Эти равенства можно принять за правила вычисления определителя. На главную страницу Определители В конец страницы 3.
Определители второго и третьего порядков, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Определитель n-го порядка
Языки программирования Паскаль Си Ассемблер Java Matlab Php Html JavaScript CSS C Delphi Турбо Пролог 1С. Компьютерные сети Системное программное обеспечение Информационные технологии Программирование. Свойства определителей второго и третьего порядка. Алгебраическое дополнение элемента матрицы. Разложение определителя по строкам столбцам. Определение Матрицей размеров называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Обычно принято обозначать матрицы большими буквами, а саму таблицу чисел заключать в круглые скобки. Например, -- матрица размеров , -- матрица размеров , или другими словами, матрица-столбец , -- матрица размеров , или матрица-строка. Иногда вместо круглых скобок в записи матрицы используют квадратные или двойные прямые линии. Если элементы матрицы обозначаются буквами, то для этого обозначения используется та же буква, что и для обозначения матрицы, только не большая, а малая, и эта буква снабжается двумя индексами. Например, матрицу размеров можно записать в виде. В этой записи означает, что элемент находится в строке с номером и столбце с номером , то есть первый индекс указывает номер строки , а второй - номер столбца. Наряду с указанным обозначением элементов матрицы используется также обозначение , в котором номер строки указывает верхний индекс, а номер столбца -- нижний. Определитель квадратной матрицы будем обозначать или. Определение Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число. Определителем квадратной матрицы порядка , , называется число. Предложение 1 При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть. Предложение 2 Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть. Предложение 3 Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак. Предложение 4 Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю. Поменяем местами две одинаковые строки. В силу 3 определитель сменит знак. С другой стороны, так как строки были одинаковыми, то матрица не изменилась и, следовательно, не изменился и ее определитель. Получим, что , откуда следует, что. В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками столбцами мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками матрицами-столбцами , то есть поэлементно. Результатом будет служить строка столбец , как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк столбцов и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк столбцов , то есть суммах с числовыми коэффициентами. Предложение 5 Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число. Пусть -- исходная матрица, -- матрица, полученная из умножением первой строки на число:. Вынесем множитель за знак суммы и получим. Пусть теперь матрица получается из матрицы умножением -ой строки на число. Поменяем местами первую и -ую строки в матрице и то же самое проделаем в матрице. Получим две новых матрицы и. Очевидно, что матрица получается из матрицы умножением первой строки на число. Как только что было доказано,. Таким образом, из второго равенства 1 находим , отсюда с помощью первого равенства 1 получаем. Предложение 6 Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю. Нулевую строку можно рассматривать как строку из единиц, умноженную на число ноль. По предложению 5 определитель такой матрицы равен нулю, умноженному на определитель матрицы, содержащей строку из единиц. Результат такого умножения всегда будет ноль. Предложение 7 Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число строки пропорциональны , то определитель матрицы равен нулю. По предложению 5 определитель исходной матрицы равен числу , умноженному на определитель матрицы, у которой есть две одинаковые строки. По предложению 4 определитель последней матрицы равен нулю. Поэтому и определитель исходной матрицы равен нулю. Предложение 8 Пусть в матрице -ая строка имеет вид. Тогда , где матрица получается из матрицы заменой -ой строки на строку , а матрица -- заменой -ой строки на строку. Пусть первая строка матрицы имеет вид. Для случая утверждение доказано. Обозначим через , , матрицы , , и , в которых поменяли местами первую и -ую строки. По только что доказанному для утверждению. По предложению 3 , ,. Умножив обе части последнего равенства на , получим требуемое утверждение. Предложение 9 Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится. Пусть к -ой строке матрицы прибавлена -ая строка, умноженная на число. В матрице элементы -ой строки имеют вид. По предложению 8 , где -- матрица, полученная из матрицы заменой -ой строки на -ую строку, умноженную на число. По предложению 7 , то есть. Предложение 10 Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю. По предложению 8 определитель исходной матрицы равен сумме определителей матриц, в каждой из которых есть пропорциональные строки. По предложению 7 все эти определители равны нулю. Следовательно, и определитель исходной матрицы тоже равен нулю. Определение Алгебраическим дополнением к элементу матрицы называется число, равное , где -- определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием -ой строки и -ого столбца. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы обозначается. Замечание Используя алгебраические дополнения определение определителя можно записать так:. Предложение 11 Разложение определителя по произвольной строке. Для определителя матрицы справедлива формула. Тогда -ую строку поменяем местами со строкой с номером. Затем строку с номером поменяем местами со строкой с номером. Определитель снова сменит знак. Процесс перестановки строк будем продолжать до тех пор, пока -ая строка матрицы не станет первой строкой новой матрицы, которую мы обозначим. Отметим, что в матрице , начиная со второй строки, стоят строки матрицы , причем порядок их следования не изменился. При переходе от матрицы к матрице определитель сменит знак раз проверьте для случая. Это соотношение верно и при. Первая строка матрицы совпадает с -ой строкой матрицы , поэтому. Результат вычеркивания в матрице первой строки и -ого столбца будет таким же, как при вычеркивании в матрице -ой строки и -ого столбца. Поэтому , где -- определитель матрицы, полученной при вычеркивании в матрице -ой строки и -ого столбца. По определению алгебраического дополнения получим. Тогда из предыдущего равенства вытекает. Воспользуемся разложением по третьей строке, так выгоднее, поскольку в третьей строке два числа из трех -- нули. Предложение 12 Все свойства определителя, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по -ому столбцу. В силу предложения 1 определитель не меняется при транспонировании матрицы, а ее столбцы становятся строками транспонированной матрицы, для которой доказываемые свойства имеют место. Предложение 14 Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали. Воспользуемся индукцией по порядку матрицы. Предположим, что доказываемое утверждение верно для матриц порядка. Покажем, что оно верно для матрицы порядка. Если -- верхняя треугольная матрица, то используем разложение по первому столбцу равенство 3 при:. Справа стоит определитель треугольной марицы порядка. По предположению индукции этот определитель равен. Если -- нижняя треугольная матрицы, то нужно воспользоваться разложением по первой строке. В остальном рассуждения аналогичны. Итак, утверждение верно для матрицы порядка. Перечисленные выше свойства позволяют находить определители матриц достаточно высоких порядков при сравнительно небольшом объеме вычислений. Не нашли то, что искали? Google вам в помощь! Например, матрицу размеров можно записать в виде В этой записи означает, что элемент находится в строке с номером и столбце с номером , то есть первый индекс указывает номер строки , а второй - номер столбца. Например, в матрице ,. Пусть -- исходная матрица, -- матрица, полученная из умножением первой строки на число: Тогда где -- определитель матрицы, полученной из матрицы или, что то же самое, из матрицы вычеркиванием первой строки и -ого столбца. Вынесем множитель за знак суммы и получим Пусть теперь матрица получается из матрицы умножением -ой строки на число. По предложению 3 1 Очевидно, что матрица получается из матрицы умножением первой строки на число. Тогда Для случая утверждение доказано. Для определителя матрицы справедлива формула Доказательство. Таким образом 2 Это соотношение верно и при. По определению определителя, где -- определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и -ого столбца. Следовательно, В силу равенства 2 получим По определению алгебраического дополнения получим. Тогда из предыдущего равенства вытекает что и требовалось доказать. Если -- верхняя треугольная матрица, то используем разложение по первому столбцу равенство 3 при: Матрица направленной политики компании Шелл. Алгоритм создания нулей в столбце.
https://gist.github.com/6a3e15d25831c781692af94cce4fecdf
https://gist.github.com/fc7d2611a3444e231c65af142da87731
https://gist.github.com/ff9f808db3521fcf316d5170f245096e