направлении этих стрелок. Если же курсор находится в других точках рамки, то он превращается в крестик и позволяет сдвигать фрейм как целое. Отметим, что второй график будет построен в том же фрейме и автоматически получит другой цвет, который в дальнейшем можно изменить. В случае кубического многочлена потребуется еще задать значения коэффициентов в появляющемся диалоговом окне. В правой части нижнего ряда алгебраической панели инструментов рис. Для выполнения этих команд нужно нажать соответствующую кнопку и указать график, подлежащий преобразованию. В случае первых четырех команд с параметром a после этого нужно еще указать параметр или щелкнуть на пустом месте, чтобы его создать и затем отредактировать. Отдельно нужно сказать о последних трех командах. При извлечении квадратного корня функция ограничивается множеством, на котором она неотрицательна, и график строится только на этом множестве. Команда дифференцирования применяется не к графикам, а к функциям, причем записанным явно. Все упомянутые выше команды, а также еще ряд команд, относящихся к графикам, можно найти в меню Графики. Постройте график функции a x с помощью кнопок быстрого построения графиков: Мы встретились с двумя случаями построения графиков: Если же фреймов два или больше, то после указания функции нужно указать и фрейм, в котором мы хотим построить график этой функции. Поэтому, если мы хотим построить график в новом фрейме, отличном от тех, которые уже есть на листе, нужно такой фрейм создать. Для этого нужно нажать кнопку и щелкнуть на листе там, где будет левый верхний угол фрейма. В результате образуется стандартный квадратный фрейм, который в дальнейшем можно изменить. Можно и сразу растянуть фрейм до нужной формы и размера так же, как это делается при создании текстового поля. Для примера построим график синуса. При реализации этого плана мы познакомимся с несколькими новыми для нас командами. Итак, начнем с того, что создадим фрейм. Поскольку в МК оси координат не являются геометрическими фигурами и мы не можем взять точку на оси координат так же, как мы берем ее на обычной прямой, нам придется провести прямую поверх оси. Есть два способа выполнить это построение. Возьмем произвольную свободную точку A на фрейме и откроем диалог ее свойств двойным щелчком ; справа на вкладке Свойства точки находится область, в которой можно задать положение точки см. Введем значения координат нули и поставим отметку Запретить изменение. Точка A зафиксируется в начале координат. Обозначение A можно удалить, оно нам не потребуется. Создадим числовой параметр со значением 0. На фрейме появится требуемая точка. Если бы последний щелчок был сделан вне фрейма, то точка была бы создана в начале координат основного листа. Аналогично строится точка с любыми заданными координатами относительно заданной системы. Через построенную точку мы проведем горизонтальную прямую кнопка , а на ней возьмем произвольную точку X точку-аргумент будущего графика. Отметим, что если в дальнейшем мы будем растягивать или сдвигать систему координат, то точка X будет двигаться вместе с ней, так что ее координаты меняться не будут. Ордината нам не понадобится. Вычислим значение функции, нажав кнопку и набрав в открывшемся окне редактора выражений формулу sin x X. Следующий шаг — построение точки F с координатами x X ; sin x X , которое выполняется, как и выше, с помощью команды Точка с координатами. И наконец, строим геометрическое место точки F при изменении X. Скорее всего, на экране появится относительно небольшой участок графика. Увеличить его, а также настроить некоторые другие важные характеристики графика можно с помощью диалога свойств рис. Размер участка задается в блоке Диапазон параметра. Если прямая построена по двум точкам A и B , то этот параметр есть координата точки на числовой оси с началом в A и единицей в B , то есть в нашем случае параметр точки X равен ее координате x. Важные настройки находятся в блоке Аккуратность отрисовки. Графики, как и любые гмт, рисуются путем соединения некоторого набора их узловых точек. Качество рисунка зависит от числа точек и способа их соединения. Но нужно понимать, что вместе с этим будет выше и расход ресурсов системы, что может приводить к значительному замедлению работы. Поясним смысл