4. Совместные и несовместные события. Теоремы сложения вероятностей.
Совместные и несовместные события.
Действия над вероятностями
Операции со случ событиями. Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Каждое случайное событие есть следствие действия многих случайных причин Таким образом, события будет рассматривается как результат испытания. Полной группой событий называются несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. События называют равновозможными , если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. А —В — Наступ только А,В не наступ. Ассоциативн -3 и переест скобок. ПРоизвед — невозможн соб-е. Классическая формула вероятности Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Здесь предполагается, что элементарные исходы не совместны, равновозможные и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекает следующие свойства: Вероятность достоверного события равна единице. Вероятность невозможного события равна нулю. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности -вероятность попадания точки в область отрезок, часть плоскости и т. Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L на удачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством. Задач ,в кот можно исходить из таких соображ-й мало. Облад св-вом стат устойч. Стат Вер-ть события-число,ок кот группир знач-я частоты данн события в различн сериях больш числа испытаний. Изуч спос подсчета числа эл-в в конечн множ-х. Ф-лы исп при вычисл вер-й. Перестан-ки —множ-ва, сост из один эл-в и отлич порядком. Размещ- мн-во,сост из n различн эл-в по m эл-в ,кот отлич либо сотавом эл-в ,либо их порядком. Т о кенечн множ-х: Число Размещ-й по m эл-в с повтор из n эл-в равно c повт. Последнее свойство позволяет описать процедуру последовательного получения числа сочетаний при различных значениях n и k. Используя последнее свойство, можно представить число сочетаний в виде так называемого треугольника Паскаля. Теорема сложения вероятностей 2х событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. Независимость событий взаимна, то есть если событие А не зависит от В, то событие В не зависит от А. Вытекает следующая формула умножения вероятностей: Для независимых событий вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей: Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Вероятность наступления только одного, хотя бы одного события. Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них в частности, только одно или ни одного , причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А 1 , А 2 , Если события А 1 , А 2 , Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А 1 ,А 2 , Вероятность появления хотя бы одного из событий А 1 , А 2 ,…,А n независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, то есть. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Совместные и несовместные события. Зависимые и независимые события. Формула полной вероятности и формула Байеса. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения частоты от наивероян. Теорема Пуассона вывод формулы. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Размерность дисперсии и среднеквадратичного отклонения. Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики вывод формулы. Закон Пуассона и его числовые характеристики вывод формулы. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Равномерный закон распределения и его числовые характеристики. Нормальный закон распределения, его параметры и их вероятностный смысл. Зависимость формы нормальной кривой от параметров. Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины. Нормальный закон распределения двумерной случайной величины. Закон больших чисел в форме Чебышева и его значение. Закон больших чисел в форме Бернулли и его значение. Понятие о центральной предельной теореме и ее следствиях. Точечные оценки параметров генеральной совокупности. Средняя арифметическая и ее свойства. Дисперсия вариационного ряда и ее свойства. Критерий проверки, ошибки первого и второго рода, критическая область. Модели и основные понятия регрессионного анализа. События А и ни одно из событий не наступило противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице: Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим или Вероятность появления хотя бы одного из событий А 1 , А 2 ,…,А n независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, то есть.
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Заголовок выглядит страшновато, но в действительности всё очень просто. На данном уроке мы познакомимся с теоремами сложения и умножения вероятностей событий, а также разберём типовые задачи, которые наряду с задачей на классическое определение вероятности обязательно встретятся или, что вероятнее, уже встретились на вашем пути. Для эффективного изучения материалов этой статьи необходимо знать и понимать базовые термины теории вероятностей и уметь выполнять простейшие арифметические действия. Как видите, требуется совсем немного, и поэтому жирный плюс в активе практически гарантирован. Но с другой стороны, вновь предостерегаю от поверхностного отношения к практическим примерам — тонкостей тоже хватает. Теорема сложения вероятностей несовместных событий: Давайте сразу вспомним алгебру событий: А сейчас возьмём в руки уже знакомое и безотказное орудие труда учёбы — игральный кубик с полной группой событий , которые состоят в том, что при его броске выпадут 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков соответственно. Данное событие состоит в двух несовместных исходах: По теореме сложения вероятностей несовместных событий: Рассмотрим событие , состоящее в том, что выпадет не более 4 очков и найдем его вероятность. По той же теореме, вероятность того, что выпадет нечётное число очков: С помощью рассматриваемой теоремы можно решить некоторые задачи, которые нам встретились на практикуме по классическому определению вероятности. Не поленюсь, кратко перескажу решение го примера вышеуказанного урока:. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на 2 из 3 вопросов? Но здесь вместо правила сложений комбинаций в ходу и другая схема рассуждений. Рассмотрим два несовместных события: Возможно, некоторые читатели ещё не до конца осознали суть несовместности. Теперь, пользуясь классическим определением , найдём их вероятности:. Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада. По теореме сложения несовместных событий: В коробке 10 красных и 6 синих пуговиц. Наудачу извлекаются две пуговицы. Какова вероятность того, что они будут одноцветными? Аналогично — здесь можно использовать комбинаторное правило суммы , но мало ли … вдруг кто-то его запамятовал, а то и вовсе проехал мимо с песнями. Тогда на помощь придёт теорема сложения вероятностей несовместных событий! Если у вас возникло хоть какое-то недопонимание по вышеизложенному материалу, то настоятельно рекомендую обратиться к предыдущим урокам курса. Ибо не знать азов комбинаторики и не уметь решать типовые задачи на К. Начнём с независимых событий. Теорема умножения вероятностей независимых событий: Вернёмся к простейшему примеру 1-го урока, в котором подбрасываются две монеты и следующим событиям:. По теореме умножения вероятностей независимых событий: Потренируемся на конкретных примерах:. В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором — 7, в третьем — 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными. Рассмотрим следующие независимые события:. Интересующее нас событие из 1-го ящика будет извлечена стандартная деталь и из 2-го стандартная и из 3-го стандартная выражается произведением. В трех урнах имеется по 6 белых и по 4 черных шара. Из каждой урны извлекают наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что: За примерами далеко ходить не надо — достаточно до ближайшего магазина:. Вероятность этого события зависит от множества других событий: В зависимости от различных обстоятельств данное событие может быть как достоверным , так и невозможным. Иногда об этом прямо сказано в условии задачи, но чаще всего приходится проводить самостоятельный анализ. Какого-то однозначного ориентира тут нет, и факт зависимости либо независимости событий вытекает из естественных логических рассуждений. Чтобы не валить всё в одну кучу, задачам на зависимые события я выделю следующий урок, а пока мы рассмотрим наиболее распространённую на практике связку теорем:. Хит хитов и самая настоящая классика теории вероятностей:. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго — 0,6. Найти вероятность того, что:. Данное событие состоит в двух несовместных исходах:. На языке алгебры событий этот факт запишется следующей формулой: Сначала используем теорему сложения вероятностей несовместных событий, затем — теорему умножения вероятностей независимых событий: В данном случае это означает, что попадёт или 1-й стрелок 2-й промахнётся или 2-й 1-й промахнётся или оба стрелка сразу — итого 3 несовместных исхода. Кроме того, существует альтернативный, третий путь решения, основанный на умолчанной выше теореме сложения совместных событий. Если вы знакомитесь с материалом впервые, то во избежание путаницы, следующий абзац лучше пропустить. По теореме сложения вероятностей совместных событий и теореме умножения вероятностей независимых событий: При основательном изучении теории вероятностей вам встретятся десятки задач милитаристского содержания, и, что характерно, после этого никого не захочется пристрелить — задачи почти подарочные. А почему бы не упростить ещё и шаблон? Тогда вероятности их промаха: На практике можно пользоваться любым вариантом оформления. Конечно же, намного чаще идут коротким путём, но не нужно забывать и 1-й способ — он хоть и длиннее, но зато содержательнее — в нём понятнее, что, почему и зачем складывается и умножается. В ряде случаев уместен гибридный стиль, когда прописными буквами удобно обозначить лишь некоторые события. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что при пожаре:. Проверить результат прямым вычислением этой вероятности с помощью теорем сложения и умножения. Здесь независимость работы устройств непосредственно прописана в условии, что, кстати, является важным уточнением. Образец решения оформлен в академичном стиле. Как быть, если в похожей задаче даны одинаковые вероятности, например, 0,9 и 0,9? Решать нужно точно так же! Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8. Вероятность того, что цель не поражена после выполнения первым и вторым стрелками по одному выстрелу равна 0, Какова вероятность поражения цели вторым стрелком при одном выстреле? А это небольшая головоломка, которая оформлена коротким способом. Условие можно переформулировать более лаконично, но переделывать оригинал не буду — на практике приходится вникать и в более витиеватые измышления. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует настройки, равна 0,3, второй — 0,75, третий — 0,4. Найти вероятность того, что в течение смены:. Но с тремя объектами так оформлять задачу уже не очень хочется — получится долго и нудно. Тогда вероятности того, что они не потребуют внимания: По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий: Думаю, сейчас вам должно быть понятно, откуда взялось выражение. Постарайтесь самостоятельно найти вероятность , чтобы проверить всю задачу с помощью равенства. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания при одном выстреле только из первого орудия равна 0,7, из второго — 0,6, из третьего — 0,8. И снова о совпадениях: Стрелок попадает в цель с одной и той же вероятностью при каждом выстреле. Какова эта вероятность, если вероятность хотя бы одного попадания при трех выстрелах равна 0, И таки распишем события: По условию , тогда вероятность противоположного события: С другой стороны, по теореме умножения вероятностей независимых событий: В рассмотренной задаче можно поставить дополнительные вопросы о вероятности только одного попадания, только двух попаданий и вероятности трёх попаданий по мишени. Схема решения будет точно такой же, как и в двух предыдущих примерах: Однако принципиальное содержательное отличие состоит в том, что здесь имеют место повторные независимые испытания , которые выполняются последовательно, независимо друг от друга и с одинаковой вероятностью исходов. Несмотря на кажущуюся шаблонность примеров, целесообразно ознакомиться с дополнительными задачами на теоремы сложения и умножения вероятностей , которые на самом деле достаточно разнообразны. На следующем уроке мы разберём задачи с зависимыми событиями , а затем важнейшие следствия рассмотренных теорем — формулу полной вероятности , формулы Байеса и формулу Бернулли , касающуюся независимых испытаний. По классическому определению вероятности: Тогда вероятности извлечения чёрного шара из соответствующих урн равны: Вычислим вероятности противоположных событий: Проверим результат с помощью прямого вычисления. Тогда вероятность его промаха: По условию , таким образом: Тогда соответствующие вероятности промаха: Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Быстрое сдобное тесто на сухих дрожжах
Kia stinger характеристики
Карты яндекс спутник 2015
Новости шоу биза россии
Зарядное устройство лягушка схема