Комплексные числа
История развития комплексных чисел
Тема: История открытия комплексных чисел
Комплексное число
Комплексные числа История возникновения комплексных чисел. - презентация
Комплексное число
В реферате дано понятие комплексных чисел, история их возникновения, рассмотрены примеры действий с комплексными числами, приведены примеры решения уравнений с комплексным переменным. История возникновения комплексных чисел…………………………….. Комплексные числа и их свойства…………………………………… ….. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений. Страницы биографии ученых математиков. В программе математики школьного курса теория чисел вводится на примерах множеств натуральных чисел, целых, рациональных, иррациональных, то есть на множестве действительных чисел, изображения которых заполняют всю числовую ось. Но уже в 8 классе запаса действительных чисел не хватает, решая квадратные уравнения при отрицательном дискриминанте. Поэтому было необходимо пополнить запас действительных чисел при помощи комплексных чисел, для которых квадратный корень из отрицательного числа имеет смысл. Большое значение комплексных чисел в математике и её приложениях широко известно. Их изучение имеет самостоятельный интерес. Алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Жуковский — при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники слайд 2. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел. В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как. Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: Причём первый из них получил аналитический результат, решая квадратное уравнение слайд 3. Кардано в г. В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. В году Галуа Франция доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее, всякое уравнение n-й степени имеет если рассматривать и комплексные числа n корней среди которых могут быть и равные. В этом математики были убеждены еще в XVII веке основываясь на разборе многочисленных частных случаев , но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Декарт, а в году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Слово комплекс от латинского complexus означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Эйлер вывел в году замечательную формулу: С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного. В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. Такую систему вида , где , построил в году ирландский математик У. Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля. В связи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике. Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними. В противном случае комплексные числа не равны. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство: Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на рис. Это число можно изобразить также отрезком ОС, учитывая не только его длину, но и направление. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях рис. По определению модуля комплексного числа. Начало координат изображает число 0. Сопряжённые комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс. Комплексные можно изображать также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью, ось 0у — мнимой осью. Последнее выражение, то есть. С ее помощью всякое комплексное число может быть записано в показательной форме. Их сумма равна нулю. Комплексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей: Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы. Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению: Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению. Из определения умножения получим, что произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному числу: Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем: Степень числа i является периодической функцией показателя с периодом 4. Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число. Извлечение корня из комплексного числа есть действие, обратное возведению в степень. С его помощью по данной степени подкоренное число и данному показателю степени показатель корня находят основание корень. В множестве комплексных чисел действие извлечения корня всегда выполнимо, хотя причем и неоднозначно: В частности, квадратный корень имеет ровно два значения, которые можно найти по формуле: Арифметические действия с комплексными числами в тригонометрической форме показаны на слайде В результате сложения этих чисел получается число z 3 , изображаемое вектором 0С диагонали параллелограмма 0АСВ по правилу параллелограмма сложения векторов: Таким образом, разности z 1 -z 2 данных чисел соответствует вектор ВА другой диагонали параллелограмма 0АСВ рис. Для иллюстрации остальных алгебраических действий над комплексными числами более удобна тригонометрическая форма. Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило верно и для любого числа сомножителей. В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней. Рассмотрим приведенное алгебраическое уравнение 3-ей степени: Изучены различные литературные источники, подобран материал, дающий наиболее полное представление о комплексных числах, истории их открытия, их роли и значении в различных разделах математики. Определены и рассмотрены арифметические операции, производимые над этими числами, подобраны и решены примеры с использованием комплексных чисел. Оценнено значение и роль комплексных чисел при решении ряда математических задач. Если в начале учебного года уровень информированности и знаний среди студентов о комплексных числах можно оценить как низкий, то к концу учебного года зафиксировано повышение интереса в изучении математики, расширение кругозора, успешное решение многих задач повышенного уровня сложности. Предполагается, что ознакомление и изучение комплексных чисел студентами позволит им углубить познания во многих разделах математики, вооружит их дополнительным инструментом для решения различных задач. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии. Именно поэтому нам расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях. В настоящем реферате дано понятие комплексных чисел, история их возникновения. Рассмотрены примеры действий с комплексными числами. Приведены примеры решения уравнений с комплексным переменным, что позволяет решить любые квадратные уравнения, даже с отрицательным дискриминантом. В реферате также рассмотрена геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде векторов. Комплексные числа и их приложения в геометрии. Литературное творчество Музыкальное творчество Научно-техническое творчество Художественно-прикладное творчество. Реферат "Комплексные числа, их прошлое и настоящее" Опубликовано Мудренко Галина Александровна вкл
Два события называются совместными если
Сколько треугольников на рисунке 3 класс
Детские стихи о музыке короткие
Ноябрь стихи классиков
История кальяна википедия
Новая крутилка в руках