предлагаемых настроек. Для обычных школьных задач, как правило, принятые по умолчанию настройки менять не нужно. Мы уже не будем подробно описывать построения, остановимся только на новых для нас командах и приемах. Синус произвольного числа t определяется как ордината y t точки P x t ; y t , полученной из точки E 1; 0 поворотом вокруг начала координат на угол t в радианах. Таким образом, график синуса — это геометрическое место точки S с координатами t ; y t. Строим прямую поверх оси x , берем на ней точку T и находим ее абсциссу x T. Теперь точку P можно получить из E 1; 0 поворотом на угол x T на рис. Для этого нужно взять любую точку P на окружности и открыть диалог ее свойств. В его правой части находятся величины, характеризующие положение этой точки рис. За начальную точку берется конец радиуса, проведенного по направлению положительной полуоси абсцисс; таким образом, параметр точки P на рис. Координаты точки, взятой на окружности, произвольно изменять нельзя, поэтому соответствующие поля неактивны рис. А в поле параметра можно подставлять любое выражение. Интервал изменения аргумента для полученного участка синусоиды можно задать произвольно в диалоге свойств графика. Для наглядности на чертеже проведены еще и отрезки TS и SP. Можно поступить и иначе: Это бывает удобно при работе с тригонометрическими функциями. Соответствующая опция устанавливается в свойствах фрейма на вкладке Линии. С их помощью легко построить график производной любой функции по ее графику не вычисляя производную аналитически. При вычислении ориентированной площади части криволинейной трапеции, лежащие над и под осью, учитываются с противоположными знаками. Этот факт позволяет строить график первообразной. Возьмем на оси x , точнее, на проведенной поверх нее прямой, точку на рис. Закрасятся сегменты под положительными арками синусоиды, обозначим эту область P. Откроем диалог его свойств рис. Следует сказать, что первоначально, по умолчанию, вторая область также будет построена под графиком, то есть накладывается на первую. Как гарантировать, что будут открыты именно ее настройки? В принципе же, достаточно знать, что при последовательных щелчках по общей области нескольких объектов они будут выделяться поочередно. Также можно временно скрыть один объект, отредактировать свойства второго, а затем вернуть первый объект на чертеж. Таким образом, окончательная формула для первообразной имеет вид. Дальнейшая процедура нам уже хорошо знакома: В качестве упражнения предлагаем построить все описанные в этом разделе примеры. Должны предупредить, что модели, использующие выражения, на недостаточно мощных компьютерах работают относительно медленно, особенно при изменении их параметров и исходных функций. На этом занятии мы познакомимся с инструментами, командами, настройками, рассчитанными на более опытных пользователей. Начнем с последнего нерассмотренного нами раздела меню. Необходимость в таком инструменте возникает тогда, когда какую-то конструкцию приходится часто повторять. Программа позволяет запомнить построение как новый инструмент и в дальнейшем применять его так же, как и обычные инструменты. Изначально в коллекцию Мои инструменты включены инструменты для построения замечательных линий треугольника медиан, биссектрис, высот, вневписанных окружностей , некоторых часто встречающихся фигур равнобедренного треугольника, трапеций разных видов и еще для нескольких стандартных построений. Для примера создадим инструмент, который строит правильный треугольник по его центру и вершине. Откроется диалоговое окно рис. Созданный инструмент появляется внизу списка слева строкой Без имени. Содержательное название записывается в верхнем поле справа. В поле комментария можно записать любые пояснения для будущего пользователя команды; они появятся во всплывающей подсказке к инструменту. Внизу справа находится список аргументов команды. В данном случае это две точки. Первоначально в списке они появятся под названиями точка-0 и точка-1, причем в том же порядке, в каком они были выделены при записи команды. Текст, которым вы замените эти названия, будет появляться в строке состояния при применении инструмента; также можно записать комментарии к аргументам, которые будут доступны при повторном открытии диалога. Чтобы применить новый инструмент, нужно выбрать его в меню и указать две точки; эти точки, как обычно, могут и создаваться вновь, если щелкнуть на свободном месте или на линии. Заметим, что после применения нашего инструмента на чертеже появятся только те элементы построения треугольник и его центр , которые были выделены при записи, если же вы хотите, чтобы вместе с треугольником возникала, например, и его описанная окружность, ее тоже надо выделить перед записью. Более того, вспомогательные построения не появятся, даже если нажать кнопку Показывать всё скрытое! О том, как все-таки при необходимости добраться до этих объектов, будет сказано ниже. Коллекцию личных инструментов можно организовать с помощью обычной древовидной структуры: По умолчанию пользовательские инструменты записываются в специальный файл macros-default. Если при сохранении инструмента поставить отметку Сохранять только в файле построения , то он запишется не в специальный файл-хранилище, указанный выше, а в файл чертежа. Это позволяет пользователям обмениваться своими инструментами. Создайте инструмент, который работает так же, как и описанный выше, использовав при построении поворот. Они созданы для того, чтобы преодолеть затруднение, с которым рано или поздно сталкиваются все, кто работает с программами динамической геометрии. Причина описанной неприятности в том, что при построении второй точки пересечения мы никак не сообщаем программе, что эта точка должна отличаться от A. Поэтому из двух точек пересечения программа будет выбирать ту, для которой сохраняется изначально возникший порядок точек на прямой для рис. Точку C на рисунке можно построить как точку, симметричную A относительно перпендикуляра, проведенного из центра O окружности к прямой AB. Выполним это построение и попробуем создать инструмент, который будет его повторять. Нужно выделить аргументы и результат построения. Выделим перечисленные три точки и прямую и выберем команду Новый инструмент меню Мои инструменты. Откроется диалог, показанный на рисунке , но в нем мы увидим только один аргумент точку! Нужный инструмент не записывается. При этом если среди выделенных элементов не хватает данных для всех запоминаемых построений, то эти данные восполняются произвольными объектами того же типа. В нашем случае точка O , конечно, свободная, но точка A уже нет: Однако записать нужный инструмент все-таки можно. Возьмем произвольную прямую и точки A и O вне нее. Повторим наше построение — построим точку C , симметричную A относительно перпендикуляра, проведенного к данной прямой через O. Выделим прямую и точки A , O и C и создадим новый инструмент. На этот раз все срабатывает без сбоев, поскольку все исходные объекты между собой независимы, и мы получаем искомый инструмент. Разумеется, его можно применять и в том случае, когда A лежит на пересечении окружности и прямой. Именно этот инструмент и включен в коллекцию Мои инструменты. Нам может понадобиться и инструмент, который строит вторую точку пересечения окружности и прямой, если дана сама окружность, а не ее центр. Более изящный способ — взять прямую, окружность и не лежащую на них точку A , построить точки M и N пересечения прямой и окружности, серединный перпендикуляр p к MN и точку B , симметричную A относительно p. Перед записью инструмента нужно выделить прямую, окружность и точки A и B. Создайте инструменты, которые строят точку пересечения двух окружностей, отличную от данной точки их пересечения: При создании моделей трудно предусмотреть заранее все нюансы, особенно поведение конструкции при изменении ее исходных элементов. По этой или по другим причинам нам может понадобиться внести изменения в готовую модель. В МК для этого есть большие возможности. Мы рассмотрим их на примере редактирования нашей модели вращающегося куба, созданной на занятии 4. Прежде всего, построим круговой движок, который будет приводить куб во вращение в нашей модели вращение осуществляется перемещением точки P по окружности; рис С помощью команды Показывать все скрытое выведем на экран окружность, по которой бегает точка P на рисунке это уже сделано. Поскольку этот эллипс никак не участвует в работе самой модели, его можно удалить, что мы и сделаем, предварительно показав его, как и окружность выше. Теперь выделим точку P и выполним команду Отвязать точку кнопка в меню Правка эта команда имеется также в контекстном меню точки. Выскочит список потомков точки P рис. Нажимаем ОК и восстанавливаем правильное изображение куба, которое теперь зависит уже от вновь построенного движка. Обратите внимание, что исходная точка P остается на своем месте и часть потомков, теоретически, может сохраниться за ней. Наконец, нужно переопределить кнопку Вращать , приводившую в движение точку P. Откроем диалог ее свойств рис. Она появится в этом поле вместо стоявшей там точки P. Окно диалога занимает много места на экране и может заслонять нужную точку. В этом случае большое окно можно заменить маленьким рис. Создадим движок для наклона. Проще всего использовать уже имеющийся. Но в любом случае новый движок надо будет переместить в новое, более удобное положение. Сравнивая рисунок с рисунками и из занятия 4, мы видим, что в качестве этого угла удобно рассматривать угол между радиусом-бегунком QT и вертикалью. Его косинус, то есть новое значение k , мы для разнообразия измерим как отношение проекции QT 1 радиуса QT на вертикальный радиус QN к радиусу с учетом знака. Для этого выделим точки T 1 , Q , N в указанном порядке и выполним команду Измерить отношение кнопка ; на чертеже появится значение отношения со знаком минус, если лучи QN и QT 1 противоположно направлены. Его-то и нужно будет подставить вместо k. Команду измерения отношения можно применять к двум отрезкам и тогда она дает отношение их длин или к трем точкам. Для точек на одной прямой результатом будет так называемое простое отношение этих точек, то есть отношение, в котором вторая точка делит отрезок, соединяющий первую и третью точки, с учетом направлений отрезков. Хотя в геометрии простое отношение, по определению, рассматривается только для коллинеарных лежащих на одной прямой точек, данную команду МК можно применять к любым трем точкам A 1 , A 2 , A 3. Получится отношение A 2 A 1: A 2 A 3 , взятое со знаком плюс, если угол A 1 A 2 A 3 острый и со знаком минус, если он тупой. Как правило, в случае неколлинеарных точек лучше использовать отношение соответствующих отрезков. Приступим к замене параметра k в нашей модели. Вспомним, что при ее построении он использовался как коэффициент сжатия исходного квадрата, а также для вычисления величины которая, в свою очередь, использовалась в другом сжатии. Так, середина ребра AA 1 куба рис. Аналогично строились и середины трех ребер, параллельных AA 1. Нажмем кнопку , чтобы показать все скрытые объекты. Среди них мы увидим приведенную выше формулу для m , а также несколько пять гомотетий. Наша цель достигнута — куб можно вращать вокруг горизонтальной оси с помощью нового кругового движка. Но если вы внимательнее присмотритесь к этому вращению, следя за обозначениями вершин или закрасив одно из оснований куба , то заметите, что в момент, когда радиус QT проходит через вертикальные положения, куб как бы начинает вращаться в обратную сторону! Не вдаваясь в подробности, поясним, почему это происходит. Вспомним, что при построении нашей модели величина была использована вместо синуса угла наклона куба. Но такая замена правомерна только пока синус положителен. Вместо отношений можно непосредственно использовать тригонометрические функции. Размер куба в нашей модели регулируется точкой E рис. При редактировании построения или при анализе его структуры возникает необходимость узнать, от каких объектов зависит данный объект и какие объекты зависят от него. Для того чтобы их обнаружить, нужно выбрать в меню Правка команду Выделить потомков кнопка или клавиша PgDn и щелкнуть по исследуемому объекту. Она выделяет все объекты, от которых данный объект непосредственно зависит. Для таких случаев на вкладке Общие свойства любого объекта предусмотрен раздел Связи , в котором находятся кнопки рис. Если объект является кнопкой Показать , Двигать и т. Если щелкнуть по какому-нибудь объекту в любом из этих списков, то этот объект останется выделенным и все диалоговое окно переключится на его свойства. Мы обещали усовершенствовать нашу модель куба еще в одном отношении: Сделать это можно следующим образом. Для каждого ребра a мы создадим параметр, принимающий два значения, а именно, 0, если ребро находится на видимой в данный момент стороне куба, и 2, если на невидимой. В перечне стилей линии рис. Чтобы связать стиль ребра с этой величиной, нужно выделить поле стиля в свойствах этого ребра и щелкнуть по соответствующему параметру; он появится в поле и будет определять стиль. Теперь нужно объяснить, как вычисляется нужный параметр. Сначала разберемся с гранями. Допустим, что, например, грань ABCD в данный момент видима и при движении от вершины A к B и далее к C и D на чертеже мы обходим ее против часовой стрелки рис. Если повернуть куб так, чтобы эта грань стала невидима, то мы будем смотреть на нее с другой стороны рис. Таким образом, по знаку этой величины можно судить о том, видима или нет данная грань. Оно будет видимым, если и только если видима хотя бы одна из этих граней. Остается образовать из этих величин выражение, равное 0, если хотя бы одна из них равна 1, и равное 2 в остальных возможных случаях; его и нужно подставить в поле стиля ребра a. У куба 6 граней и 12 ребер, поэтому имеет смысл сделать инструменты для ускорения работы. Можно похожим образом параметризовать и ряд других характеристик объектов, например, стиль и размер точки. Наиболее интересна в этом плане параметризация цвета. Чтобы установить зависимость цвета от параметра, надо открыть палитру цветов в диалоге свойств объекта другие способы изменения цвета здесь не годятся; рис. Откроется новое окно рис. При параметрическом задании используется второй способ; постоянные значения в полях H, S и B можно заменить выражениями. Объяснение того, как именно цвет зависит от этих значений, выходит за рамки наших занятий, но это можно понять с помощью эксперимента. Хотя в этом меню остается еще довольно много новых для нас команд, новизна эта формальная. Фактически же большинство из них выполняются точно так же, как те, с которыми мы познакомились на наших занятиях, и в дополнительных объяснениях не нуждаются. Напомним, что о порядке работы с командами вам всегда напомнит вид курсора и строка состояния, не говоря уже о справке к программе. Остановимся отдельно на командах, в которых, кроме исходных фигур, нужно еще дополнительно задать параметры операции, которая будет выполняться. Во-первых, это три команды с целочисленным параметром N: Разделить отрезок на N частей , Разделить угол на N частей и Правильный N - угольник. Их отличие от других команд построения в том, что после выбора любой из них появляется окно, в котором задается N. Эти команды устроены наиболее сложно и о них стоит сказать еще раз. Отметим, что среди точек, задающих центр и угол поворота, могут быть одинаковые. Шаги 1 и 2 можно переставить: Вместо шага 3 можно нажать клавишу Enter: Практически так же работает команда Гомотетия. Чтобы задать коэффициент геометрически, нужно указать четыре точки: При этом одну и ту же точку можно использовать дважды. Для этого используется команда Повторить преобразование из той же группы команд кнопка. Порядок ее выполнения такой же, как и у поворота или других преобразований, только вместо указания параметров преобразования нужно щелкнуть по обозначению повторяемого преобразования. В этом меню, прежде всего, отметим команды, позволяющие строить кривые, не являющиеся графиками функции одной переменной. Функция двух переменных открывает окно редактора выражений, в котором можно указать обозначения функции например, F и переменных например, x и y и задать формулу, — например, x 2 — y 2 — 1. В этом же меню имеется инструмент, который строит локальный экстремум функции, ближайший к указанной мышью точке ее графика кнопка. В меню Графики помещена группа операций над множествами Действия с областями , включающая операции объединения, пересечения, взятия разности и симметрической разности множеств. С их помощью можно, например, строить решения алгебраических неравенств на координатной плоскости. В этом меню собраны инструменты для составления выражений и вычисления их значений, а также для измерения геометрических величин. Остановимся на некоторых особенностях измерений. Хотя инструмент, вызываемый кнопкой , называется Расстояние между точками , его можно применять и к отрезкам для нахождения их длин. Следует понимать, что расстояние между точками рассчитывается по известной координатной формуле, в которую подставляются координаты этих точек относительно фрейма, на котором они построены в частности, это может быть корневой фрейм, то есть основной лист ; сама система координат при этом может быть скрыта. Это остается справедливым и в том случае, когда выбраны разные масштабы по осям. В отличие от Расстояния , инструмент Величина угла измеряет только углы, заданные тремя точками эти точки и нужно указать при измерении. Все это разнообразие доступно через список функций измерения в редакторе выражений. Это относится и к сдвигам и масштабированию фреймов. Эти действия можно запретить или разрешить, поставив соответствующие отметки в окне свойств фрейма рис. Можно устанавливать масштабы и численно, в пикселях. Вернуть его на место поможет команда Вернуться к центру кнопка ,находящаяся в контекстном меню фрейма вызываемом по щелчку правой кнопкой мыши. Команды группы Листы меню Вид позволяет создавать в одном файле МК несколько независимых листов, удалять их и переходить с одного листа на другие аналогично тому, как это делается, например, в программе Microsoft Excel. При наличии нескольких листов каждому листу можно дать собственное название и установить для него свои настройки через диалог его свойств. Нередко возникает необходимость одинаковым образом изменить свойства нескольких однотипных объектов, например, сделать сразу несколько отрезков пунктирными, а несколько окружностей синими. Выделим все эти объекты и выполним команду Свойства объекта Откроется диалоговое окно, аналогичное окну предварительных настроек рис. Выбрав нужный тип, мы можем одновременно изменить стиль, цвет и некоторые другие настройки всех объектов этого типа. Рассмотрим подробнее две последние позиции этого меню. С их помощью на чертеже можно сформировать вопросы, ответы на которые даются в форме простого текста или выбором вариантов из предложенного набора и проверяются по нажатию на кнопку проверки. Инструмент Поле ввода ответа создает в указанном месте листа кнопку Проверить и поле, в которое вводится в форме простого неформатированного текста произвольный набор символов. Одновременно с появлением поля и кнопки открывается диалог свойств кнопки со скриптом, определяющим ее работу. Первые строки скрипта выглядят так:. Вместо текста в кавычках выделенного красным нужно вписать варианты верных ответов в любом числе; если в поле будет введен текст, совпадающий с одним из этих вариантов, ответ будет считаться верным. Таким же образом в скрипте формируются сообщения с оценкой ответа, данного пользователем. Рядом с окошком в том же поле можно поместить подпись. Фактически этот объект равносилен числовому параметру, принимающему значение 0, если отметки нет, и 1, если она поставлена. При полном совпадении будет выдано сообщение о правильности. Аналогично, без редактирования скрипта, можно создавать и кнопку проверки текстовых полей, только вместо чекбоксов при этом нужно выделить эти поля с введенными в них верными ответами. Занятие 1 Классические геометрические построения I. Начнем с простейшего задания. Одновременно в строке состояния появляется инструкция: При этом изменились и курсор подсветился красным другой конец отрезка , и текст в строке состояния: Курсор мыши и инструкция в строке состояния подсказывают, что сначала нужно щелкнуть по линии отрезку, лучу или прямой , к которой проводится перпендикуляр, а затем по точке, через которую он должен пройти рис. Переходим ко второму шагу. Выполним следующее простое построение: Подчеркнем еще раз, что нам важно, чтобы точка C не совпадала с данной изначально точкой пересечения A. Казалось бы, никаких проблем здесь нет. Попробуйте, однако, сдвинуть точку A по окружности. В какой-то момент она совпадет с C , и прямая превратится в касательную. Этот неприятный эффект обычно можно игнорировать при работе с учебными задачами на построение, если по смыслу решение верно. Но при создании демонстрационных моделей нам все-таки хочется, чтобы модель работала при любых вариациях данных и, в частности, чтобы в нашем примере точка, построенная симметрично данной точке A , не исчезала, когда A перемещается за ось симметрии. Для построения дуги нужно выделить по очереди точку L , M и окружность, а затем нажать кнопку. Мы будем двигать точку M , и ее движение нужно передать на точку P , связанную с кубом.
Комбинаторика — это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения. Пусть требуется составить набор из ручки, карандаша и линейки. Действием в данном случае является составление набора из ручки, карандаша и линейки; действие распадается на три этапа части: Первую часть действия — выбрать ручку — можно выполнить пятью способами, вторую часть действия — выбрать карандаш — можно выполнить семью способами, третью часть действия — выбрать линейку — можно выполнить десятью способами. Тогда все действие можно выполнить. Первую часть действия — написать первую компоненту - можно двумя способами: Если элементы в выборке не повторяются, то выборка называется бесповторной , иначе — выборкой с повторениями. При бесповторной выборке все равно, каким образом осуществляется выбор: Поскольку порядок расположения людей в бригаде не фиксируется и люди не повторяются , то мы имеем случай сочетаний из 30 элементов по 3 без повторений: Таким образом, бригаду дежурных из трех человек в группе из 30 человек можно выбрать различными способами. Чтобы получить упорядоченное - элементное подмножество -элементного множества, нужно выполнить два этапа: Свойства сочетаний без повторений: Блез Паскаль — — французский математик. Этот треугольник имеет вид: Закономерность его построения такова: Первая строчка — значения числа сочетаний из 1 , вторая — из 2 - слева направо , и т. Рассмотрим выборку с повторениями. Число различных перестановок на элементах такой выборки равно: Сколько различных 4-буквенных слов можно составить из символов? Сколько различных перестановок можно составить из букв слова АБАКАН? Требуется найти число перестановок на множестве из 6 элементов, среди которых три элемента одинаковы: Верно обобщение рассматриваемой формулы: Сколько перестановок можно получить из букв слова КОЛОКОЛА? Требуется найти число перестановок с повторениями на множестве из 8 букв, среди которых: Сколькими способами можно составить набор из 5 шоколадок, если имеются шоколадки трех сортов в количестве по 10 штук каждого вида? Поскольку при составлении шоколадного набора порядок расположения шоколадок не важен, то используем для подсчета формулу сочетаний с повторениями: Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 9 вагонам? Поскольку по условию задачи в один вагон могут сесть несколько человек, и поскольку рассадка зависит от того кто в каком вагоне находится, то используем формулу размещения с повторениями: Эту же задачу можно решить, применяя комбинаторный принцип умножения: Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 9 вагонам по одному в вагон? Поскольку по условию задачи в один вагон могут сесть только один человек, и поскольку рассадка зависит от того кто в каком вагоне находится, то используем формулу размещений без повторений: Сколько различных сигналов можно составить из четырех флажков различных цветов, если каждый сигнал должен состоять не менее чем из двух флажков? Составить сигнал можно из двух флажков, из трех или из четырех. Действие — составить сигнал — означает выбрать флажки из четырех и расположить их в определенном порядке. Таким образом, в каждом случае нужно выполнить два этапа: Составляем сигналы из двух флажков: Таким образом, согласно комбинаторному принципу умножения, можно составить различных сигналов из двух флажков. Составляем сигналы из трех флажков: Составляем сигналы из четырех флажков: Применим теперь комбинаторный принцип сложения: Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв. Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4 равно Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно. Если учесть возможность того, что буквы могут повторяться, то число повторяющихся комбинаций равно 30 одна возможность повтора для каждой буквы. Итого, полное количество комбинаций по две буквы равно Если к номеру добавляется еще одна буква из алфавита в 30 букв, то количество комбинаций увеличивается в 30 раз, то есть достигает Окончательно, так как каждой буквенной комбинации можно поставить в соответствие числовую комбинацию, то полное количество автомобильных номеров равно К следующему разделу К оглавлению.
Розеола у детей до года
Клей для накладных ногтей
Крашенинников жилищное право 2016
Сережа я тебя люблю стихи
8952 какой оператор и регион